附录 E · 单位换算与常用常数
工程中最常碰到的单位换算与物理常数，汇总成表随用随查。每条换算都给出可复算的依据：能写成等式的写等式，能给出典型值的给数量级；凡与条件有关的（载流量、热噪声、温漂），把条件一并写在旁边。
E.1 国际单位制词头（SI Prefixes）
| 词头 | 符号 | 因子 | 常见量 |
|---|---|---|---|
| pico | p | 10^{-12} | pF（皮法）、pA、ps |
| nano | n | 10^{-9} | nF（纳法）、nV/\sqrt{\text{Hz}}、ns |
| micro | \mu | 10^{-6} | µF、µA、µs、µV |
| milli | m | 10^{-3} | mV、mA、mW、mm |
| （无） | — | 10^{0} | V、A、W、Ω、Hz |
| kilo | k | 10^{3} | kΩ、kHz、kV、kW |
| mega | M | 10^{6} | MΩ、MHz、MW |
| giga | G | 10^{9} | GHz、GΩ |
| tera | T | 10^{12} | THz、TΩ |
注意大小写：\text{m} 是毫、\text{M} 是兆，1\,\text{mW} 与 1\,\text{MW} 差 10^{9} 倍；\text{k} 用小写，\text{K} 是开尔文。1\,\mu\text{F}=1000\,\text{nF}=10^{6}\,\text{pF}，1\,\text{nF}=1000\,\text{pF}——电容换算是原理图/BOM 最易错的地方。
二进制词头（存储容量）
| 词头 | 符号 | 因子 | 说明 |
|---|---|---|---|
| kibi | Ki | 2^{10}=1024 | 1 KiB = 1024 B |
| mebi | Mi | 2^{20}=1048576 | 1 MiB = 1024 KiB |
| gibi | Gi | 2^{30}=1073741824 | 1 GiB = 1024 MiB |
| tebi | Ti | 2^{40} | 1 TiB = 1024 GiB |
存储芯片手册里的 “64 Mbit” 通常按 2^{20} 或 10^{6} 计，厂厂不同；涉及容量预算时以 datasheet 的字节数为准，不要用词头反推。通信速率（bps）与存储容量（B）差 8 倍，100\,\text{Mbps} 理想情况约 12.5\,\text{MB/s}。
E.2 电压 / 电流 / 功率 / 能量换算
基本关系
| 量 | 公式 | 单位 | 备注 |
|---|---|---|---|
| 欧姆定律 | V=I\cdot R | V = A·Ω | 线性电阻，瞬时值也成立 |
| 功率（直流/瞬时） | P=V\cdot I=I^2R=\dfrac{V^2}{R} | W | 交流用有效值算平均功率 |
| 能量 | E=P\cdot t | J = W·s | 电池常用 Wh |
| 焦耳热 | Q=I^2Rt | J | t 为秒 |
| 电荷量 | Q=I\cdot t | C = A·s | 1 Ah = 3600 C |
| 电池续航估算 | t\approx \dfrac{C_{\text{bat}}}{I_{\text{load}}} | h | C_{\text{bat}} 单位 Ah，I 单位 A |
常用换算
| 换算 | 关系 | 验算 |
|---|---|---|
| 1 马力（hp） | \approx 745.7 W | 机械马力定义值 745.6999 W |
| 1 度电 | 1 kWh = 3.6\times10^{6} J | 1000\times3600 |
| 1 Wh | 3600 J | 功率×时间 |
| 1 eV（电子伏特） | \approx 1.602\times10^{-19} J | 元电荷×1 V |
| 1 大气压（atm） | \approx 101325 Pa \approx 14.696 psi | 101325/6894.76 |
| 摄氏度转华氏度 | t_{\text{F}}=t_{\text{C}}\times 9/5+32 | 100 °C → 212 °F |
| 摄氏度转开尔文 | T=t_{\text{C}}+273.15 | 25 °C → 298.15 K |
| 1 mAh | 3.6 C | 10^{-3}\times3600 |
电池续航要按电池端电流算，不能直接乘 LDO 的电压比：LDO 的输入电流约等于输出电流，2000 mAh、100 mA 就是约 20 h，压差只变成热、不省电。Buck 的输入电流 I_{\text{in}}\approx P_{\text{out}}/(V_{\text{in}}\eta)：12 V→3.3 V/0.1 A、\eta=0.85 时 I_{\text{in}}=0.33/(12\times0.85)=32 mA，同样电池可撑约 62 h。
E.3 dB（分贝）速查
dB 是对数比值，本身没有单位：功率比用 10\log_{10}，电压/电流比在两端阻抗相同时用 20\log_{10}。阻抗不同时电压 dB 不成立，必须换算成功率再算。
L_P=10\log_{10}\frac{P_2}{P_1}\qquad L_V=20\log_{10}\frac{V_2}{V_1}\quad(\text{同阻抗})倍数 ↔ dB 对照
| 增益倍数（电压/电流） | dB（20\log_{10}） | 功率比 | dB（10\log_{10}） |
|---|---|---|---|
| 1.00 | 0 dB | 1 | 0 dB |
| 1.26 | +2 dB | 1.58 | +2 dB |
| 1.414（\sqrt{2}） | +3 dB | 2 | +3 dB |
| 1.5 | +3.5 dB | 2.25 | +3.5 dB |
| 2.00 | +6 dB | 4 | +6 dB |
| 3.16 | +10 dB | 10 | +10 dB |
| 4.00 | +12 dB | 16 | +12 dB |
| 5.00 | +14 dB | 25 | +14 dB |
| 10.0 | +20 dB | 100 | +20 dB |
| 100 | +40 dB | 10^4 | +40 dB |
| 1000 | +60 dB | 10^6 | +60 dB |
| 0.707（1/\sqrt{2}） | −3 dB | 0.5 | −3 dB |
| 0.5 | −6 dB | 0.25 | −6 dB |
| 0.1 | −20 dB | 0.01 | −20 dB |
常用换算口诀
| dB 变化 | 效果 | 记忆点 |
|---|---|---|
| +3 dB | 电压 ×1.414，功率 ×2 | 半功率点的镜像 |
| +6 dB | 电压 ×2，功率 ×4 | 电压翻倍 |
| +10 dB | 电压 ×3.16，功率 ×10 | 功率十倍 |
| +20 dB | 电压 ×10，功率 ×100 | 电压十倍 |
| −3 dB | 幅度下降到 0.707，功率减半 | 一阶滤波器截止点 |
| −6 dB | 幅度减半，功率降到 1/4 | 两级 −3 dB 串联 |
| −20 dB | 幅度降到 1/10 | 十倍衰减 |
绝对电平：dBm、dBW、dBµV
dBm 是以 1 mW 为基准的绝对功率：P_{\text{dBm}}=10\log_{10}\dfrac{P}{1\,\text{mW}}。已知阻抗 R 时电压有效值由 P=V^2/R 反解：
V_{\text{rms}}=\sqrt{P\cdot R}=\sqrt{10^{L_{\text{dBm}}/10}\times10^{-3}\times R}50 Ω 系统（射频/函数发生器最常用）：
| 电平 | 功率 | V_{\text{rms}}（50 Ω） | V_{pp}（50 Ω） | 折合 dBµV |
|---|---|---|---|---|
| −30 dBm | 1 µW | 7.07 mV | 20.0 mV | 77.0 |
| −20 dBm | 10 µW | 22.4 mV | 63.2 mV | 87.0 |
| −10 dBm | 100 µW | 70.7 mV | 200 mV | 97.0 |
| 0 dBm | 1 mW | 223.6 mV | 632 mV | 107.0 |
| +10 dBm | 10 mW | 707 mV | 2.00 V | 117.0 |
| +20 dBm | 100 mW | 2.236 V | 6.32 V | 127.0 |
| +30 dBm | 1 W | 7.071 V | 20.0 V | 137.0 |
三个必记结论：1 mW@50 Ω = 0.2236 Vrms；0 dBm = 107 dBµV@50 Ω（即 dBm = dBµV − 107）；0 dBm@600 Ω = 0.7746 Vrms（音频系统旧基准）。示波器读 V_{pp} 时不要忘了 V_{pp}=2\sqrt{2}V_{\text{rms}}。
E.4 常用物理常数
| 常数 | 符号 | 值 |
|---|---|---|
| 真空中光速 | c | 2.998\times10^{8} m/s |
| 元电荷 | e | 1.602\times10^{-19} C |
| 普朗克常数 | h | 6.626\times10^{-34} J·s |
| 玻尔兹曼常数 | k | 1.381\times10^{-23} J/K |
| 阿伏伽德罗常数 | N_A | 6.022\times10^{23} /mol |
| 真空介电常数 | \varepsilon_0 | 8.854\times10^{-12} F/m |
| 真空磁导率 | \mu_0 | 4\pi\times10^{-7} H/m |
| 电子静质量 | m_e | 9.109\times10^{-31} kg |
| 热电压（27 °C） | V_T=kT/q | \approx 25.86 mV |
| 热电压（25 °C） | V_T=kT/q | \approx 25.69 mV |
| 绝对零度 | 0 K | -273.15 °C |
工程口算取 V_T\approx 26 mV（室温）。V_T 是 BJT 跨导 g_m=I_C/V_T、二极管小信号电阻 r_d=V_T/I_D 的基准，温度每升 1 °C 约增 0.33%。
电阻热噪声
电阻的热噪声功率谱密度为 e_n=\sqrt{4kTR}，单位 V/\sqrt{\text{Hz}}；带宽 B 内的总噪声为 V_n=e_n\sqrt{B}。
| 电阻 | 噪声密度（25 °C） | 20 kHz 带宽内 |
|---|---|---|
| 1\,\text{k}\Omega | 4.07 nV/\sqrt{\text{Hz}} | 0.576 µV |
| 10\,\text{k}\Omega | 12.9 nV/\sqrt{\text{Hz}} | 1.82 µV |
| 100\,\text{k}\Omega | 40.7 nV/\sqrt{\text{Hz}} | 5.76 µV |
| 1\,\text{M}\Omega | 129 nV/\sqrt{\text{Hz}} | 18.2 µV |
验算：4kTR=4\times1.381\times10^{-23}\times298.15\times1000=1.647\times10^{-17}，开方得 4.06\times10^{-9} V/\sqrt{\text{Hz}}。噪声按功率相加，多级电路要先算各源贡献再取平方和。
E.5 导线线规（AWG）对照
AWG 直径有定义式，截面积与电阻都由它推出：
d(\text{mm})=0.127\times92^{(36-n)/39}\qquad A=\frac{\pi d^2}{4}\qquad R=\frac{\rho L}{A}其中 n 为 AWG 编号（编号越大线越细），\rho\approx1.724\times10^{-8}\,\Omega\cdot\text{m} 为 20 °C 铜电阻率。
| AWG | 直径 (mm) | 截面积 (mm²) | 20 °C 电阻 (Ω/km) | 参考载流量（单根短段） | 典型用途 |
|---|---|---|---|---|---|
| 30 | 0.255 | 0.0509 | 339 | 0.5 A | 细线/飞线、绕线 |
| 26 | 0.405 | 0.129 | 134 | 1 A | 面包板跳线 |
| 24 | 0.511 | 0.205 | 84.2 | 1.3 A | 面包板常用 |
| 22 | 0.644 | 0.326 | 53.0 | 2 A | 杜邦线 |
| 20 | 0.812 | 0.518 | 33.3 | 3 A | 电源进线 |
| 18 | 1.024 | 0.823 | 21.0 | 5 A | 电源/大电流 |
| 16 | 1.291 | 1.309 | 13.2 | 7 A | 低压大电流 |
| 14 | 1.628 | 2.081 | 8.28 | 15 A | 分支回路（按规范） |
| 12 | 2.053 | 3.309 | 5.21 | 20 A | 主干回路（按规范） |
载流量不是线径的唯一函数：绝缘耐温、束线根数、环境温度、允许温升、是否穿管都会改变结果。上表 30–18 AWG 是机内单根短段、25 °C 环境的经验值；14/12 AWG 一列接近北美 15 A/20 A 分支回路的取值，不能直接套到其他地区或穿管敷设。市电布线必须按当地电气规范（如 IEC 60364、NEC）与线缆铭牌选型，本表不能替代规范。
记忆点：AWG 每减 3 号，截面积约翻倍、电阻约减半；每减 6 号，直径约翻倍。验算：92^{3/39}\approx1.416（接近 \sqrt{2}），(1.416)^2\approx2.005。
PCB 走线载流（IPC-2221）
I=k\cdot \Delta T^{0.44}\cdot A^{0.725}| 符号 | 含义 | 单位 |
|---|---|---|
| I | 允许电流 | A |
| k | 外层 0.048，内层 0.024 | — |
| \Delta T | 允许温升 | °C |
| A | 走线截面积 w\times t | mil² |
例：1 oz 铜（厚约 1.38 mil，即 35 µm）、10 mil 宽、外层、允许 10 °C 温升，A=13.78\,\text{mil}^2，I=0.048\times10^{0.44}\times13.78^{0.725}=0.886 A。所以“10 mil 走 1 A”只在 1 oz、外层、约 10 °C 温升时近似成立；内层同条件只有约 0.44 A。更精确的载流用 IPC-2152（考虑板厚、铜箔、邻层散热），IPC-2221 的图表是保守的工程近似。
E.6 温度换算与热敏电阻
| 转换 | 公式 |
|---|---|
| °C → K | T=t_{\text{C}}+273.15 |
| °C → °F | t_{\text{F}}=t_{\text{C}}\times 9/5+32 |
| 常见温度点 | 水凝固 0 °C / 人体 37 °C / 水沸腾 100 °C / 室温 25 °C（298.15 K） |
NTC 热敏电阻常用 B 值公式：
\frac{1}{T}=\frac{1}{T_0}+\frac{1}{B}\ln\frac{R_T}{R_0}\qquad\Longrightarrow\qquad R_T=R_0\exp\left[B\left(\frac{1}{T}-\frac{1}{T_0}\right)\right]其中 T_0=298.15 K（25 °C），R_0 为 25 °C 阻值，B 为材料常数（常见 3950 K）。例：R_0=10\,\text{k}\Omega、B=3950 K，在 100 °C（373.15 K）时
R_T=10000\times\exp\left[3950\left(\frac{1}{373.15}-\frac{1}{298.15}\right)\right]\approx 698\,\OmegaNTC 的灵敏度不是常数：25 °C 附近约 -B/T^2=-3950/298.15^2\approx-4.44\% 每 °C，到 100 °C 只剩约 -2.84\% 每 °C。精密测温要查厂商 R-T 表或做分段线性/Steinhart-Hart 拟合，不能全程用一个 B 值。
E.7 频率 / 时间换算
f=\frac{1}{T}\qquad T=\frac{1}{f}| 频率 | 周期 |
|---|---|
| 50 Hz（市电） | 20 ms |
| 60 Hz（市电） | 16.67 ms |
| 1 kHz | 1 ms |
| 1 MHz | 1 µs |
| 10 MHz | 100 ns |
| 100 MHz | 10 ns |
| 1 GHz | 1 ns |
| 晶振 8 MHz | 125 ns |
| 晶振 32.768 kHz（RTC） | 30.52 µs |
示波器带宽与上升时间：一阶系统 t_r\approx0.35/BW（10%–90%）。测 10 ns 边沿至少需要 35 MHz 带宽，工程上取 3–5 倍余量，即 100–175 MHz。反过来，100 MHz 探头看 1 ns 边沿已经到极限。
E.8 常用面积 / 长度换算
| 换算 | 关系 | 验算 |
|---|---|---|
| 1 mil（密耳） | 0.0254 mm = 25.4 µm | 1/1000 inch |
| 1 inch | 25.4 mm = 1000 mil | 定义值 |
| 1 mm | 39.37 mil | 1/0.0254 |
| 1 oz 铜厚 | 约 35 µm（1.38 mil） | 1 oz/ft² 铜箔 |
| 1/2 oz 铜厚 | 约 17.5 µm | 35/2 |
| 2 oz 铜厚 | 约 70 µm | 35×2 |
| 1 平方英寸 | 645.16 mm² | 25.4^2 |
| 1 mm² | 1550 mil² = 1973 圆密耳 | 39.37^2；1550/0.7854 |
| PCB 10 mil 线宽 | 0.254 mm | 10\times0.0254 |
PCB 工程中 mil 与 mm 混用极常见：0402 封装 = 40×20 mil ≈ 1.0×0.5 mm；0.1 inch = 100 mil = 2.54 mm 是洞洞板/排针的标准间距。画封装时统一用 mm，检查时再换算成 mil 对照 datasheet。
E.9 ppm、公差与温漂
ppm 是百万分之一：1\,\text{ppm}=10^{-6}，1\%=10^{4}\,\text{ppm}，0.1\%=1000\,\text{ppm}。电阻温漂引起的相对变化为
\frac{\Delta R}{R}=\text{TCR}\times\Delta T| 场景 | 参数 | 计算结果 |
|---|---|---|
| 10 kΩ、100 ppm/°C、温升 100 °C | \Delta R=10^4\times100\times10^{-6}\times100 | 100 Ω，即 1% |
| 1 mΩ 分流器、50 ppm/°C、温升 60 °C | 相对变化 50\times10^{-6}\times60 | 0.30% |
| 铜走线/绕组 | TCR ≈ 3930 ppm/°C | 温升 100 °C 电阻约 +39% |
| 2.5 V 基准、10 ppm/°C、−40~85 °C | 10\times10^{-6}\times125 | 3.1 mV，0.125% |
| C0G 电容 | 典型 ±30 ppm/°C | 125 °C 范围内 <0.4% |
| X7R 电容 | 典型 ±15%（−55~125 °C） | 约为 C0G 的 40 倍 |
精度预算要把初始公差、温漂、长期漂移、负载调整率分开算，再按最坏情况相加或按 RSS 合成。把 1% 电阻和 100 ppm/°C 当成同一件事，是精密分压/电流检测最常见的误差来源。
E.10 常见换算错误
现象：把 0 dBm 当成 0 V，或把 dBm 直接加在电压增益上。
原因：dBm 是绝对功率，dB 是相对比值；不同阻抗下同一个 dBm 对应不同电压。
解决：先统一到功率或先确认阻抗，再用 V_{\text{rms}}=\sqrt{PR}；50 Ω 系统记住 0 dBm = 0.224 Vrms。
现象：按“10 mil 走 1 A”设计，内层或 0.5 oz 铜实际过热。
原因：载流与铜厚、内外层、温升、走线长度都有关，经验口诀有前提。
解决：用 IPC-2221/IPC-2152 按实际铜厚与温升计算，再留 20%–30% 余量。
现象：电容 0.1 µF 写成 100 nF 后 BOM 出现两种料。
原因：µF/nF/pF 混用且没有统一单位。
解决：BOM 统一用 µF 或 pF 一位小数（如 0.1 µF、100 nF 二选一），并在备注写耐压与介质。
现象：温漂算出来比实测小很多。
原因：只算了 TCR，没算自热、PCB 铜箔热电势、邻近热源。
解决：按最坏情况叠加，关键位置用低 TCR 电阻并做实测标定。
E.11 速查自检
1 mW 送到 50 Ω 负载，电压有效值和峰峰值各是多少？
V_{\text{rms}}=\sqrt{PR}=\sqrt{10^{-3}\times50}=0.2236 V；V_{pp}=2\sqrt{2}\times0.2236=0.632 V。这就是 0 dBm@50 Ω 的由来。
1 oz 铜、20 mil 宽的外层走线，允许 10 °C 温升时能走多大电流？
A=20\times1.378=27.56 mil²，I=0.048\times10^{0.44}\times27.56^{0.725}\approx1.46 A。内层把 k 换成 0.024，约 0.73 A。
10 kΩ、100 ppm/°C 的电阻从 25 °C 升到 85 °C，阻值变化多少？
\Delta T=60 °C，\Delta R/R=100\times10^{-6}\times60=0.6\%，即 \Delta R=60\,\Omega，变成 10.06 kΩ。
32.768 kHz 晶振一个周期是多少微秒？为什么选这个频率？
T=1/32768=30.52 µs。32768 = 2^{15}，用 15 级二进制分频就能得到 1 Hz 秒脉冲，这是 RTC 选它的原因。