第一篇 · 电路基础 / 动态元件与交流

入门#电容#RC#时间常数#暂态#充放电

电容原理与 RC 时间常数 Capacitor & RC Time Constant

在电压、电流、电阻与功率和欧姆定律里，电压与电流是同一时刻的代数关系：电压一变，电流立刻跟着变，电路里没有"时间"。真实电路不是这样。电源合上的瞬间，电容两端电压还是 0；按键松开以后，节点要过一会儿才爬过门限；芯片旁边那只 0.1µF 电容，要在几纳秒里顶住负载的电流跳变。电容把"时间"带进了电路，而这个时间的尺度，就是 RC 时间常数 \tau=RC。

这一章的主线：先把电容的三个基本关系（C=Q/V、I=C\,dV_C/dt、E=CV^2/2）讲透，再解出 RC 充放电的指数曲线，然后把 \tau 换算成"到阈值要多久""截止频率是多少""去耦能顶几纳秒"，最后用一个 3.3V 系统的上电复位（Power-On Reset，POR）设计收尾。读完应该能独立回答三类问题：给定 R、C 和阈值，什么时候翻转；给定延时和阈值，R、C 怎么取；容差和温度会把结果推偏多少。

1. 设计动机

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上电复位。 MCU 的复位脚不能一上电就释放：电源还没稳、晶振还没起振，程序跑起来会跑飞。常见做法是用一只电阻从 VCC 给电容充电，复位脚接在电容节点上，等电压越过门限再放行。这个"等多久"不是拍脑袋，而是 t=\tau\ln\frac{1}{1-k}；阈值取 0.9V_{CC} 时是 2.30\tau，不是 3\tau。

去耦。 一颗芯片在时钟沿瞬间拉走 1A 电流，电源来不及响应，只能由旁边的电容先顶住。顶多久、掉多少伏，由 \Delta V=I\Delta t/C 决定：100nF 顶 1A、10ns 会掉 0.1V；想只掉 50mV，至少要 200nF。容值选错，芯片会在"电压看起来正常"的板上随机复位。

滤波与延时。 按键消抖、ADC 抗混叠、传感器信号平滑，本质都是 RC 低通：f_c=1/(2\pi RC)。截止频率和延时是同一个 \tau 的两种说法，改了 R 或 C，两边一起变。

把常见问题、要算的量和判据放在一张表里：

你遇到的问题	先算	判据
复位释放太早/太晚	t=\tau\ln\frac{1}{1-k}	最坏情况下仍落在要求窗口内
负载瞬变时电源跌落	\Delta V=I\Delta t/C	跌落小于芯片允许的纹波
滤波截止频率不对	f_c=1/(2\pi RC)	目标频段被衰减到要求值
上电浪涌、电源打嗝	I=C\,dV/dt	浪涌在电源限流以内
断电后电容仍有高压	V(t)=V_0e^{-t/\tau}，\tau=R_{\text{bleed}}C	降到安全电压以下的时间可接受

不算会摔在哪，三个有具体数字的代价：

1. 把 3τ 当成 90%。 3τ 时电容已经到 1-e^{-3}=95.02\%，不是 90%。反过来，如果按"3τ=100ms"去反推电容，得到 \tau=33.3ms，实际在 0.9V_{CC} 处只用了 2.3026\times33.3=76.8ms，比要求早 23%。用错一个系数，延时短了近四分之一。
2. 去耦只看容值。 100nF 在 100MHz 的理想容抗是 15.9mΩ，1µF 是 1.59mΩ；但只要封装电感是 0.5nH，它在 100MHz 的感抗就是 2\pi\times10^8\times0.5\times10^{-9}=0.314\Omega，比容抗大 20 倍以上。这个频段上，换大电容没用，要换低 ESL 的封装、多只并联、或者把电容放近。
3. 断电就以为没电。 470µF 充到 400V 储存 0.5\times470\times10^{-6}\times400^2=37.6J。即使拔掉电源，没有泄放通路时电荷只能靠漏电流慢慢掉；维修时摸上去的可能是几百伏。并联 47kΩ 泄放电阻后，\tau=47\times10^3\times470\times10^{-6}=22.09s，降到 60V 还要 22.09\times\ln(400/60)=41.9s。

2. 定义与直观

2.1 电容是什么：C=Q/V

电容是两块被绝缘介质隔开的导体。在两端加电压 V，两块板上就会出现等量异号电荷 +Q 与 -Q，定义

C=\frac{Q}{V}

其中 Q 是一块极板上的电荷量，单位库仑（C）；V 是两极板间的电压，单位伏特（V）；C 是电容量（Capacitance），单位法拉（F）。1\text{F}=1\text{C/V}，也就是"加 1V 能存 1C 电荷"。

平行板电容器的电容由几何和介质决定：

C=\varepsilon_0\varepsilon_r\frac{A}{d}

其中 \varepsilon_0=8.854\times10^{-12}\ \text{F/m} 是真空介电常数，\varepsilon_r 是介质的相对介电常数，A 是极板正对面积（\text{m}^2），d 是极板间距（m）。这个式子解释了两件事：想做大容量，要么增大面积、要么减薄介质、要么换高介电常数的材料。MLCC 用薄层叠印把面积做进小封装，电解电容用蚀刻铝箔增大表面积，超级电容则靠多孔电极把面积做到极大。

1F 是很大的单位。1F 电容在 1A 电流下放电 1s，电压才掉 1V；而常见的 100nF 在同样 1A 下 0.1µs 就掉 1V（1µs 掉 10V）。工程上常见的量级是：pF 级用于射频匹配和晶振负载，nF 级用于去耦和滤波，µF 级用于电源储能，mF 级以上是电解电容和超级电容的领域。

RC 充电电路：t=0 合上开关，电源 Vs 经电阻 R 向电容 C 充电，电容电压 Vc 按指数上升，时间常数 τ=R·C

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• 电容量 C = 水桶的截面积；
• 电容电压 V_C = 桶里的水位；
• 电荷量 Q = 桶里的水量；
• 电流 I = 进水龙头的流量。

水位不能瞬间跳变：龙头开得再大，桶里的水也要时间涨上去。电容电压同理，V_C 不能突变，突变意味着无穷大电流，物理上做不到。

这个类比有边界：水桶有重力、有开口、会溢出，电容没有"溢出"这回事，超过耐压会击穿；水桶的"容量"不随水位变，而实际电容的容值会随直流偏压和温度变化（见 5.3 节）。

2.2 电流是电荷的变化率：I=C\,dV_C/dt

对 Q=CV_C 两边对时间求导。C 在正常工作范围内是常数，于是

I_C=\frac{dQ}{dt}=C\frac{dV_C}{dt}

其中 I_C 是流入电容正极的电流（A），dV_C/dt 是电容电压的变化率（V/s）。这个式子是电容的动态定义：流过电容的电流不取决于当前电压，而取决于电压变化得多快。

两个直接推论：

• 直流稳态下电容相当于开路。 V_C 不变时 dV_C/dt=0，所以 I_C=0；无论两端加多大直流电压，都没有持续电流（只有漏电流）。
• 电压变化越快，电流越大。 100nF 的电容上电压以 1V/µs 上升，电流就是 100\times10^{-9}\times10^{6}=0.1A=100mA。以 1V/ns 上升就是 100A——当然实际电路里电源、走线电感会限制这个变化率，但这个数量级解释了为什么去耦电容能在瞬间提供大电流。

2.3 储能：E=\frac{1}{2}CV^2

电容储存的能量等于把它从 0V 充到 V 的过程中电源做的功：

E=\int_0^t V_C I_C\,dt=\int_0^{V}C V_C\,dV_C=\frac{1}{2}CV^2

其中 E 是储能（J），C 是容量（F），V 是电容两端电压（V）。注意能量与电压是平方关系：电压翻倍，储能变四倍。

几个能记住的数：

电容	电压	储能
100nF	3.3V	0.5\times100\times10^{-9}\times3.3^2=0.545\ \mu\text{J}
680nF	3.3V	0.5\times680\times10^{-9}\times3.3^2=3.70\ \mu\text{J}
10µF	5V	0.5\times10\times10^{-6}\times5^2=125\ \mu\text{J}
1000µF	5V	0.5\times1000\times10^{-6}\times5^2=12.5\ \text{mJ}
470µF	400V	0.5\times470\times10^{-6}\times400^2=37.6\ \text{J}

同样 470µF，3.3V 时只有 0.5\times470\times10^{-6}\times3.3^2=2.56mJ，400V 时是 37.6J，相差 (400/3.3)^2=14692 倍。高压大电容的危险来自 V^2，不是来自容量数字。 37.6J 在瞬间释放足以产生强烈火花、灼伤皮肤，甚至让手腕肌肉不受控制地抽开，维修前必须按 5.3 节的方法泄放并测量。

2.4 电压不能突变，电流可以突变

由 I_C=C\,dV_C/dt，如果电压在 \Delta t\to0 内跳变 \Delta V，需要的电流趋于无穷大。真实电源有内阻、走线有电感，给不出无穷大电流，所以电容电压只能连续变化；反过来，电流可以在一瞬间从 0 跳到 V_S/R（开关闭合的瞬间），电容电压仍从 0 开始爬。

这就是"电容对直流开路、对交流短路"这句话的严格版本：

• 对直流（频率为 0），dV/dt=0，I=0，开路；
• 对高频，同样的电压摆幅对应更大的 dV/dt，电流更大，阻抗更低，Z_C=1/(j\omega C)；
• 对阶跃，电压不能跳，电流可以跳，所以合闸瞬间电容像短路，之后按指数充电。

把这一点和电感一章对照着记：电容的电压连续、电流可以跳；电感的电流连续、电压可以跳。两条对偶规则，构成了所有开关电路、滤波器和保护电路的直觉基础。

3. 定量关系

3.1 充电：KVL 与指数解

把 V_S、R、C 串联，t=0 合上开关，电容初始电压为 0。对回路列 KVL：

V_S=V_R+V_C=RI_C+V_C=RC\frac{dV_C}{dt}+V_C

这是一个一阶线性微分方程。代入初始条件 V_C(0)=0，解为

V_C(t)=V_S\left(1-e^{-t/\tau}\right),\qquad \tau=RC

其中 V_S 是电源电压（V），t 是合闸后的时间（s），\tau 是时间常数（s），R 是电阻（\Omega），C 是电容（F）。

验证三件事：t=0 时 V_C=0；t\to\infty 时 V_C\to V_S；t=0 时 dV_C/dt=V_S/\tau，对应的初始电流 I(0)=C\,V_S/\tau=V_S/R，正是欧姆定律给出的值。量纲也对：\Omega\cdot\text{F}=\Omega\cdot\text{C/V}=(\text{V/A})\cdot(\text{A}\cdot\text{s/V})=\text{s}。

表里给出充电进度，最后一列按 V_S=3.3V 计算，方便直接对照示波器读数：

t/\tau	1-e^{-t/\tau}	V_C（3.3V 系统）
0.25	22.12%	0.730V
0.5	39.35%	1.298V
1	63.21%	2.086V
2	86.47%	2.853V
2.3026	90.00%	2.970V
3	95.02%	3.136V
4	98.17%	3.240V
5	99.33%	3.278V
7	99.91%	3.297V

把充电和放电画在同一张归一化曲线上（横轴 t/\tau，纵轴 V_C/V_S，数值与上表及 3.2 节一致）：

充电电流是

I_C(t)=\frac{V_S}{R}e^{-t/\tau}

它从 V_S/R 开始指数衰减。电阻上的功耗 P_R=I_C^2R 也按 e^{-2t/\tau} 衰减，这一点在 3.2 节的能量账里会用到。

3.2 放电与能量守恒

已经充到 V_0 的电容，通过电阻 R 放电（电源移开），回路 KVL 变成 V_R+V_C=0，即 RC\,dV_C/dt+V_C=0，解为

V_C(t)=V_0e^{-t/\tau},\qquad I_C(t)=-\frac{V_0}{R}e^{-t/\tau}

负号表示电流方向与充电时相反。放电到 1% 需要 \ln100=4.605\tau，到 0.1% 需要 6.908\tau。工程上常说的"5τ 放完"对应剩余 0.67%，并不是真的到 0。

放电时电容储存的能量全部消耗在电阻（和电容自身 ESR）上：

E_R=\int_0^\infty I^2R\,dt=\frac{V_0^2}{R}\int_0^\infty e^{-2t/\tau}dt=\frac{V_0^2}{R}\cdot\frac{\tau}{2}=\frac{1}{2}CV_0^2

这个结果与 R 无关。 R 大，放电慢、电流小；R 小，放电快、电流大；两种情况下电阻上的总热量一样，都等于电容的储能。

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把电容从 0 充到 V_S，电源输出的电荷是 Q=CV_S，做功 W_S=QV_S=CV_S^2；电容只存下 \frac12CV_S^2，剩下的一半在充电过程中被电阻烧掉：

E_R=\int_0^\infty I^2R\,dt=\frac{V_S^2}{R}\int_0^\infty e^{-2t/\tau}dt=\frac{V_S^2}{R}\cdot\frac{RC}{2}=\frac{1}{2}CV_S^2

这个结论同样与 R 无关：无论串联多大的电阻、充得多慢，效率都只有 50%。想减少充电损耗，只能改变充电方式——恒流充电、电荷泵、或者用开关变换器让电源只输出略高于电容电压的电压。这也是"大电容直接挂到电源上会浪费一半能量、同时产生浪涌"的定量原因。对 680nF、3.3V 的复位电容，电源输出 CV_S^2=7.41\muJ，电容存 3.70µJ，电阻上消耗 3.70µJ——绝对量很小，但对 1000µF 的电源入口电容，CV_S^2 就是 25mJ，浪涌电流和发热都要认真对待。

3.3 到阈值的时间：不要背 3τ

工程上最常问的不是"充到 63.2% 要多久"，而是"充到某个门限要多久"。设门限为 V_T=kV_S，其中 k 是归一化阈值（0 到 1），令 V_C(t)=kV_S：

1-e^{-t/\tau}=k\quad\Longrightarrow\quad e^{-t/\tau}=1-k\quad\Longrightarrow\quad t=\tau\ln\frac{1}{1-k}

这个式子比"3τ=95%"有用得多，因为它对任何阈值都成立。常用的点：

归一化阈值 k	t/\tau=\ln\frac{1}{1-k}	典型场景
0.5	0.693	50% 判决电平
0.632	1.000	一个时间常数
0.7	1.204	很多 CMOS 输入的 V_{IH} 下限
0.8	1.609	较保守的高电平判决
0.9	2.303	本章 POR 判据
0.95	2.996	接近"3τ"
0.99	4.605	接近"5τ"

由此得到几个必须记准的对应关系：

• 1τ = 63.2%，不是 50%；
• 3τ = 95.0%，不是 90%；
• 5τ = 99.33%，不是 100%；
• 90% 在 2.303τ，比 3τ 早 23.2%（反过来，3τ 比 2.303τ 晚 30.3%）；
• 要 99.9%，需要 6.908\tau。

阈值是比率型还是固定电压型，结果完全不同。若 V_T=kV_S，k 不随电源变，则 t 与 V_S 无关；若 V_T 是一个固定电压（例如 2.0V 的复位门限），则

t=\tau\ln\frac{V_S}{V_S-V_T}

对电源电压很敏感。取 \tau=100ms、V_T=2.0V：V_S=3.3V 时 t=100\times\ln(3.3/1.3)=93.2ms；V_S=3.0V 时 t=109.9ms；V_S=3.6V 时 t=81.1ms。电源只变了 ±10%，延时变了约 ±15%。所以看复位芯片或 MCU 数据手册时，要确认门限是"VDD 的百分比"还是"固定电压"，两者对电源波动的敏感度不在一个量级。

用这个通式还能校验现成公式。555 单稳态的内部阈值是 2V_{CC}/3，k=2/3，所以

t=\tau\ln\frac{1}{1-2/3}=\tau\ln3=1.0986RC\approx1.1RC

这正是数据手册里 t_w=1.1RC 的来源（见555 定时器）。记住"指数 + 阈值"这一条主线，就不需要分别背 555、复位、延时电路的公式。

3.4 从时间常数到截止频率

把 RC 看成低通滤波器，输入 V_{in}、输出取电容电压，传递函数是

H(s)=\frac{1}{1+sRC},\qquad s=j\omega

幅频特性 |H|=1/\sqrt{1+(f/f_c)^2}，其中截止频率

f_c=\frac{1}{2\pi RC}=\frac{1}{2\pi\tau},\qquad \tau=\frac{1}{2\pi f_c}

在 f=f_c 处，|H|=1/\sqrt2，即比通带低 20\log_{10}(1/\sqrt2)=-3.01dB，相位滞后 45°。这就是"−3dB 截止频率"的来源。

时域和频域是同一个 \tau 的两种写法。阶跃响应的 10%~90% 上升时间：

t_r=t_{90}-t_{10}=\tau\ln10-\tau\ln\frac{1}{0.9}=2.3026\tau-0.1054\tau=2.197\tau

代入 f_c=1/(2\pi\tau)，得到工程上常用的近似：

t_r=2.197\times\frac{1}{2\pi f_c}=\frac{0.3497}{f_c}\approx\frac{0.35}{f_c}

一张表把 R、C、\tau、f_c、上升时间串起来（全部按上式计算）：

R	C	\tau=RC	f_c=1/(2\pi RC)	t_r=2.197\tau
1kΩ	100nF	100µs	1.592kHz	220µs
10kΩ	100nF	1ms	159.2Hz	2.20ms
100kΩ	100nF	10ms	15.92Hz	22.0ms
1kΩ	1µF	1ms	159.2Hz	2.20ms
10kΩ	1µF	10ms	15.92Hz	22.0ms
100kΩ	1µF	100ms	1.592Hz	220ms
100kΩ	10µF	1s	0.159Hz	2.20s

注意这张表是空载 RC。输出端一旦接上负载，负载与 C 并联（或与 R 分压），f_c 和 \tau 都会变；有源滤波和缓冲的问题见一阶滤波器。

3.5 容抗、ESR 与自谐振

理想电容的阻抗是

Z_C=\frac{1}{j\omega C},\qquad |Z_C|=\frac{1}{2\pi fC}

按这个式子算，容量越大、频率越高，阻抗越低：

电容	50Hz	1kHz	100kHz	1MHz	10MHz	100MHz
10nF	318.3kΩ	15.92kΩ	159.2Ω	15.92Ω	1.592Ω	0.159Ω
100nF	31.83kΩ	1.592kΩ	15.92Ω	1.592Ω	0.159Ω	0.0159Ω
1µF	3.183kΩ	159.2Ω	1.592Ω	0.159Ω	0.0159Ω	0.00159Ω

但真实电容不是纯电容，而是 C、ESR、ESL 的串联模型。频率高到一定程度，ESL 的感抗超过容抗，电容反而"变成电感"。串联谐振频率是

f_0=\frac{1}{2\pi\sqrt{L_{ESL}C}}

以 0.5nH 的封装电感（典型量级，具体看封装和数据手册）估算：100nF 的 f_0=1/(2\pi\sqrt{0.5\times10^{-9}\times100\times10^{-9}})=22.5MHz；1µF 的 f_0=7.12MHz；10nF 的 f_0=71.2MHz。在 100MHz，100nF 的容抗只有 15.9mΩ，但 0.5nH 的感抗是 2\pi\times10^8\times0.5\times10^{-9}=0.314\Omega，后者完全盖过前者。

这解释了一个常见困惑：为什么 1µF 不能替代 100nF 做高频去耦。 大容量把低频阻抗做低了，但封装越大、ESL 越大，自谐振频率越低；到了几十 MHz 以上，它已经是个电感。正确做法是按频段配电容、用低 ESL 封装、多只并联并把回路面积做小，细节见电容参数和电源完整性与去耦体系。

4. 典型计算

4.1 算例一：100kΩ + 1µF 的阈值时刻

需求：3.3V 电源，R=100kΩ，C=1\muF，求时间常数和到达不同阈值的时间。

时间常数：

\tau=RC=100\times10^3\times1\times10^{-6}=0.1\ \text{s}=100\ \text{ms}

到各阈值的时间（用 t=\tau\ln\frac{1}{1-k}）：

阈值	计算	结果
0.7V_{CC}=2.31V	100\times\ln\frac{1}{1-0.7}=100\times1.204	120.4ms
0.9V_{CC}=2.97V	100\times\ln\frac{1}{1-0.9}=100\times2.303	230.3ms
0.95V_{CC}=3.135V	100\times\ln20=100\times2.996	299.6ms
固定 2.0V	100\times\ln\frac{3.3}{3.3-2.0}=100\times0.9316	93.2ms

验算 3τ 的说法：t=300ms 时 V_C=3.3\times(1-e^{-3})=3.3\times0.9502=3.136V，确实越过了 0.9V_{CC}=2.97V；但越过 2.97V 的实际时刻是 230.3ms，不是 300ms。若按"3τ"设计 300ms 的复位延时，实际 230ms 就释放了，早了 23%。反过来，若要求"0.9V_{CC} 处至少 230ms"，正确的 \tau 是 230/2.3026=99.9ms；按 3τ 反推会得到 \tau=230/3=76.7ms，实际只有 2.3026\times76.7=176.6ms，短了 23%。

初始电流：I(0)=3.3/100\text{k}=33\muA，电阻上的初始功耗 P=3.3^2/100\text{k}=109\muW。这个电流很小，不会影响电源，但也意味着复位节点阻抗高达 100kΩ，容易拾取噪声，实际电路常在复位脚附近再并一只小电容或加施密特输入。

2τ 时：V_C=3.3\times0.8647=2.853V，仍低于 2.97V，所以"2τ 就够了"是错的；对 0.9 阈值，必须等到 2.303τ。

4.2 算例二：按键消抖的 RC

电路：3.3V 经 10kΩ 上拉到 MCU 输入，输入节点经 100nF 到地，按键把节点短接到地。按键松开时，节点经 10kΩ 充电；按下时，节点经按键触点放电。

充电时间常数：

\tau=R C=10\times10^3\times100\times10^{-9}=1\times10^{-3}\ \text{s}=1\ \text{ms}

放电时间常数：按键触点电阻按 0.1Ω 估算（典型量级，具体看按键数据手册），

\tau_{\text{dis}}=0.1\times100\times10^{-9}=10\ \text{ns}

所以按下是"瞬间"拉低，松开是"缓慢"爬升——这种不对称正是消抖需要的。

抖动过程：机械按键在按下和松开时会有几毫秒的抖动（典型 1~10ms，具体看器件）。设抖动持续 5ms，期间触点反复开合。每次闭合都把电容瞬间放电到 0；每次断开，电容从 0 开始按 1ms 的时间常数上升。如果两次闭合的间隔小于到达 V_{IH} 的时间，节点就到不了高电平。

设 MCU 的 V_{IH}=0.7V_{CC}=2.31V，则从最后一次断开到越过 V_{IH}：

t=\tau\ln\frac{1}{1-0.7}=1\times1.204=1.204\ \text{ms}

到 0.9V_{CC} 是 2.303ms。也就是说，RC 并没有"消除"抖动，它只是把节点的上升沿变慢，让 MCU 在最后一次抖动结束后再等约 1.2ms 才看到高电平。 如果抖动间隔大于 1.2ms，MCU 仍会看到多个脉冲，所以实际设计还要靠施密特输入或软件计数确认。

按下时的电流：3.3/10\text{k}=0.33mA，功耗 3.3^2/10\text{k}=1.09mW，可以接受。

边界：如果 R 取 1MΩ 省电，\tau=100ms，上升沿变成 120ms，按键响应会明显迟滞，而且高阻节点容易被噪声干扰；如果 C 取 10nF，\tau=100\mus，抖动间隔大于 0.12ms 就会漏过去。10kΩ + 100nF 是"响应速度、功耗、抗扰"三者的常用折中，具体取值按按键抖动特性和 MCU 的 V_{IH} 调整。

4.3 算例三：RC 低通与 12 位 ADC 的建立时间

需求：传感器输出经 1kΩ + 100nF 的 RC 低通送 12 位 ADC，V_{ref}=3.3V，求截止频率、建立到 0.5LSB 的时间和最高采样率。

截止频率：

f_c=\frac{1}{2\pi RC}=\frac{1}{2\pi\times10^3\times100\times10^{-9}}=1591.5\ \text{Hz}\approx1.59\ \text{kHz}

时间常数：

\tau=10^3\times100\times10^{-9}=100\ \mu\text{s}

0.5LSB 对应的电压：

V_{0.5LSB}=\frac{3.3}{2^{12}}\times0.5=\frac{3.3}{8192}=0.4028\ \text{mV}

从 0 阶跃到 3.3V，误差收敛到 0.5LSB 以内的时间：

t=\tau\ln\frac{3.3}{0.0004028}=100\times10^{-6}\times9.011=901\ \mu\text{s}

最高采样率：1/901\mu\text{s}=1.11kSPS。采样间隔短于 901µs，读数就会偏低；如果要多通道轮询，每个通道都要留够这个建立时间，或者在前级加缓冲器降低源阻抗。

对比：如果把 R 换成 100kΩ（为了省电或提高输入阻抗），\tau=10ms，建立时间变成 90.1ms，采样率掉到 11SPS，完全不适合音频或振动信号。RC 滤波器的 R 不能只按截止频率选，还要按后级采样/建立时间核算。

4.4 完整设计：3.3V 系统的 100ms 上电复位

这是一个从需求到验算走完整遍的设计例子。目标是：电源上电后至少等 100ms 再释放复位，最长不超过 300ms；用一只 R 和一只 C 实现，不用专用复位芯片。

需求与假设：

项目	要求/假设
电源	3.3V ±5%
复位门限	0.9V_{CC} 的比率型门限，门限比容差 ±0.05
释放时间	100ms ≤ t ≤ 300ms（0~70°C）
R	100kΩ，±1%，100ppm/°C
C	680nF；先按 X7R（初始 ±10%、全温 ±15%、偏压 −5%）评估，再按薄膜/C0G ±5% 复核
复位输入漏电	≤1µA
电容绝缘电阻	≥10GΩ（典型量级，以数据手册为准）

RC 上电复位：R 从 VCC 给 C 充电，节点电压越过施密特门槛后 RESET# 释放；图中 τ≈RC 只是量级，实际释放时刻是 τ 的 2.30 倍（阈值 0.9VCC）

第 1 步：写出释放时刻的公式。 电容从 0 充电到 0.9V_{CC}：

t=\tau\ln\frac{1}{1-0.9}=\tau\ln10=2.3026\tau

第 2 步：选电容，反算电阻。 取标准值 C=680nF（E6 系列），由 t=2.3026RC 得

R=\frac{t}{2.3026C}=\frac{0.1}{2.3026\times680\times10^{-9}}=6.39\times10^4\ \Omega

这个 63.9kΩ 是"刚好 100ms、没有任何余量"的临界值；R、C 和门限的容差最坏会把时间往下拉（X7R 约 40.7%，见第 3 步；薄膜/C0G 约 22.5%），所以不能取它。这里刻意取 E24 的 100kΩ，把标称延时推到 156.6ms，让最坏情况仍落在 100ms 以上。于是

\tau=100\times10^3\times680\times10^{-9}=0.068\ \text{s}=68\ \text{ms}t_{\text{nom}}=2.3026\times68=156.6\ \text{ms}

第 3 步：先按 X7R 做最坏情况。 X7R 的容值有三项误差：初始 ±10%、全温 ±15%、3.3V 偏压约 −5%。按最不利的乘性叠加：

• 下限：C_{\min}=680\times0.90\times0.85\times0.95=494.2nF（−27.3%）；
• 上限：C_{\max}=680\times1.10\times1.15=860.2nF（+26.5%）。

再叠加 R 的 ±1% 和门限比 k=0.85\sim0.95：

\tau_{\min}=0.99\times100\times10^3\times494.2\times10^{-9}=48.93\ \text{ms}t_{\min}=48.93\times\ln\frac{1}{1-0.85}=48.93\times1.897=92.8\ \text{ms}\tau_{\max}=1.01\times100\times10^3\times860.2\times10^{-9}=86.88\ \text{ms}t_{\max}=86.88\times\ln\frac{1}{1-0.95}=86.88\times2.996=260.3\ \text{ms}

下限 92.8ms 已经跌破 100ms，X7R 方案不满足要求；上限 260.3ms 仍在 300ms 内。差的不是"典型值"，而是容差叠加——这也是为什么第 4 步要换介质。

第 4 步：换薄膜/C0G，重算最坏范围。 把 C 换成 ±5% 的薄膜或 C0G（温度、偏压、老化影响都远小于 X7R），C_{\min}=680\times0.95=646nF，C_{\max}=680\times1.05=714nF：

\tau_{\min}=0.99\times100\times10^3\times646\times10^{-9}=63.95\ \text{ms}t_{\min}=63.95\times1.897=121.3\ \text{ms}\tau_{\max}=1.01\times100\times10^3\times714\times10^{-9}=72.11\ \text{ms}t_{\max}=72.11\times2.996=216.0\ \text{ms}

最坏 121.3~216.0ms，下限余量 21.3%、上限余量 28.0%，满足 100~300ms。如果成本不允许薄膜/C0G，可以保留 X7R 但把 C 加到 820nF，并把上限放宽到 350ms：C_{\min}=820\times0.72675=595.9nF、C_{\max}=820\times1.265=1037nF，对应最坏约 111.9~313.9ms。"换介质"和"放宽窗口"是两条不同的路，不能只在典型值上打转。

门限比单独变化时的影响。 如果只把门限比从 0.9 改成 0.85 或 0.95（其他条件取标称）：

t(0.85)=68\times1.897=129.0\ \text{ms},\qquad t(0.95)=68\times2.996=203.7\ \text{ms}

第 5 步：核算复位脚漏电。 复位脚的漏电流会改变充电的"终点电压"。设漏电 I_L 流入节点，充电方程变成 C\,dV_C/dt=(V_{CC}-V_C)/R+I_L，稳态电压不再是 V_{CC}，而是

V_\infty=V_{CC}+I_LR

时间常数仍是 \tau=RC，解为 V_C(t)=V_\infty(1-e^{-t/\tau})，到达门限 V_T=0.9V_{CC}=2.97V 的时间是

t=\tau\ln\frac{V_\infty}{V_\infty-V_T}

1µA 灌入节点：V_\infty=3.3+1\times10^{-6}\times100\times10^3=3.4V，

t=68\times\ln\frac{3.4}{3.4-2.97}=68\times\ln7.907=68\times2.068=140.6\ \text{ms}

比标称 156.6ms 早 10.2%。

1µA 从节点流出：V_\infty=3.3-0.1=3.2V，

t=68\times\ln\frac{3.2}{3.2-2.97}=68\times\ln13.913=68\times2.633=179.0\ \text{ms}

比标称晚 14.3%。两个方向都还在 100~300ms 内。

5µA 从节点流出：V_\infty=3.3-5\times10^{-6}\times100\times10^3=2.8V，已经低于 2.97V 的门限——电容永远到不了门限，复位永远不释放。所以复位脚的漏电必须按最坏方向核算，不能只看 1µA 的典型值；数据手册给不出保证值时，宁可选小一点的 R（例如 47kΩ 配 1.5µF，\tau=70.5ms，与 68ms 同一量级），或者加一级缓冲。

第 6 步：核算温度。 R 的 TCR 为 100ppm/°C，从 25°C 到 70°C 变化 45°C：

\frac{\Delta R}{R}=100\times10^{-6}\times45=0.45\%

相对薄膜/C0G 的 ±5% 可以忽略。真正的主导项是电容介质：X7R 的 ±15% 温度项已经在第 3 步的 92.8ms 里体现；换成薄膜/C0G 后，初始容差和温度漂移都进入 ±5% 的包络（第 4 步）。结论：温度的主要影响不是 R，而是 C 的介质；选薄膜/C0G 就是把这一项从 ±15% 压到 ±5%。

第 7 步：核算电容漏电。 绝缘电阻 10GΩ 与 100kΩ 并联，等效电阻仍约 100kΩ；电容自身的放电时间常数 10\times10^9\times680\times10^{-9}=6800s，比 68ms 大 10 万倍，可以忽略。

第 8 步：核算电源爬升时间。 上面的公式假设 VCC 是阶跃。如果 VCC 上升时间接近或超过 \tau，电容会"跟着"电源爬，实际释放时刻被电源爬升时间拉长。工程上要求电源上升时间小于 \tau/10=6.8ms；慢上电（如大容量输入电容、软启动电源）必须按实际 VCC 波形仿真或测量，不能直接套指数公式。

第 9 步：选耐压和封装。 3.3V 工作电压下选 16V 薄膜（或容值/封装可接受的 C0G），16/3.3=4.85 倍余量；680nF 的具体封装和尺寸按所选物料的 datasheet 确认。电容储能 0.5\times680\times10^{-9}\times3.3^2=3.70\muJ，浪涌能量很小。

第 10 步：验算汇总。

项目	数值	是否满足
标称释放时间	156.6ms	在 100~300ms 内
X7R 最坏（C−27.3%/+26.5%、R±1%、k=0.85/0.95）	92.8~260.3ms	下限不满足
薄膜/C0G 最坏（C±5%、R±1%、k=0.85/0.95）	121.3~216.0ms	满足，余量 21.3%/28.0%
漏电 1µA（灌入/流出）	140.6/179.0ms	满足
漏电 5µA 流出	V_\infty=2.8V，永不释放	不允许
门限比 0.85/0.95 时	129.0/203.7ms	满足
电容漏电影响	6800s 时间常数	可忽略
功耗	3.3^2/100\text{k}=109\muW	可接受

结论：选 R=100kΩ ±1%、C=680nF 薄膜/C0G 16V，在复位脚漏电 ≤1µA 的前提下，标称 156.6ms 释放，最坏 121.3~216.0ms。X7R 版本在容差叠加后最低 92.8ms，不满足 100ms 下限；如果必须用 X7R，把 C 加到 820nF 可得到 111.9~313.9ms，但上限超出了 300ms 的要求，需要放宽窗口，或改用带迟滞和固定门限的复位芯片（见时钟与复位设计）。不要用 3τ 直接反推，也不要把 X7R 当成精密定时元件。

5. 工程含义

5.1 数量级速查：同样的 τ，不同的代价

同样是 RC，不同场景的 R、C 量级差好几个数量级，代价也不同：

场景	R	C	\tau	f_c	代价/注意
按键消抖	10kΩ	100nF	1ms	159Hz	按下时 0.33mA，响应约 1.2ms
ADC 抗混叠	1kΩ	100nF	100µs	1.59kHz	12 位建立 901µs，限制采样率
音频耦合（高通）	10kΩ	1µF	10ms	15.9Hz	转折频率以下衰减，见 3.4 节的对偶用法
电源滤波	10Ω	100µF	1ms	159Hz	100mA 时压降 1V、功耗 0.1W
上电复位	100kΩ	680nF	68ms	2.34Hz	漏电和容差敏感，见 4.4 节

这张表说明：RC 的取值不是"越大越好"或"越小越好"，而是由时间尺度、阻抗和功耗三者共同决定。 时间常数相同的两组 R、C，阻抗可能差 100 倍：1kΩ+1µF 和 100kΩ+10nF 都是 1ms，但前者输出阻抗低、功耗大，后者省电但容易被负载和噪声影响。

5.2 去耦：电容到底能顶多久

去耦电容的作用，是在电源来不及响应的那段时间里，替负载提供电流。设负载电流阶跃 I，持续时间 \Delta t，电容电压跌落

\Delta V=\frac{I\Delta t}{C}

反过来看更直观：按 1A 阶跃，电容"能顶多久"（电压跌到指定值之前）是 t=C\Delta V/I：

电容	跌 10mV	跌 50mV	跌 100mV	跌 500mV
100nF	1ns	5ns	10ns	50ns
1µF	10ns	50ns	100ns	500ns
10µF	100ns	500ns	1µs	5µs

（表内按 t=C\Delta V/I 计算。超过这个时间，跌落继续按线性增大，直到跌落接近初始电压、电容基本放空后公式失效。）

要求跌落不超过 50mV 时，需要的容量是

C=\frac{I\Delta t}{\Delta V}=\frac{1\times\Delta t}{0.05}=20\,\Delta t

其中 C 的单位是 F，\Delta t 的单位是 s。

\Delta t=10ns 要 200nF，100ns 要 2µF，1µs 要 20µF。这就是为什么电源入口要有 10~100µF 的 bulk 电容，而每个芯片旁边还要 100nF：bulk 负责 µs 级、大容量的需求，小电容负责 ns 级、低 ESL 的需求，两者不能互相替代。

IC 电源去耦的三级配合：100µF 电解承担 bulk，10µF MLCC 管中频，0.1µF MLCC 管高频，各自靠近负载放置

布局比容值更关键。电容到芯片的回路每毫米约 1nH（典型量级），5nH 的回路上如果电流以 1A/ns 变化，感应压降就是 5\times10^{-9}\times10^9=5V——比电容本身的容抗大得多。所以去耦电容要"靠近引脚、短而宽的走线、地过孔就近"，细节见电源完整性与去耦体系。

5.3 选型、降额与安全

选电容不只看容值，至少要看五项：耐压、介质、容差、ESR/纹波电流、温度特性。

• 耐压：常见做法是陶瓷电容长期工作电压不超过额定值的 50%~80%，电解电容不超过 80%，钽电容按 50% 降额（不同厂商和标准要求不同，以数据手册为准）。高压场合还要注意浪涌和重复峰值。
• 介质：C0G/NP0 的容值随温度、电压、时间都很稳定（典型 ±30ppm/°C），适合定时和滤波；X7R 的容值在全温范围变化 ±15%，还有明显的直流偏压降容；Y5V 的容值变化可达 +22%/−82%，只能用于对容值不敏感的旁路。RC 定时想要准，优先 C0G 或薄膜，不要用高 K 陶瓷。
• 容差：普通电容 ±10%~±20%，C0G 可到 ±5% 或 ±1%，薄膜可到 ±2%。定时精度要求高时，电阻和电容的容差要一起算，必要时标定。
• ESR 与纹波电流：电解电容的 ESR 随温度下降而上升，纹波电流过大会发热、缩短寿命。开关电源输出电容要按纹波电流选，不能只看容值。
• 温度与寿命：电解电容的寿命对温度敏感，工程上常用"每升 10°C 寿命减半"的经验法则估算（具体以厂商寿命公式为准）；陶瓷电容没有这种寿命机制，但会有机械裂纹和直流偏压问题。

高压电容的安全处理：以大容量、高压的 470µF/400V 为例，储能 37.6J。维修前必须断电、等待、泄放、测量：

1. 并联泄放电阻：取 47kΩ、5W（400V 时功耗 400^2/47\text{k}=3.40W），\tau=47\times10^3\times470\times10^{-6}=22.09s；
2. 等待时间：降到 60V 需要 22.09\times\ln(400/60)=41.9s，工程上至少等 2~3 分钟；
3. 用万用表直流档实测电容两端电压，确认降到安全值再动手；
4. 注意泄放电阻本身的耐压：400V 可能超过小功率电阻的额定电压，必要时用两只串联分压。

即使有泄放电阻，也不要假设"断电就安全"；介质吸收（Dielectric Absorption）会让电容在放电后缓慢"回弹"出一点电压，见 5.4 节。

5.4 RC 模型什么时候不够用

本章的指数公式建立在四个假设上：C 是常数、R 是常数、电源是理想阶跃、没有寄生参数。真实电路里这些假设会逐个失效：

• 介质吸收（DA）：电容放电到 0 后断开，介质里"慢极化"的电荷会慢慢释放，两端电压回弹。电解电容的 DA 较明显，薄膜和 C0G 较小；回弹比例以数据手册或实测为准。采样保持、积分器、高压维修都要考虑这一点。
• ESR/ESL：高频下电容不是纯电容，阻抗在自谐振点后上升；大电流瞬变时 ESR 上的压降不可忽略。
• 漏电流：电解电容的漏电随温度和电压上升；高阻 RC 定时电路中，漏电会改变等效时间常数。
• 非线性容值：X7R/Y5V 的容值随直流偏压下降，3.3V 下可能比标称低 5%~30%（具体看封装和介质），高压偏置下更明显。
• 温度：容值和 ESR 都随温度变；R 的 TCR 也会贡献误差。
• 自热与纹波：大纹波电流会让电容发热，ESR 越大发热越多，形成正反馈。
• 高频分布效应：当电路尺寸接近波长（例如 1GHz 对应 30cm 波长），集总 RC 模型不再成立，要用传输线或电磁场方法。

工程判断的关键是：知道自己正在用哪个近似，以及这个近似在什么条件下会失效。 对复位、消抖这类"毫秒级、精度要求不高"的场合，RC 模型足够；对精密定时、高 Q 滤波、高速去耦，必须把上述非理想因素纳入。

6. 常见坑

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• 把 3τ 当成 90%：现象——按"3τ"设计的复位延时比预期短 23%，或者示波器上 90% 的时刻对不上计算。原因——1-e^{-3}=95.02\%，90% 对应的是 2.303\tau；指数曲线不是线性斜坡，不能用"三分之一""三分之二"去插值。解决——用 t=\tau\ln\frac{1}{1-k} 算，先确认门限是比率型还是固定电压，再代入。
• 去耦电容只看容值、不看封装和位置：现象——换了 10µF 电容，芯片还是复位；或者同一块板换一个封装就好了。原因——大容量封装的 ESL 大，自谐振频率低，高频段已经是电感；回路电感上的 L\,di/dt 压降比容抗大得多。解决——按频段配 100nF/1µF/10µF，选低 ESL 封装，电容靠近引脚、地过孔就近，必要时多只并联。
• 直流分析时把电容当短路：现象——算静态工作点时电流偏大、偏置电压对不上。原因——直流稳态 dV_C/dt=0，电容电流为 0，应该按开路处理；只有交流小信号或瞬态才考虑它的阻抗。解决——直流分析先把电容拿掉（开路），再单独做交流/瞬态分析；电感的规则相反（直流短路）。
• 忽略 X7R 的直流偏压和温度：现象——RC 定时比计算值短 20%~30%，批量一致性差。原因——高 K 陶瓷的容值随直流偏压和温度显著下降，标称 680nF 在 3.3V、70°C 下可能只剩 80%。解决——定时场合改用 C0G/薄膜，或按数据手册的偏压/温度曲线取最坏值，必要时产线标定。
• 断电就以为电容没电：现象——维修时被电击，或者换元件时打火。原因——大电容储存的能量与 V^2 成正比，没有泄放通路时电荷只能靠漏电慢慢消失。解决——并联泄放电阻，按 \tau=R_{\text{bleed}}C 算等待时间，断电后用万用表实测确认；高压电容还要注意电阻耐压和介质吸收回弹。
• 上电浪涌被忽略：现象——插拔电源时适配器打嗝、保险丝熔断、USB 端口保护。原因——空电容上电瞬间相当于短路，浪涌电流受电源内阻和 ESR 限制；1000µF 在 5V、1ms 内充满，平均电流就是 5A。解决——加软启动/限流电路、NTC 热敏电阻或热插拔控制器，按 I=C\,dV/dt 估算最坏浪涌。

7. 自测题

100nF 电容充到 3.3V 储存多少能量？470µF 充到 400V 呢？两者相差多少倍？

100nF、3.3V：

E=\frac12CV^2=\frac12\times100\times10^{-9}\times3.3^2=0.5\times100\times10^{-9}\times10.89=5.445\times10^{-7}\ \text{J}=0.545\ \mu\text{J}

470µF、400V：

E=\frac12\times470\times10^{-6}\times400^2=0.5\times470\times10^{-6}\times160000=37.6\ \text{J}

倍数：37.6/(5.445\times10^{-7})=6.9\times10^7，约 6900 万倍。容量只大了 4700 倍，电压高了 121 倍，能量按 CV^2 放大，所以高压大电容的危险远大于同等容值的低压电容。

3.3V 经 100kΩ 给 1µF 充电，时间常数是多少？充到 0.9×3.3V 要多久？3τ 时电压是多少？

时间常数：

\tau=RC=100\times10^3\times1\times10^{-6}=0.1\ \text{s}=100\ \text{ms}

到 0.9V_{CC}=2.97V：

t=\tau\ln\frac{1}{1-0.9}=100\times\ln10=100\times2.3026=230.3\ \text{ms}

3τ 时：

V_C=3.3\times(1-e^{-3})=3.3\times0.9502=3.136\ \text{V}

3.136V 已经超过 2.97V，但越过 2.97V 的时刻是 230.3ms，不是 300ms。"3τ=90%"是错的，90% 在 2.303τ。

R=10kΩ、C=100nF 的 RC 低通，截止频率和 10%~90% 上升时间各是多少？如果把 R 改成 100kΩ，两者怎么变？

f_c：

f_c=\frac{1}{2\pi RC}=\frac{1}{2\pi\times10^4\times100\times10^{-9}}=\frac{1}{6.283\times10^{-3}}=159.2\ \text{Hz}

上升时间：

t_r=2.197\tau=2.197\times10^4\times100\times10^{-9}=2.197\times10^{-3}\ \text{s}=2.20\ \text{ms}

R 改成 100kΩ 后，\tau 变为 10ms，f_c 降为 15.92Hz，t_r 变为 22.0ms。截止频率和上升时间都由同一个 \tau 决定，改 R 会同时改变两者，不能独立调。

上电复位用 100kΩ + 680nF，门限为 0.9VCC，求 τ 和标称释放时间。若实际门限只有 0.85VCC，释放时间变成多少？

\tau=100\times10^3\times680\times10^{-9}=68\ \text{ms}

门限 0.9：

t=68\times\ln\frac{1}{0.1}=68\times2.3026=156.6\ \text{ms}

门限 0.85：

t=68\times\ln\frac{1}{0.15}=68\times1.897=129.0\ \text{ms}

门限比从 0.90 降到 0.85，释放时间提前 17.6%。这就是为什么设计时要确认门限的容差，而不能只按典型值算。

负载电流 1A 阶跃持续 10ns，100nF 去耦电容上电压跌落多少？要求跌落不超过 50mV，需要多大电容？

跌落：

\Delta V=\frac{I\Delta t}{C}=\frac{1\times10\times10^{-9}}{100\times10^{-9}}=\frac{10^{-8}}{10^{-7}}=0.1\ \text{V}

要求 50mV：

C=\frac{I\Delta t}{\Delta V}=\frac{1\times10\times10^{-9}}{0.05}=2\times10^{-7}\ \text{F}=200\ \text{nF}

注意这是"电容独自供电"的估算；实际还有电源、VRM 和 PCB 电感参与，且电容的 ESR/ESL 会额外贡献压降。所以工程上不会只留 200nF，而是按频段配 100nF + 1µF + bulk。

400V、470µF 的电容，用 47kΩ 泄放电阻放电。时间常数多少？降到 60V 要多久？电阻初始功耗多少？

时间常数：

\tau=RC=47\times10^3\times470\times10^{-6}=22.09\ \text{s}

降到 60V：

t=\tau\ln\frac{V_0}{V_t}=22.09\times\ln\frac{400}{60}=22.09\times1.897=41.9\ \text{s}

初始功耗（400V 时）：

P=\frac{V^2}{R}=\frac{400^2}{47\times10^3}=\frac{160000}{47000}=3.40\ \text{W}

所以要选 5W 以上的电阻，并注意电阻的额定电压；工程上等待时间按 2~3 倍 t 留余量，断电后还要用万用表实测确认。

8. 参考资料

• Lessons In Electric Circuits, Volume I – DC（Kuphaldt）：Chapter 13 Capacitors 讲电容的物理结构、C=Q/V、储能与介质；Chapter 16 RC and L/R Time Constants 讲 RC 充放电的指数解与时间常数。本章的指数曲线、能量账和"电压不能突变"按该两章的结构重写。
• The Art of Electronics, 3rd ed.（Horowitz and Hill），Chapter 1 Foundations：电容、RC 时间常数、容抗与去耦的工程讲法；本章的"去耦按频段分工"和"RC 低通"口径参考该书。
• Practical Electronics for Inventors, 4th ed.（Scherz and Monk），Chapter 2 Theory：电容、RC 充放电、按键消抖与电源滤波的入门推导；本章的 Water Bucket 类比与消抖算例参考该书。
• IEC 60384-1:2016, Fixed capacitors for use in electronic equipment – Part 1: Generic specification：固定电容的通用规范，包括耐压、温度特性、试验分类；本章 5.3 节的降额与选型口径按该标准及厂商数据手册。
• IEC 60063:2015, Preferred number series for resistors and capacitors：E6/E12/E24 标称值系列；本章 680nF、100kΩ 等取值按此标准选取。
• Texas Instruments, NE555 定时器数据手册，Monostable Operation 一节：t_w=1.1RC，内部阈值为 2V_{CC}/3；本章 3.3 节用它校验"指数 + 阈值"的通式。
• Falstad Circuit Simulator：可交互观察 RC 充放电波形；建议用 3.3V、100kΩ、1µF 复现本章 3.1 节充电表的数值。