带通与带阻滤波器入门 Bandpass & Bandstop
1. 设计动机
低通和高通各切一刀：低通留低频、砍高频，高通反过来。现实里更常见的是“只要中间一段”或“只掐掉某一个频率”：
- 心电、脑电等生理信号只关心 0.5 Hz~40 Hz 这一段，50 Hz 工频和更高的肌电噪声都要挡掉——这是带通（band-pass）；
- 测量放大器被 50 Hz 工频干扰，但 1 Hz~1 kHz 的有用信号都想保留——这是带阻（band-stop）；带阻窄到只挖掉 50 Hz 附近一小段时，就叫陷波（notch）；
- 音频分频要把 2 kHz 以上和以下分开，通信接收机要选出某个载波附近的一段，都是带通。
带通和带阻不是“低通 + 高通随便串起来”就能做好的。它们有三个必须一起算的参数：中心频率 f_0、带宽 BW、品质因数 Q=f_0/BW。Q 太低，带太宽，干扰漏进来；Q 太高，带太窄，元件容差、建立时间、相位失真全都上来；陷波器的 Q 还直接决定“坑有多深、坑底有多窄”。这一章把这三件事拆成可复算的数字：先给 f_0、BW、Q 的口径，再比较四种实现（一阶高通 + 一阶低通级联、高 Q 的 Sallen-Key 节、多路反馈 MFB、双 T 陷波），最后用 1 kHz/Q=10 的带通和 50 Hz 双 T 陷波各走一遍完整设计。
带通的“窄带选频”与谐振章的 Q、BW、阻尼比口径完全一致，先读 RLC 电路与谐振 的 §3.2、§3.3 会省很多事；Sallen-Key 节的推导见二阶滤波器 Sallen-Key 与 Q 值；一阶节的基础见一阶低通与高通。
2. 定义与直观：带通、带阻与三个参数
2.1 带通与带阻的定义
带通滤波器（band-pass filter）让 f_0 附近的一段频率通过，低于和高于这段的频率都被衰减；它的幅频曲线像一个山头，山顶在 f_0，两侧各有一个 -3\ \text{dB} 点。带阻滤波器（band-stop filter）相反：只衰减 f_0 附近的一段，其余频率通过；窄带带阻就是陷波，曲线像一个坑。
三个参数的定义：
- 中心频率 f_0：带通的峰值点、带阻的凹陷点，单位 Hz；
- 带宽 BW：相对峰值（带通）或相对通带（带阻）下降 3\ \text{dB} 的两个频率之差，单位 Hz；
- 品质因数 Q：Q=f_0/BW，无量纲。Q 越高，带越窄、选择性越强。
对二阶带通，f_0 与两个半功率点的关系不是算术平均，而是几何平均：
f_0=\sqrt{f_{lo}f_{hi}},\qquad BW=f_{hi}-f_{lo}=\frac{f_0}{Q}两个半功率点的精确位置是
f_{hi,lo}=f_0\left(\sqrt{1+\frac{1}{4Q^2}}\pm\frac{1}{2Q}\right)Q=10、f_0=1\ \text{kHz} 时：\sqrt{1+1/400}=1.00125，1/(2Q)=0.05，所以 f_{hi}=1051.25\ \text{Hz}、f_{lo}=951.25\ \text{Hz}，BW=100.0\ \text{Hz}，Q=1000/100=10。算术近似 f_0\pm BW/2 给出 1050/950，与精确值各差 1.25 Hz；Q=10 时误差只占带宽的 1.25%，工程上够用；Q<3 时误差明显，要老老实实解二次方程。
2.2 半功率点、几何对称与 Q
“-3\ \text{dB}”就是半功率点：电压幅度降到峰值的 1/\sqrt2=0.7071，功率减半。带通的幅频曲线关于 f_0 几何对称——f_{lo} 与 f_{hi} 的乘积严格等于 f_0^2，而不是以 f_0 为算术中心。低 Q 时这个差别很大：Q=1 时 f_{hi}=1.618f_0、f_{lo}=0.618f_0，算术平均是 1.118f_0，比 f_0 高 11.8%；用 f_0\pm BW/2 去标定带边，低 Q 时会明显偏。
Q 还可以写成阻尼比的形式：\zeta=1/(2Q)。\zeta<1 是欠阻尼，带通有选频峰；\zeta=1（Q=0.5）是临界阻尼，带宽 2f_0；\zeta>1（Q<0.5）是过阻尼，带宽更宽、选择性更差。Q=0.5 是“两个实极点”带通的上限，这一点下一节会反复用到。
2.3 两条实现路线：实极点与复极点
带通的极点可以是一对实极点，也可以是一对共轭复极点：
- 实极点：两个一阶节（高通 + 低通）级联，分母是两个实系数一阶因式的乘积，Q\leq0.5。两个转折频率相等时峰值最低，为 -6.02\ \text{dB}；分得越开，平台越高、越宽。这种带通适合宽带选频、抗混叠、音频分频。
- 复极点：二阶节本身有共轭极点，Q>0.5。峰值可以高于 0 dB，带边更陡，适合窄带选频、载波提取、弱信号检测。Sallen-Key、MFB、状态变量都属于这一类。
一阶高通 + 一阶低通的级联是最直观的带通：低端由高通挡住，高端由低通挡住，中间形成一段平台。它的传递函数是
H(s)=\frac{s/\omega_L}{1+s/\omega_L}\cdot\frac{1}{1+s/\omega_H}峰值在 f_0=\sqrt{f_Lf_H}，峰值增益为 r/(1+r)（r=f_H/f_L）。f_L=f_H 时 r=1，峰值 0.5，即 -6.02\ \text{dB}；r=4 时峰值 0.8，即 -1.94\ \text{dB}，平台更宽。无论 r 取多少，分母都是两个实极点，Q\leq0.5；想用两个一阶节做 Q=10 是不可能的，这是后面选择高 Q 节的出发点。
带阻的经典实现是双 T 网络（twin-T）：两个 T 型网络并联，一个由 R、R、2C 组成，另一个由 C、C、R/2 组成，在 f_0 处两条通路的电流正好抵消，输出出现很深的凹陷。
双 T 的优点是只用无源元件、陷波点可以很深；缺点是必须精确匹配才能深，而且无源双 T 的 Q 只有 1/4，坑的 -3\ \text{dB} 带宽很宽。这两点会在 §3.5、§3.6 用数字展开。
3. 定量关系：f_0、BW、Q 与四种实现
3.1 二阶带通的标准形式
任何二阶带通都可以写成
H(s)=\frac{H_0\frac{\omega_0}{Q}s}{s^2+\frac{\omega_0}{Q}s+\omega_0^2}其中 H_0 是中心频率处的峰值增益（无量纲），\omega_0=2\pi f_0（\text{rad/s}），Q 是品质因数，\zeta=1/(2Q)。在 s=j\omega_0 处 |H|=H_0；半功率点满足 |H|=H_0/\sqrt2，解出 §2.1 的 f_{hi,lo}，并严格得到 BW=f_0/Q。
符号与单位：
| 符号 | 含义 | 单位 | 备注 |
|---|---|---|---|
| f_0 | 中心频率 | Hz | 带通峰值 / 带阻凹陷 |
| BW | -3\ \text{dB} 带宽 | Hz | BW=f_0/Q，二阶带通精确成立 |
| Q | 品质因数 | 无量纲 | Q=f_0/BW；与阻尼比 \zeta=1/(2Q) |
| H_0 | 中心频率增益 | 无量纲 | 带通峰值；带阻通带增益通常为 1 |
| \omega_0 | 中心角频率 | \text{rad/s} | \omega_0=2\pi f_0 |
归一化带通幅频（以峰值 H_0 为 0 dB，横轴 f/f_0，数据由 |H|/H_0=1/\sqrt{1+Q^2(x-1/x)^2} 逐点计算）：
适用条件：单谐振、二阶、线性时不变；带阻的 Q 用 -3\ \text{dB} 定义时，双 T 的 Q=1/4，与带通的 Q=f_0/BW 同一口径。失效边界：多阶节级联时，总的 -3\ \text{dB} 带宽不是单节 BW 的简单相加；高 Q 时节间的轻微失配会让总响应明显不对称。
3.2 一阶高通 + 一阶低通的级联
把一节高通和一节低通级联（级间用缓冲器隔离），传递函数是
H(s)=\frac{s/\omega_L}{1+s/\omega_L}\cdot\frac{1}{1+s/\omega_H}令 x=f/f_0、r=f_H/f_L，则 f_0=\sqrt{f_Lf_H}，归一化幅度的平方为
|H(x)|^2=\frac{x^2r}{(1+x^2r)(1+x^2/r)}在 x=1 处
|H(1)|=\frac{r}{1+r}r=1 时 |H|=0.5（-6.02\ \text{dB}）；r=4 时 |H|=0.8（-1.94\ \text{dB}）。求 -3\ \text{dB} 点（相对峰值）会得到一个关于 x^2 的二次方程；对 r=1，解得 x=0.4142 与 2.4142，BW=2f_0，Q=0.5。对 r>1，带宽更宽，Q<0.5。
| r=f_H/f_L | 峰值增益 | 峰值 dB | Q=f_0/BW（数值解） |
|---|---|---|---|
| 1 | 0.500 | -6.02 | 0.500 |
| 2 | 0.667 | -3.52 | 0.471 |
| 4 | 0.800 | -1.94 | 0.400 |
| 10 | 0.909 | -0.83 | 0.287 |
结论：两个实极点的带通，Q 永远不超过 0.5。要做 Q=10 的窄带，必须让极点变成共轭复极点，也就是引入正反馈或谐振网络。下面三种结构都能做到。
3.3 高 Q 节：Sallen-Key 高通 + 低通
Sallen-Key 高通节（R_1=R_2=R、C_1=C_2=C、增益 K=1+R_b/R_a）的传递函数是
H_{HP}(s)=\frac{K(sRC)^2}{1+(3-K)sRC+(sRC)^2}与标准二阶形式对照：
f_0=\frac{1}{2\pi RC},\qquad Q=\frac{1}{3-K}中心频率处的增益是 |H_{HP}(f_0)|=KQ；高频通带增益是 K。Q=10 要求 K=2.9，此时中心频率处比高频通带高 20\lg Q=20\ \text{dB}，峰值增益 KQ=29（29.2\ \text{dB}）。这个节的 -3\ \text{dB} 点（相对峰值）仍是
f_{hi,lo}=f_0\left(\sqrt{1+\frac{1}{4Q^2}}\pm\frac{1}{2Q}\right)f_0=1\ \text{kHz}、Q=10 时是 951.25 Hz 与 1051.25 Hz，带宽 100 Hz。
单靠高通节只能得到“高通 + 一个 20 dB 的峰”，还不是带通；在后面再串一节低通，把高端压下去，就得到带通。低通节取巴特沃斯（Q=0.707、K=1.586）、截止频率也放在 f_0，它在 f_0 处的增益是 KQ=1.121（相对直流增益 -3\ \text{dB}）。两节级联后的峰值是 29\times1.121=32.5（30.2\ \text{dB}），-3\ \text{dB} 带宽约 99.5 Hz，Q\approx10.05——低通节在带边只多加了一点衰减，带通形状基本由高 Q 高通节决定。
这个 4 阶带通的优点是：两节都是标准 Sallen-Key，元件少、公式熟；缺点是：高 Q 节的 K 离稳定边界 K=3 只有 0.1，1% 的增益电阻就能把 Q 从 10 推到 16 或 7，带宽和峰值都跟着变。高 Q 的代价在 §5 展开。
3.4 MFB 带通的设计式
多路反馈（multiple feedback, MFB）带通用一个反相运放、两只电容、三只电阻实现二阶带通，适合需要反相输出、Q 在 1~10 的场合。按 TI 的 MFB 带通设计式（两只电容取等值 C，中心频率增益 H_0，目标角频率 \omega_0）：
R_1=\frac{Q}{H_0\omega_0C},\qquad R_2=\frac{Q}{(2Q^2-H_0)\omega_0C},\qquad R_3=\frac{2Q}{\omega_0C}三只电阻的分工是：R_1 定增益，R_3 定中心频率与 Q 的量级，R_2 把 Q 和增益“拧”在一起。代入 f_0=1\ \text{kHz}、Q=10、H_0=1、C=10\ \text{nF}：
R_1=\frac{10}{1\times6283.2\times10^{-8}}=159.15\ \text{k}\OmegaR_2=\frac{10}{(200-1)\times6283.2\times10^{-8}}=799.8\ \OmegaR_3=\frac{20}{6283.2\times10^{-8}}=318.31\ \text{k}\Omega校验中心增益：H_0=R_3/(2R_1)=318.31/(2\times159.15)=1.00。电阻比 R_3/R_2=398，也就是说 Q=10 的 MFB 带通要同时用 800 \Omega 和 318 k$\Omega$ 的电阻，偏置电流、噪声和寄生电容都会来捣乱。把 Q 降到 1：R_1=R_2=15.92\ \text{k}\Omega、R_3=31.83\ \text{k}\Omega，电阻比只有 2，好做得多。MFB 的 Q 与增益耦合、Q 高时电阻跨度大，这是它不如 Sallen-Key 常用的原因；具体拓扑与元件编号以所引应用笔记的图为准，不同教材的编号可能不同。
3.5 双 T 陷波：传递函数与 Q=1/4
双 T 网络由两个 T 并联而成：
- 上 T：R_1=R_2=R，并联臂 C_3=2C；
- 下 T：C_1=C_2=C，并联臂 R_3=R/2。
在输出开路（或接高阻缓冲）时，节点方程消去两个内部节点，得到
H(s)=\frac{s^2+\omega_0^2}{s^2+4\omega_0s+\omega_0^2},\qquad \omega_0=\frac{1}{RC},\qquad f_0=\frac{1}{2\pi RC}在 s=j\omega_0 处分子为零，输出理论上完全抵消；分母的 s 项系数是 4\omega_0，与标准形式 s^2+(\omega_0/Q)s+\omega_0^2 对照，得
Q=\frac14这就是无源双 T 的 Q 只有 0.25 的来源。它的 -3\ \text{dB} 带宽是 4f_0：令 |H|=1/\sqrt2，有 (1-x^2)^2=16x^2，解得 x=\sqrt5-2=0.2361 与 x=2+\sqrt5=4.236，带宽 (4.236-0.236)f_0=4f_0，Q=f_0/BW=0.25。注意：-3\ \text{dB} 带宽很宽，不等于陷波很宽；坑底很窄，只是两侧回到 0 dB 的过程很慢。
3.6 失配与陷波深度
理想双 T 在 f_0 处的零点是二阶零点，深度理论无穷大；实际深度由元件匹配决定。设相对失配为 \delta（例如 1% 写成 0.01），在最坏失配组合下，陷波点的残余幅度近似为
|H_{\min}|\approx0.25\delta,\qquad \text{深度}\approx20\lg(0.25\delta)\ \text{dB}复算 \delta=0.01：|H_{\min}|=0.0025，20\lg(0.0025)=-52.0\ \text{dB}；\delta=0.001：-72.0\ \text{dB}；\delta=0.05：-38.1\ \text{dB}。数值解（按 §3.5 的节点方程）给出 1% 时 -52.15\ \text{dB}、0.1% 时 -72.05\ \text{dB}、5% 时 -38.62\ \text{dB}，与近似式在 1 dB 内吻合。
失配的“杀伤力”并不平均：
| 失配（1%） | 陷波深度 | 说明 |
|---|---|---|
| R_3 与 C_3 反向 1% | -52.1\ \text{dB} | 最敏感，两个 T 的时间常数直接错开 |
| C_3 单独 +1% | -58.1\ \text{dB} | 并联臂电容单边偏 |
| R_1 单独 +1% | -64.2\ \text{dB} | 上 T 的串联电阻单边偏 |
| R_1 与 R_2 反向 1% | -98.1\ \text{dB} | 两个串联电阻的失配部分抵消 |
| C_1 与 C_2 反向 1% | -143\ \text{dB} | 下 T 的串联电容失配部分抵消 |
| 所有元件同向 +1% | -139\ \text{dB} | 只移动 f_0，匹配关系不变 |
结论：双 T 的深度主要由两个 T 的“时间常数匹配”决定，尤其是并联臂 R_3、C_3；串联元件的同向漂移只移动 f_0，不一定变浅。要深陷波，先保 R_3、C_3 的精度和温度系数，再谈其他。
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设上 T 内部节点 A、下 T 内部节点 B，输出节点 V。输入为 1，输出开路：
\frac{1-V_A}{R}=\frac{V_A-V}{R}+s(2C)V_A\frac{1-V_B}{1/(sC)}=\frac{V_B-V}{1/(sC)}+\frac{V_B}{R/2}\frac{V_A-V}{R}+(V_B-V)sC=0第一式整理得 V_A=(1+V)/(2+2sRC)；第二式整理得 V_B=sRC(1+V)/(2+2sRC)；代入第三式，消去 V_A、V_B，即得 H(s)=(1+s^2R^2C^2)/(1+4sRC+s^2R^2C^2)。分子在 s=\pm j/(RC) 处为零，正是陷波点；分母的 4sRC 给出 Q=1/4。
3.7 几种实现怎么选
| 实现 | 运放数 | 可达 Q | 优点 | 代价 |
|---|---|---|---|---|
| 一阶高通 + 一阶低通 | 2（或 0，无源） | \leq0.5 | 最简单、最稳、宽带宽 | 做不了窄带 |
| Sallen-Key 高 Q 节 + 低通 | 2 | 5~20 | 元件少、公式熟、同相 | 高 Q 时 K 贴近边界，容差敏感 |
| MFB 带通 | 1 | 1~10 | 单运放、可反相 | Q 与增益耦合，高 Q 电阻跨度大 |
| 双 T 陷波 | 0~1 | 固定 0.25（无源） | 陷波深、元件少 | 必须精确匹配，-3\ \text{dB} 带宽宽 |
| 状态变量 / 双二阶 | 2~3 | 高，可调 | f_0 与 Q 独立 | 元件多、功耗大 |
4. 典型计算：1 kHz 带通与 50 Hz 陷波
4.1 1 kHz、Q=10 带通的完整设计
需求：f_0=1\ \text{kHz}、Q=10（BW=100\ \text{Hz}），峰值增益尽量接近 10，单电源或双电源均可。选“Sallen-Key 高通节 + Sallen-Key 低通节”的两运放方案：高通节定 Q 和低端，低通节压高端。
第 1 步：高通节。 取 C=10\ \text{nF}，由 f_0=1/(2\pi RC) 得
R=\frac{1}{2\pi\times10^3\times10\times10^{-9}}=15.915\ \text{k}\Omega取 E96 的 15.8 k$\Omega$。要 Q=10，由 Q=1/(3-K) 得 K=3-0.1=2.9；取 R_a=10\ \text{k}\Omega、R_b=19\ \text{k}\Omega，K=1+19/10=2.9。实际 f_0=1/(2\pi\times15.8\text{k}\times10\text{n})=1007.3\ \text{Hz}，Q 标称 10。
第 2 步：低通节。 同样取 C=10\ \text{nF}、R=15.8\ \text{k}\Omega，f_0 也是 1007.3 Hz；取巴特沃斯 Q=0.707，K=1.586，R_b/R_a=0.586，取 R_a=10\ \text{k}\Omega、R_b=5.9\ \text{k}\Omega（实际 K=1.59，Q=1/(3-1.59)=0.709）。
第 3 步：整体响应。 两节级联的峰值在 1007.3 Hz 附近，峰值增益
|H|_{\max}=K_{HP}Q_{HP}\times K_{LP}Q_{LP}=2.9\times10\times1.59\times0.709=32.7即 30.29\ \text{dB}。数值扫描得到 -3\ \text{dB} 点 958.46 Hz 与 1058.66 Hz：
BW=1058.66-958.46=100.2\ \text{Hz},\qquad Q_{\text{实际}}=\frac{1007.3}{100.2}=10.05几乎正好是目标。低通节在带边只多加约 0.3 dB 的衰减，所以总带宽没有明显变窄。
第 4 步：把增益缩到 10。 峰值 32.7 太高，在输出加一级分压：R_{top}=10\ \text{k}\Omega、R_{bot}=4.42\ \text{k}\Omega，分压比
\frac{4.42}{10+4.42}=0.3065,\qquad 32.7\times0.3065=10.02取 E96 的 10 k$\Omega$ 与 4.42 k$\Omega$ 即可。分压级要放在低通节之后，避免改变前两节的负载。
第 5 步：容差。 高 Q 节的 K 由 R_b/R_a=1.9 定；两只 1% 电阻的最坏比值是 1.9\times(1.01/0.99)=1.938 或 1.9\times(0.99/1.01)=1.862，对应 K=2.938 或 2.862：
Q_{HP}=\frac{1}{3-K}=16.23\ \text{或}\ 7.27整体 -3\ \text{dB} 带宽随之变成 61.9 Hz 或 137.3 Hz，峰值变成 34.61 dB 或 27.41 dB。1% 电阻不足以把 Q=10 做准；至少要 0.1% 电阻或微调，或者换用 f_0 与 Q 解耦的状态变量结构。
第 6 步：阻带与建立时间。 在 100 Hz 与 10 kHz（各偏离一个十倍频程）处，数值扫描给出 |H|=0.0465，即 -26.66\ \text{dB}；相对峰值 30.29\ \text{dB}，衰减 56.95\ \text{dB}。高 Q 节的包络时间常数 \tau=2Q/\omega_0：
\tau=\frac{2\times10}{2\pi\times1007.3}=3.16\ \text{ms}按 e^{-t/\tau} 衰减到 1% 需要 4.605\tau=14.55\ \text{ms}，到 0.1% 需要 6.908\tau=21.83\ \text{ms}。ADC 在滤波器后面采样，必须等这段时间，否则前一个事件的长振铃会串到下一个采样。
- 高通节：R_1=R_2=15.8\ \text{k}\Omega，C_1=C_2=10\ \text{nF}，R_a=10\ \text{k}\Omega，R_b=19\ \text{k}\Omega（K=2.9，Q=10）；
- 低通节：R_1=R_2=15.8\ \text{k}\Omega，C_1=C_2=10\ \text{nF}，R_a=10\ \text{k}\Omega，R_b=5.9\ \text{k}\Omega（K=1.59，Q=0.709）；
- 输出分压：10 k$\Omega$ / 4.42 k$\Omega$，峰值增益约 10；
- 标称：f_0=1007\ \text{Hz}，BW=100.2\ \text{Hz}，Q=10.05，峰值 10.0（缩放后）；
- 1% 电阻最坏：BW=61.9\ \text{Hz}\sim137.3\ \text{Hz}，峰值 7.2~16.5（缩放后）；要保指标，增益电阻用 0.1%。
4.2 50 Hz 双 T 陷波
需求：掐掉 50 Hz 工频，保留 1 Hz~1 kHz 的其他信号；陷波越深越好，元件用常见值。取 f_0=50\ \text{Hz}，由 f_0=1/(2\pi RC) 先选 C=100\ \text{nF}：
R=\frac{1}{2\pi\times50\times100\times10^{-9}}=31.83\ \text{k}\Omega取 E96 的 31.6 k$\Omega$；R_3=R/2=15.8\ \text{k}\Omega；C_3=2C=200\ \text{nF}（两只 100 nF 并联）。实际
f_0=\frac{1}{2\pi\times31.6\text{k}\times100\text{n}}=50.365\ \text{Hz}与 50 Hz 差 0.73%，在 1% 元件容差内。
理想深度：双 T 在 f_0 处是二阶零点，理论上 |H|=0，深度无穷大。实际深度由匹配决定。按 §3.6 的近似式，1% 失配（最坏组合）给出
|H_{\min}|\approx0.25\times0.01=2.5\times10^{-3},\qquad 20\lg(2.5\times10^{-3})=-52.0\ \text{dB}数值解给出 -52.15\ \text{dB}。在 50 Hz 处（不是精确的 50.365 Hz）残余 |H|=0.00443，即 -47.07\ \text{dB}；在 100 Hz 处 |H|=0.347，即 -9.20\ \text{dB}——陷波只压 50 Hz，几乎不压 100 Hz 的二次谐波。
带宽：双 T 的 Q=1/4，-3\ \text{dB} 带宽 BW=4f_0=201.5\ \text{Hz}，从约 11.9 Hz 到 213.4 Hz。也就是说，虽然 50 Hz 处很深，但从 12 Hz 到 213 Hz 的整段都被“压了一半”，这对 1 Hz~1 kHz 的信号不是没有代价；如果只要 50 Hz 这一点，双 T 的宽带衰减可能比想象中大。
失配深度表（数值解，最坏组合）：
| 相对失配 \delta | |H_{\min}| | 深度 | |---|---|---| | 0.1% | 2.47\times10^{-4} | -72.1\ \text{dB} | | 0.5% | 1.24\times10^{-3} | -58.1\ \text{dB} | | 1% | 2.47\times10^{-3} | -52.2\ \text{dB} | | 2% | 4.88\times10^{-3} | -46.2\ \text{dB} | | 5% | 1.17\times10^{-2} | -38.6\ \text{dB} |
下图把理想双 T 的深零用 -60\ \text{dB} 的数值下限截断，方便与 1% 失配的 -52\ \text{dB} 对比；实际理想匹配时理论上是零，图中 -60\ \text{dB} 只是绘图下限。
要做 -60\ \text{dB} 以上的陷波，元件匹配要到 0.4% 以内（|H|_{\min}\approx0.25\delta，0.5% 只有约 −58 dB）；要做 -70\ \text{dB}，要到 0.1% 以内。普通 1% 电阻 + 1% 电容在最坏组合下只能到约 -52\ \text{dB}，这是“为什么双 T 必须精确匹配”的定量答案。
现象：50 Hz 处确实压得很深，但 20 Hz、100 Hz 的信号也明显变小，示波器上看波形整体幅度下降。原因：双 T 的 Q=1/4，-3\ \text{dB} 带宽是 4f_0=200\ \text{Hz}，从 12 Hz 起就开始衰减；深坑只集中在 f_0 附近很窄的一段。解决：如果只需要压 50 Hz、不想动 20 Hz，先用有源陷波（正反馈抬 Q）或后接高通/低通把不需要的频段再修；不要指望无源双 T 既深又窄。
4.3 验算与容差汇总
| 指标 | 1 kHz 带通 | 50 Hz 双 T |
|---|---|---|
| 标称 f_0 | 1007.3 Hz | 50.365 Hz |
| 标称 BW | 100.2 Hz | 201.5 Hz（-3\ \text{dB}） |
| 标称 Q | 10.05 | 0.25 |
| 峰值 / 凹陷 | 30.29 dB（缩放前） | 理论 \infty，1% 失配 -52.2\ \text{dB} |
| 1% 元件最坏 | BW 61.9~137.3 Hz | 深度 -52.2\ \text{dB} |
| 主要敏感元件 | 高 Q 节的 R_b/R_a | R_3、C_3 的匹配 |
| 建立 / 群时延 | 1% 建立 14.55 ms | 陷波附近相位急转，宽带信号会失真 |
5. 工程含义：Q、容差与建立时间
5.1 Q 的代价：建立时间与噪声
高 Q 带通的窄带是用“能量在 f_0 附近存得更久”换来的。二阶带通的包络时间常数是
\tau=\frac{2Q}{\omega_0}=\frac{Q}{\pi f_0}Q=10、f_0=1\ \text{kHz} 时 \tau=3.18\ \text{ms}；1% 建立约 4.6\tau=14.6\ \text{ms}，0.1% 建立约 6.9\tau=21.9\ \text{ms}。这还没算运放压摆率和 ADC 的采样保持。窄带滤波器的“响应快”和“选频准”是直接矛盾的：要窄带就得等，要快就得放宽带宽。
噪声带宽也随 Q 变化。理想二阶带通的等效噪声带宽是 (\pi/2)f_0/Q 量级；Q 越高，噪声带宽越窄，白噪声进得越少——这是高 Q 的好处。但 1/f 噪声和运放失调不会被窄带滤掉，反而可能因为高增益在带内更突出。
5.2 元件容差与调谐
- 带通的 Q：高 Q 节的 Q=1/(3-K)，S_K^Q=KQ；Q=10 时 1% 的 K 误差就是 29% 的 Q 误差。增益电阻至少 0.1%，或在 R_b 上串微调电位器，装好后用频率扫描调 BW。
- 带通的 f_0：由 RC 乘积定，1% 电阻 + 1% 电容最坏约 2% 的频率误差；高 Q 时 2% 的 f_0 偏移可能已经超出 BW 的 20%，必须校准。
- 双 T 的深度：R_3、C_3 的匹配最关键；用 0.1% 电阻、1% C0G/薄膜电容，或在 R_3 上并联微调。串联 R_1/R_2、C_1/C_2 的同向漂移只移动 f_0，不一定变浅；但它们的反向失配也会降低深度（表 §3.6）。
- 温度：C0G 的温漂约 \pm30\ \text{ppm}/^{\circ}\text{C}（典型量级，以数据手册为准），薄膜电容通常也在同一量级；X7R 的容值随温度和直流偏压变化，不能用于深陷波。
5.3 源阻抗、负载与缓冲
双 T 是无源网络，它的输入阻抗约为 R（50 Hz 设计里是 31.6 k$\Omega$），输出阻抗也约为 R。如果信号源内阻不可忽略，它会与 R_1 串联，改变上 T 的时间常数；如果后级输入阻抗不高，它会与 R_2 并联，改变下 T 的分压。两种情况都会让陷波变浅、f_0 偏移。实用做法是：前面加低阻缓冲，后面加高阻缓冲（电压跟随器）；缓冲器的输入电容要小，否则与 R 形成额外极点。
带通的输入阻抗由第一节决定：Sallen-Key 高通的输入阻抗在低频很高、在高频接近 R；MFB 的输入阻抗约为 R_1。前级输出阻抗要远小于这些值，否则带边形状会变。
单电源工作时，两节的同相端都要偏置到 V_{cc}/2；高 Q 节的偏置电阻会与 R_2 并联，改变 Q 和 f_0，要把偏置网络并进节点方程，不能只在输入端串一只耦合电容了事。
5.4 工频干扰与谐波
50 Hz 陷波只压基波，100 Hz、150 Hz 的谐波仍在。工频干扰通常是非正弦的，含有 3、5、7 次谐波；只用一个 50 Hz 陷波，残余的 100 Hz 纹波可能仍有几毫伏。对策：
- 用 50 Hz + 100 Hz + 150 Hz 的梳状陷波（多个双 T 级联），或先低通再陷波；
- 从源头解决：屏蔽、双绞、共模扼流、隔离放大器；陷波是最后一道，不是第一道；
- 注意陷波器的相位：50 Hz 附近的相位急转，宽带信号（如心电的 QRS 波）经过陷波后波形会失真；诊断级心电常用“线性相位”或“最小相位”权衡，不能只看幅度。
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无源双 T 的 Q=1/4。把双 T 接进一个增益略小于 1 的正反馈环路，等效 Q 近似提高为
Q\approx\frac{Q_0}{1-K}=\frac{0.25}{1-K}\quad(K<1)K=0.9 时 Q\approx2.5，K=0.99 时 Q\approx25。K 越接近 1，坑越窄越深，但 K\geq1 会满足振荡条件，输出自激；同时 K 的稳定性直接决定陷波深度，K 漂 0.1% 就可能把 -60\ \text{dB} 的坑抬到 -40\ \text{dB}。有源双 T 适合“固定频率、出厂校准”的场合，不适合用 1% 电阻随便搭。
6. 常见坑
- 现象：用一阶高通 + 一阶低通级联做 1 kHz、Q=10 的带通，实测带宽 2 kHz，峰值只有 -6\ \text{dB}。原因：两个实极点的带通 Q\leq0.5，无论怎么调转折频率都做不出 Q=10；f_L=f_H 时 Q=0.5、峰值 -6.02\ \text{dB}。解决：改用有复极点的高 Q 节（Sallen-Key 高通、MFB、状态变量），一阶节只用来做宽带或后级修形。
- 现象：双 T 用 1% 电阻电容，50 Hz 处只压到 -50\ \text{dB}，达不到设计的 -80\ \text{dB}。原因：双 T 的深度由两个 T 的时间常数匹配决定，1% 失配的最坏组合约 -52\ \text{dB}；R_3、C_3 最敏感。解决：R_3、C_3 用 0.1%、同批次、低温漂元件，或在 R_3 上加微调；用网络分析仪实测陷波深度。
- 现象：50 Hz 陷波装好后，100 Hz 的工频谐波仍然很大。原因：陷波只压基波，100 Hz 在双 T 的 -9.2\ \text{dB} 处，几乎没被压。解决：加 100 Hz/150 Hz 陷波或先低通；从屏蔽、共模扼流等源头治理。
- 现象：Q=10 的带通，1% 电阻装出来带宽从 100 Hz 变成 60 Hz 或 140 Hz。原因：Q=1/(3-K)，S_K^Q=KQ=29，1% 的 K 误差就是 29% 的 Q 误差。解决：增益电阻用 0.1% 或微调；或换 f_0、Q 解耦的状态变量/双二阶结构。
- 现象：窄带滤波器输出很久才稳定，ADC 采到的第一个点总是错的。原因：高 Q 的包络时间常数 \tau=2Q/\omega_0，1% 建立要 4.6\tau；Q=10、1 kHz 时约 14.6 ms。解决：采样前等待至少 5 倍时间常数，或在滤波器后加采样保持；不要用“上电即采”的时序。
- 现象：双 T 接上信号源和后级后，陷波变浅、f_0 偏移。原因：源内阻与 R_1 串联、负载与 R_2 并联，改变了两个 T 的时间常数。解决：前后各加缓冲（电压跟随器），缓冲器输入电容要小；双 T 的 R 取 10 k$\Omega$~100 k$\Omega$，不要用 M$\Omega$ 级。
7. 自测题
带通 f0=1 kHz、Q=10，求 -3 dB 带宽、精确半功率点，以及用 f0±BW/2 近似带来的误差。
BW=\frac{f_0}{Q}=\frac{1000}{10}=100\ \text{Hz}精确半功率点：
f_{hi,lo}=1000\left(\sqrt{1+\frac{1}{400}}\pm\frac{1}{20}\right)=1000(1.00125\pm0.05)即 1051.25 Hz 与 951.25 Hz。算术近似 1050/950 与精确值各差 1.25 Hz，占带宽 1.25%；Q=10 时工程上可用，低 Q 时误差会明显变大。
为什么一阶高通 + 一阶低通的级联做不出 Q=10？它的 Q 最大是多少？
两个一阶节的极点都是实数，分母是两个实系数一阶因式的乘积，写成标准二阶形式时 Q\leq0.5。f_L=f_H 时 Q=0.5、峰值 -6.02\ \text{dB}；f_L 与 f_H 分得越开，Q 越小、平台越宽。要 Q>0.5，必须让极点成为共轭复极点，也就是引入正反馈或谐振网络（Sallen-Key、MFB、状态变量）。
双 T 陷波取 R=31.6 kΩ、C=100 nF、R3=15.8 kΩ、C3=200 nF，求 f0、-3 dB 带宽和 Q。1% 失配下陷波深度大约多少？
f_0=\frac{1}{2\pi\times31.6\text{k}\times100\text{n}}=50.365\ \text{Hz}BW=4f_0=201.5\ \text{Hz},\qquad Q=\frac{f_0}{BW}=0.251% 最坏失配：|H_{\min}|\approx0.25\times0.01=2.5\times10^{-3}，深度
20\lg(2.5\times10^{-3})=-52.0\ \text{dB}数值解约 -52.2\ \text{dB}。要 -70\ \text{dB}，失配要小到 0.1% 量级。
50 Hz 双 T 陷波对 100 Hz 的抑制是多少？如果工频干扰含 100 Hz 谐波，该怎么办？
双 T 的传递函数在 x=2（100 Hz 对 50 Hz）处：
|H|=\frac{|1-4|}{\sqrt{(1-4)^2+16\times4}}=\frac{3}{\sqrt{9+64}}=\frac{3}{8.544}=0.351即约 -9.1\ \text{dB}（数值解 -9.20\ \text{dB}），几乎不抑制。工频谐波要用 100 Hz/150 Hz 陷波、梳状滤波或低通；从源头用屏蔽、共模扼流、隔离放大器更有效。
1 kHz、Q=10 的带通，高 Q 节的 K 取多少？若增益电阻是 1%，带宽的最坏范围是多少？
Q=1/(3-K)=10，K=2.9，R_b/R_a=1.9。
1% 电阻比值最坏 1.9\times1.01/0.99=1.938 或 1.9\times0.99/1.01=1.862，K=2.938 或 2.862：
Q=\frac{1}{3-K}=16.23\ \text{或}\ 7.27带宽 BW=f_0/Q 约 62 Hz 或 137 Hz（数值扫描 61.9~137.3 Hz）。要保 100 Hz±10%，增益电阻至少 0.1%。
Q=10、f0=1 kHz 的带通，1% 建立时间大约多少？为什么窄带滤波器不能“又快又准”？
包络时间常数
\tau=\frac{2Q}{\omega_0}=\frac{20}{2\pi\times1000}=3.18\ \text{ms}1% 建立约 4.6\tau=14.6\ \text{ms}，0.1% 约 6.9\tau=21.9\ \text{ms}。高 Q 意味着能量在 f_0 附近存得久，建立时间与 Q 成正比；要窄带就必须等，要快就得放宽带宽，两者不能同时最优。
8. 参考资料
- TI, Op Amps for Everyone（SLOD006B），Chapter 16 Active Filter Design Techniques：多路反馈带通、双 T 陷波、Sallen-Key 带通的结构与设计表。
- TI, Active Filter Design Techniques（SLOA088）：MFB 带通的 R_1、R_2、R_3 设计式与中心增益、Q 的对应关系。
- Analog Devices, MT-210 Analog Filters（Mini Tutorial）：带通/带阻的频响、Q 与带宽、双 T 网络的数量级讨论。https://www.analog.com/media/en/training-seminars/tutorials/MT-210.pdf
- Sergio Franco, Design with Operational Amplifiers and Analog Integrated Systems（4th ed.），Filter Circuits 一章：带通、带阻、双 T 与状态变量滤波器的传递函数和设计方法。
- 邱关源《电路》，电路的频率响应一章：谐振、品质因数、通频带与半功率点的定义；本章的 Q=f_0/BW 与几何对称口径与该书一致。
- Sedra and Smith, Microelectronic Circuits（8th ed.），Active Filters 部分：双二阶（biquad）、状态变量与双 T 的结构，以及高 Q 对元件灵敏度的讨论。