有源滤波：一阶低通与高通 First-Order LPF / HPF
传感器送来的信号里，既有我们想要的频段，也有不想要的东西：直流漂移、50 Hz 工频、开关电源的 MHz 尖峰、ADC 采样混叠。滤波器（filter）就是让需要的频率通过、把不需要的频率挡在门外的电路。只用电阻电容也能滤波（无源 RC），但无源网络带负载就衰减、又不能放大、截止频率还会随负载跑；把 RC 放进运放的反馈回路里，就得到有源滤波器（active filter）：输入阻抗高、输出阻抗低、增益可设、截止频率与增益可以解耦。
一阶（first-order）是最简单的有源滤波器：传递函数里只有一个 s，幅频在截止频率以外以 -20\ \text{dB}/十倍频程滚降。这一章要做三件事：把一阶低通/高通的传递函数、截止频率、相位算清楚；算明白"一阶为什么常常不够、二阶多花在哪里"；最后用一个 f_c=10\ \text{kHz} 的完整设计算例，把 E96 取值、实际 f_c、50 Hz 与 1 MHz 处的衰减一次算到底——顺便说清一个最常见的误解：低通滤波器挡不住落在它通带里的 50 Hz 工频干扰，提高阶数也挡不住。
符号沿用运放概述：符号、封装与引脚与理想模型五假设与虚短、虚断：开环增益 A_{OL}、闭环增益 A_{CL} 或 G、反馈系数 \beta（不是三极管的电流放大倍数）、环路增益 T=A_{OL}\beta、噪声增益 1/\beta、GBW、PM。虚短、虚断只在负反馈成立、输出未饱和、|T|\gg1 时成立——有源滤波器的反馈网络带电容，\beta 是频率的函数，这一点在第 3.6 节会直接影响可用带宽。
1. 设计动机
场景一：用 10 kHz 低通滤 50 Hz 工频，一点用都没有。 设计一只 f_c=10\ \text{kHz} 的低通，想滤掉电源串进来的 50 Hz。50 Hz 处
|H|=\frac{1}{\sqrt{1+(50/10105)^2}}=0.999988,\qquad 20\lg|H|=-0.0001\ \text{dB}1 V 的工频干扰出来还有 0.99999 V。50 Hz 在通带里，低通对它没有定义上的抑制能力；把一阶换成二阶、四阶，50 Hz 处仍然是 0.99998 与 1.0000 的区别。想挡 50 Hz，只能用高通、带阻（陷波）或差分/屏蔽，不能靠"提高低通的阶数"。
场景二：无源 RC 接上负载，增益掉一半、截止频率翻倍。 R=10\ \text{k}\Omega、C=1.5\ \text{nF} 的无源 RC 低通，f_c=10.6\ \text{kHz}，空载时 0 dB。接到输入阻抗 10 kΩ 的下一级：
H(0)=\frac{10\ \text{k}}{10\ \text{k}+10\ \text{k}}=0.5\ (-6.02\ \text{dB}),\qquad f_c'=\frac{1}{2\pi(10\ \text{k}\parallel10\ \text{k})\times1.5\ \text{nF}}=21.2\ \text{kHz}增益掉 6 dB、截止频率翻一倍，两个指标同时报废。这就是有源滤波器的第一价值：缓冲。
场景三：同样要 60 dB 抑制，一阶要把通带砍掉 20 dB。 信号带宽 10 kHz，要在 1 MHz 处把开关噪声压 60 dB。一阶滤波器的截止频率必须取 1\ \text{MHz}/1000=1\ \text{kHz}，于是 10 kHz 的信号被衰减 20\lg(1/\sqrt{1+10^2})=-20.04\ \text{dB}——信号先没了 90%。二阶滤波器只需 f_c=1\ \text{MHz}/\sqrt{1000}=31.6\ \text{kHz}，10 kHz 处只掉 0.043\ \text{dB}，1 MHz 处仍是 -60.0\ \text{dB}。阶数买的是"同样的抑制、更宽的通带"。
| 你想确认 | 先算 | 判据（工程经验值） |
|---|---|---|
| 截止频率准不准 | f_c=1/(2\pi RC)，R、C 容差 | \Delta f_c/f_c\le\lvert\Delta R/R\rvert+\lvert\Delta C/C\rvert |
| 50 Hz 工频能不能滤掉 | 干扰频率落在通带还是阻带 | 落在通带 → 换高通/陷波，提阶数无效 |
| 阻带衰减够不够 | 一阶 -20、二阶 -40\ \text{dB}/十倍频程 | 从 f_c 算起，几倍频程乘几十 dB |
| 运放带宽够不够 | \lvert T(f_c)\rvert=GBW/(N f_c) | \lvert T\rvert\ge100 → 幅度误差 ≤1% |
| 增益和 f_c 能不能独立调 | 拓扑：反相型耦合，同相型解耦 | 要独立调 → 同相/缓冲结构 |
| 单电源能不能用 | 输出是否含负半周 | 要负半周就偏置到 V_{CC}/2 |
| 电容选什么 | C0G/NP0、薄膜 | 高 K 陶瓷的容值随电压/温度变，f_c 跟着漂 |
不算会摔在哪，四条带数字的代价：
- 拿低通滤通带内的干扰。 50 Hz 在 10 kHz 低通的通带里，衰减 0.0001\ \text{dB}，等于没滤；提高阶数也一样，因为通带定义就是"几乎不衰减"。
- 无源 RC 直接带负载。 10 kΩ 负载让增益从 1 掉到 0.5、f_c 从 10.6 kHz 跑到 21.2 kHz，两个指标同时错一倍。
- 用 5% 电容做 10 kHz 低通。 f_c=1/(2\pi RC) 对 R、C 都是一次方，1% 电阻 + 5% 电容 → 最坏 6% 的 f_c 误差，100 kHz 处的衰减量跟着偏 6%。
- 运放 GBW 不够。 GBW=1\ \text{MHz}、噪声增益 2、f_c=10\ \text{kHz} 时，f_c 处 |T|=62.6，幅度误差的上界是 1/62.6=1.6\%；若把增益做成 10 倍（噪声增益 11），|T| 掉到 12.7，上界升到 7.9\%，f_c 还会明显左移。
2. 定义与直观
2.1 一句话定义：一个储能元件就是一个极点
一阶滤波器：只含一个独立储能元件（一只电容，或一只电感）的滤波电路。它的传递函数分母里 s 的最高次数是 1，所以只有一个极点，幅频在极点之外以 -20\ \text{dB}/十倍频程变化。
- 低通（low-pass filter, LPF）：低频通过、高频衰减，极点落在负实轴。
- 高通（high-pass filter, HPF）：高频通过、低频衰减，零点在原点、极点落在负实轴。
- 有源：RC 网络 + 运放。运放提供缓冲（输入高阻、输出低阻）、增益，以及把 RC 网络"藏"进反馈回路从而不受负载影响的能力。
一阶滤波器的两个参数就够了：截止频率 f_c 决定"在哪里拐弯"，通带增益 H_0 决定"拐弯前有多高"。这两个参数在一阶结构里往往互相牵连（反相型），能不能解耦取决于拓扑（第 3.3 节）。
2.2 −3 dB 的来历与相位
一阶低通的幅频是
|H(f)|=\frac{|H_0|}{\sqrt{1+(f/f_c)^2}}令 |H|=|H_0|/\sqrt{2}，得 1+(f/f_c)^2=2，即 f=f_c。此时电压幅度是通带的 1/\sqrt{2}=0.7071，功率减半，用分贝表示
20\lg\frac{1}{\sqrt{2}}=-3.01\ \text{dB}这就是 −3 dB 截止频率的来历。工程上说"带宽"通常就指这个频率——注意它不是"增益开始下降的频率"，从直流开始增益就在慢慢降，只是降得慢。
相位同样是频率的函数：
\varphi(f)=-\arctan\frac{f}{f_c}| f/f_c | 0.1 | 0.5 | 1 | 2 | 10 | 100 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| \lvert H\rvert/\lvert H_0\rvert | 0.995 | 0.894 | 0.707 | 0.447 | 0.0995 | 0.0100 |
| 幅度（dB） | -0.04 | -0.97 | -3.01 | -6.99 | -20.04 | -40.00 |
| 相位 | -5.7^{\circ} | -26.6^{\circ} | -45.0^{\circ} | -63.4^{\circ} | -84.3^{\circ} | -89.4^{\circ} |
三条读数要点：
- 十倍频程下降 20 dB。 从 f_c 到 10f_c 降 20.04 dB，到 100f_c 降 40.00 dB——渐近线是精确的 -20\ \text{dB}/十倍频程，误差只出现在 f_c 附近（f=f_c 处比渐近线低 3 dB）。
- 相位在 f_c 处正好 -45^{\circ}，在 0.1f_c 与 10f_c 处分别是 -5.7^{\circ} 与 -84.3^{\circ}。反馈系统里这 45^{\circ} 是实打实的相位滞后，会吃掉相位裕度。
- 反相型拓扑还要再加 180^{\circ}。 上面的相位是"滤波器本身"的贡献；如果电路是反相结构，输出相对输入还要反一次，总相位是 180^{\circ}-\arctan(f/f_c)。
2.3 有源 vs 无源：好处与代价
好处（三条，都能用数字说清）：
- 缓冲：运放输出阻抗是 R_{out,OL}/(1+T)，直流下毫欧级；输入阻抗对同相结构是 R_{icm}（典型 10^9\sim10^{15}\ \Omega）。所以滤波器带任何后级都不改变 f_c——这正是场景二要解决的问题。
- 增益：无源 RC 的通带增益最大是 1（还要被负载再分掉一部分），有源结构可以做到 0.1~100，且与 f_c 独立（同相结构）。
- 可级联：每一级都有低输出阻抗，两级之间不会互相加载，因此可以级联成二阶、四阶（第 3.4 节）。
代价（四条）：
- 需要供电与摆幅：输出不能超过电源轨，单电源下负半周还要偏置。
- 运放自身的误差：失调、噪声、CMRR、PSRR 全部进入信号链；无源 RC 没有这些问题。
- 带宽受 GBW 限制：滤波器的 f_c 不能逼近运放的闭环带宽，否则幅频与相位都会偏离设计值（第 3.6 节给判据）。
- 噪声：电阻热噪声与运放噪声都被噪声增益放大。R_1\parallel R_f=5.25\ \text{k}\Omega、噪声增益 2、f_c=10\ \text{kHz} 时输出噪声约 3.4\ \mu\text{V}_{\text{RMS}}（第 3.6 节复算），对 12 位 5 V ADC 的 1.22 mV LSB 是千分之三——噪声通常不是一阶有源滤波的主要矛盾，但 R 取到 MΩ 级或带宽做到 MHz 时它会变成主要矛盾。
2.4 四种典型结构
| 结构 | 传递函数 | 通带增益 | f_c | 特点 |
|---|---|---|---|---|
| 反相低通 | -\dfrac{R_f/R_1}{1+sR_fC_f} | -R_f/R_1 | 1/(2\pi R_fC_f) | 增益与 f_c 都含 R_f，耦合 |
| 反相高通 | -\dfrac{R_f}{R_1}\cdot\dfrac{sR_1C}{1+sR_1C} | -R_f/R_1 | 1/(2\pi R_1C) | 增益与 f_c 都含 R_1，耦合 |
| 同相低通 | \dfrac{K}{1+sRC} | K=1+R_f/R_a | 1/(2\pi RC) | 增益与 f_c 解耦 |
| 缓冲 RC | \dfrac{1}{1+sRC} | 1 | 1/(2\pi RC) | 只做阻抗变换，不放大 |
前两种结构元件最少，但"调增益就动了 f_c"；后两种把 RC 与增益级分开，f_c 只由 RC 决定，增益只由反馈分压决定。要独立调参，选后两种。
2.5 类比：单层纱窗与双层纱窗
一阶滤波器像一层纱窗：孔径（f_c）决定什么能过，网眼大小决定"挡得住多少"。但纱窗只有一层，对远大于孔径的颗粒，透过率按 1/f 下降——每把频率提高十倍，透过的量才降十倍（-20\ \text{dB}）。
二阶滤波器像两层纱窗叠在一起：同样孔径下，每提高十倍频率，透过的量降一百倍（-40\ \text{dB}）。层数（阶数）买的是"陡度"，不是"孔径"。
类比的关键边界：纱窗挡不住比孔径小的颗粒。 50 Hz 的干扰比 10 kHz 的孔径"小"（频率低），它本来就在通带里，叠多少层纱窗都没用。要么换一种筛子（高通/陷波），要么从源头解决（屏蔽、差分传输、共模扼流圈）。
3. 定量关系
3.1 反相一阶低通
反馈阻抗是 R_f 与 C_f 的并联：
Z_f=R_f\parallel\frac{1}{sC_f}=\frac{R_f}{1+sR_fC_f},\qquad H(s)=-\frac{Z_f}{R_1}=-\frac{R_f/R_1}{1+sR_fC_f}H_0=-\frac{R_f}{R_1},\qquad f_c=\frac{1}{2\pi R_fC_f},\qquad \varphi(f)=180^{\circ}-\arctan\frac{f}{f_c}符号与单位：H_0 无量纲（V/V），负号表示反相；R_1、R_f 单位 Ω；C_f 单位 F；f_c 单位 Hz；\varphi 的单位是度。注意 f_c 里出现的是 R_f 而不是 R_1：低通的拐点由反馈臂决定，输入臂只决定增益。
三个频段：
- f\ll f_c：C_f 近似开路，H\approx-R_f/R_1，纯反相放大；
- f=f_c：|H|=|H_0|/\sqrt{2}，相位 -45^{\circ}（相对反相）；
- f\gg f_c：C_f 主导，|H|\approx1/(2\pi fR_1C_f)，以 -20\ \text{dB}/十倍频程下降。
3.2 反相一阶高通
把输入臂的电阻换成"R_1 串 C"，反馈臂只留 R_f：
Z_{in}=R_1+\frac{1}{sC},\qquad H(s)=-\frac{R_f}{R_1+\dfrac{1}{sC}}=-\frac{R_f}{R_1}\cdot\frac{sR_1C}{1+sR_1C}H_0(\text{高频})=-\frac{R_f}{R_1},\qquad f_c=\frac{1}{2\pi R_1C},\qquad H(0)=0- f\ll f_c：C 近似开路，信号进不来，|H|\approx2\pi fR_fC（R_f=R_1 时才等于 2\pi fR_1C），以 +20\ \text{dB}/十倍频程上升；
- f\gg f_c：C 近似短路，H\approx-R_f/R_1；
- f=f_c：-3\ \text{dB}，相位 +45^{\circ}（相对反相）。
高通天然隔直（H(0)=0），所以常用来做交流耦合放大级——它同时解决了"隔断直流"和"滤掉低频干扰"两件事。但注意：一阶高通对 50 Hz 的抑制能力有限，第 4.2 节会算出只有 -26\ \text{dB}。
两种滤波器的归一化幅频（横轴 f/f_c）：
图里两条一阶曲线在 f_c 处相交于 -3.01\ \text{dB}，斜率分别是 \mp20\ \text{dB}/十倍频程；二阶曲线在 f_c 处也是 -3.01\ \text{dB}（巴特沃斯），但过了 f_c 立刻变成 -40\ \text{dB}/十倍频程，100f_c 处已经是 -80\ \text{dB}。
3.3 同相结构：把增益与 f_c 解耦
最简单的解耦办法是"RC + 跟随器"：RC 低通的传递函数仍是
H(s)=\frac{1}{1+sRC},\qquad f_c=\frac{1}{2\pi RC}跟随器的输入阻抗极高、输出阻抗极低，所以后级怎么变都不影响 RC 节点。要增益，就把跟随器换成同相放大器（R_1 下端接参考地、R_f 从输出接回反相端）：
H(s)=\frac{1+R_f/R_1}{1+sRC},\qquad f_c=\frac{1}{2\pi RC}增益只由 R_f/R_1 决定，f_c 只由 R、C 决定，两者正交。 代价是多一只运放（或至少多两只电阻）与一个高阻节点——RC 节点对寄生电容敏感，而且单电源下该节点的直流电平必须落在 ICMR 内。
3.4 为什么需要二阶：滚降速率与通带代价
| 阶数 | 阻带斜率 | f_c 后 1 个十倍频程 | 2 个十倍频程 | 3 个十倍频程 |
|---|---|---|---|---|
| 一阶 | -20\ \text{dB}/dec | -20\ \text{dB} | -40\ \text{dB} | -60\ \text{dB} |
| 二阶 | -40\ \text{dB}/dec | -40\ \text{dB} | -80\ \text{dB} | -120\ \text{dB} |
| 三阶 | -60\ \text{dB}/dec | -60\ \text{dB} | -120\ \text{dB} | -180\ \text{dB} |
"为什么需要二阶"的定量回答，不是"更陡"，而是"同样抑制下通带更宽"。 回到场景三：10 kHz 信号带宽、1 MHz 处要 60 dB 抑制。
- 一阶：60\ \text{dB}=20\lg(f/f_c) → f/f_c=1000 → f_c=1\ \text{kHz}。10 kHz 处衰减 20\lg(1/\sqrt{1+10^2})=-20.04\ \text{dB}，信号只剩 9.95%。
- 二阶（巴特沃斯）：60\ \text{dB}=40\lg(f/f_c) → f/f_c=31.6 → f_c=31.6\ \text{kHz}。10 kHz 处 |H|=1/\sqrt{1+(10/31.6)^4}=0.9950，-0.043\ \text{dB}；1 MHz 处 |H|\approx(f_c/f)^2=1/1000，-60.0\ \text{dB}。
同样的 60 dB 抑制，一阶方案让 10 kHz 的信号只剩 9.95%，二阶方案还剩 99.5%——幅度正好差 10 倍。
二阶的另一条实现路径是"两级一阶级联"。两级相同的一阶（级间用跟随器缓冲）幅频是
|H(f)|=\frac{1}{1+(f/f_c)^2}在 f=f_c 处是 0.5（-6.02\ \text{dB}），所以 -3\ \text{dB} 点要往低频挪：
\frac{1}{1+(f/f_c)^2}=\frac{1}{\sqrt{2}}\ \Rightarrow\ \left(\frac{f}{f_c}\right)^2=\sqrt{2}-1\ \Rightarrow\ f_{-3\text{dB}}=0.6436f_c两个相同的极点给出 Q=0.5 的过阻尼响应，没有鼓包、群时延平稳，但过渡带比巴特沃斯稍慢，而且 -3\ \text{dB} 点要按 0.6436 修正（两级各 f_c=31.6\ \text{kHz} 时，整体 -3\ \text{dB} 落在 0.6436\times31.6=20.3\ \text{kHz}）。
3.5 三种响应类型：一句话差异
同样二阶，极点的位置（也就是 Q 值）决定通带边缘的形状：
| 响应 | 一句话差异 | 二阶 Q | 适用 |
|---|---|---|---|
| 巴特沃斯（Butterworth） | 通带最平、无鼓包，过渡带居中 | 0.7071 | 通用测量、抗混叠，默认选它 |
| 切比雪夫（Chebyshev） | 通带内有等幅纹波，换来更陡的过渡带 | 0.86（0.5 dB 纹波）～0.96（1 dB 纹波） | 对陡度敏感、允许通带波动 |
| 贝塞尔（Bessel） | 群时延最平、方波过冲最小，过渡带最慢 | 0.577 | 脉冲/方波、图像与数据采集 |
判据：看波形保真 → 贝塞尔；看幅频平坦 → 巴特沃斯；看"同样的阶数能不能再陡一点" → 切比雪夫。三者的 -3\ \text{dB} 定义略有差别（切比雪夫常用纹波带宽），做设计时要统一口径。二阶的具体实现（Sallen-Key、MFB、Q 与增益的关系）见二阶滤波器 Sallen-Key 与 Q 值。
3.6 有源滤波的代价：GBW 与噪声
（1）GBW 预算。 滤波器不是"理想运放 + RC"，运放自身的极点会叠加到闭环响应上。判据是在 f_c 处的环路增益：
|T(f_c)|=|A_{OL}(f_c)|\cdot|\beta(f_c)|\approx\frac{GBW}{f_c}\cdot|\beta(f_c)|一阶反相低通的 \beta 在 f_c 处有一个零点（C_f 让 Z_f 下降，\beta 反而上升），以 R_1=R_f 为例：
Z_f(f_c)=\frac{R_f}{1+j}=0.7071R_f\angle-45^{\circ},\qquad \beta=\frac{R_1}{R_1+Z_f}=0.6325\angle+18.4^{\circ}低频时 \beta=0.5，在 f_c 处升到 0.6325（高 26%），并且带 18.4^{\circ} 相位超前——这个零点对稳定性是好事，也让实际误差比"按低频 \beta 估算"更小。
以 GBW=1\ \text{MHz}、f_c=10.105\ \text{kHz} 为例：
|A_{OL}(f_c)|=\frac{GBW}{f_c}=\frac{10^6}{10105}=98.96,\qquad |T(f_c)|=98.96\times0.6325=62.6闭环增益相对理想值的误差，最坏不超过 1/|T|（当 1/T 与 1 同相时取到上界）：
\left|\frac{T}{1+T}\right|-1=\frac{1}{\left|1+\dfrac{1}{T}\right|}-1\ \ge\ -\frac{1}{|T|}=-\frac{1}{62.6}=-1.6\%要压到 1% 以内，需要 |T|\ge100，即 GBW\ge100f_c/0.6325\approx1.6\ \text{MHz}。保守规则：GBW\ge100\cdot(1/\beta)\cdot f_c，对增益 10 倍的版本（1/\beta=11）就是 GBW\ge11.1\ \text{MHz}。
这个上界是保守的。 在 f_c 处 T 的相位是 -90^{\circ}+18.4^{\circ}=-71.6^{\circ}，1/T 主要落在虚轴上，与 1 的实部叠加很少：
\left|1+\frac{1}{T}\right|=\left|1+0.0160\angle+71.6^{\circ}\right|=1.0052\ \Rightarrow\ \left|\frac{T}{1+T}\right|=0.9949实际误差只有 -0.51\%，不到上界的三分之一。上界与实际的差距，就是相位在误差预算里的价值——这也是为什么工程上可以接受 |T| 只有几十的滤波器。
| GBW | \lvert T(f_c)\rvert | 误差上界 1/\lvert T\rvert | 实际误差 |
|---|---|---|---|
| 1 MHz | 62.6 | 1.60% | -0.51\% |
| 2 MHz | 125 | 0.80% | -0.25\% |
| 10 MHz | 626 | 0.16% | -0.05\% |
（2）噪声。 反馈网络的热噪声密度 \sqrt{4kTR}，R_{eq}=R_1\parallel R_f=5.25\ \text{k}\Omega 时
e_n=\sqrt{4\times1.381\times10^{-23}\times300\times5250}=9.33\ \text{nV}/\sqrt{\text{Hz}}一阶滤波器的噪声带宽是 (\pi/2)f_c=1.571\times10105=15.9\ \text{kHz}，噪声增益 2：
V_{n,out}=9.33\ \text{nV}/\sqrt{\text{Hz}}\times2\times\sqrt{15900}=2.35\ \mu\text{V}_{\text{RMS}}运放自身的 10\ \text{nV}/\sqrt{\text{Hz}} 贡献 2.52\ \mu\text{V}_{\text{RMS}}，合成约 3.4\ \mu\text{V}_{\text{RMS}}。对 12 位 5 V ADC（1 LSB =1.22\ \text{mV}）只有千分之三 LSB——一阶有源滤波的噪声通常不是主要矛盾；真正要担心的是 R 取到 MΩ 级（噪声 \propto\sqrt{R}）或增益高、带宽宽的时候。
3.7 适用条件与失效边界
- 负反馈必须闭合，输出在线性区，|T|\gg1。 三条缺一条，f_c 与增益都不再按公式走。
- f_c 必须远低于运放的闭环带宽。 判据是第 3.6 节的 |T(f_c)|\ge100；否则实际 -3\ \text{dB} 点会左移、通带内出现额外衰减。
- 电容必须是"稳定电容"。 C0G/NP0 或薄膜；高 K 陶瓷（X7R/Y5V）的容值随直流偏压与温度显著变化，f_c 会跟着漂。
- 源内阻要远小于 R_1。 否则 f_c 与增益都被源内阻改写（反相型的输入阻抗就是 R_1）。
- 负载不能破坏反馈。 有源滤波器的输出阻抗低，但容性负载会吃相位裕度；重容性负载要串隔离电阻（见稳定性：伯德图、相位裕度与补偿）。
- 阶数不能解决通带内的干扰。 这是本章最重要的一条失效边界：低通挡不住比 f_c 低的干扰，高通挡不住比 f_c 高的干扰。
4. 典型计算
4.1 算例一：设计 f_c=10\ \text{kHz} 的一阶低通
需求：反相一阶低通，通带增益 -1（0 dB），f_c=10\ \text{kHz}，用 E96 电阻与 C0G 电容；求实际 f_c、50 Hz 与 1 MHz 处的衰减，并说明 50 Hz 工频为什么滤不掉。
第 1 步：先定电容，再反算电阻。 电容的标准值比电阻稀疏，工程上习惯先定 C。取 C_f=1.5\ \text{nF}（C0G，E96 有 1.50）：
R_f=\frac{1}{2\pi f_cC_f}=\frac{1}{2\pi\times10^4\times1.5\times10^{-9}}=10.61\ \text{k}\Omega取 E96 值 R_f=10.5\ \text{k}\Omega。增益 -1 要求 R_1=R_f=10.5\ \text{k}\Omega。
第 2 步：实际截止频率。
f_c=\frac{1}{2\pi\times10500\times1.5\times10^{-9}}=\frac{1}{9.896\times10^{-5}}=10\,105\ \text{Hz}相对 10 kHz 偏高 1.05\%，来源是 E96 取整（本该 10.61 kΩ，取了 10.5 kΩ）。若把 C_f 换成 1.58 nF、R_f 保持 10.0 kΩ，f_c=10\,073\ \text{Hz}（+0.73\%），差别不大。
第 3 步：通带与 f_c 处的增益。
|H(0)|=\frac{R_f}{R_1}=1.000\ (0\ \text{dB}),\qquad |H(f_c)|=\frac{1}{\sqrt{2}}=0.7071\ (-3.01\ \text{dB})第 4 步：50 Hz 处的衰减。
\frac{f}{f_c}=\frac{50}{10105}=4.948\times10^{-3},\qquad |H|=\frac{1}{\sqrt{1+(4.948\times10^{-3})^2}}=0.999987820\lg(0.9999878)=-0.000106\ \text{dB}1 V 的 50 Hz 干扰经过这只滤波器后是 0.99999 V。 这不是"衰减得不够多"，而是"50 Hz 根本不在阻带里"。
第 5 步：1 MHz 处的衰减。
\frac{f}{f_c}=\frac{10^6}{10105}=98.96,\qquad |H|=\frac{1}{\sqrt{1+98.96^2}}=0.01010520\lg(0.010105)=-39.91\ \text{dB}从 f_c 到 1 MHz 是 98.96 倍（不是整 100 倍），所以理论值是 20\lg(98.96)=-39.91\ \text{dB}；渐近线与精确值在 1 MHz 处的差别只有约 0.001\ \text{dB}，可以忽略。
| 频率 | f/f_c | \lvert H\rvert | 衰减 |
|---|---|---|---|
| 50 Hz | 0.00495 | 0.99999 | -0.0001\ \text{dB} |
| 1 kHz | 0.0990 | 0.9951 | -0.042\ \text{dB} |
| 10 kHz | 0.990 | 0.7108 | -2.97\ \text{dB} |
| 10.105 kHz | 1.000 | 0.7071 | -3.01\ \text{dB} |
| 100 kHz | 9.90 | 0.1005 | -19.95\ \text{dB} |
| 1 MHz | 98.96 | 0.01011 | -39.91\ \text{dB} |
第 6 步：关于"工频干扰需要二阶或更高"的辨析。 这个说法只在特定语境下成立，必须分清两种情况：
- 50 Hz 落在低通通带内（本例）。 它比 f_c 低 200 倍，低通对它没有定义上的抑制能力。换成二阶巴特沃斯低通，50 Hz 处是 1/\sqrt{1+(50/10105)^4}，与 1 的差在 10^{-10} 量级，衰减约 -3\times10^{-9}\ \text{dB}——比一阶更接近 0 dB。提高阶数在任何情况下都不会把通带内的干扰滤掉。
- 用高通/带阻去挡 50 Hz。 这时阶数才有意义：一阶高通 f_c=1\ \text{kHz} 在 50 Hz 处给 -26.1\ \text{dB}（第 4.2 节），二阶给 -52.2\ \text{dB}。"要 40 dB 以上的工频抑制，一阶高通不够，需要二阶或陷波器"——这句话是对的，但它说的是高通，不是低通。
要真正解决通带内的工频干扰，工程手段是：仪表放大器/差分传输把共模干扰转成共模（被 CMRR 抑制）、双绞屏蔽线、共模扼流圈、50 Hz 陷波器（窄带，对元件容差敏感）、或者干脆同步采样让 50 Hz 落在 ADC 的零点上。滤波器只在干扰频率落在阻带时才是有效手段。
4.2 算例二：一阶高通抑制 50 Hz 工频
需求：保留 1 kHz 以上信号，抑制 50 Hz 工频，至少 20 dB。
第 1 步：定 f_c=1\ \text{kHz}。 取 C=100\ \text{nF}（薄膜），则
R_1=\frac{1}{2\pi\times10^3\times100\times10^{-9}}=1591.5\ \Omega\ \rightarrow\ \text{E96 }1.58\ \text{k}\Omega实际
f_c=\frac{1}{2\pi\times1580\times100\times10^{-9}}=1007.3\ \text{Hz}第 2 步：50 Hz 处的衰减。
\frac{f}{f_c}=\frac{50}{1007.3}=0.04964,\qquad |H|=\frac{0.04964}{\sqrt{1+0.04964^2}}=0.0495820\lg(0.04958)=-26.09\ \text{dB}1 V 的工频干扰剩 49.6 mV。满足 20 dB 的要求，但不满足"干净"的要求：对 12 位 5 V ADC（1 LSB =1.22\ \text{mV}），49.6 mV 相当于 41 个 LSB。
第 3 步：二阶呢？ 二阶巴特沃斯高通在 50 Hz 处近似
|H|\approx\left(\frac{f}{f_c}\right)^2=0.04964^2=2.464\times10^{-3},\qquad 20\lg(2.464\times10^{-3})=-52.19\ \text{dB}1 V 剩 2.46 mV，约 2 个 LSB。从 -26\ \text{dB} 到 -52\ \text{dB}，这就是"工频抑制需要二阶"的真实含义：它说的是高通/带阻的阶数，不是低通的阶数。
第 4 步：陷波器。 50 Hz 陷波器能在 50 Hz 处给 -40\ \text{dB} 以上，但只在极窄的带内有效，且对 R、C 的匹配极敏感（失配 1% 时陷波深度可能只剩 -30\ \text{dB}，典型量级，实测为准）。它适合"已知干扰是单频"的场合，不适合抑制宽带低频噪声。
4.3 算例三：无源 RC 带负载的定量代价
已知：无源 RC 低通 R=10\ \text{k}\Omega、C=1.5\ \text{nF}，后级输入阻抗 R_L=10\ \text{k}\Omega。
第 1 步：空载。 f_c=1/(2\pi\times10^4\times1.5\times10^{-9})=10.61\ \text{kHz}，通带增益 1。
第 2 步：带载的传递函数。 负载与电容并联：
Z_L=R_L\parallel\frac{1}{sC}=\frac{R_L}{1+sR_LC},\qquad H(s)=\frac{Z_L}{R+Z_L}=\frac{R_L}{R+R_L+sRR_LC}整理成标准形式：
H(s)=\frac{\dfrac{R_L}{R+R_L}}{1+s(R\parallel R_L)C}第 3 步：两个指标同时变。
H(0)=\frac{10}{10+10}=0.500\ (-6.02\ \text{dB}),\qquad (R\parallel R_L)=5.00\ \text{k}\Omegaf_c'=\frac{1}{2\pi\times5000\times1.5\times10^{-9}}=21.22\ \text{kHz}增益掉一半、截止频率翻一倍。 更麻烦的是：这两个数都随负载变，负载一换整个滤波器的标定就废了。这就是有源滤波器的核心价值——不是"能放大"，而是"把 RC 网络与负载隔离"。
4.4 算例四：容差与 GBW 预算
（1）f_c 的容差。
\frac{\Delta f_c}{f_c}=-\left(\frac{\Delta R}{R}+\frac{\Delta C}{C}\right)1% 电阻 + 5% 电容：最坏 6\%，均方根 \sqrt{1^2+5^2}=5.1\%。10 kHz 的滤波器最坏偏到 10.6 kHz 或 9.4 kHz。要 1% 的 f_c 精度，R 与 C 都要 1% 级——1% 薄膜电容比 1% 电阻贵得多，所以高精度截止频率通常靠"电阻可调"或"出厂校准"实现。
（2）GBW 预算（接 3.6 节）。 增益 -1 时 1/\beta=2，f_c=10.1\ \text{kHz}：
GBW\ge100\times2\times10.1\ \text{kHz}=2.02\ \text{MHz}增益 -10 时（R_f=105\ \text{k}\Omega、R_1=10.5\ \text{k}\Omega、C_f=150\ \text{pF} 保持 f_c 不变）：1/\beta=11，
GBW\ge100\times11\times10.1\ \text{kHz}=11.1\ \text{MHz}同样的 f_c，增益每提高 10 倍，对运放带宽的要求也提高 10 倍。 这是"有源滤波的增益不是免费的"的定量版本：增益吃的是环路增益，而环路增益就是带宽。
5. 工程含义
5.1 数量级表
| 量 | 典型范围 | 备注 |
|---|---|---|
| f_c | 1\ \text{Hz}\sim1\ \text{MHz} | 高于 1 MHz 时寄生电容开始主导 |
| R（一阶） | 1\ \text{k}\Omega\sim100\ \text{k}\Omega | 太小信号源负担重，太大噪声与偏置误差大 |
| C | 100\ \text{pF}\sim10\ \mu\text{F} | 小于 100 pF 时杂散电容占比大 |
| R_f/R_1 | 0.1\sim100 | 单级增益建议不超过 100 |
| \lvert T(f_c)\rvert | \ge100 | 幅度误差 ≤1% |
| 电容容差 | C0G \pm1\%\sim\pm5\% | 决定 f_c 精度 |
| 电阻容差 | 0.1%~1% | 与电容容差 RSS 合成 |
| 输出噪声 | \mu\text{V} 级（R 为 kΩ 级时） | R 到 MΩ 级时升到几十 µV |
5.2 有源还是无源：一张选择表
| 需求 | 无源 RC | 有源（运放 + RC） |
|---|---|---|
| 后级输入阻抗高、负载固定 | 够用，最省 | 没必要 |
| 后级输入阻抗低或会变 | 增益与 f_c 都会变 | 必须用 |
| 需要通带增益 >1 | 做不到 | 可以 |
| 需要独立调增益与 f_c | 做不到 | 同相/缓冲结构可以 |
| 需要二阶以上 | 级间必须缓冲 | 天然支持级联 |
| 电源受限、不能加运放 | 只能用无源 | 不适用 |
| 极低噪声 | 只有电阻热噪声 | 多一份运放噪声 |
| 高频（>10 MHz） | 可以 | 运放带宽不够，通常回到无源 |
5.3 增益与 f_c 的耦合：一个常见的设计陷阱
反相型一阶低通的通带增益和截止频率都含 R_f：
H_0=-\frac{R_f}{R_1},\qquad f_c=\frac{1}{2\pi R_fC_f}想把增益从 -1 改成 -10，把 R_f 从 10.5 kΩ 改成 105 kΩ，f_c 立刻从 10.1 kHz 掉到 1.01 kHz。要同时保持 f_c，必须把 C_f 同比例减小（1.5 nF → 150 pF），而 150 pF 已经接近杂散电容的量级（几 pF），f_c 的精度开始受布局影响。
同相/缓冲结构没有这个问题：f_c=1/(2\pi RC) 只含 RC，增益只含 R_f/R_1，改增益不动 f_c。这就是为什么"增益可调、截止频率固定"的仪器前端几乎都用同相结构。
5.4 单电源与偏置
单电源下交流信号必须抬到 V_{CC}/2 才能双向摆动：
- 缓冲/同相结构：RC 节点的直流电平由偏置网络决定，必须落在运放的输入共模范围内；输出经耦合电容送后级，或直接以 V_{CC}/2 为参考送 ADC。
- 反相结构：同相端偏置到 V_{ref}，输入输出都交流耦合，反相端的"虚地"变成 V_{ref}。
- 耦合电容与 R 形成高通，截止频率 1/(2\pi RC) 要低于最低信号频率的 1/10，否则它自己会把低频信号削掉。
细节见单电源电路与电平偏置搬移。
5.5 布局与噪声
- RC 节点是高阻节点，走线要短，周围不要有快速翻转的数字线；必要时加保护环或用地线包围。
- 反馈电容紧靠运放，减小反馈回路的寄生电感与拾取面积。
- 电源退耦：每个电源脚就近 100 nF；退耦不良表现为输出高频毛刺，容易被误判为"滤波器没滤干净"。
- 地回流：滤波器输入地、输出地、电源地单点汇合，避免负载电流在输入参考地上产生压降。
5.6 模型什么时候不够用
- f_c 接近运放闭环带宽：幅频与相位都偏离一阶模型，-3\ \text{dB} 点左移。
- 大信号：压摆率与输出摆幅限制高频大信号，滤波器的"线性"假设失效。
- 容性负载：输出阻抗与 C_L 形成第二极点，可能振铃。
- 精密直流：失调、偏置电流、1/f 噪声进入预算；一阶滤波器对直流没有抑制。
- 温度与老化：R、C 的温漂直接变成 f_c 漂移，高 K 陶瓷的电压系数还会让 f_c 随信号幅度变。
6. 常见坑
现象：设计了 10 kHz 低通，50 Hz 工频一点没减，换二阶、四阶还是一样。原因：50 Hz 在低通通带内，通带的定义就是"几乎不衰减"；阶数只改变阻带斜率，不改变通带边界。解决：改用高通/陷波抑制 50 Hz；或用差分传输、屏蔽、共模扼流圈从源头解决；低通只负责滤掉 f_c 以上的噪声。
现象：无源 RC 接上后级后，输出幅度掉一半，截止频率也变了。原因：后级输入阻抗与 RC 的电容并联，等效 R 变成 R\parallel R_L，增益与 f_c 同时改变。解决：RC 后加电压跟随器缓冲；或改用同相有源结构；至少要保证 R_L\ge100R。
现象：反相低通把增益从 -1 调到 -10，截止频率跟着掉了 10 倍。原因：f_c=1/(2\pi R_fC_f) 与增益 R_f/R_1 共用 R_f，改增益必然动 f_c。解决：同比例改 C_f（同时注意杂散电容占比），或改用同相/缓冲结构把两者解耦。
现象：电容换了料号后，截止频率随温度、随信号幅度明显漂移。原因：用了 X7R/Y5V 等高 K 陶瓷，容值随直流偏压与温度显著变化；电解电容还有极性与老化问题。解决：改用 C0G/NP0 或薄膜电容；f_c 精度要求高时 R、C 都用 1% 级。
现象：按公式设计的 10 kHz 低通，实测 -3\ \text{dB} 点在 8 kHz 附近，通带内还多了 1 dB 衰减。原因：运放 GBW 不够，f_c 处 |T| 只有几十，闭环增益误差与相位滞后把 -3\ \text{dB} 点往低频推。解决：按 GBW\ge100(1/\beta)f_c 选运放；或降低 f_c、降低增益、改用更高 GBW 的器件。
现象：单电源 5 V 供电的一阶低通，输入正弦波的下半周被削平。原因：输出需要负摆幅，但单电源没有负轨，同相端又接地，静态点就是 0 V。解决：同相端（或缓冲结构的 RC 节点）偏置到 V_{CC}/2，输入输出交流耦合，耦合电容的截止频率要低于最低信号频率的 1/10。
现象：电位器调 f_c 时，旋到某一端滤波突然失效、输出满幅噪声。原因：电位器调到 0 时 R\to0，f_c\to\infty，RC 节点近似短路，滤波消失。解决：电位器串一只最小固定电阻限位（例如 R_{min}=100\ \Omega），把 f_c 上限钳住。
7. 自测题
一阶低通 R_f=10.5\ \text{k}\Omega、C_f=1.5\ \text{nF}，截止频率是多少？1 MHz 处比通带低多少 dB？50 Hz 处呢？
f_c=\frac{1}{2\pi R_fC_f}=\frac{1}{2\pi\times10500\times1.5\times10^{-9}}=10\,105\ \text{Hz}1 MHz 处：
\frac{f}{f_c}=98.96,\qquad |H|=\frac{1}{\sqrt{1+98.96^2}}=0.010105,\qquad 20\lg|H|=-39.91\ \text{dB}50 Hz 处：
|H|=\frac{1}{\sqrt{1+(50/10105)^2}}=0.999988,\qquad 20\lg|H|=-0.0001\ \text{dB}1 MHz 被压了约 40 dB（两个十倍频程 × 20 dB），50 Hz 几乎原样通过——因为它在通带里。
为什么"−3 dB 频率"就是带宽？它对应的电压幅度、功率各是多少？为什么一阶滤波器在 f_c 处的相位是 -45^{\circ}？
-3.01\ \text{dB}=20\lg(1/\sqrt{2})：电压幅度降到通带的 1/\sqrt{2}=0.7071，功率降到 1/2。工程上把功率减半点定义为带宽边界。
相位来自一阶极点 1/(1+jf/f_c)：f=f_c 时分母是 1+j，幅角 45^{\circ}，所以输出滞后 45^{\circ}（反相结构再加 180^{\circ}）。在 0.1f_c 处是 -5.7^{\circ}，在 10f_c 处是 -84.3^{\circ}，两端分别趋于 0^{\circ} 与 -90^{\circ}。
信号带宽 10 kHz，要在 1 MHz 处获得 60 dB 抑制。用一阶和二阶分别怎么取 f_c？10 kHz 处的代价各是多少？
一阶（-20\ \text{dB}/dec）：
60=20\lg\frac{f}{f_c}\ \Rightarrow\ \frac{f}{f_c}=1000\ \Rightarrow\ f_c=1\ \text{kHz}10 kHz 处：20\lg(1/\sqrt{1+10^2})=-20.04\ \text{dB}，信号只剩 9.95%。
二阶（巴特沃斯，-40\ \text{dB}/dec）：
60=40\lg\frac{f}{f_c}\ \Rightarrow\ \frac{f}{f_c}=31.6\ \Rightarrow\ f_c=31.6\ \text{kHz}10 kHz 处：|H|=1/\sqrt{1+(10/31.6)^4}=0.9950，-0.043\ \text{dB}。
同样 60 dB 抑制，一阶让 10 kHz 信号只剩 9.95%，二阶还剩 99.5%——幅度差 10 倍。
无源 RC 低通 R=10\ \text{k}\Omega、C=1.5\ \text{nF}，后接 R_L=10\ \text{k}\Omega 的负载。空载与带载的 f_c、通带增益各是多少？
空载：f_c=1/(2\pi\times10^4\times1.5\times10^{-9})=10.61\ \text{kHz}，增益 1（0 dB）。
带载：R\parallel R_L=5.00\ \text{k}\Omega，
H(0)=\frac{R_L}{R+R_L}=0.500\ (-6.02\ \text{dB}),\qquad f_c'=\frac{1}{2\pi\times5000\times1.5\times10^{-9}}=21.22\ \text{kHz}增益掉 6 dB、截止频率翻倍。 两个指标同时错，而且随负载变化——这就是必须有源缓冲的理由。
一阶有源低通，f_c=10.1\ \text{kHz}、增益 -1、GBW=1 MHz。f_c 处的环路增益是多少？幅度误差多大？要 1% 精度需要多大 GBW？
R_1=R_f 时低频 \beta=0.5，但在 f_c 处反馈电容让 Z_f 下降、\beta 上升：
Z_f(f_c)=0.7071R_f\angle-45^{\circ},\qquad \beta=0.6325\angle+18.4^{\circ}|A_{OL}(f_c)|=\frac{GBW}{f_c}=\frac{10^6}{10105}=98.96,\qquad |T|=98.96\times0.6325=62.6误差上界 1/|T|=1/62.6=1.60\%；由于 1/T 的相位是 +71.6^{\circ}，实际误差约 -0.51\%。要 ≤1% 需 |T|\ge100：
GBW\ge\frac{100f_c}{0.6325}=1.6\ \text{MHz}保守规则 GBW\ge100(1/\beta)f_c=100\times2\times10.1\ \text{kHz}=2.02\ \text{MHz}。
为什么低通滤波器挡不住 50 Hz 工频干扰？什么情况下"提高阶数"才有用？
因为 50 Hz 落在 10 kHz 低通的通带内。通带的定义是"几乎不衰减"：一阶在 50 Hz 处 -0.0001\ \text{dB}，二阶巴特沃斯在 50 Hz 处约 -3\times10^{-9}\ \text{dB}——阶数越高，通带越平，反而更接近 0 dB。阶数只改变阻带斜率，不改变通带边界。
"提高阶数有用"的情况是干扰在阻带里：例如 1 MHz 的开关噪声，一阶 -39.9\ \text{dB}、二阶 -79.8\ \text{dB}；或者用高通/带阻挡 50 Hz，一阶高通 -26.1\ \text{dB}、二阶 -52.2\ \text{dB}。先判断干扰在通带还是阻带，再决定是换类型还是加阶数。
巴特沃斯、切比雪夫、贝塞尔三种响应各适合什么场合？二阶时 Q 值大约是多少？
- 巴特沃斯：通带最平、无鼓包，Q=0.7071，过渡带居中，通用测量与抗混叠的默认选择。
- 切比雪夫：通带内有等幅纹波，换来更陡的过渡带，Q 更高（0.5 dB 纹波时约 0.86，1 dB 时约 0.96），适合对陡度敏感、允许通带波动的场合。
- 贝塞尔：群时延最平、方波过冲最小，Q\approx0.577，过渡带最慢，适合脉冲/方波与数据采集。
判据：保波形选贝塞尔，保幅频平坦选巴特沃斯，要陡度选切比雪夫。具体实现见二阶滤波器 Sallen-Key 与 Q 值。
8. 参考资料
- TI, Op Amps for Everyone（SLOD006B）：Chapter 16 Active Filter Design Techniques 给出一阶/二阶节、巴特沃斯/切比雪夫/贝塞尔三种响应的定义与设计流程；本章 3.4、3.5 节的阶数与响应类型口径与该章一致。Chapter 6 Development of the Non-Ideal Op Amp Equations 给有限 A_{OL} 对闭环响应的修正，本章 3.6 节的 GBW 预算按该章。
- Analog Devices, MT-033 Voltage Feedback Op Amp Gain and Bandwidth：噪声增益、闭环带宽与增益带宽积；本章 3.6 节的 |T(f_c)|=GBW/(Nf_c) 与该文的 f_c=GBW/(1/\beta) 口径一致。https://www.analog.com/media/en/training-seminars/tutorials/MT-033.pdf
- TI, Single-Supply Op-Amp Circuit Collection（SLOA058）：单电源滤波器的偏置与交流耦合；本章 5.4 节的 V_{CC}/2 偏置与耦合电容取值按该文。
- 童诗白、华成英《模拟电子技术基础》：「信号的运算和处理」给有源滤波电路、一阶低通/高通与二阶低通的教材讲法；本章 3.1~3.3 的推导顺序与该书一致。
- Sergio Franco, Design with Operational Amplifiers and Analog Integrated Systems（4th ed.）：有源滤波器部分给一阶节、二阶节与 Q 值的系统推导；本章 3.4 节的级联 -3\ \text{dB} 修正（0.6436）与该书口径一致。
- Analog Devices, MT-035 Op Amp Inputs, Outputs, Single-Supply & Rail-to-Rail Issues：输入共模范围与输出摆幅边界；本章 5.4 节单电源 RC 节点的 ICMR 讨论按该文。https://www.analog.com/media/en/training-seminars/tutorials/MT-035.pdf