阻抗与导纳 Impedance & Admittance
直流里只有电阻 R，欧姆定律与焦耳定律写成 I=V/R 就够了。但把 0.1µF 电容接到 50Hz 市电上，它几乎是开路（容抗 31.8kΩ）；同一颗电容接到 100MHz 的噪声上，它几乎是短路（容抗 0.016Ω）。同一个元件，阻碍作用差了两百万倍——阻碍不是常数，而是频率的函数。
把这些随频率变化的阻碍统一成一个量，就是阻抗（Impedance）。它在复数域里写成 Z=R+jX，实部消耗功率、虚部来回交换能量。有了它，交流电路就能套用欧姆定律的形式：\dot V=Z\dot I。这一章讲清三件事：j\omega 是怎么从微分方程里长出来的、串联并联分压怎么在复数上做、以及为什么"用万用表量电阻"量不出阻抗。
1. 设计动机
场景一：去耦电容到底在滤什么。 0.1µF 的陶瓷电容在 50Hz 下的容抗是 31.8kΩ，对电源纹波几乎没作用；但在 10MHz 下容抗只有 0.159Ω，噪声被它旁路到地。如果不知道阻抗随频率变，"加个电容就好了"和"加了没用"都无法解释。
场景二：耦合电容的低频截止。 一级音频放大器的输入耦合电容取 1µF、后级输入阻抗 10kΩ。20Hz 时容抗 7.96kΩ，与 10kΩ 分压后幅度只剩 78%，低频掉了 2.1dB；50Hz 时也只恢复到 95.3%。电容"够大"是相对负载阻抗而言的，而这个判断只能靠阻抗算。
场景三：示波器探头一接上，电路就变了。 10× 探头是 10MΩ 并联约 15pF。测一个 1MΩ 源阻抗的分压器，直流时读数已经偏低 4.8%；到 100kHz，15pF 的容抗只有 106kΩ，读数偏低 82.5%。探头不是"透明的"，它自己就是一个阻抗负载。
这三个场景的共同点是：电路在直流下算对了，不等于在交流下对。直流只问"阻值多少"，交流要问"在什么频率下、阻抗多大、相位差多少"。后者才是工程中真正会遇到的问题。
| 你想解决 | 先算 | 判据 |
|---|---|---|
| 耦合/旁路电容取多大 | X_C=1/(2\pi fC) | X_C 相对负载阻抗足够小（如 ≤1%） |
| 电感/磁珠选多大 | X_L=2\pi fL | 在工作频段内 X_L 远大于串联阻抗 |
| 分压/衰减网络准不准 | V_{out}=V_{in}Z_2/(Z_1+Z_2) | 复数分压后取模，别只算实部 |
| 谐振点在哪、危险吗 | f_0=1/(2\pi\sqrt{LC}) | 串联谐振阻抗最小，并联谐振阻抗最大 |
| 测量结果可不可信 | 探头/表笔输入阻抗 | 输入阻抗 ≥ 被测阻抗的 10 倍（经验值） |
不懂会在哪摔跤，具体是这四条：
- 把电容当成"隔直通交"的开关，忘了它只在足够高的频率下才是低阻抗，结果低频增益掉一半。
- 算交流电流时只拿电阻 R 去除电压，忽略了电抗，算出的电流比实际大几倍。
- 并联支路直接把两个阻抗相加，得到完全错误的等效阻抗。
- 去耦电容按容值选，不看自谐振频率，在需要滤波的频段上它其实已经是电感。
2. 定义与直观：复数阻抗与相量域欧姆定律
2.1 从"阻碍电流"到复数
阻抗（Impedance）定义为正弦稳态下，元件两端电压相量与电流相量之比：
Z=\frac{\dot V}{\dot I}=R+jX符号与单位：
- Z：阻抗，\Omega；
- R：电阻（实部），\Omega，消耗有功功率；
- X：电抗（虚部），\Omega，不消耗平均功率；
- j：虚数单位，j^2=-1（电气工程用 j 而不用 i，避免与电流混淆）。
阻抗有两种等价写法：直角坐标 Z=R+jX 便于加减（串联），极坐标 Z=\lvert Z\rvert\angle\varphi 便于乘除（分压、并联）。两者互换：
\lvert Z\rvert=\sqrt{R^2+X^2},\qquad \varphi=\arctan\frac{X}{R}其中 \lvert Z\rvert 是阻抗模，\Omega；\varphi 是阻抗角，也就是电压超前电流的角度，度或 rad。X>0 为感性（电压超前电流），X<0 为容性（电流超前电压）。
导纳（Admittance）是阻抗的倒数：
Y=\frac{1}{Z}=G+jB其中 Y 是导纳，单位西门子（S）；G 是电导，S；B 是电纳，S。并联电路用导纳相加最省事，这一点在 §3.2 会看到具体差别。
2.2 感抗与容抗的来历：从微分方程到 j\omega
阻抗不是定义出来的，是从元件的微分方程推出来的。电感的方程是 v=L\,di/dt。设电流为正弦：
i(t)=I_p\sin(\omega t+\varphi_i)求导得
\frac{di}{dt}=\omega I_p\cos(\omega t+\varphi_i)=\omega I_p\sin(\omega t+\varphi_i+90^{\circ})代回 v=L\,di/dt：
v(t)=\omega L I_p\sin(\omega t+\varphi_i+90^{\circ})对比可见两件事：幅值放大了 \omega L 倍，相位提前了 90°。用相量写（相量与正弦量一一对应），幅值比是 \omega L、相位是 +90^{\circ}，而 e^{j90^{\circ}}=j，所以
Z_L=\frac{\dot V}{\dot I}=j\omega L电感的"阻碍"与频率成正比：频率越高，电流变化越快，反电动势越大。
电容的方程是 i=C\,dv/dt。设 v(t)=V_p\sin(\omega t+\varphi_v)，同样求导得 i=\omega C V_p\sin(\omega t+\varphi_v+90^{\circ})，所以
Z_C=\frac{\dot V}{\dot I}=\frac{1}{j\omega C}=\frac{-j}{\omega C}电容的"阻碍"与频率成反比：频率越高，同样的 dv/dt 需要更大的电流，等效阻碍越小。1/j=-j 把相位翻到 -90^{\circ}，正好对应"电流超前电压 90°"。
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对正弦稳态，所有电压电流都是 e^{j\omega t} 的倍数：v(t)=\mathrm{Re}[\dot V e^{j\omega t}]。对它求导：
\frac{d}{dt}\left(\dot V e^{j\omega t}\right)=j\omega\,\dot V e^{j\omega t}也就是说，在相量域里，微分算子 d/dt 就是乘 j\omega。于是 v=L\,di/dt 变成 \dot V=j\omega L\dot I，i=C\,dv/dt 变成 \dot I=j\omega C\dot V，微分方程退化成了代数方程——这正是相量法的全部价值。
这条替换有两个前提：线性时不变与正弦稳态。瞬态过程（上电、开关动作）里 e^{j\omega t} 的假设不成立，要回到拉普拉斯域用 s 代替 j\omega，或者直接解时域微分方程；非正弦周期信号要先分解成各次谐波，再对每个频率分别用阻抗计算。复数运算的入门见数学基础：复数、dB 与拉氏变换直觉。
2.3 幅频与相频：一张图看全
阻抗随频率变化的规律，可以画成两条曲线：幅频特性 \lvert Z\rvert 对 f，相频特性 \varphi 对 f。对 RLC 串联支路（R=100\,\Omega、L=10 mH、C=1 µF）：
- 低频区（f\ll f_0）：容抗 1/(\omega C) 主导，\lvert Z\rvert 随频率下降，\varphi\to-90^{\circ}；
- 谐振点（f=f_0）：感抗与容抗相等、互相抵消，\lvert Z\rvert=R 取最小值，\varphi=0；
- 高频区（f\gg f_0）：感抗 \omega L 主导，\lvert Z\rvert 随频率上升，\varphi\to+90^{\circ}。
在双对数坐标上，低频段是一条斜率 -20 dB/十倍频的直线，高频段是 +20 dB/十倍频的直线，两条直线的交点就是谐振点。这个"两段直线 + 一个拐点"的图像，比记公式有用得多。
3. 定量关系：串并联、分压与谐振
3.1 公式、符号与单位
| 关系 | 公式 | 符号与单位 | 适用条件 |
|---|---|---|---|
| 电阻 | Z_R=R | \Omega | 理想电阻，忽略寄生 |
| 电感 | Z_L=j\omega L | L 单位 H | 线性电感，忽略匝间电容 |
| 电容 | Z_C=1/(j\omega C)=-j/(\omega C) | C 单位 F | 线性电容，忽略 ESL |
| 阻抗模与角 | \lvert Z\rvert=\sqrt{R^2+X^2}，\varphi=\arctan(X/R) | \Omega、度 | 串联等效 |
| 串联 | Z=\sum Z_k | \Omega | 同一电流 |
| 并联 | Y=\sum Y_k，Y=1/Z | S | 同一电压 |
| 分压 | \dot V_{out}=\dot V_{in}\dfrac{Z_2}{Z_1+Z_2} | V | 无负载效应 |
| 欧姆定律（相量） | \dot I=\dot V/Z | A | 正弦稳态 |
| 谐振频率 | f_0=\dfrac{1}{2\pi\sqrt{LC}} | Hz | 理想 L、C |
| 品质因数（串联） | Q=\dfrac{1}{R}\sqrt{\dfrac{L}{C}} | 无量纲 | R 为回路总电阻 |
| 通频带 | BW=f_0/Q | Hz | 单谐振回路 |
把 RLC 三种元件的幅值与相位集中成一张表，做题时直接查：
| 元件 | 阻抗 Z | 幅值 \lvert Z\rvert | 相位 \varphi | 频率趋势 |
|---|---|---|---|---|
| 电阻 | R | R | 0^{\circ} | 与频率无关 |
| 电感 | j\omega L | \omega L | +90^{\circ} | 随频率线性上升 |
| 电容 | -j/(\omega C) | 1/(\omega C) | -90^{\circ} | 随频率反比下降 |
| 串联 RLC | R+j(\omega L-1/\omega C) | \sqrt{R^2+(\omega L-1/\omega C)^2} | \arctan\dfrac{\omega L-1/\omega C}{R} | 先降后升 |
3.2 串联、并联与分压
串联：电流相同，电压相加，所以阻抗直接相加：
Z_{series}=Z_1+Z_2+\cdots并联：电压相同，电流相加，所以导纳相加：
Y_{parallel}=Y_1+Y_2+\cdots\qquad\Longleftrightarrow\qquad Z_{parallel}=\frac{1}{\frac{1}{Z_1}+\frac{1}{Z_2}+\cdots}两个阻抗并联时有简便式：
Z_{parallel}=\frac{Z_1Z_2}{Z_1+Z_2}以 R=100\,\Omega 与 C=1 µF 在 1kHz 为例（\omega=6283.2 rad/s，X_C=159.15\,\Omega）：
- 串联：Z=100-j159.15，\lvert Z\rvert=\sqrt{100^2+159.15^2}=187.96\,\Omega，\varphi=\arctan(-159.15/100)=-57.86^{\circ}；
- 并联：Y=1/100+j\omega C=0.01+j0.006283 S，\lvert Y\rvert=\sqrt{0.01^2+0.006283^2}=0.01181 S，\lvert Z\rvert=1/0.01181=84.67\,\Omega，\varphi=-32.14^{\circ}。
同一个电阻、同一个电容，串联得 188Ω，并联得 84.7Ω，差了 2.2 倍。并联不能用阻抗直接相加（那会得到 100-j159 的错误结果，正好是串联值），必须用导纳相加或乘积除以和。
分压是复数的，公式形式与直流相同：
\dot V_{out}=\dot V_{in}\frac{Z_2}{Z_1+Z_2}但结果要分别看模和相位：模决定幅度衰减，相位决定相移。RC 低通的截止频率 f_c=1/(2\pi RC) 就是"\lvert Z_C\rvert=R"那一点，此时 \lvert V_{out}/V_{in}\rvert=1/\sqrt2=-3 dB、相移 -45^{\circ}——这两个数字不是定义出来的，是复数分压代入 X_C=R 的自然结果。
3.3 谐振时的阻抗行为
谐振的定义是感抗与容抗大小相等：
\omega_0L=\frac{1}{\omega_0C}\ \Longrightarrow\ \omega_0=\frac{1}{\sqrt{LC}},\qquad f_0=\frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}对本章的 L=10 mH、C=1 µF：\omega_0=1/\sqrt{10^{-2}\times10^{-6}}=1/10^{-4}=10^4 rad/s，f_0=10^4/2\pi=1591.5 Hz。
串联谐振：Z=R+j(\omega_0L-1/\omega_0C)=R，阻抗最小、电流最大。回路电流 I=V/R，电感与电容上的电压大小相等、方向相反：
V_L=V_C=Q\,V,\qquad Q=\frac{1}{R}\sqrt{\frac{L}{C}}本例 \sqrt{L/C}=\sqrt{10^{-2}/10^{-6}}=100\,\Omega，R=100\,\Omega，所以 Q=1。Q=1 时 V_L=V_C=V；若把 R 换成 10Ω，Q=10，1V 的源会在 L、C 上各产生 10V 电压——元件耐压要按 Q 倍源电压选，不能按源电压选。
并联谐振：理想 LC 并联在 \omega_0 处阻抗无穷大；实际电感有串联损耗 r 时，谐振阻抗是有限值：
Z_{\max}\approx\frac{L}{Cr}=Q^2r=Q\sqrt{\frac{L}{C}}用同一组 L=10 mH、C=1 µF，取 r=10\,\Omega：Q=\omega_0L/r=10^4\times10^{-2}/10=10，Z_{\max}=10^2\times10=1000\,\Omega。精确计算在 \omega_0 处得到 1005\,\Omega\angle-5.7^{\circ}，与近似值 1000Ω 相差 0.5%——近似式在 Q\ge10 时足够用。
对比一下同一组元件的两种接法：串联谐振阻抗 10Ω（最小），并联谐振阻抗约 1000Ω（最大），相差 Q^2=100 倍。这就是"谐振到底是选频还是短路"取决于接法的原因，RLC 电路与谐振会对选频与阻尼展开。
3.4 阻抗与功率
阻抗的实部消耗有功功率，虚部只在电源与储能元件之间往返：
P=I_{rms}^2R=V_{rms}I_{rms}\cos\varphi,\qquad Q=I_{rms}^2X=V_{rms}I_{rms}\sin\varphi,\qquad S=V_{rms}I_{rms}其中 P 是有功功率，W；Q 是无功功率，var；S 是视在功率，VA；\cos\varphi=R/\lvert Z\rvert 是功率因数。注意这里的 Q 是无功功率，与 §3.3 的品质因数是同一个字母、不同的量，靠单位（var 与无量纲）区分。
例：220V/50Hz 接到 Z=100+j75\,\Omega 的负载上。\lvert Z\rvert=\sqrt{100^2+75^2}=125\,\Omega，I=220/125=1.76 A：
P=1.76^2\times100=309.8\ \text{W},\qquad Q=1.76^2\times75=232.3\ \text{var},\qquad S=220\times1.76=387.2\ \text{VA}验算：\sqrt{P^2+Q^2}=\sqrt{309.8^2+232.3^2}=387.2 VA，与 S 一致；\cos\varphi=100/125=0.8，387.2\times0.8=309.8 W 也一致。
这条关系解释了为什么"阻抗角"在电力与电源设计里比"阻抗模"还重要：同样的电压电流，相位差越大，有功越小、线路与器件的电流应力却不变。
3.5 适用条件与失效边界
阻抗这套工具的适用条件必须写清：
- 线性时不变：R、L、C 不随电压电流变。铁芯电感在饱和后电感量骤降，陶瓷电容在直流偏置下容量可掉一半以上（具体以数据手册为准），此时"一个 Z"不再成立。
- 正弦稳态：所有量同频。非正弦要分解成各次谐波，每个频率各算一次再叠加；瞬态要回到时域或 s 域。
- 集总假设：元件尺寸远小于波长（工程判据 l<\lambda/10）。100MHz 时波长 3m，一根 30cm 的导线就不能再当"理想连接"，要按传输线处理。
- 单一工作点：Z 是在某个频率、某个偏置、某个温度下的值。宽频应用要给出阻抗—频率曲线，而不是一个数。
4. 典型计算
4.1 算例一：RLC 串联支路的 \lvert Z\rvert 与相角
电路：R=100\,\Omega、L=10 mH、C=1 µF 串联，源电压 1V（有效值），频率 1kHz。求感抗、容抗、总阻抗、相角、电流与各元件电压。
第一步，感抗：
X_L=2\pi fL=2\pi\times1000\times10\times10^{-3}=62.83\ \Omega第二步，容抗：
X_C=\frac{1}{2\pi fC}=\frac{1}{2\pi\times1000\times10^{-6}}=\frac{1}{6.2832\times10^{-3}}=159.15\ \Omega第三步，净电抗与阻抗：
X=X_L-X_C=62.83-159.15=-96.32\ \OmegaZ=R+jX=100-j96.32\ \Omega,\qquad \lvert Z\rvert=\sqrt{100^2+96.32^2}=\sqrt{10000+9278}=138.85\ \Omega第四步，相角：
\varphi=\arctan\frac{-96.32}{100}=-43.93^{\circ}写成极坐标：Z=138.85\angle-43.93^{\circ}\,\Omega。负角表示电流超前电压，负载呈容性。
第五步，电流（1V 有效值）：
I=\frac{V}{\lvert Z\rvert}=\frac{1}{138.85}=7.202\ \text{mA}相量形式：\dot I=7.202\angle+43.93^{\circ} mA。
第六步，各元件电压：
V_R=IR=7.202\times10^{-3}\times100=0.7202\ \text{V}V_L=IX_L=7.202\times10^{-3}\times62.83=0.4525\ \text{V}V_C=IX_C=7.202\times10^{-3}\times159.15=1.1463\ \text{V}注意 V_C=1.146 V 大于源电压 1V。这不是算错：V_L 与 V_C 相位相反，互相抵消一部分，源电压只需提供它们的差值。
第七步，验算（相量三角形）：
\sqrt{V_R^2+(V_L-V_C)^2}=\sqrt{0.7202^2+(0.4525-1.1463)^2}=\sqrt{0.5187+0.4813}=1.000\ \text{V}与源电压 1V 一致，误差来自舍入（精确值 0.9998）。
第八步，用分贝表示：\lvert Z\rvert=138.85\,\Omega 即 20\lg138.85=42.85 dBΩ。分贝在这里只是把大范围数值压缩，真正有物理意义的还是 \lvert Z\rvert 与 \varphi 两个数。
4.2 算例二：同一条支路在两个频率下的行为对比
问题：同一条 R=100\,\Omega、L=10 mH、C=1 µF 的支路，分别工作在 100Hz 与 10kHz，阻抗、相角、电流有什么不同？谐振点在哪？
100Hz（\omega=628.32 rad/s）：
X_L=2\pi\times100\times0.01=6.283\ \Omega,\qquad X_C=\frac{1}{2\pi\times100\times10^{-6}}=1591.55\ \OmegaX=6.283-1591.55=-1585.27\ \Omega,\qquad \lvert Z\rvert=\sqrt{100^2+1585.27^2}=1588.42\ \Omega\varphi=\arctan\frac{-1585.27}{100}=-86.39^{\circ},\qquad I=\frac{1}{1588.42}=0.6296\ \text{mA}10kHz（\omega=62832 rad/s）：
X_L=2\pi\times10^4\times0.01=628.32\ \Omega,\qquad X_C=\frac{1}{2\pi\times10^4\times10^{-6}}=15.915\ \OmegaX=628.32-15.915=612.40\ \Omega,\qquad \lvert Z\rvert=\sqrt{100^2+612.40^2}=620.51\ \Omega\varphi=\arctan\frac{612.40}{100}=+80.73^{\circ},\qquad I=\frac{1}{620.51}=1.6116\ \text{mA}谐振点：
f_0=\frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}=\frac{1}{2\pi\sqrt{10^{-2}\times10^{-6}}}=\frac{1}{2\pi\times10^{-4}}=1591.5\ \text{Hz}在 f_0 处 X_L=X_C=2\pi\times1591.5\times0.01=100\,\Omega，\lvert Z\rvert=R=100\,\Omega，\varphi=0，I=10 mA。
把这条支路的完整扫描列成表，注意每个数都能用上面的公式复算：
| 频率 | X_L / Ω | X_C / Ω | \lvert Z\rvert / Ω | \varphi | I (1V) / mA |
|---|---|---|---|---|---|
| 100 Hz | 6.28 | 1591.55 | 1588.42 | −86.39° | 0.630 |
| 200 Hz | 12.57 | 795.77 | 789.57 | −82.72° | 1.267 |
| 500 Hz | 31.42 | 318.31 | 303.82 | −70.78° | 3.291 |
| 800 Hz | 50.27 | 198.94 | 179.18 | −56.08° | 5.581 |
| 1 kHz | 62.83 | 159.15 | 138.85 | −43.93° | 7.202 |
| 1.2 kHz | 75.40 | 132.63 | 115.22 | −29.78° | 8.679 |
| 1.5 kHz | 94.25 | 106.10 | 100.70 | −6.76° | 9.931 |
| 1.592 kHz | 100.00 | 100.00 | 100.00 | 0° | 10.000 |
| 1.7 kHz | 106.81 | 93.63 | 100.87 | +7.52° | 9.914 |
| 2 kHz | 125.66 | 79.58 | 110.11 | +24.74° | 9.082 |
| 3 kHz | 188.50 | 53.05 | 168.36 | +53.56° | 5.940 |
| 5 kHz | 314.16 | 31.83 | 299.52 | +70.50° | 3.339 |
| 10 kHz | 628.32 | 15.92 | 620.51 | +80.73° | 1.612 |
读这张表要抓住三点：
- 低频是容性、高频是感性、中间有一个纯电阻点。相角从 −86.4° 连续变到 +80.7°，中间穿过 0°。
- 阻抗的"不对称"：100Hz 的 \lvert Z\rvert 是 1588Ω，10kHz 是 620Ω，虽然两个频率都远离谐振点，但差距 2.6 倍——因为 X_C 按 1/f 变、X_L 按 f 变，同一组元件在低频端的偏离更剧烈。
- 电流在谐振点最大（10mA），偏离谐振后迅速下降；但"迅速"是相对的：1kHz 时仍有一半以上（7.2mA），5kHz 只剩三分之一。带宽由 Q 决定，本例 Q=1，曲线很平。
4.3 算例三：完整设计——50Hz 耦合电容与探头负载
需求 A：一级音频放大器的输入耦合电容，后级输入阻抗 R_L=10 kΩ。要求在 20Hz 处的幅度损失不超过 0.5%（即 \lvert H\rvert\ge0.995）。求最小电容，并核算 50Hz 时的衰减与相移。
第 1 步，把指标翻译成容抗上限。耦合电容与负载构成高通，幅度传递函数：
\lvert H\rvert=\frac{R_L}{\sqrt{R_L^2+X_C^2}}\ge0.995两边平方并整理：
X_C\le R_L\sqrt{\frac{1}{0.995^2}-1}=10000\times\sqrt{0.010075}=10000\times0.10038=1003.8\ \Omega第 2 步，反算电容：
C\ge\frac{1}{2\pi f X_C}=\frac{1}{2\pi\times20\times1003.8}=\frac{1}{126,146}=7.93\ \mu\text{F}按 IEC 60063 的 E6 系列取 10µF。
第 3 步，验算 20Hz：
X_C=\frac{1}{2\pi\times20\times10\times10^{-6}}=795.8\ \Omega\lvert H\rvert=\frac{10000}{\sqrt{10000^2+795.8^2}}=\frac{10000}{10031.6}=0.99685幅度损失 1-0.99685=0.315\%，满足 0.5% 的要求。换算成分贝：20\lg0.99685=-0.0274 dB。相移 \arctan(795.8/10000)=4.55^{\circ}。
第 4 步，核算 50Hz：
X_C=\frac{1}{2\pi\times50\times10\times10^{-6}}=318.3\ \Omega,\qquad \lvert H\rvert=\frac{10000}{\sqrt{10000^2+318.3^2}}=0.99949损失 0.051%，相移 1.82°。50Hz 下已经基本无影响。
第 5 步，对照"随手取 1µF"：
| 电容 | 20Hz 容抗 | 20Hz 幅度 | 20Hz 相移 | 50Hz 容抗 | 50Hz 幅度 | 50Hz 相移 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 µF | 7957.7 Ω | 0.7825（−2.13 dB） | 38.51° | 3183.1 Ω | 0.9529（−0.419 dB） | 17.66° |
| 4.7 µF | 1693.1 Ω | 0.9860（−0.123 dB） | 9.61° | 677.3 Ω | 0.9977（−0.020 dB） | 3.87° |
| 10 µF | 795.8 Ω | 0.9968（−0.027 dB） | 4.55° | 318.3 Ω | 0.9995（−0.004 dB） | 1.82° |
1µF 在 20Hz 只剩 78% 幅度，在 50Hz 也有 4.7% 的衰减和 17.7° 相移。"1µF 够大了"这句话没有意义，必须相对负载阻抗与最低工作频率来说。若只要求 50Hz 处损失小于 0.5%，则 X_C\le1003.8\,\Omega，C\ge1/(2\pi\times50\times1003.8)=3.17\ \mu\text{F}，取 4.7µF 即可。
需求 B：用 10× 示波器探头（10\,\text{M}\Omega\parallel15\,\text{pF}）测量一个 1\,\text{M}\Omega+1\,\text{M}\Omega 分压器的中点，源电压 1V。分压器理想输出 0.5V，实际读数是多少？
第 1 步，探头阻抗。电阻与电容并联，用导纳算：
Y_p=\frac{1}{10^7}+j2\pi f\times15\times10^{-12}阻抗模 \lvert Z_p\rvert=1/\lvert Y_p\rvert。在直流（f=0）时 Y_p=10^{-7} S，\lvert Z_p\rvert=10 MΩ。
第 2 步，逐频点计算（探头并在分压器下臂 1\,\text{M}\Omega 上）：
| 频率 | 探头容抗 | 探头阻抗模 | 下臂并联后 | 输出 / V | 相对 0.5V 的误差 |
|---|---|---|---|---|---|
| 0（直流） | ∞ | 10.0 MΩ | 0.909 MΩ | 0.4762 | −4.76% |
| 1 kHz | 10.61 MΩ | 7.28 MΩ | 0.879 MΩ | 0.4679 | −6.43% |
| 10 kHz | 1.061 MΩ | 1.055 MΩ | 0.513 MΩ | 0.3392 | −32.15% |
| 100 kHz | 106.1 kΩ | 106.1 kΩ | 95.9 kΩ | 0.0875 | −82.50% |
第 3 步，给出一个频点的完整代入（10kHz）：
X_C=\frac{1}{2\pi\times10^4\times15\times10^{-12}}=1.061\times10^6\ \Omega\lvert Z_p\rvert=\frac{10^7\times1.061\times10^6}{\sqrt{(10^7)^2+(1.061\times10^6)^2}}=\frac{1.061\times10^{13}}{1.0056\times10^7}=1.055\times10^6\ \Omega下臂 1\,\text{M}\Omega 与它并联：
R_{lower}=\frac{10^6\times1.055\times10^6}{10^6+1.055\times10^6}=5.134\times10^5\ \OmegaV_{out}=\frac{5.134\times10^5}{10^6+5.134\times10^5}=0.3392\ \text{V}第 4 步，结论。直流时探头 10MΩ 已经造成 −4.8% 的负载误差；10kHz 时 15pF 使误差扩大到 −32%；100kHz 时读数只剩真值的 17.5%。这不是探头"坏了"，而是它的输入电容在起作用——所以探头要配补偿电容，高阻节点测量要换 FET 探头或有源探头。具体探头参数以厂商手册为准。
5. 工程含义
5.1 工程数量级表
容抗数量级（X_C=1/(2\pi fC)，单位 Ω）：
| 电容 | 50 Hz | 1 kHz | 100 kHz | 1 MHz |
|---|---|---|---|---|
| 1 nF | 3.183 M | 159.15 k | 1.592 k | 159.15 |
| 100 nF | 31.83 k | 1.592 k | 15.92 | 1.592 |
| 1 µF | 3.183 k | 159.15 | 1.592 | 0.159 |
| 10 µF | 318.3 | 15.92 | 0.159 | 0.0159 |
| 100 µF | 31.83 | 1.592 | 0.0159 | 0.00159 |
| 1000 µF | 3.183 | 0.159 | 0.00159 | 1.59\times10^{-4} |
感抗数量级（X_L=2\pi fL，单位 Ω）：
| 电感 | 50 Hz | 1 kHz | 100 kHz | 1 MHz |
|---|---|---|---|---|
| 1 µH | 0.000314 | 0.00628 | 0.628 | 6.283 |
| 100 µH | 0.0314 | 0.628 | 62.83 | 628.3 |
| 1 mH | 0.314 | 6.283 | 628.3 | 6283 |
| 10 mH | 3.142 | 62.83 | 6283 | 62832 |
| 100 mH | 31.42 | 628.3 | 62832 | 6.28\times10^5 |
两张表放在一起看，得到一条重要的数量级直觉：在 50Hz 的电力世界里，1µF 才 3.2kΩ，要"低阻抗"必须上几十到几百 µF；在 1MHz 的世界里，1nF 只有 159Ω，几十 nF 就足以旁路。 同一颗电容在两个世界里是完全不同的器件。
常见阻抗量级：
| 对象 | 典型阻抗 | 备注 |
|---|---|---|
| 市电回路导线（单程 2m、1.5mm²，去回共 4m） | 约 46 mΩ | 20°C 铜，R=\rho L/A |
| PCB 走线（10mm、0.25mm 宽、1oz） | 约 20 mΩ | 约 40 个方块 × 0.49mΩ |
| 耳机 | 32 Ω / 600 Ω 标称 | 1kHz 下的标称值 |
| 同轴电缆特征阻抗 | 50 Ω / 75 Ω | 传输线概念，不是直流电阻 |
| 示波器 10× 探头 | 10 MΩ ∥ 约 15 pF | 随频率下降 |
| 数字万用表电压档 | 10 MΩ 典型 | 直流输入阻抗 |
| 运放输入 | >1 GΩ ∥ 几 pF（典型） | 具体以数据手册为准 |
| 良好绝缘 | >100 MΩ | 500V DC 下测 |
5.2 「用万用表量电阻」和「测阻抗」的区别
万用表电阻档测的是直流电阻，本质是给一个已知电流、量电压，只对 f=0 有效。阻抗是频率的函数，两者在被测件不是纯电阻时会给出完全不同的结果：
- 量电容：欧姆档给电容充电，读数从 0 开始上升，最后显示 OL。上升速度由表内测试电流与容量决定：若测试电流为 1µA，dV/dt=I/C=10^{-6}/10^{-6}=1 V/s，1µF 每秒涨 1V，很快到达量程上限；100µF 则只有 0.01 V/s。读数在变，本身就说明被测件不是电阻。
- 量电感：读数接近绕线直流电阻（可能只有几 Ω），而 1kHz 下 10mH 的感抗有 62.83Ω，两者差一个数量级以上。
- 量电解电容：直流电阻档读数接近 OL（漏电流很小），但它真正的交流阻抗在 100kHz 可能只有 0.0159Ω（理想容抗）——实际被 ESR 支配，典型 100µF/25V 的 ESR 在 0.1~0.5Ω 量级（以数据手册为准）。
正确做法是用 LCR 表或阻抗分析仪，并且指定测试频率与测试电平：同一个 100µF 电容，100Hz 与 100kHz 下的等效串联电阻、容量都可能不同。看阻抗必须带频率，就像看速度必须带参考系。
5.3 自谐振：真实元件的阻抗曲线
理想电容的阻抗随频率单调下降，真实电容不是。引脚与内部电极有寄生电感 ESL，构成串联 LC：
f_{SRF}=\frac{1}{2\pi\sqrt{L_{ESL}C}}以 100nF、ESL=2nH 的贴片电容为例：
f_{SRF}=\frac{1}{2\pi\sqrt{2\times10^{-9}\times100\times10^{-9}}}=\frac{1}{2\pi\times1.414\times10^{-8}}=11.25\ \text{MHz}- 低于 f_{SRF}：呈容性，\lvert Z\rvert 随频率下降；
- 等于 f_{SRF}：\lvert Z\rvert 只剩 ESR，最小；
- 高于 f_{SRF}：呈感性，\lvert Z\rvert 随频率上升。
在 100MHz 时，理想 100nF 的容抗是 1/(2\pi\times10^8\times10^{-7})=0.0159\,\Omega，而 2nH 的感抗是 2\pi\times10^8\times2\times10^{-9}=1.257\,\Omega——实际阻抗是理想值的 79 倍。所以"用 100nF 滤 100MHz"是无效的，要么换更小的电容（容值小、SRF 高），要么直接用磁珠/馈通电容。
电解电容的 ESR 更大、SRF 更低（典型几十 kHz 到几百 kHz），高频去耦必须与陶瓷电容并联；而并联本身又会引入反谐振峰，这属于电源完整性的范畴，不在本章展开。工程上的稳妥做法是看厂商给出的阻抗—频率曲线，而不是只算容抗。
5.4 阻抗对测量、匹配与选型的影响
测量：任何测量都是"把仪表阻抗并在被测电路上"。经验判据是输入阻抗 ≥ 被测源阻抗的 10 倍，误差才小于 10%。§4.3 的探头例子说明，直流满足 10 倍（10MΩ 对 1MΩ）时误差仍有 4.8%，因为 10 倍只保证 9% 的负载误差，要 1% 就得 100 倍。
分压与衰减：电阻分压器的误差来自负载阻抗；电容分压器的分压比由容量反比决定，与频率无关（理想情况），所以高压探头常用电容分压 + 电阻分压的组合，并用可调补偿电容校准。
匹配：高频链路的"阻抗匹配"指负载阻抗等于源的特征阻抗（50Ω、75Ω、100Ω 差分），目的是不反射。它与本章的低频阻抗是同一个概念在不同频段的表现：低频看 \lvert Z\rvert 与 \varphi，高频还要看它是复数还是实数、随频率是否平坦。
选型：耦合电容看最低工作频率下的容抗，旁路电容看目标频段的阻抗曲线，电感看饱和电流与直流电阻，磁珠看目标频段的阻抗峰。这些参数在数据手册里都是曲线，不是单个数字——阻抗从来不是一个数，而是一条曲线上的一个点。
6. 常见坑
- 用万用表电阻档量电容、电感，还把读数当阻抗：现象——量电容读数从 0 慢慢爬到 OL，量 10mH 电感显示 5Ω，于是认为"电容坏了/电感只有 5Ω"。原因——电阻档只测直流，电容在直流下是开路、电感在直流下只剩绕线电阻；阻抗是频率的函数。解决——用 LCR 表并指定测试频率（如 1kHz/100kHz），或按数据手册的阻抗—频率曲线判断。
- 算交流电流只除以电阻 R：现象——R=100\,\Omega、L=10 mH、C=1 µF 在 1kHz 下，按 1V/100Ω 算出 10mA，实测只有 7.2mA，误差 39%。原因——电流由 \lvert Z\rvert=138.85\,\Omega 决定，不是由 R 决定；电抗同样限制电流。解决——先算 X=X_L-X_C，再算 \lvert Z\rvert=\sqrt{R^2+X^2}，最后 I=V/\lvert Z\rvert。
- 并联支路直接把阻抗相加：现象——100Ω 与 1µF 在 1kHz 并联，算成 100-j159=188\,\Omega，实际是 84.7Ω，差 2.2 倍。原因——并联时电压相同、电流相加，应该加的是导纳不是阻抗。解决——先算 Y=1/Z_1+1/Z_2，再取倒数；或用 Z_1Z_2/(Z_1+Z_2)。
- 以为电容上的电压一定小于源电压：现象——按分压直觉选 1V 源下 1V 耐压的电容，实测电容两端 1.15V 甚至 Q 倍源电压。原因——谐振附近 V_L 与 V_C 大小接近、相位相反，单个元件电压可以远高于源电压。解决——按 Q 倍源电压选耐压，Q 由 R、L、C 算出；开关机瞬态还要再留余量。
- 忽略自谐振，以为容值越大滤波越好：现象——加了 100nF 去耦，100MHz 的噪声一点没降；或者多个电容并联后某个频段噪声反而变大。原因——电容的 ESL 使其在 f_{SRF} 以上呈感性，容值越大 SRF 越低。解决——按目标频段选容值（高频用小容值），必要时用磁珠或馈通电容；并联组合要看整体阻抗曲线。
- 耦合电容按"经验值"拍，不算低频截止：现象——音频放大器低频发闷、方波下垂，或者传感器信号在 50Hz 就衰减 5%。原因——耦合电容与负载构成高通，X_C 相对负载阻抗不够小。解决——先定最低工作频率与允许衰减，反算 X_C 上限再选容值；同时核对相移是否影响环路稳定。
7. 自测题
1µF 电容在 50Hz、1kHz、1MHz 下的容抗各是多少？这三个数说明什么？
X_C=1/(2\pi fC)，C=10^{-6} F。
50Hz：X_C=1/(2\pi\times50\times10^{-6})=1/(3.1416\times10^{-4})=3183.1\,\Omega。
1kHz：X_C=1/(2\pi\times10^3\times10^{-6})=1/(6.2832\times10^{-3})=159.15\,\Omega。
1MHz：X_C=1/(2\pi\times10^6\times10^{-6})=1/6.2832=0.159\,\Omega。
频率提高 20 倍（50Hz→1kHz），容抗降到 1/20；提高 20000 倍（50Hz→1MHz），容抗降到 1/20000。说明容抗与频率成严格反比，同一条 1/f 规律贯穿整个频段——这也是双对数坐标上容抗是一条斜率 −20dB/十倍频直线的原因。
R=10Ω、L=10mH、C=1µF 串联，1kHz 下阻抗模、相角、电流（1V 源）各是多少？电路呈容性还是感性？
X_L=2\pi\times1000\times0.01=62.83\,\Omega；X_C=1/(2\pi\times1000\times10^{-6})=159.15\,\Omega。
X=62.83-159.15=-96.32\,\Omega；\lvert Z\rvert=\sqrt{10^2+96.32^2}=\sqrt{100+9278}=96.84\,\Omega。
\varphi=\arctan(-96.32/10)=-84.07^{\circ}，呈容性（电流超前电压）。
I=1/96.84=10.33 mA。
注意：把 R 从 100Ω 换成 10Ω 后，\lvert Z\rvert 从 138.85Ω 降到 96.84Ω，电流从 7.2mA 升到 10.3mA——电阻越小，电抗越主导，相角越接近 −90°。
100Ω 与 1µF 在 1kHz 下并联，等效阻抗是多少？如果误按串联算会得到多少？
并联用导纳：Y=1/100+j2\pi\times1000\times10^{-6}=0.01+j0.006283 S。
\lvert Y\rvert=\sqrt{0.01^2+0.006283^2}=\sqrt{1\times10^{-4}+3.948\times10^{-5}}=0.01181 S。
\lvert Z\rvert=1/0.01181=84.67\,\Omega，\varphi=-\arctan(0.006283/0.01)=-32.14^{\circ}。
误按串联：Z=100-j159.15，\lvert Z\rvert=187.96\,\Omega，是正确值的 2.22 倍。
结论：并联必须加导纳；阻抗直接相加只对串联成立。
L=1mH、C=100nF 的串联回路，谐振频率、特性阻抗 \sqrt{L/C}、Q（R=10Ω）、通频带各是多少？
f_0=1/(2\pi\sqrt{LC})=1/(2\pi\sqrt{10^{-3}\times10^{-7}})=1/(2\pi\times10^{-5})=15.92 kHz。
特性阻抗 \sqrt{L/C}=\sqrt{10^{-3}/10^{-7}}=\sqrt{10^4}=100\,\Omega。
Q=(1/R)\sqrt{L/C}=100/10=10。
BW=f_0/Q=15915/10=1592 Hz。
谐振时 \lvert Z\rvert=R=10\,\Omega，电流最大；L、C 上的电压是源电压的 Q=10 倍，1V 源会在元件上产生 10V——耐压必须按这个选。
0.1µF 耦合电容接 10kΩ 负载，50Hz 下幅度衰减多少 dB？要满足 50Hz 处损失小于 0.5%，电容至少要多大？
X_C=1/(2\pi\times50\times10^{-7})=31831\,\Omega。
\lvert H\rvert=10000/\sqrt{10000^2+31831^2}=10000/33365=0.2997。
20\lg0.2997=-10.47 dB，幅度只剩 30%——这个电容在 50Hz 完全不够用。
要损失小于 0.5%：X_C\le R_L\sqrt{1/0.995^2-1}=10000\times0.10038=1003.8\,\Omega。
C\ge1/(2\pi\times50\times1003.8)=3.17\,\mu\text{F}，取 E6 系列的 4.7µF。
验算 4.7µF：X_C=677.3\,\Omega，\lvert H\rvert=10000/\sqrt{10000^2+677.3^2}=0.99773，损失 0.23%，合格。
为什么"用电阻档量出来是 5Ω 的电感"在 1kHz 下可能有 62.8Ω 的阻抗？这两个数矛盾吗？
不矛盾，它们测的是不同的东西。
电阻档测的是直流电阻 R_{DC}（绕线铜阻），对应 f=0 时的阻抗实部；5Ω 是绕线电阻。
1kHz 下，10mH 的感抗 X_L=2\pi\times1000\times0.01=62.83\,\Omega；总阻抗 \lvert Z\rvert=\sqrt{R_{DC}^2+X_L^2}=\sqrt{5^2+62.83^2}=63.03\,\Omega。
所以同一个电感，直流下阻抗 5Ω，1kHz 下 63Ω，相差 12.6 倍。阻抗是频率的函数，报阻抗必须同时报频率，否则这个数没有意义。
8. 参考资料
- Lessons In Electric Circuits, Vol. II – AC（Tony R. Kuphaldt，ibiblio 公开版）：Chapter 2 Complex Numbers 给复数运算与相量表示；Chapter 3 Reactance and Impedance – Inductive、Chapter 4 Reactance and Impedance – Capacitive、Chapter 5 Reactance and Impedance – R, L, and C 分别给感抗、容抗与 RLC 组合阻抗的推导。本章 §2.2 的"微分方程 → j\omega"讲法与该书一致。https://www.ibiblio.org/kuphaldt/electricCircuits/
- 《电路》（邱关源，高等教育出版社）："正弦稳态电路的分析"一章定义阻抗与导纳、相量形式的欧姆定律、阻抗串并联与分压；"电路的频率响应"一章给谐振、品质因数与通频带。本章 §3.1 的符号与单位口径与该书一致。
- Tektronix, ABCs of Probes Primer：Probe Loading 一节说明 10MΩ 并联约 15pF 的探头如何对被测电路产生分压与分流；本章 §4.3 的探头负载表按该节口径计算，具体探头的输入电容与补偿范围以厂商手册为准。
- Horowitz and Hill, The Art of Electronics, 3rd ed.：Chapter 1 Foundations 中关于电抗、阻抗分压与 RC 滤波的数量级讨论；本章"耦合电容看最低工作频率、旁路电容看目标频段"的选型口径与该书一致。
- IEC 60063, Preferred number series for resistors and capacitors：E6/E12/E24 标称值系列；本章耦合电容的 4.7µF、10µF 取值按 E6 系列选取。