反相比例放大器 Inverting Amplifier
反相比例放大器（inverting amplifier）只需要两只电阻：输入电阻 R_1 和反馈电阻 R_f。信号从反相端进，同相端接地，输出与输入反相，理想增益 A_{CL}=-R_f/R_1。它是最常见的运放电路之一，也是误解最多的一只：很多人记住"虚地"和"-R_f/R_1"，却不知道反相端的输入阻抗就是 R_1、噪声增益是 1+R_f/R_1 而不是 R_f/R_1、虚地只是近似。这三条只要错一条，高阻源、带宽预算或直流误差就会在现场翻车。
本章按"为什么需要 → 虚地到底是什么意思 → 有限开环增益怎么修正 → 输入阻抗与噪声增益 → 完整设计算例"展开。符号沿用运放概述：符号、封装与引脚：开环增益 A_{OL}、闭环增益 A_{CL} 或 G、反馈系数 \beta（不是三极管的电流放大倍数）、环路增益 T=A_{OL}\beta、噪声增益 1/\beta、GBW、PM。虚短、虚断只在负反馈成立、输出未饱和、|T|\gg1 时成立；本章每次使用前都会点明这个前提。三种基本组态的输入/输出阻抗对比见理想模型五假设与虚短、虚断，反馈拓扑的判别见反馈四拓扑与环路增益。
1. 设计动机
场景一：0.25 V 传感器放大到 2.5 V。 电流传感器输出 0~0.25 V，ADC 满量程 2.5 V，需要 10 倍增益。用同相放大器当然可以，但同相放大的输入端必须承受信号本身的共模电压；如果信号是负的、或者需要多路相加，反相组态更方便：反相端是虚地，多路输入可以各经一只电阻汇到同一个节点，互不干扰。这是加法器、减法器和跨阻放大的共同基础。
场景二：把 1 MΩ 高阻传感器接到反相放大。 设计 R_1=10\ \text{k}\Omega、R_f=100\ \text{k}\Omega，目标增益 -10。实际信号源内阻 1 MΩ 与 R_1 串联分压，送到虚地的电流只剩 1/(1+100)=0.99\%，等效增益
G=-\frac{R_f}{R_1+R_s}=-\frac{100\ \text{k}\Omega}{10\ \text{k}\Omega+1\ \text{M}\Omega}=-0.099比设计值低 20\lg(0.0099)=-40.1\ \text{dB}。反相放大的输入阻抗不是无穷大，而是 R_1——这是本章最重要的一条纠正。
场景三：单电源 5 V 下输出负半周被削平。 输入 0.25 V、增益 -10，输出应该是 -2.5\ \text{V}；但 5 V 单电源的输出最低只能到 0 V 附近，负半周全部削掉，输出卡在 0 V。反相放大要输出负电压，要么用双电源，要么把同相端偏置到 V_{ref}、输入输出都交流耦合，让输出以 V_{ref} 为中心摆动。
| 你想确认 | 先算 | 判据（工程经验值） |
|---|---|---|
| 高阻源会不会被衰减 | R_1 与源内阻 R_s | R_1\ge100R_s（误差 ≤1%） |
| 增益准不准 | T=A_{OL}\beta | T\ge100 → 误差 ≤1% |
| 带宽够不够 | f_{cl}=GBW/(1/\beta) | f_{cl}\ge10\times 最高信号频率 |
| 输出噪声多大 | e_n(1/\beta)\sqrt{BW} | 小于 ADC 的 1 LSB |
| 直流误差多大 | V_{OS}(1/\beta)+I_BR_{eq}(1/\beta) | 小于目标精度的 1/3 |
| 单电源能不能用 | 输出是否要为负 | 要负输出就加负电源或偏置 |
不算会摔在哪，四个带数字的代价：
- 把输入阻抗当成无穷大。 1 MΩ 源、R_1=10\ \text{k}\Omega，增益从 -10 掉到 -0.099，低了 40.1 dB；信号还没进运放就没了。
- 用信号增益算带宽。 反相 -10 的噪声增益是 11，闭环带宽 10\ \text{MHz}/11=909\ \text{kHz}，不是 10\ \text{MHz}/10=1\ \text{MHz}；按 1 MHz 设计，最后 100 kHz 处的增益误差会比预期大一截。
- 忽略有限 A_{OL}。 目标增益 1000 时 T=100，增益误差约 1%，比 1% 电阻的误差还大；换 0.1% 电阻没用，得降单级增益或换高 A_{OL} 器件。
- 单电源直接放大交流信号。 负半周没有摆幅，输出削平；这不是"运放不好"，是供电与偏置没设计。
2. 定义与直观
2.1 一句话定义与两只电阻
反相比例放大器：输入电压经 R_1 送到反相端，R_f 从输出接回反相端，同相端接参考地（双电源时是 0 V，单电源时是 V_{ref}）。理想闭环增益
A_{CL}=-\frac{R_f}{R_1}符号与单位：A_{CL} 无量纲（V/V），负号表示输出与输入反相 180^{\circ}；R_1、R_f 单位 \Omega。反馈系数
\beta=\frac{R_1}{R_1+R_f},\qquad \frac{1}{\beta}=1+\frac{R_f}{R_1}注意 \beta 是正数，负号来自输入网络（信号从 R_1 进、从 R_f 出），不来自 \beta。环路仍然是负反馈，稳定性判据用的是 T=A_{OL}\beta 的相位，不是闭环增益的符号。
2.2 虚地：被反馈按住的 0 V
由 V_{OUT}=A_{OL}(V_+-V_-)，同相端接地 V_+=0，所以
V_-=-\frac{V_{OUT}}{A_{OL}}量级是 |V_{OUT}|/A_{OL}。V_{OUT}=-2.5\ \text{V}、A_{OL}=10^5 时，V_-=+25\ \mu\text{V}——反相端比地高 25 µV，几乎就是 0 V，但它不是真的接地。
这条 25 µV 的偏差决定了三件事：
- 输入电流全部流过 R_f。 因为 V_-\approx0，R_1 上的电压就是 V_{IN}，电流 I=V_{IN}/R_1；虚断又保证这个电流不进入运放，只能全部流过 R_f，在 R_f 上产生 I R_f 的压降，输出因此是 -I R_f。
- 输入阻抗等于 R_1。 信号源看到的负载是 R_1 一端接源、另一端接一个近似 0 V 的节点，所以 Z_{in}\approx R_1。
- 虚地是近似，不是短路。 如果把反相端直接接地"看看"，输入信号被 R_1 短路到地，反馈也被破坏，电路不再放大。测试时只能用高阻探头轻触，不能短接。
把反相端想成天平的支点，R_1 和 R_f 是两侧的力臂。输入电流想把这端抬起来，运放立刻把输出往反方向压，用 R_f 上的电流把它拉回 0 V。支点越"硬"（A_{OL}\beta 越大），偏离 0 V 越小；支点一旦被输出饱和顶住，天平就失灵了。
类比的边界：天平是被动平衡，运放是主动伺服；天平的支点真的固定，虚地的支点只在 |T|\gg1 的频率范围内有效。频率升高后 A_{OL} 滚降，虚地会"软"下来，V_- 从 25 µV 涨到 25 mV 甚至更大。
2.3 反相是怎么来的
设输入电压升高 \Delta V_{IN}。反相端暂时升高，运放的同相端接地，误差 V_+-V_- 变负，输出被往负方向推；输出下降又通过 R_f 把反相端拉回 0 V。平衡后，R_1 上的电流 V_{IN}/R_1 全部流过 R_f，输出必须是 -R_f/R_1 倍的输入，才能提供这个电流。输出反向，是为了把输入电流"吸"过反馈电阻。
如果把 R_f 接到同相端，反馈变成正反馈，输出会锁在电源轨，电路变成施密特触发器而不是放大器。这是面包板上最常见的接错之一，见 §6。
3. 定量关系
3.1 理想增益推导
在负反馈成立、输出未饱和、|T|\gg1 的前提下，用虚短 V_-=V_+=0，用虚断 I_-=0。对反相端列 KCL：
\frac{V_--V_{IN}}{R_1}+\frac{V_--V_{OUT}}{R_f}=0代入 V_-=0：
-\frac{V_{IN}}{R_1}-\frac{V_{OUT}}{R_f}=0\ \Rightarrow\ V_{OUT}=-\frac{R_f}{R_1}V_{IN}这就是反相比例放大的全部推导。它没有用到 A_{OL}，因为 A_{OL} 被负反馈"消耗"掉了；只要 |T|\gg1，增益就只由电阻比决定。
3.2 有限开环增益的修正
保留 A_{OL}，同相端接地，V_{OUT}=-A_{OL}V_-。对反相端列 KCL：
\frac{V_--V_{IN}}{R_1}+\frac{V_--V_{OUT}}{R_f}=0,\qquad V_{OUT}=-A_{OL}V_-把 V_{OUT} 代入并整理：
V_-\left(\frac{1}{R_1}+\frac{1+A_{OL}}{R_f}\right)=\frac{V_{IN}}{R_1}解出 V_-，再乘 -A_{OL}：
A_{CL}=-\frac{R_f}{R_1}\cdot\frac{A_{OL}}{A_{OL}+1+R_f/R_1}=-\frac{R_f}{R_1}\cdot\frac{T}{1+T}其中
T=A_{OL}\beta,\qquad \beta=\frac{R_1}{R_1+R_f},\qquad \frac{1}{\beta}=1+\frac{R_f}{R_1}这就是反相组态的精确式。误差因子是 T/(1+T)，不是 1/(1+T) 的倒数那么简单：相对误差仍是 -1/(1+T)，但 T 与 \beta 的对应关系是"噪声增益" 1+R_f/R_1，不是信号增益 R_f/R_1。负反馈"用多余增益换精度"的完整记账见开环、闭环增益与负反馈本质。
以 A_{OL0}=10^5、R_1=10\ \text{k}\Omega、R_f=100\ \text{k}\Omega 为例：
\beta=\frac{10}{10+100}=0.090909,\qquad \frac{1}{\beta}=11.0T_0=10^5\times0.090909=9090.9,\qquad A_{CL0}=-10\times\frac{9090.9}{9091.9}=-9.99890相对理想值 -10 的误差是 -0.0110\%，正好是 -1/(1+T_0)=-1/9091.9。这个误差在低频很小，但频率升高、T 下降后会变大：100 kHz 处 |T|=9.09，增益误差约 -0.61\%；到 f_{cl}=909\ \text{kHz} 处 |T|=1，增益只剩 -7.07（-29.3\%）。
3.3 输入阻抗：等于 R_1，不是无穷大
在输入端加测试电压 V_t、量输入电流，保留 A_{OL} 可推得
Z_{in,inv}=R_1+\frac{R_f}{1+A_{OL}}取 R_1=10\ \text{k}\Omega、R_f=100\ \text{k}\Omega、A_{OL}=10^5：
Z_{in}=10^4+\frac{10^5}{1+10^5}=10^4+1.0\ \Omega=10.001\ \text{k}\Omega第二项只有 1 Ω，反相输入阻抗几乎就等于 R_1，与运放的开环增益几乎无关。这跟同相组态形成鲜明对比：同相输入阻抗是 R_{icm}，典型 10^9\sim10^{15}\ \Omega；反相只有 10\ \text{k}\Omega，差五到十一个数量级。
| 项目 | 反相 -10 | 同相 +10 | 跟随器 +1 |
|---|---|---|---|
| 信号增益 | -R_f/R_1=-10 | 1+R_f/R_1=10 | 1 |
| 输入阻抗（直流） | \approx R_1=10\ \text{k}\Omega | \approx R_{icm}=1\ \text{G}\Omega | \approx1\ \text{G}\Omega |
| 输入端的共模电压 | \approx0（虚地） | 等于 V_{IN} | 等于 V_{IN} |
| 噪声增益 1/\beta | 1+R_f/R_1=11 | 1+R_f/R_1=10 | 1 |
| 反馈网络是否加载信号源 | 是（R_1 就是负载） | 否 | 否 |
| 单电源低端信号 | 容易处理（虚地接近 0 V） | 受 ICMR 限制 | 受 ICMR 限制 |
这张表的关键行是第二行："运放输入阻抗无穷大"只对同相端成立。反相放大把输入信号经 R_1 送到虚地，信号源看到的负载就是 R_1；如果源内阻与 R_1 可比，增益会按 R_f/(R_1+R_s) 掉下来。高阻源要么改用同相放大（见同相比例放大器），要么在反相放大前加一级电压跟随器。
3.4 虚地到底有多"虚"
虚地的偏差是 |V_-|=|V_{OUT}|/A_{OL}，它随频率升高而变大：
| 频率 | \lvert A_{OL}\rvert | \lvert V_-\rvert（V_{OUT}=-2.5\ \text{V}） | 输入阻抗近似 |
|---|---|---|---|
| 直流 | 10^5 | 25\ \mu\text{V} | 10.001\ \text{k}\Omega |
| 1 kHz | 9950 | 251\ \mu\text{V} | 10.01\ \text{k}\Omega |
| 100 kHz | 100.0 | 25.0\ \text{mV} | 10.99\ \text{k}\Omega（近似） |
| 909 kHz | 11.0 | 227\ \text{mV} | — |
100 kHz 时虚地偏差 25 mV，已经不能忽略：它会让输入电流产生 25 mV 的误差，也会让"输入阻抗 = R_1"这个结论出现约 10% 的偏差（按 R_1+R_f/(1+|A_{OL}|) 估算为 10.99 kΩ；严格复数计算因相位不同会略低，约 10.06 kΩ）。虚地是低频近似，不是全频段定理；高精度、高频率场合要把这个偏差计入预算。
3.5 噪声增益：不等于信号增益
反相组态有两个"增益"，必须分开记：
- 信号增益：|A_{CL}|=R_f/R_1=10，决定输入到输出的比例；
- 噪声增益：1/\beta=1+R_f/R_1=11，决定闭环带宽、输出噪声、失调与共模误差的放大倍数。
两者差 1，这个 1 来自输入网络：即使 R_f=0（信号增益为 0），反相端到输出仍有 R_1 到地的通路，噪声增益是 1。三个后果：
- 带宽：f_{cl}=GBW/(1/\beta)=GBW/11。R_1=10\ \text{k}\Omega、R_f=100\ \text{k}\Omega、GBW=10 MHz 时 f_{cl}=909\ \text{kHz}，不是 1\ \text{MHz}；按信号增益算会高估 10%。
- 噪声：运放电压噪声被 1/\beta=11 放大，不是 10。但闭环噪声带宽同时按 1/11 缩小，所以总输出噪声只按 \sqrt{11/10}=1.049 增加约 5%，不是 10%。"噪声密度按噪声增益放大、总噪声还乘噪声带宽"这两步不能省。
- 稳定性：噪声增益越高，f_c=GBW/(1/\beta) 越低，离第二极点越远，PM 越大。所以同样目标增益 10，反相 -10（噪声增益 11）比同相 +10（噪声增益 10）略稳；真正吃掉 PM 的是反相端输入电容与大阻值反馈网络，不是噪声增益本身。反相端 C_{in} 与 R_1\parallel R_f 形成极点，R_1\parallel R_f=9.09\ \text{k}\Omega、C_{in}=5\ \text{pF} 时极点在 1/(2\pi\times9.09\ \text{k}\times5\ \text{p})=3.50\ \text{MHz}，远高于 909 kHz，本例可以忽略；若把电阻放大到 100\ \text{k}\Omega/1\ \text{M}\Omega，同一 5 pF 会把极点压到 350 kHz，必须按稳定性：伯德图、相位裕度与补偿重算。
3.6 适用条件与失效边界
- 负反馈必须回到反相端。 接到同相端就是正反馈，输出锁死；这是上电前必须核对的一项。
- 输出必须在线性区。 反相输出要为负，双电源下没问题；单电源下输出撞到 0 V 就是饱和，虚地、增益公式全部失效。
- |T|\gg1。 低频、低增益时 T 很大；高增益或高频时 T 下降，增益误差按 1/(1+T) 增大。
- 源内阻远小于 R_1。 否则输入分压，增益按 R_f/(R_1+R_s) 算，不是 R_f/R_1。
- 反馈网络是实数。 纯电阻在低频成立；加电容（低通、积分器）后 \beta 带相移，稳定性要按 \beta(s) 重算。
- 输出负载与容性负载。 反相输出的闭环输出阻抗也是 R_{out,OL}/(1+T)，带容性负载时同样可能振铃；驱动长线要串隔离电阻。
4. 典型计算
4.1 完整算例：-10、输入阻抗 10\ \text{k}\Omega、带宽不低于 100 kHz
需求：输入 0~0.25 V，输出 0~-2.5\ \text{V}，增益 -10，输入阻抗 10\ \text{k}\Omega，闭环 -3\ \text{dB} 带宽不低于 100 kHz，双电源 \pm5\ \text{V}。运放示例参数：A_{OL0}=10^5、GBW=10 MHz、f_p=100\ \text{Hz}、R_{out,OL}=50\ \Omega、V_{OS}=1\ \text{mV}、I_B=25\ \text{nA}、I_{OS}=2\ \text{nA}、C_{in}=5\ \text{pF}、e_n=10\ \text{nV}/\sqrt{\text{Hz}}、CMRR=80 dB、PSRR=80 dB（典型量级，以数据手册为准）。
第 1 步：取 E96 电阻。 输入阻抗就是 R_1，所以 R_1=10.0\ \text{k}\Omega（E96 有 10.0）；增益 -10 要求 R_f=10\times10.0=100\ \text{k}\Omega（E96 有 100）。两只都取 0.1% 薄膜电阻，理由见第 6 步的误差预算。
第 2 步：噪声增益与带宽。 \beta=10/(10+100)=0.090909，1/\beta=11.0。
f_{cl}=\frac{GBW}{1/\beta}=\frac{10\ \text{MHz}}{11}=909.1\ \text{kHz}909.1\ \text{kHz}\ge100\ \text{kHz}，带宽门槛满足，而且是 9.1 倍余量。如果只按"-3\ \text{dB}\ge100\ \text{kHz}"选器件，GBW 只要 11\times100\ \text{kHz}=1.1\ \text{MHz}；但 100 kHz 处的幅度误差会很大（见第 4 步），所以实际选了 10 MHz。
第 3 步：有限 A_{OL} 修正。
T_0=A_{OL0}\beta=10^5\times0.090909=9090.9A_{CL0}=-10\times\frac{9090.9}{1+9090.9}=-9.99890误差 -1/(1+T_0)=-1/9091.9=-0.0110\%。低频增益几乎就是 -10。
第 4 步：100 kHz 处的实际增益。 100 kHz 处 f/f_p=1000：
|A_{OL}|=\frac{10^5}{\sqrt{1+1000^2}}=99.99995,\qquad \angle A_{OL}=-89.943^{\circ}|T|=99.99995\times0.090909=9.0909,\qquad \angle T=-89.943^{\circ}|A_{CL}|=10\times\frac{9.0909}{\sqrt{1+9.0909^2}}=10\times\frac{9.0909}{9.1457}=9.9390幅度误差 (9.9390-10)/10=-0.610\%；相对理想反相的附加相移约 -6.28^{\circ}。100 kHz 处掉了 0.61%，仍在 1% 预算内；如果只按 1.1 MHz 的 GBW 选，f_{cl}=100\ \text{kHz}，100 kHz 处正好 -3\ \text{dB}，误差 -29.3\%，完全不能用。
第 5 步：输入阻抗与虚地。 直流
Z_{in}=10\ \text{k}\Omega+\frac{100\ \text{k}\Omega}{1+10^5}=10.001\ \text{k}\OmegaV_{OUT}=-2.5\ \text{V} 时 V_-=2.5/10^5=25\ \mu\text{V}。100 kHz 时 |A_{OL}|=100，V_-=2.5/100=25\ \text{mV}；按 R_1+R_f/(1+|A_{OL}|) 估算，输入阻抗升到约 10.99 kΩ。源内阻要远小于 10 kΩ：R_s=100\ \Omega 时增益误差 100/10100=0.99\%，已经接近 1%；R_s=10\ \Omega 时才降到 0.1%。
第 6 步：直流误差预算。 反相端对地等效电阻 R_{eq}=R_1\parallel R_f=10\times100/110=9.091\ \text{k}\Omega。
| 误差源 | 折合到输入 | 输出误差 | 说明 |
|---|---|---|---|
| V_{OS}=1\ \text{mV} | 1\ \text{mV} | 11.0\ \text{mV} | 乘噪声增益 11，不是信号增益 10 |
| I_B=25\ \text{nA} | 25\ \text{nA}\times9.091\ \text{k}\Omega=227\ \mu\text{V} | 2.50\ \text{mV} | + 端接地时只由 - 端贡献 |
| I_{OS}=2\ \text{nA}（加平衡电阻） | 2\ \text{nA}\times9.091\ \text{k}\Omega=18.2\ \mu\text{V} | 0.20\ \text{mV} | 平衡电阻只能消 I_B，消不掉 I_{OS} |
| PSRR=80 dB、电源变化 50 mV | 50\ \text{mV}/10^4=5\ \mu\text{V} | 0.055\ \text{mV} | 正负电源各算一次，取最坏 |
| 电阻失配 0.1% | 增益误差 0.2% | 5.0\ \text{mV} | 两只 0.1% 最坏反向 |
| CMRR=80 dB、V_{cm}\approx0 | \approx0 | \approx0 | 反相组态的共模电压接近 0 |
最坏值相加（加平衡电阻）：11.0+0.20+0.055+5.0=16.3\ \text{mV}；不加平衡电阻：11.0+2.50+0.055+5.0=18.6\ \text{mV}。按 RSS 合成：加平衡电阻约 12.1\ \text{mV}，不加约 12.3\ \text{mV}。相对 2.5 V 输出，最坏 0.65%，RSS 0.48%。主导项是 V_{OS}（11 mV）和电阻失配（5 mV），偏置电流只排第三；如果换成 1% 电阻，失配项变成 50 mV，直接吃掉整个预算。
第 7 步：噪声。 闭环噪声带宽 BW=(\pi/2)f_{cl}=1.428\ \text{MHz}。运放电压噪声：
V_{n,op}=10\ \text{nV}/\sqrt{\text{Hz}}\times11\times\sqrt{1.428\times10^6}=131.4\ \mu\text{V}_{\text{RMS}}反馈网络热噪声（R_{eq}=9.091\ \text{k}\Omega，噪声密度 \sqrt{4kTR}=12.27\ \text{nV}/\sqrt{\text{Hz}}）：
V_{n,R}=12.27\ \text{nV}/\sqrt{\text{Hz}}\times11\times\sqrt{1.428\times10^6}=161.3\ \mu\text{V}_{\text{RMS}}总输出噪声 \sqrt{131.4^2+161.3^2}=208.1\ \mu\text{V}_{\text{RMS}}，约 0.17 个 12 位 5 V ADC 的 LSB（1.22 mV）。要再低，只能减小 R_{eq}（例如 R_1=1\ \text{k}\Omega、R_f=10\ \text{k}\Omega），代价是输入阻抗降到 1 kΩ、信号源要多供 10 倍电流。
第 8 步：稳定性与输出摆幅。 纯电阻反馈、R_1\parallel R_f=9.09\ \text{k}\Omega、C_{in}=5\ \text{pF}，反相端极点 3.50 MHz，远高于 f_{cl}=909\ \text{kHz}，PM 足够（量级上第二极点贡献不到 15^{\circ}）。输出 -2.5\ \text{V} 在 \pm5\ \text{V} 电源下离负轨还有 2.5 V，摆幅没问题。若改成 5 V 单电源，-2.5\ \text{V} 不可能输出，必须按 §5.4 加偏置。
第 9 步：汇总。
| 项目 | 结果 | 公式 |
|---|---|---|
| 增益（直流） | -9.99890 | -(R_f/R_1)T_0/(1+T_0) |
| 增益误差（直流） | -0.0110\% | -1/(1+T_0) |
| 增益（100 kHz） | -9.9390 | 复数 T/(1+T) |
| 增益误差（100 kHz） | -0.610\% | 同上 |
| -3\ \text{dB} 带宽 | 909.1 kHz | GBW/(1/\beta) |
| 输入阻抗（直流） | 10.001 kΩ | R_1+R_f/(1+A_{OL}) |
| 虚地偏差（100 kHz） | 25.0 mV | \lvert V_{OUT}\rvert/\lvert A_{OL}\rvert |
| 输出噪声 | 208\ \mu\text{V}_{\text{RMS}} | e_n(1/\beta)\sqrt{BW} 与电阻噪声 RSS |
| 直流误差（最坏） | 16.3 mV | 各项相加 |
图里低频段两条线几乎重合（增益误差 0.011%，在 0.001 dB 量级），到 100 kHz 才开始可见地下弯（-0.61\%），909 kHz 处正好 -3\ \text{dB}。"带宽 909 kHz"不是说到 909 kHz 才开始掉，而是从 100 kHz 起就已经掉了 0.61%；要求 100 kHz 处误差小于 1%，f_{cl} 至少要 1 MHz 量级。
4.2 算例二：高阻源为什么不能用反相放大
已知：R_s=1\ \text{M}\Omega、R_1=10\ \text{k}\Omega、R_f=100\ \text{k}\Omega，目标 -10。
第 1 步：实际增益。
G=-\frac{100\ \text{k}\Omega}{10\ \text{k}\Omega+1\ \text{M}\Omega}=-0.0990相对 -10 低 20\lg(0.0099)=-40.1\ \text{dB}。
第 2 步：能不能靠加大 R_1 解决？ 把 R_1 加到 1 MΩ、R_f 加到 10 MΩ，输入分压变成 1/(1+1)=0.5，增益 -5，仍然差一半；同时 R_f=10\ \text{M}\Omega 带来三个新问题：① 偏置电流 25\ \text{nA}\times R_{eq}\approx25\ \text{nA}\times0.909\ \text{M}\Omega=22.7\ \text{mV}，乘噪声增益 11 后 250 mV；② 电阻热噪声 \sqrt{4kT\times0.909\ \text{M}\Omega}=122\ \text{nV}/\sqrt{\text{Hz}}，是 9 kΩ 时的 10 倍；③ 反相端极点降到 1/(2\pi\times0.909\ \text{M}\times5\ \text{p})=35\ \text{kHz}，可能吃掉 PM。
第 3 步：正确做法。 高阻源先用电压跟随器缓冲，再进反相放大；或者直接用同相比例放大器，输入阻抗是 R_{icm}，1 MΩ 源的分压误差只有 10^6/(10^9+10^6)=0.1\%。拓扑选择错误，靠调电阻救不回来。
4.3 算例三：反相衰减器（|G|<1）
已知：R_1=100\ \text{k}\Omega、R_f=10\ \text{k}\Omega，输入 2.5 V。
第 1 步：增益与噪声增益。
G=-\frac{10}{100}=-0.1,\qquad \frac{1}{\beta}=1+\frac{10}{100}=1.1第 2 步：带宽。 f_{cl}=GBW/1.1；以 10 MHz 为例 f_{cl}=9.09\ \text{MHz}。噪声增益只有 1.1，接近 1，所以反相衰减器反而是反相组态里最容易振荡的一种，和跟随器类似；驱动容性负载时要按 N=1.1 的 f_c 算 PM。
第 3 步：输入阻抗。 Z_{in}\approx R_1=100\ \text{k}\Omega，比增益 -10 的 10 kΩ 高 10 倍，这是衰减器的一个附带好处；代价是电阻热噪声更大（R_1\parallel R_f=9.09\ \text{k}\Omega，和 -10 时一样）。
5. 工程含义
5.1 数量级表
| 量 | 典型范围 | 备注 |
|---|---|---|
| 信号增益 | 0.01\sim1000 | 单级建议不超过 A_{OL}/100 |
| 噪声增益 1/\beta | 信号增益 +1 | 增益 10 时差 10% |
| R_1 | 100\ \Omega\sim1\ \text{M}\Omega | 甜点区 1\ \text{k}\Omega\sim100\ \text{k}\Omega |
| R_f | R_1\times\lvert G\rvert | 超过 1 MΩ 要查偏置与噪声 |
| f_{cl} | GBW/(1+R_f/R_1) | 不是 GBW/\lvert G\rvert |
| 输入阻抗 | \approx R_1 | 高阻源要换拓扑 |
| 输出阻抗 | R_{out,OL}/(1+T) | 与同相组态相同 |
| 直流误差 | V_{OS}(1/\beta)+I_BR_{eq}(1/\beta) | R_{eq}=R_1\parallel R_f |
5.2 电阻取值：为什么是 1 kΩ~100 kΩ
- 太小：R_1=100\ \Omega、输入 0.25 V 时信号源要供 2.5 mA；高内阻源驱动不了，运放输出电流压力也大。
- 太大：R_f=10\ \text{M}\Omega 时，25 nA 偏置电流产生 250 mV 输出误差；电阻热噪声升到 400\ \text{nV}/\sqrt{\text{Hz}} 量级；反相端极点降到几十 kHz，容易吃 PM；高阻节点还容易拾取工频与空间噪声。
- 甜点区：R_1 取 1\ \text{k}\Omega\sim100\ \text{k}\Omega，R_f 按增益乘上去；超过 1 MΩ 时优先考虑 T 型网络或同相拓扑。
- 精度：0.1% 薄膜电阻不贵，增益误差 0.2% 对应 2.5 V 输出 5 mV；1% 电阻对应 50 mV，12 位系统直接用不了。
5.3 布局：虚地节点是"最脏"的节点
- 反相端走线要短：虚地节点阻抗低（直流约 1 Ω），但它是求和节点，R_1、R_f、运放输入电容、PCB 焊盘电容全部并在这一点上；走线越长，C_{in} 越大，β 的极点越低。
- 反馈电阻紧靠反相端：R_f 的一端尽量短接到反相端，另一端靠近输出；不要从板子另一头绕回来。
- 地回流：同相端的地要与输入信号地、负载地分开走，最后单点汇合；虚地节点对地弹很敏感。
- 保护环：高阻源或高增益时，反相端周围可以加一圈驱动到同电位的 guard ring，降低漏电流；但 guard ring 会增加电容，要权衡。
- 电源退耦：每个电源脚就近 100 nF，双电源正负各一只；退耦不良的典型现象是输出高频毛刺，看起来像"运放噪声大"。
5.4 单电源反相放大：把虚地抬到 V_{ref}
单电源 5 V 下要放大交流信号，输出必须以 V_{ref}（典型 2.5 V）为中心摆动。做法：
- 同相端经 R_b 接到 V_{ref}，并用 100 nF 旁路到地；
- 输入经 C_{in} 交流耦合，R_1 的左端接 C_{in}，右端仍接反相端；
- 输出经 C_{out} 耦合到后级，或直接送 ADC（ADC 以 V_{ref} 为参考）。
此时反相端的"虚地"不再是 0 V，而是 V_{ref}；直流工作点 V_{OUT}=V_{ref}，交流增益仍是 -R_f/R_1。输入信号幅度要满足
V_{ref}-\lvert V_{in,pk}\rvert\frac{R_f}{R_1}\ge V_{out,min},\qquad V_{ref}+\lvert V_{in,pk}\rvert\frac{R_f}{R_1}\le V_{out,max}以 V_{ref}=2.5\ \text{V}、R_f/R_1=10、输出摆幅 0.2~4.8 V 为例，输入峰值最多 \min(2.3,2.3)/10=0.23\ \text{V}；超过就削顶。偏置电阻 R_b 要按 I_BR_b 核算：1 pA 时 1 MΩ 只有 1 µV，25 nA 时 1 MΩ 就是 25 mV。
5.5 模型什么时候不够用
- 源内阻与 R_1 可比：输入分压，增益按 R_f/(R_1+R_s) 算。
- 高频接近 f_{cl}：有限 A_{OL}、第二极点、输入电容都进来，单极点模型只能给量级。
- 大信号：压摆率、输出电流限、饱和恢复都会让线性模型失效。
- 容性负载：输出阻抗与 C_L 形成第二极点，可能振铃。
- 精密直流：V_{OS}、I_B、I_{OS}、1/f 噪声、热电偶效应都进入预算。反相组态的共模电压接近 0，CMRR 误差通常可以忽略；真正要算的是 V_{OS}、I_B、I_{OS} 与电阻失配。
6. 常见坑
现象：反相放大接 1 MΩ 高阻传感器，增益只有设计值的 1%，换低阻源立刻正常。原因：把反相输入阻抗当成无穷大；实际 Z_{in}\approx R_1，源内阻与 R_1 串联分压。解决：按 G=-R_f/(R_1+R_s) 重算；高阻源改用同相放大或先加跟随器；不要靠无限加大 R_1 硬扛。
现象：反相 -10 实测闭环带宽只有 909 kHz，按 GBW/10 算应该是 1 MHz。原因：反相的噪声增益是 1+R_f/R_1=11，不是信号增益 10。解决：带宽、噪声、稳定性一律按噪声增益 1/\beta 算；信号增益与噪声增益差 1 只在同相组态才消失。
现象：输入接地时输出不在 0 V，而是稳定在 +3.8 V 附近；输入加信号也不动。原因：反馈没有生效——R_f 虚焊、R_f 接到同相端形成正反馈、或运放电源没接。解决：先量电源脚，再用万用表量 R_f 两端连通性；核对反馈是否回到反相端；必要时先接成跟随器验证器件。
现象：单电源 5 V 反相放大交流信号，输出下半周贴 0 V。原因：输出要为负，但单电源没有负轨；同相端又接地，输出静态点就是 0 V。解决：同相端偏置到 V_{ref}（典型 V_{CC}/2），输入输出交流耦合；或改用双电源。
现象：反相端用万用表量到约 0 V，于是直接把它接地"看看"，结果输出饱和。原因：把虚地当成真地；直接接地会短路输入信号、破坏反馈。解决：虚地只能高阻测量，不能短接；测试时用 10:1 高阻探头，或串 1 kΩ 再测。
现象：R_f 取到 10 MΩ 后，输入接地时输出有几百 mV 的固定偏移，且随温度漂。原因：输入偏置电流在 R_f 上产生压降，被噪声增益放大；高阻反馈电阻的热噪声也变大。解决：把 R_f 降到 1 MΩ 以下（同时降 R_1 保持增益），或换低 I_B 的 CMOS/JFET 运放；必要时加平衡电阻，但它只能消 I_B 项。
现象：输出端接 1 nF 滤波电容后出现几 MHz 振荡。原因：容性负载与开环输出电阻形成第二极点，反相组态的输出阻抗与同相组态一样随频率上升。解决：输出串 22~100 Ω 隔离电阻，反馈取在电阻内侧；或选容性负载稳定的器件；按稳定性：伯德图、相位裕度与补偿算 PM。
7. 自测题
R_1=10\ \text{k}\Omega、R_f=100\ \text{k}\Omega、V_{IN}=0.25\ \text{V}，理想输出是多少？如果运放 A_{OL}=10^5，实际输出与误差是多少？
理想：
V_{OUT}=-\frac{R_f}{R_1}V_{IN}=-\frac{100}{10}\times0.25=-2.500\ \text{V}有限 A_{OL}：\beta=10/110=0.090909，T_0=10^5\times0.090909=9090.9，
A_{CL0}=-10\times\frac{9090.9}{9091.9}=-9.99890V_{OUT}=-9.99890\times0.25=-2.49973\ \text{V}误差 -0.0110\%。误差来自 1/(1+T_0)=1/9091.9，不是电阻精度。
为什么反相放大的输入阻抗等于 R_1，而同相放大可以到 R_{icm}？如果源内阻也是 10\ \text{k}\Omega，反相增益会变成多少？
反相端是虚地，信号源经 R_1 接到一个近似 0 V 的节点，所以源看到的负载就是 R_1。同相放大的信号接在同相端，反馈网络接在反相端，不加载信号源，所以输入阻抗由运放的共模输入电阻 R_{icm} 决定。
源内阻 R_s=10\ \text{k}\Omega、R_1=10\ \text{k}\Omega、R_f=100\ \text{k}\Omega：
G=-\frac{R_f}{R_1+R_s}=-\frac{100}{20}=-5.00比 -10 低一半，即 -6.02\ \text{dB}。同相放大在同样源内阻下的分压误差只有 10^4/(10^9+10^4)\approx0.001\%。
反相 -10（R_1=10\ \text{k}\Omega、R_f=100\ \text{k}\Omega）的噪声增益是多少？闭环带宽用 GBW/10 还是 GBW/11？为什么？
\beta=\frac{10}{110}=0.090909,\qquad \frac{1}{\beta}=1+\frac{R_f}{R_1}=11.0闭环带宽
f_{cl}=\frac{GBW}{1/\beta}=\frac{GBW}{11}不是 GBW/10。原因是反馈网络对误差/噪声的放大倍数是噪声增益 1+R_f/R_1，不是信号增益 R_f/R_1；反相组态的输入网络让噪声增益比信号增益大 1。以 GBW=10 MHz 为例，f_{cl}=909\ \text{kHz}，不是 1 MHz。
反相端虚地到底有多"虚"？V_{OUT}=-2.5\ \text{V}、A_{OL}=10^5 时 V_- 是多少？100 kHz 时又是多少？
由 V_{OUT}=A_{OL}(V_+-V_-)、V_+=0：
V_-=-\frac{V_{OUT}}{A_{OL}}V_{OUT}=-2.5\ \text{V}、A_{OL}=10^5 时 V_-=+25\ \mu\text{V}。100 kHz 时 |A_{OL}|=100，V_-=2.5/100=25\ \text{mV}。
25 mV 已经不能忽略：它会让输入电流产生 25 mV 的误差，也会让输入阻抗从 10.001 kΩ 升到约 10.99 kΩ。虚地是低频近似，频率越高越"虚"。
反相放大器的直流误差主要来自哪几项？V_{OS}=1\ \text{mV}、I_B=25\ \text{nA}、R_1\parallel R_f=9.09\ \text{k}\Omega、0.1% 电阻、目标输出 2.5 V，最坏总误差是多少？
各项：
- V_{OS}：1\ \text{mV}\times11=11.0\ \text{mV}；
- I_B：25\ \text{nA}\times9.09\ \text{k}\Omega=227\ \mu\text{V}，乘 11 得 2.50\ \text{mV}；
- 电阻失配 0.1%：增益误差 0.2%，输出 2.5\times0.002=5.0\ \text{mV}；
- PSRR 80 dB、电源变化 50 mV：5\ \mu\text{V}\times11=0.055\ \text{mV}；
- CMRR：反相组态 V_{cm}\approx0，可忽略。
最坏相加：11.0+2.50+5.0+0.055=18.6\ \text{mV}，相对 2.5 V 为 0.74%。加平衡电阻后 I_B 项被抵消，只剩 I_{OS} 项 0.20\ \text{mV}，总误差降到 16.3\ \text{mV}。主导项是 V_{OS} 和电阻失配，不是偏置电流。
单电源 5 V 下要做反相 -10 放大交流信号，应该怎么改电路？输出静态点和输入幅度上限怎么算？
把同相端偏置到 V_{ref}=2.5\ \text{V}，输入经 C_{in} 交流耦合，输出以 V_{ref} 为中心摆动；反相端的"虚地"变成 V_{ref}，交流增益仍是 -R_f/R_1。
输出静态点 V_{OUT}=V_{ref}=2.5\ \text{V}。输入峰值上限由输出摆幅决定：
\lvert V_{in,pk}\rvert\le\frac{\min(V_{out,max}-V_{ref},V_{ref}-V_{out,min})}{R_f/R_1}取输出摆幅 0.2~4.8 V：
\lvert V_{in,pk}\rvert\le\frac{\min(2.3,2.3)}{10}=0.23\ \text{V}超过 0.23 V 就削顶。同相端偏置电阻 R_b 要按 I_BR_b 核算：1 pA 时 1 MΩ 只有 1 µV，25 nA 时 1 MΩ 就是 25 mV。
把反相放大器的 R_f 从输出改接到同相端，会发生什么？为什么？
反馈变成正反馈。设反馈系数 \beta，同相端电压 V_+=V_{IN}+\beta V_{OUT}，反相端接地，则
V_{OUT}=A_{OL}V_+=\frac{A_{OL}}{1-A_{OL}\beta}V_{IN}分母是 1-A_{OL}\beta，不是 1+A_{OL}\beta。当 A_{OL}\beta\to1 时增益发散，任何微小扰动都会被放大到电源轨并锁死；电路变成施密特触发器，不再是线性放大器。上电前核对反馈是否回到反相端，是成本最低、后果最重的一项检查。
8. 参考资料
- TI, Op Amps for Everyone（SLOD006B）：Chapter 3 Development of the Ideal Op Amp Equations 给反相组态的虚地、KCL 推导与理想增益；Chapter 6 Development of the Non-Ideal Op Amp Equations 给有限 A_{OL} 的修正式。本章 §3.1、§3.2 的推导顺序与该书一致。
- Analog Devices, MT-033 Voltage Feedback Op Amp Gain and Bandwidth：噪声增益、闭环带宽与增益带宽积；本章 §3.5、§4.1 的 f_{cl}=GBW/11 按该文。https://www.analog.com/media/en/training-seminars/tutorials/MT-033.pdf
- Analog Devices, MT-044 Op Amp Open-Loop Gain and Open-Loop Gain Nonlinearity：开环增益的测试条件、非线性与温度漂移；本章 §3.2、§4.1 的有限增益误差按该文。https://www.analog.com/media/en/training-seminars/tutorials/MT-044.pdf
- Sergio Franco, Design with Operational Amplifiers and Analog Integrated Systems（4th ed.）：Chapter 2 Circuits with Resistive Feedback 给反相组态的输入电阻、输出电阻与虚地推导；本章 §3.3 的 Z_{in}=R_1+R_f/(1+A_{OL}) 与该书一致。
- Sedra & Smith, Microelectronic Circuits（8th ed.）：Chapter 2 Operational Amplifiers 讲反相组态、虚地与输入电阻；本章 §2.2、§3.3 的术语与该章对齐。
- TI, Single-Supply Op-Amp Circuit Collection（SLOA058）：单电源反相放大、偏置与交流耦合的成套电路；本章 §5.4 的 V_{ref} 偏置与输入幅度上限按该文口径。