RLC 电路与谐振 RLC Circuits & Resonance
同一组 L、C，接成串联和接成并联，在同一个频率上会表现出完全相反的阻抗：串联时阻抗最小、电流最大；并联时阻抗最大、源电流最小。这个频率就是谐振频率（Resonant Frequency） f_0。收音机选台、无线充电线圈补偿、开关电源 EMI 滤波器、晶振与传感器，全都围绕这一个点做文章。
但"谐振"本身没有好坏。它可以是选频的利器，也可以是电源网络上突然冒出来的尖峰；可以让线圈电流放大几十倍，也可以让电容承受几十倍于源电压的电压。判断它到底帮你还是害你，靠的是四个量：f_0、特征阻抗 \sqrt{L/C}、品质因数 Q、阻尼比 \zeta。这一章把这四个量讲成一套能算、能选、能验算的工具。
1. 设计动机
场景一：收音机选台。 天线同时收到目标台 1.000 MHz 和邻台 1.200 MHz。中频滤波器前面的 LC 回路 Q=50，在 1.2f_0 处把邻台衰减多少？代入本章的带通公式，幅度只剩 0.0545，即 -25.3 dB。"选频"不是形容词，是一个可以算出来的分贝数。
场景二：去耦网络自己谐振。 一颗 100 nF 的贴片电容与一段约 1 µH 的供电走线，在 f_0=1/(2\pi\sqrt{LC})=503 kHz 附近形成并联谐振，阻抗可能从毫欧级升到千欧级。开关噪声恰好落在这个频段时，去耦不但没起作用，反而把噪声"顶"了起来。谐振点必须被算出来，否则你不知道自己是在滤波还是在造天线。
场景三：无线充电线圈失谐。 一个量测为 24 µH 的线圈，配 68 nF 谐振电容，理论 f_0=124.6 kHz。线圈受压变形、磁片气隙变化或电容温漂，都可能让 f_0 偏几个百分点；而高 Q 回路的通带可能只有 2 kHz 宽，偏一点就明显失谐，效率下降、开关管应力上升。高 Q 带来高选择性的同时，也带来对容差的高敏感。
把这三个场景抽象成一张表，遇到问题时先问"我到底要它谐振在哪、Q 多大、谁来阻尼"：
| 你想解决 | 先算 | 判据 |
|---|---|---|
| 选频回路选得准不准 | f_0=1/(2\pi\sqrt{LC})、Q=f_0/BW | 目标信号落在通带内，干扰落在通带外 |
| 线圈/天线在目标频率谐振 | C=1/((2\pi f_0)^2L)、Z_0=\sqrt{L/C} | 实际 f_0 偏差小于通带的 1/10 |
| 电源/滤波器会不会振铃 | \zeta=1/(2Q)、阶跃响应 | 过冲与建立时间满足负载与器件应力 |
| 电容耐压够不够 | V_{C,peak}=\sqrt2\,Q V_{drive,rms} | 额定电压 ≥ 计算峰值的 2 倍 |
| 谐振点会不会被寄生参数拉走 | 电感 SRF、电容 ESL、容差 | 工作频率远低于 SRF，容差引起的 f_0 偏移可接受 |
不懂会在哪摔跤，具体是这四条：
- 把并联谐振当成"开路"，按无穷大阻抗设计，结果实际只有 100 kΩ，泄漏电阻、负载和偏置电流把节点电压拉得面目全非。
- 用 f_0\pm BW/2 当半功率点。低 Q 时这个近似误差很大：Q=2 时算术中点给出 -2.58 dB，而真正的 -3 dB 点在 1.281f_0 与 0.781f_0。
- 用"元件 Q"代替"有载 Q"。线圈本身 Q=100，接上 50 Ω 源和 50 Ω 负载后，有载 Q 可能只剩 9，带宽宽了 11 倍。
- 只按源电压选电容耐压。串联谐振时电容电压是源电压的 Q 倍，Q=50 的回路里 1 V 驱动就能在电容上产生 50 V。
2. 定义与直观：两种谐振，两种阻抗极值
2.1 谐振的定义
谐振（Resonance）指正弦稳态下，电路中感抗与容抗大小相等、相互抵消，端口电压与电流同相的状态。对串联回路，条件是
\omega_0 L=\frac{1}{\omega_0 C}对并联回路，理想情况下同样由这一条件定义；计入线圈损耗后，严格定义要改成"端口电压与电流同相"（功率因数为 1），谐振频率会略微偏离 \omega_0=1/\sqrt{LC}，偏离量由 Q 决定。这个差别在本章 §3.2 会用具体数字说明。
2.2 串联：阻抗最小、电流最大
串联 RLC 的阻抗是三个元件阻抗的直接相加：
Z_s=R+j\left(\omega L-\frac{1}{\omega C}\right)在 f_0 处虚部为零，Z_s=R，阻抗模取最小值，回路电流 I=V/R 取最大值，所以串联谐振也叫电流谐振（Current Resonance）。此时电感与电容上的电压大小相等、相位相反：
V_L=V_C=Q\,V其中 V 是源电压有效值，Q 是品质因数。源电压只有 1 V，元件上却可能有几十伏，这是串联谐振最容易被忽略的工程后果。
2.3 并联：阻抗最大、电压最高
并联回路的阻抗用导纳算：
Y_p=j\omega C+\frac{1}{r+j\omega L},\qquad Z_p=\frac{1}{Y_p}其中 r 是线圈的等效串联电阻（绕线电阻、集肤效应与磁芯损耗折算到串联模型的总和）。理想无损耗时，f_0 处 Y_p=0、Z_p\to\infty；实际有 r 时，阻抗是有限值，在谐振附近达到最大，所以并联谐振也叫电压谐振（Voltage Resonance）。
并联谐振时有一个反直觉的现象：源电流很小，但 L、C 支路内部的环流很大。环流与源电流之比约等于 Q。这解释了为什么无线充电的并联补偿电容要按很大的无功电流选型，也解释了为什么并联谐振回路的线圈发热可能远大于"输出功率"给人的直觉。
串联与并联的对比可以压成一张表：
| 项目 | 串联谐振 | 并联谐振（有损） |
|---|---|---|
| 谐振时端口阻抗 | 最小，Z=R | 最大，Z_{\max}\approx L/(Cr) |
| 源电流 | 最大，I=V/R | 最小，I\approx V/Z_{\max} |
| 元件电压 | V_L=V_C=QV | 端口电压最大，元件环流 Q 倍 |
| 常用叫法 | 电流谐振 | 电压谐振 |
| 典型用途 | 选频、陷波、EMI 吸收 | 选频放大、振荡器槽路、无线充电补偿 |
2.4 能量图像：L 与 C 在交换，源只补损耗
谐振不是"没有能量损耗"，而是无功功率在 L 与 C 之间来回倒手，电源只需要补充电阻消耗掉的那一部分。在理想串联回路里，电流峰值时能量全在电感（\frac12LI^2），电压峰值时能量全在电容（\frac12CV^2），两者周期性地互换，总储能近似不变。
这个图像直接给出品质因数的能量定义：一个周期内储存的能量与损耗能量之比，乘以 2\pi，就是 Q。§3.2 会用它推出 Q=\omega_0L/R。
把电感看成质量 m（惯性，电流不能突变），把电容看成弹簧（电压不能突变，1/C 对应劲度系数 k），把电阻看成阻尼器。质量-弹簧系统的固有角频率是 \omega_0=\sqrt{k/m}，对应电路的 \omega_0=1/\sqrt{LC}；阻尼越小人越"荡得起来"，对应 Q 越高、阶跃过冲越大。这个类比不是修辞：二阶微分方程的形式完全一样，所以频域的 Q 和时域的阻尼比可以互相换算，Q=1/(2\zeta)。
3. 定量关系：f₀、Q、带宽与阻尼
3.1 谐振频率与特征阻抗
由 \omega_0L=1/(\omega_0C) 直接解出：
\omega_0=\frac{1}{\sqrt{LC}},\qquad f_0=\frac{\omega_0}{2\pi}=\frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}特征阻抗（Characteristic Impedance）定义为谐振时感抗（或容抗）的大小：
Z_0=\sqrt{\frac{L}{C}}=\omega_0L=\frac{1}{\omega_0C}它不是"回路里某个电阻"，而是谐振时 L 与 C 之间交换无功功率的"阻抗尺度"。串联回路的 Q 就是特征阻抗与回路总电阻之比：
Q=\frac{Z_0}{R}=\frac{\omega_0L}{R}=\frac{1}{\omega_0CR}=\frac{1}{R}\sqrt{\frac{L}{C}}符号与单位：
| 符号 | 含义 | 单位 | 备注 |
|---|---|---|---|
| f_0 | 谐振频率 | Hz | 理想 L、C 下由 LC 乘积唯一决定 |
| \omega_0 | 谐振角频率 | rad/s | \omega_0=2\pi f_0 |
| Z_0 | 特征阻抗 | \Omega | 只由 L/C 比值决定，与频率无关 |
| Q | 品质因数 | 无量纲 | 串联用 Z_0/R，并联用 R_p/Z_0 |
| BW | 通频带 | Hz | 半功率点之间的宽度 |
| \zeta | 阻尼比 | 无量纲 | \zeta=1/(2Q) |
三个结论要记牢：
- f_0 只由乘积 LC 决定，L 加倍、C 减半，f_0 不变；
- Z_0 只由比值 L/C 决定，L 与 C 同时加倍，Z_0 不变、f_0 减半；
- 同样的 L、C，R 越小 Q 越高、带宽越窄，但谐振频率不变。
3.2 Q 的三种等价定义
品质因数有三种常用定义，它们回答的是同一个问题的三个侧面：
定义一：能量比。 谐振时储存的能量与每周期损耗能量之比，乘以 2\pi：
Q=2\pi\frac{W_{stored}}{W_{lost,cycle}}=\omega_0\frac{W_{stored}}{P_{loss}}定义二：带宽比。 谐振频率与半功率带宽之比：
Q=\frac{f_0}{BW}定义三：元件阻抗比。 谐振时储能元件的阻抗与回路损耗电阻之比：
Q=\frac{Z_0}{R}=\frac{\omega_0L}{R}\quad\text{（串联）},\qquad Q=\frac{R_p}{Z_0}=\frac{\omega_0L}{r}\quad\text{（并联）}它们什么时候等价？ 对一个孤立的、只有单一谐振模式的串联 RLC 回路，在谐振点上三种定义给出严格相同的数。推导如下：谐振时总储能（用峰值电流 I 表示）为 W_{stored}=\frac12LI^2，电阻上的平均损耗为 P_{loss}=\frac12I^2R，代入定义一：
Q=\omega_0\frac{\frac12LI^2}{\frac12I^2R}=\frac{\omega_0L}{R}与定义三一致。定义二则来自带通传递函数在半功率点的解，§3.3 会证明 BW=f_0/Q 对串联 RLC 是精确的，不是近似。
它们什么时候不等价？ 有三种常见情况：
- 有载 Q 与无载 Q。 定义一、三里的 R 如果只算线圈和电容的损耗，得到的是无载 Q（unloaded Q）；把源内阻、负载电阻也算进去，得到的是有载 Q（loaded Q）。有载 Q 才是你实际测到的带宽对应的那个 Q。
- 并联回路的损耗模型。 用串联 r 表示线圈损耗时 Q=\omega_0L/r；用并联 R_p 表示时 Q=R_p/Z_0。两者通过 R_p\approx Q^2r 换算，这个换算在 Q\ge10 时误差很小，Q 低时要回到精确模型。
- 多谐振模式或分布参数。 电感有匝间电容、电容有 ESL，真实元件在更高频率还有第二个谐振点；此时"一个 Q"描述不了整条阻抗曲线，必须看厂商的阻抗—频率曲线。
并联有损回路的谐振频率也会下降。令端口导纳的虚部为零，可解出功率因数为 1 的频率：
\omega_p=\omega_0\sqrt{1-\frac{1}{Q^2}}Q=100 时 \omega_p=0.99995\omega_0，只低 0.005\%，直接用 1/\sqrt{LC} 完全够用；Q=5 时 \omega_p=0.9799\omega_0，低了 2.0\%，这时就必须用精确式。高 Q 近似之所以好用，是因为误差按 1/(2Q^2) 缩小，不是因为公式本身更"正确"。
把三种定义放进同一张表，做题时先确定"题目问的是哪一个 Q"：
| 定义 | 表达式 | 怎么测 | 适用与陷阱 |
|---|---|---|---|
| 能量比 | Q=\omega_0 W_{stored}/P_{loss} | 量储能与损耗，难直接测 | 最基本；有载时把外部损耗算进去 |
| 带宽比 | Q=f_0/BW | 扫频找 -3 dB 点 | 最常用；必须是单谐振、半功率定义 |
| 阻抗比 | Q=Z_0/R 或 R_p/Z_0 | LCR 表量 L、C、R | 最方便；先确认串/并联等效模型 |
3.3 通频带、半功率点与选择性
串联 RLC 以电阻电压（或回路电流）为输出时，归一化传递函数是
H(j\omega)=\frac{1}{1+jQ\left(\frac{\omega}{\omega_0}-\frac{\omega_0}{\omega}\right)}半功率点满足 |H|=1/\sqrt2，即括号里的虚部等于 \pm1：
Q\left(\frac{\omega}{\omega_0}-\frac{\omega_0}{\omega}\right)=\pm1解这个二次方程，得到两个正根：
\omega_{hi}=\omega_0\left(\sqrt{1+\frac{1}{4Q^2}}+\frac{1}{2Q}\right),\qquad \omega_{lo}=\omega_0\left(\sqrt{1+\frac{1}{4Q^2}}-\frac{1}{2Q}\right)两者相减：
BW=\frac{\omega_{hi}-\omega_{lo}}{2\pi}=\frac{\omega_0}{2\pi Q}=\frac{f_0}{Q}这个结果是精确的，不是高 Q 近似。注意两个半功率点的几何平均严格等于 f_0：
\omega_{hi}\omega_{lo}=\omega_0^2而它们的算术平均略高于 f_0，偏移量随 Q 降低而增大。Q=40、f_0=1 MHz 时，精确半功率点是 1.012578 MHz 与 0.987578 MHz，算术平均 1.000078 MHz，比 f_0 高 78 Hz；用 f_0\pm BW/2 近似得到 1.0125 MHz 与 0.9875 MHz，每个点差 78 Hz，占带宽的 0.31\%。工程上 Q\ge10 时这个近似够用，Q<3 时要老老实实解二次方程。
选择性用偏离谐振点后的衰减衡量。远离谐振时 |H|\approx 1/(Q|\omega/\omega_0-\omega_0/\omega|)。以 Q=40 为例：
| 频率 | \omega/\omega_0-\omega_0/\omega | |H| | 衰减 | |---|---|---|---| | 1.5f_0 | 1.5-0.6667=0.8333 | 0.02999 | -30.46 dB | | 2.0f_0 | 2.0-0.5=1.5 | 0.01666 | -35.56 dB | | 3.0f_0 | 3.0-0.3333=2.6667 | 0.00937 | -40.57 dB |
衰减斜率在远离谐振后趋于 \pm20 dB/十倍频：频率每升高十倍，|H| 降到约 1/10。这就是二阶带通滤波器的基本形状。
下图按同一个公式画出 Q=1,2,5,10 的归一化幅频响应，数据点全部由 |H| 的表达式算得：
读图抓住两点：Q 越大，峰越尖、通带越窄；所有曲线在 f/f_0=1 处都过 0 dB，且关于谐振点不完全对称——低频侧与高频侧在同一个 |H| 处对应的频率，几何平均才是 f_0。
3.4 阻尼比：从频域 Q 到时域阶跃
把串联 RLC 的电容电压作为输出，传递函数写成标准二阶形式：
H(s)=\frac{\omega_0^2}{s^2+2\zeta\omega_0 s+\omega_0^2},\qquad \zeta=\frac{1}{2Q}=\frac{R}{2}\sqrt{\frac{C}{L}}其中 s 是拉普拉斯变量，\zeta 是阻尼比（Damping Ratio），无量纲；\omega_0 是自然角频率。特征方程的根决定阶跃响应形态：
- \zeta>1（Q<0.5）：过阻尼，两个不相等负实根，无过冲，响应慢；
- \zeta=1（Q=0.5）：临界阻尼，重根，无过冲，是"不过冲前提下最快"的近似；
- 0<\zeta<1（Q>0.5）：欠阻尼，一对共轭复根，有振荡和过冲；
- \zeta=0（Q\to\infty）：无阻尼，等幅振荡（理想 LC）。
欠阻尼阶跃响应（阶跃幅度 V，输出为电容电压）：
v_C(t)=V\left[1-e^{-\zeta\omega_0 t}\left(\cos\omega_d t+\frac{\zeta}{\sqrt{1-\zeta^2}}\sin\omega_d t\right)\right],\qquad \omega_d=\omega_0\sqrt{1-\zeta^2}临界阻尼：
v_C(t)=V\left[1-e^{-\omega_0 t}(1+\omega_0 t)\right]过阻尼：
v_C(t)=V\left\{1-\frac{1}{2\sqrt{\zeta^2-1}}\left[(\zeta+\sqrt{\zeta^2-1})e^{-(\zeta-\sqrt{\zeta^2-1})\omega_0 t}-(\zeta-\sqrt{\zeta^2-1})e^{-(\zeta+\sqrt{\zeta^2-1})\omega_0 t}\right]\right\}欠阻尼的超调量与峰值时间有闭式解：
M_p=e^{-\frac{\pi\zeta}{\sqrt{1-\zeta^2}}},\qquad t_p=\frac{\pi}{\omega_d}=\frac{\pi}{\omega_0\sqrt{1-\zeta^2}}以 f_0=100 kHz（\omega_0=6.2832\times10^5 rad/s）为例，按上式计算并用 2\% 误差带数值求最后一个越界点，得到：
| \zeta | Q | 过冲 M_p | 峰值时间 t_p | 2\% 建立时间 t_s | 响应形态 |
|---|---|---|---|---|---|
| 0.25 | 2.0 | 44.43\% | 5.16 µs | 22.47 µs | 欠阻尼，明显振铃 |
| 0.50 | 1.0 | 16.30\% | 5.77 µs | 12.85 µs | 欠阻尼，可接受 |
| 0.707 | 0.707 | 4.32\% | 7.07 µs | 9.49 µs | 最大平坦（巴特沃斯） |
| 1.00 | 0.50 | 0 | 无 | 9.28 µs | 临界阻尼 |
| 2.00 | 0.25 | 0 | 无 | 23.68 µs | 过阻尼，慢 |
读表要注意三件事：
- Q=0.707 对应 \zeta=0.707，不是 Q=1。 最大平坦响应要求 \zeta=1/\sqrt2，即 Q\approx0.707。Q=1（\zeta=0.5）会有 16.3\% 的过冲。
- 临界阻尼对应 Q=0.5。 想让阶跃"不过冲"，串联电阻要满足 R=2Z_0=2\sqrt{L/C}。对 L=100 µH、C=100 pF，Z_0=1000\,\Omega，所以 R=2000\,\Omega 才临界阻尼；用 10\,\Omega 时 Q=100，阶跃会剧烈振铃。
- 建立时间近似式要慎用。 欠阻尼常用 t_s\approx4/(\zeta\omega_0)，但临界阻尼时这个近似给出 6.37 µs，实际 2\% 建立时间是 9.28 µs（精确判据为 5.83/\omega_0）。过阻尼则要看主导极点 s_1=-\omega_0(\zeta-\sqrt{\zeta^2-1})，用 t_s\approx4/|s_1| 估算：\zeta=2 时 |s_1|=0.268\omega_0，4/|s_1|=23.76 µs，与表中的 23.68 µs 接近。
3.5 适用条件与失效边界
这套公式建立在四个前提上，任何一个不成立，算出来的 f_0 与 Q 就只是"理想值"：
- 线性时不变。 电感磁芯饱和后 L 骤降，陶瓷电容在直流偏置下容量可掉一半以上（具体以数据手册为准），此时 f_0 会随工作点漂移。
- 集总假设。 元件尺寸远小于波长。100 MHz 时波长 3 m，一段 30 cm 的引线已经接近 \lambda/10 的集总上限，要按传输线处理。
- 单一谐振模式。 真实电感有匝间电容，真实电容有 ESL，各自还有自谐振频率（SRF）。工作频率接近 SRF 时，"电感"可能已经呈容性，f_0 公式里的 L 不再是常数。
- 源与负载不改变回路。 公式里的 R 必须是回路总电阻，包括源内阻与负载折算电阻。只算线圈电阻，得到的是无载 Q；计入无源负载后，有载 Q 通常更低、带宽通常更宽。
4. 典型计算
4.1 算例一：给定 L、C，求 f₀ 与特征阻抗
题目：L=100 µH、C=100 pF 的串联回路，回路总电阻 R=10\,\Omega。求谐振频率、特征阻抗、Q、带宽、半功率点，以及 2f_0 处的衰减。
第 1 步，算 LC 乘积：
LC=100\times10^{-6}\times100\times10^{-12}=10^{-4}\times10^{-10}=10^{-14}\ \text{s}^2第 2 步，开方：
\sqrt{LC}=\sqrt{10^{-14}}=10^{-7}\ \text{s}第 3 步，谐振频率：
f_0=\frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}=\frac{1}{2\pi\times10^{-7}}=\frac{1}{6.2832\times10^{-7}}=1.591549\times10^6\ \text{Hz}\approx1.5915\ \text{MHz}角频率 \omega_0=2\pi f_0=1.0\times10^7 rad/s。
第 4 步，特征阻抗：
Z_0=\sqrt{\frac{L}{C}}=\sqrt{\frac{100\times10^{-6}}{100\times10^{-12}}}=\sqrt{10^6}=1000\ \Omega第 5 步，Q 与带宽：
Q=\frac{Z_0}{R}=\frac{1000}{10}=100,\qquad BW=\frac{f_0}{Q}=\frac{1.5915\times10^6}{100}=15.915\ \text{kHz}第 6 步，半功率点（精确式）：
f_{hi}=f_0\left(\sqrt{1+\frac{1}{4Q^2}}+\frac{1}{2Q}\right)=1.5915\times10^6\times\left(\sqrt{1.000025}+0.005\right)\sqrt{1.000025}=1.0000125,\qquad f_{hi}=1.591549\times10^6\times(1.0000125+0.005)=1.591549\times10^6\times1.0050125=1.599527\ \text{MHz}f_{lo}=1.591549\times10^6\times(1.0000125-0.005)=1.591549\times10^6\times0.9950125=1.583612\ \text{MHz}两者之差 15.915 kHz，与 f_0/Q 一致；几何平均 \sqrt{1.599527\times1.583612}=1.591549 MHz，回到 f_0。
第 7 步，2f_0 处的衰减：
|H(2f_0)|=\frac{1}{\sqrt{1+Q^2\left(2-\frac12\right)^2}}=\frac{1}{\sqrt{1+100^2\times1.5^2}}=\frac{1}{\sqrt{1+22500}}=0.00666720\lg(0.006667)=-43.52\ \text{dB}第 8 步，验算谐振时的元件电压：源电压 1 V 有效值时，V_L=V_C=QV=100\ \text{V}（有效值），对应峰值 141\ \text{V}。如果电容额定 50 V，早就不够——耐压必须按峰值并留余量，不能按源电压有效值选。
4.2 算例二：给定 Q，求带宽与半功率点
题目：某 1 MHz 中频滤波器的谐振回路测得 Q=40，求带宽、精确半功率点、算术近似误差，以及 2 MHz 处的衰减。
第 1 步，带宽：
BW=\frac{f_0}{Q}=\frac{1.000\times10^6}{40}=25.0\ \text{kHz}第 2 步，精确半功率点：
\frac{1}{2Q}=\frac{1}{80}=0.0125,\qquad \sqrt{1+\frac{1}{4Q^2}}=\sqrt{1+\frac{1}{6400}}=\sqrt{1.00015625}=1.0000781f_{hi}=10^6\times(1.0000781+0.0125)=1.012578\ \text{MHz}f_{lo}=10^6\times(1.0000781-0.0125)=0.987578\ \text{MHz}第 3 步，核对算术近似：f_0\pm BW/2=1.0125 MHz 与 0.9875 MHz。与精确值各差 78 Hz，而 78/25000=0.31\%。同时注意精确半功率点的算术平均是 1.000078 MHz，比 f_0 高 78 Hz——半功率点不以 f_0 为算术中心，低 Q 时这个偏差会变得明显。
第 4 步，2 MHz 处衰减：
|H(2f_0)|=\frac{1}{\sqrt{1+40^2\times(2-0.5)^2}}=\frac{1}{\sqrt{1+3600}}=0.01666420\lg(0.016664)=-35.56\ \text{dB}第 5 步，验算：f_{hi}\times f_{lo}=1.012578\times0.987578=1.000000（MHz²），几何平均严格回到 1 MHz；f_{hi}-f_{lo}=25.000 kHz，与 BW 一致。
4.3 完整设计：500 kHz 开关电源的 LC 输入滤波器
需求：5 V 母线、1 A 负载，开关节点为 0–5 V、占空比 0.5 的方波，开关频率 f_{sw}=500 kHz。要求在 500 kHz 处至少衰减 55 dB，直流压降不超过 100 mV，空载时滤波器不能有明显振铃。
第 1 步，把衰减指标翻译成 f_0 上限。 二阶 LC 低通在远高于 f_0 时近似 |H|\approx(f_0/f)^2。要求 55 dB，即幅度比 10^{-55/20}=1/562.3，所以
\left(\frac{f_0}{f_{sw}}\right)^2\le\frac{1}{562.3}\ \Longrightarrow\ f_0\le\frac{500\ \text{kHz}}{\sqrt{562.3}}=\frac{500}{23.71}=21.1\ \text{kHz}取 f_0\approx16 kHz，留出约 5 dB 余量。
第 2 步，选电感、算电容。 取 L=100 µH（1 A 级功率电感的典型量级，DCR 约 50 mΩ，具体以数据手册为准），由 f_0=1/(2\pi\sqrt{LC}) 反解：
C=\frac{1}{(2\pi f_0)^2L}=\frac{1}{(2\pi\times16\times10^3)^2\times100\times10^{-6}}(2\pi\times16\times10^3)^2=1.0106\times10^{10},\qquad C=\frac{1}{1.0106\times10^{10}\times10^{-4}}=9.895\times10^{-7}\ \text{F}取 E6 系列的 1 µF。实际谐振频率：
f_0=\frac{1}{2\pi\sqrt{100\times10^{-6}\times1\times10^{-6}}}=\frac{1}{2\pi\times10^{-5}}=15.915\ \text{kHz}第 3 步，核算 500 kHz 衰减。 特征阻抗：
Z_0=\sqrt{\frac{L}{C}}=\sqrt{\frac{10^{-4}}{10^{-6}}}=\sqrt{100}=10\ \Omega500 kHz 处：
X_L=2\pi\times5\times10^5\times10^{-4}=314.16\ \Omega,\qquad X_C=\frac{1}{2\pi\times5\times10^5\times10^{-6}}=0.3183\ \Omega理想电容分压：
|H|=\frac{X_C}{\sqrt{X_L^2+X_C^2}}=\frac{0.3183}{\sqrt{314.16^2+0.3183^2}}=1.0132\times10^{-3}20\lg(1.0132\times10^{-3})=-59.89\ \text{dB}加上阻尼网络 R_d=10\,\Omega 与 C_d=4.7 µF 并联后，500 kHz 处 C 与 R_d 的并联阻抗为
Z_{sh}=\frac{1}{\frac{1}{0.3183}+\frac{1}{10}}=0.3085\ \Omega|H|=\frac{0.3085}{\sqrt{314.16^2+0.3085^2}}=9.820\times10^{-4},\qquad 20\lg(9.820\times10^{-4})=-60.16\ \text{dB}比理想值只差 0.27 dB，仍比 55 dB 指标多 5.16 dB 余量。
第 4 步，算方波基波与三次谐波输出。 0–5 V、50% 方波的基波峰值是 2V_{pp}/\pi=2\times5/\pi=3.183 V，三次谐波是 3.183/3=1.061 V。输出基波：
V_{out,1}=3.183\times9.820\times10^{-4}=3.126\ \text{mV}三次谐波（1.5 MHz）处 X_L=942.48\,\Omega、X_C=0.1061\,\Omega，并联阻尼后 |H|=1.114\times10^{-4}，输出 1.061\times1.114\times10^{-4}=0.118 mV。谐波衰减更快，滤波后的残余主要是基波。
第 5 步，算电感纹波与电容纹波电压。 方波加在电感上，电感电流纹波：
\Delta I=\frac{V_{in}D(1-D)}{Lf_{sw}}=\frac{5\times0.5\times0.5}{100\times10^{-6}\times5\times10^5}=\frac{1.25}{50}=0.025\ \text{A}=25\ \text{mA}电容电压纹波（理想三角波近似）：
\Delta V=\frac{\Delta I}{8f_{sw}C}=\frac{0.025}{8\times5\times10^5\times10^{-6}}=\frac{0.025}{4}=6.25\ \text{mV}第 6 步，阻尼与振铃。 无阻尼时，空载 Q 只由电感 DCR 与电容 ESR 决定，理论上可以很高，阶跃会振铃。加 R_d=10\,\Omega、C_d=4.7 µF 后，阻尼支路在谐振附近并到电容上，阻尼后的 Q 近似
Q_d=\frac{R_d}{Z_0}=\frac{10}{10}=1.0二阶低通的峰值是 Q/\sqrt{1-1/(4Q^2)}=1/\sqrt{0.75}=1.1547，即 +1.25 dB 的轻微抬升，属于可接受范围。满载时 1 A 负载等效为 5\,\Omega，与 R_d=10\,\Omega 并联后 Q\approx(10\parallel5)/10=0.333，过阻尼、无峰值；空载才是最坏情况。若要求更平坦，把 R_d 降到 7.5\,\Omega 可把空载 Q 压到约 0.75（忽略 C_d 的串联阻抗），代价是 500 kHz 处衰减略降。
第 7 步，核算直流压降与器件应力。 电感 DCR 50 mΩ 在 1 A 下产生
V_{drop}=I_{DC}\times R_{DCR}=1\times0.05=50\ \text{mV}小于 100 mV 指标。电感峰值电流 1+0.025/2=1.0125 A，选饱和电流 ≥1.5 A 的型号留余量；电容耐压按 5 V 母线选 10 V 或 16 V，纹波电流约 \Delta I/\sqrt{12}=7.2 mA，普通陶瓷电容即可承受。
第 8 步，逐项验算并列表：
| 指标 | 要求 | 计算值 | 判定 |
|---|---|---|---|
| 500 kHz 衰减 | ≥55 dB | 60.16 dB | 通过，余量 5.16 dB |
| 直流压降 | ≤100 mV | 50 mV | 通过 |
| 输出纹波 | 未规定，记录 | 6.25 mV | 可接受 |
| 空载阻尼 | 无明显振铃 | Q_d\approx1，峰值 +1.25 dB | 通过 |
| 谐振频率 | ≤21.1 kHz | 15.915 kHz | 通过 |
结论：L=100 µH、C=1 µF、f_0=15.915 kHz、Z_0=10\,\Omega，配 R_d=10\,\Omega、C_d=4.7 µF 阻尼，满足 55 dB 与 100 mV 两项指标。实际电路中源阻抗、负载电流、电感饱和与电容偏压都会改变 f_0 与 Q，打样后必须用网络分析仪或频率扫描实测验证；以上元件值为设计起点，不是无条件可用的"标准答案"。
5. 工程含义
5.1 工程数量级表
表一：f_0 随 L、C 的变化（单位 Hz）
| L \ C | 100 pF | 1 nF | 10 nF |
|---|---|---|---|
| 10 µH | 5.033 M | 1.592 M | 503.3 k |
| 100 µH | 1.592 M | 503.3 k | 159.15 k |
| 1 mH | 503.3 k | 159.15 k | 50.33 k |
表二：特征阻抗 Z_0=\sqrt{L/C}（单位 Ω）
| L \ C | 100 pF | 1 nF | 10 nF |
|---|---|---|---|
| 10 µH | 316.2 | 100.0 | 31.62 |
| 100 µH | 1000 | 316.2 | 100.0 |
| 1 mH | 3162 | 1000 | 316.2 |
两张表放在一起看：同样的 L、C 数量级，f_0 与 Z_0 不能同时任意选。想要 1 MHz、Z_0=1000\,\Omega，表里最接近的是 L=100 µH、C=100 pF 这一格（实际 f_0=1.592 MHz）；要精确落在 1 MHz，就按下面的公式反解：L=Z_0/(2\pi f_0)=159.15 µH，C=1/(2\pi f_0Z_0)=159.15 pF。降低 Z_0 到 100 Ω 就要把 L/C 比值降 100 倍，f_0 会跟着变。设计时先定 f_0 与 Z_0，再解出 L、C：
L=\frac{Z_0}{2\pi f_0},\qquad C=\frac{1}{2\pi f_0 Z_0}表三：f_0=1 MHz 时 Q 与带宽、阻尼比的对应
| Q | BW=f_0/Q | \zeta=1/(2Q) | 典型形态 |
|---|---|---|---|
| 5 | 200 kHz | 0.100 | 宽带 |
| 10 | 100 kHz | 0.050 | 选频初现 |
| 20 | 50 kHz | 0.025 | 较尖 |
| 40 | 25 kHz | 0.0125 | 中频滤波常用 |
| 50 | 20 kHz | 0.010 | 高选择性 |
| 100 | 10 kHz | 0.005 | 窄带，容差敏感 |
| 200 | 5 kHz | 0.0025 | 高选择性 LC/陶瓷滤波器 |
表四：真实元件的典型量级（仅给数量级，具体以数据手册与实测为准）
| 对象 | 典型量级 | 对谐振的影响 |
|---|---|---|
| 贴片 MLCC 的 ESL | 0.5–2 nH | 与容量形成串联自谐振，频率越高越明显 |
| 100 nF 贴片电容的 SRF | 约 10–20 MHz | 高于 SRF 后呈感性，不能再当电容 |
| 功率电感的 SRF | 约 1–50 MHz | 感量越大通常 SRF 越低 |
| 空心线圈 Q（100 kHz–1 MHz） | 约 50–200 | 线径、绕法与骨架损耗决定 |
| 石英晶体的 Q | 10^4–10^6 | 极高选择性，也极窄带 |
| 片式功率电感 Q（1–10 MHz） | 约 20–100 | 磁芯损耗限制 |
5.2 容差、温度与有载 Q
谐振频率对 L、C 的敏感度是"平方根的一半"：
\frac{\Delta f_0}{f_0}\approx-\frac12\left(\frac{\Delta L}{L}+\frac{\Delta C}{C}\right)若电感 +10%、电容 +5%，则
\frac{f_0'}{f_0}=\frac{1}{\sqrt{1.10\times1.05}}=\frac{1}{\sqrt{1.155}}=0.9305即 f_0 偏低 6.95\%。对 f_0=1 MHz、BW=25 kHz（Q=40）的回路，6.95\% 是 69.5 kHz，接近三个带宽——元件容差足以让高 Q 回路完全失谐。所以高选择性回路要么用 1% 级元件，要么预留可调电容/可调电感，要么在出厂时逐个校准。
温度也会移动 f_0：电容介质（NP0/C0G 与 X7R 的温漂差一个数量级以上）、电感磁芯的磁导率随温度变化，都会进入上面的公式。具体系数查元件数据手册，不要用"典型值"替代。
有载 Q 的算法很直接：把源内阻与负载折算进回路总电阻。对串联回路，
Q_L=\frac{\omega_0L}{R_{coil}+R_s+R_L}例如 L=100 µH、C=100 pF、R_{coil}=10\,\Omega，无载 Q=1000/10=100；接上 R_s=50\,\Omega 与 R_L=50\,\Omega 后，总电阻 110\,\Omega，Q_L=1000/110=9.09，带宽从 15.9 kHz 展宽到 175 kHz，约为原来的 11 倍。测到的带宽对应的是有载 Q，不是线圈标称 Q；用线圈 Q 去推算系统带宽，是最常见的 10 倍量级错误之一。
5.3 无线充电线圈的谐振匹配
以一个小功率无线充电线圈为例：量测 L=24.0 µH（典型量级 10–30 µH，实际以绕制与厂商数据为准），目标谐振频率取 125 kHz（Qi 规范的工作频段为 87–205 kHz，具体版本以 WPC 发布为准）。串联补偿电容由 f_0 反解：
C=\frac{1}{(2\pi f_0)^2L}=\frac{1}{(2\pi\times125\times10^3)^2\times24\times10^{-6}}(2\pi\times125\times10^3)^2=6.1685\times10^{11},\qquad C=\frac{1}{6.1685\times10^{11}\times24\times10^{-6}}=6.755\times10^{-8}\ \text{F}=67.55\ \text{nF}取 E12 系列的 68 nF，实际谐振频率：
f_0=\frac{1}{2\pi\sqrt{24\times10^{-6}\times68\times10^{-9}}}=\frac{1}{2\pi\times1.2775\times10^{-6}}=124.58\ \text{kHz}相对目标 125 kHz 偏低 0.333\%。特征阻抗与 Q：
Z_0=\sqrt{\frac{L}{C}}=\sqrt{\frac{24\times10^{-6}}{68\times10^{-9}}}=\sqrt{352.9}=18.79\ \Omega设线圈在 125 kHz 的交流电阻 R_{ac}=0.35\,\Omega（实测值；典型量级 0.1–0.5 Ω，以实测为准），则
Q=\frac{Z_0}{R_{ac}}=\frac{18.79}{0.35}=53.68,\qquad BW=\frac{124.58\ \text{kHz}}{53.68}=2.321\ \text{kHz}若用 1 V 有效值的基波驱动，谐振时回路电流与电容电压：
I=\frac{V}{R_{ac}}=\frac{1}{0.35}=2.857\ \text{A},\qquad V_C=QV=53.68\ \text{V}电容电压的有效值是 53.68 V，对应峰值 53.68\times\sqrt2=75.9 V。额定电压至少选 100 V；若按 2 倍峰值降额，则要选 160 V 以上的电容。线圈导线要能承受约 3 A 有效值。这就是"谐振匹配"的真实代价：1 V 有效值驱动换来 54 V 有效值、76 V 峰值的电容电压，以及 2.9 A 线圈电流。实际逆变器是方波驱动，还要考虑谐波、开关损耗、线圈温升与失谐保护；上述计算只用于确定电容初值与器件应力下限。
失谐有多敏感？若电感因气隙变化 +10%、电容因温漂 +5%，由 §5.2 的公式 f_0 偏低 6.95\%，即从 124.58 kHz 降到约 115.9 kHz，偏移 8.7 kHz，是带宽 2.32 kHz 的 3.7 倍——回路已经严重失谐。高 Q 无线充电系统必须把谐振点作为闭环控制或在线校准的对象，不能只靠一次计算。
5.4 对选型与布线的实际影响
- 电容耐压按 Q 倍源电压选。 串联谐振时 V_{C,rms}=QV_{rms}，峰值还要再乘 \sqrt2；并联谐振的端口电压也可能被 Q 放大。额定电压至少留 2 倍峰值余量，开关瞬态还要再降额。
- 电容介质选 C0G/NP0。 谐振回路对容量稳定度敏感，X7R 的电压系数与温漂会让 f_0 漂移；C0G 的容量随电压、温度基本不变，代价是容量密度低。
- 电感要看 SRF 与饱和电流。 工作频率必须远低于 SRF；功率回路的峰值电流要低于饱和电流并留 20% 以上余量，否则 L 骤降、f_0 上冲。
- 减小谐振回路的环路面积。 高 Q 回路对寄生参数敏感，环路面积越大，寄生电感与耦合越强，实测 f_0 越容易偏离计算值。
- 预留调试手段。 高 Q 回路建议预留可调电容、可调电感或串联小电阻的位置；打样后用频率扫描确认 f_0、BW 与峰值阻抗。
6. 常见坑
- 把并联谐振当成"开路"，按无穷大阻抗设计：现象——仿真里谐振点阻抗无穷大，实物只有几十到几百 kΩ，偏置电流把节点拉偏。原因——理想 LC 并联只在无损耗时阻抗无穷大，真实线圈有 r，峰值阻抗只有 L/(Cr)=Q^2r。解决——先量线圈 r 与 C，按 Z_{\max}=L/(Cr) 估算，再决定是否需要更高的 Q 或缓冲电路。
- 用 f_0\pm BW/2 当半功率点：现象——低 Q 时按算术中点算出的衰减不是 -3 dB（例如 Q=2 时只有 -2.58 dB），带宽被低估。原因——半功率点关于 f_0 是几何对称而不是算术对称。解决——用精确式 f_{hi,lo}=f_0(\sqrt{1+1/(4Q^2)}\pm1/(2Q))；Q\ge10 时才可以用 \pm BW/2 近似。
- 把元件 Q 当有载 Q：现象——线圈标称 Q=100，装到板上实测带宽宽了十倍。原因——源内阻与负载电阻都并在/串在回路里，有载 Q 由总电阻决定。解决——把 R_s、R_L 折算进总电阻重算 Q_L；用实测带宽反推有载 Q。
- 忽略串联谐振的电容电压放大：现象——1 V 驱动、Q=50 的回路，电容上打火或击穿。原因——V_C=QV，电容电压是源电压的 Q 倍。解决——按 Q 倍源电压选耐压，并核算开关瞬态与失谐时的过压。
- 电感工作在 SRF 以上：现象——按 L=100 µH 设计的 10 MHz 滤波器完全不起作用。原因——电感匝间电容在 SRF 以上把它变成电容，2\pi fL 不再是感性阻抗。解决——选 SRF 远高于工作频率的电感；高频段改用磁珠、馈通电容或传输线结构。
- 把 Q 与阻尼比的方向记反：现象——想要"不过冲"，把 Q 调到 1，结果仍有 16.3\% 过冲。原因——临界阻尼对应 \zeta=1、Q=0.5，不是 Q=1。解决——记住 \zeta=1/(2Q)；要求无过冲时按 R=2\sqrt{L/C} 设计，要求最大平坦时取 Q=0.707。
7. 自测题
L=1 mH、C=10 nF、R=31.6 Ω 的串联回路，谐振频率、特征阻抗、Q、带宽各是多少？
LC=10^{-3}\times10^{-8}=10^{-11},\qquad \sqrt{LC}=3.162\times10^{-6}\ \text{s}f_0=\frac{1}{2\pi\times3.162\times10^{-6}}=50.33\ \text{kHz}Z_0=\sqrt{\frac{10^{-3}}{10^{-8}}}=\sqrt{10^5}=316.2\ \OmegaQ=\frac{316.2}{31.6}=10.01,\qquad BW=\frac{50.33\ \text{kHz}}{10.01}=5.03\ \text{kHz}验算：\omega_0=2\pi\times50.33\times10^3=3.162\times10^5 rad/s，\omega_0L=316.2\,\Omega，1/(\omega_0C)=316.2\,\Omega，两者相等，谐振条件成立。
f₀=1 MHz、Q=50 的串联回路，带宽与精确半功率点是多少？1.5 MHz 处衰减多少 dB？
BW=\frac{10^6}{50}=20\ \text{kHz}\frac{1}{2Q}=0.01,\qquad \sqrt{1+\frac{1}{4Q^2}}=\sqrt{1.0001}=1.00005f_{hi}=10^6\times(1.00005+0.01)=1.01005\ \text{MHz},\qquad f_{lo}=10^6\times(1.00005-0.01)=0.99005\ \text{MHz}两者之差 20.0 kHz，几何平均 \sqrt{1.01005\times0.99005}=1.000000 MHz。
1.5 MHz 处：
|H|=\frac{1}{\sqrt{1+50^2(1.5-0.6667)^2}}=\frac{1}{\sqrt{1+2500\times0.6944}}=\frac{1}{\sqrt{1737}}=0.0239920\lg(0.02399)=-32.40\ \text{dB}L=100 µH、C=100 pF 的串联回路，要临界阻尼需要多大电阻？此时 Q 是多少？若 R=10 Ω，阶跃响应过冲约多少？
临界阻尼 \zeta=1，即 Q=0.5。串联回路：
R=2Z_0=2\sqrt{\frac{L}{C}}=2\times1000=2000\ \Omega此时 Q=Z_0/R=1000/2000=0.5，\zeta=1/(2Q)=1。
若 R=10\,\Omega，则 Q=100，\zeta=0.005。过冲
M_p=e^{-\pi\zeta/\sqrt{1-\zeta^2}}=e^{-\pi\times0.005/0.9999875}=e^{-0.015708}=0.9844即约 98.4\% 的过冲——几乎等幅振荡。实际电路里 DCR 与负载会提供一些阻尼，但仍会严重振铃。
同一组 L=100 µH、C=100 pF、线圈损耗 r=10 Ω，串联谐振与并联谐振的阻抗各是多少？相差多少倍？
串联：谐振时 Z_s=r=10\,\Omega（最小）。
并联：Q=\omega_0L/r。先算
\omega_0=\frac{1}{\sqrt{LC}}=\frac{1}{10^{-7}}=10^7\ \text{rad/s},\qquad \omega_0L=10^7\times10^{-4}=1000\ \OmegaQ=\frac{1000}{10}=100峰值阻抗
Z_{\max}=\frac{L}{Cr}=Q^2r=100^2\times10=10^5\ \Omega=100\ \text{k}\Omega两者之比 10^5/10=10^4=Q^2。同一个回路，串联时是 10 Ω 的"短路"，并联时是 100 kΩ 的"开路"，差别就是 Q^2——这就是接法决定谐振性质的原因。
用能量定义证明串联 RLC 的 Q=ω₀L/R。
谐振时回路电流为正弦，设峰值为 I。电感储能随时间变化，但在电流峰值瞬间电容电压为零，总储能全在电感：
W_{stored}=\frac12LI^2电阻上的平均损耗功率：
P_{loss}=\frac12I^2R代入能量定义
Q=\omega_0\frac{W_{stored}}{P_{loss}}=\omega_0\frac{\frac12LI^2}{\frac12I^2R}=\frac{\omega_0L}{R}也可以用每周期损耗验证：一周期损耗 W_{lost}=P_{loss}T=\frac12I^2R\cdot\frac{2\pi}{\omega_0}，于是
Q=2\pi\frac{W_{stored}}{W_{lost}}=2\pi\frac{\frac12LI^2}{\frac12I^2R\cdot2\pi/\omega_0}=\frac{\omega_0L}{R}两种写法给出同一个结果，说明能量比定义与阻抗比定义在串联回路上严格一致。
f₀=100 kHz、Q=10 的回路，阻尼比、带宽、阶跃过冲与 2% 建立时间大约是多少？
\zeta=\frac{1}{2Q}=\frac{1}{20}=0.05,\qquad BW=\frac{f_0}{Q}=10\ \text{kHz}过冲：
M_p=e^{-\pi\times0.05/\sqrt{1-0.0025}}=e^{-0.1572}=0.8545即 85.45\%。
峰值时间：
t_p=\frac{\pi}{\omega_0\sqrt{1-\zeta^2}}=\frac{\pi}{2\pi\times10^5\times0.99875}=5.025\ \mu\text{s}2% 建立时间用近似式 t_s\approx4/(\zeta\omega_0)：
t_s\approx\frac{4}{0.05\times6.2832\times10^5}=127.3\ \mu\text{s}高 Q 回路"频域很尖"的代价，就是时域要振荡很久才稳定。
8. 参考资料
- Lessons In Electric Circuits, Vol. II – AC（Tony R. Kuphaldt，ibiblio 公开版）：Chapter 6 Resonance 给串联/并联谐振、品质因数与带宽的定义；Chapter 8 Filters 给低通、高通、带通、带阻的频响与半功率点口径。本章 §3.2 的三种 Q 定义与 §3.3 的带宽推导与该书一致。https://www.ibiblio.org/kuphaldt/electricCircuits/
- 《电路》（邱关源，高等教育出版社）："电路的频率响应"一章讲谐振频率、特性阻抗、品质因数、通频带与阻尼；本章的串联/并联对偶、Q 的能量定义与该书口径一致。
- Horowitz and Hill, The Art of Electronics, 3rd ed.：Chapter 1 Foundations 中关于电感、电容、LC 谐振、Q、阻尼与阶跃响应的数量级讨论；本章"高 Q 窄带、低 Q 宽带"的工程判断与该书一致。
- IEC 60063, Preferred number series for resistors and capacitors：E6/E12/E24 标称值系列；本章 68 nF、1 µF 等取值按该系列选取。
- Wireless Power Consortium, Qi Specification, Power Class 0：工作频率范围 87–205 kHz 与线圈谐振补偿的基本要求；具体限值与测试方法以 WPC 发布的对应版本文档为准。https://www.wirelesspowerconsortium.com/
- Falstad Circuit Simulator：在线 RLC 谐振与阶跃响应演示，可用于核对本章的 f_0、Q 与波形形状。https://www.falstad.com/circuit/