控制模式与环路补偿 Control Modes & Loop Compensation
把功率级搭出来，输出端量到一个 5V，这不叫"设计完成"。真正的考验在三个时刻：上电瞬间、负载阶跃、输入电压跳变。这三件事都发生在闭环里，而闭环的行为由环路增益 T(s) 在频域的形状决定——尤其是它在 0dB 穿越点附近的斜率和相位。
开关电源原理与 Buck 降压 讲了怎么算电感、电容、损耗；Boost 升压与 Buck-Boost 讲了 RHP 零点为什么锁带宽。这一章解决最后一环：用什么控制模式、把穿越频率放在哪、补偿器的零极点放在哪、相位裕度怎么核。
1. 设计动机
开关电源的输出能稳住，靠的是负反馈：分压取样 → 与基准比较 → 误差放大 → 调占空比。但功率级里有一个电感和一个电容，它们在 1/(2\pi\sqrt{LC}) 附近构成一对共轭极点，相位在这里从 0° 一路跌向 -180^\circ。
如果补偿器什么都不做，把误差放大器直接接上去，就会出现下面这条链：
- 环路增益在某处穿越 0dB，而该处相位已经接近 -180^\circ；
- 负反馈的"负"被吃光了，扰动不再收敛；
- 输出上叠加一个几百 kHz 的持续振荡，电感开始啸叫，MOS 温升飙升。
这不是"芯片不稳定"，是设计者没有把相位裕度算出来。 补偿器就是人为地往 T(s) 里加零点和极点，把穿越点附近的相位"掰"回 >45^\circ。这一步做对了，电源从"能亮"变成"能用"；做错了，轻则纹波超标、瞬态拖沓，重则批量炸机。
环路问题的现象往往和"环路"两个字看不出关系，先把症状与根因对上：
| 现象 | 频域根因 | 该动哪里 |
|---|---|---|
| 输出持续振荡、电感啸叫 | 相位裕度 < 20°，接近自激 | 降低 f_c，把零点提前 |
| 负载阶跃后振铃 3~5 次才收敛 | 相位裕度 30°~45° | 零点靠近 f_0，或加大 C_c |
| 阶跃跌落深、恢复慢吞吞 | 相位裕度 > 70°，带宽不足 | 提高 f_c，减小 C_c |
| 轻载稳定、满载振荡 | Q 随负载变化，f_0 处增益尖峰变高 | 加大输出电容压低 Q |
| 输入电压跳变时输出"抽一下" | 电压模式没有输入前馈 | 改电流模式或加前馈 |
2. 定义与直观
2.1 一句话定义
环路增益 T(s) 是"从误差放大器输出绕一圈回到它自己的输入端"的传递函数；补偿设计就是让这个量在穿越 0dB 时仍有足够的相位余量。
这句话有三个关键词：
- 绕一圈：T(s) 包含补偿器、调制器、功率级、反馈分压四段，缺一不可。
- 穿越 0dB：|T|=1 的那个频率叫穿越频率 f_c（crossover frequency），它是闭环带宽的近似值。
- 相位余量：PM=180^\circ+\angle T(f_c)。它衡量"离自激还有多远"。
2.2 闭环结构
四段串成一个环：
T(s)=G_c(s)\cdot G_{pwm}(s)\cdot G_{vd}(s)\cdot H- G_c(s)：补偿器（误差放大器 + 零极点网络），本章的主角。
- G_{pwm}(s)：调制器，把控制电压换成占空比。电压模式下 G_{pwm}=1/V_{pp}，V_{pp} 是锯齿波峰峰值（V）；电流模式下这一环被电流内环"吸收"，不再单独出现。
- G_{vd}(s)：功率级，从占空比到输出电压。
- H：反馈分压比，H=V_{ref}/V_{out}（无量纲）。
闭环输出对扰动的抑制能力由 1/(1+T) 决定。|T| 越大，抑制越强；|T|=1 处就是"抑制开始变弱"的分界。所以 f_c 高意味着带宽宽、响应快，但高到相位不够就会振荡——这是一切补偿设计的核心矛盾。
2.3 类比：带惯性的恒温空调
把环路想成一台恒温空调。功率级是房间的热惯性（电感 + 电容决定温度变化的快慢），补偿器是温控器的反应性格。
- 温控器反应太猛（增益太高、带宽太宽）：温度一到设定点就过冲，然后反向过冲，来回振荡——对应 PM 太小。
- 温控器反应太钝（增益太低、带宽太窄）：温度慢慢爬，人已经冻着了才动作——对应 PM 太大、f_c 太低。
- 温控器的传感器离出风口太近（反馈取样点不对）：测到的是局部温度，永远调不准。
类比的边界有两个：第一，空调不会自激，因为热系统几乎没有延迟；开关电源有半个到一个开关周期的传输延迟和采样效应，这是空调没有的。第二，空调只有一阶惯性，而 Buck 的 LC 是二阶系统，会谐振，谐振点的增益尖峰 Q 可能高达 10dB 以上，这是补偿器必须专门处理的。
2.4 三个判据
工程上用三个数字判断"这个环路行不行"：
PM=180^\circ+\angle T(f_c)>45^\circ\qquad(\text{甜点 }50^\circ\sim 65^\circ)GM=-20\lg|T(f_{-180^\circ})|>6\ \text{dB}\left.\frac{\mathrm{d}|T|}{\mathrm{d}\lg f}\right|_{f_c}\approx-20\ \text{dB/dec}PM 是相位裕度（°），GM 是增益裕度（dB），f_{-180^\circ} 是相位达到 -180^\circ 的频率（Hz）。第三条的意思是：穿越点附近的幅频斜率最好是 -20dB/dec，斜率越陡（-40、-60）说明附近堆了更多极点，相位掉得越快。
3. 定量关系
3.1 功率级：Buck 在 CCM 下的双极点
电压模式下，Buck 的控制-输出传递函数是
G_{vd}(s)=V_{in}\cdot\frac{1}{1+\dfrac{s}{Q\omega_0}+\left(\dfrac{s}{\omega_0}\right)^2},\qquad \omega_0=\frac{1}{\sqrt{LC}},\quad Q=R\sqrt{\frac{C}{L}}V_{in} 是输入电压（V），L 是电感（H），C 是输出电容的有效容量（F），R=V_{out}/I_{out} 是负载电阻（\Omega）。直流增益就是 V_{in}——占空比每变 1%，输出变 V_{in} 的 1%。
三个特征量：
- 双极点频率 f_0=\dfrac{1}{2\pi\sqrt{LC}}，相位在这里从 0° 快速跌向 -180^\circ。
- 品质因数 Q，决定 f_0 处的增益尖峰 20\lg Q。负载越轻（R 越大），Q 越高，尖峰越高，相位跌得越陡。
- ESR 零点 f_{ESR}=\dfrac{1}{2\pi\,ESR\cdot C}，它是左半平面零点，把相位重新抬起来，对稳定性是帮忙的。
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Q=R\sqrt{C/L} 说明：负载越重（R 越小），Q 越低，f_0 处的尖峰越低，环路越好补。这解释了一个常见困惑——同一块板，满载稳定、空载啸叫。
原因不只是 Q 变大：轻载时 Buck 进入 DCM，功率级从二阶系统退化成一阶，f_0 这个双极点消失，补偿器的两个零点失去了抵消对象，反而在低频堆出一段额外的增益，把 f_c 推高、把相位吃掉。所以"按满载补偿"的设计在空载失稳是常态。
对策有三个：把输出电容加大（同时降低 Q 与 f_0）、让芯片在轻载切到 PFM（环路本质上被旁路）、或者干脆按最轻载的 DCM 工况复核一次 f_c 与 PM。
3.2 两种控制模式
电压模式（Voltage-Mode Control, VMC）只有一个外环，v_c 与锯齿波比较决定占空比。它的功率级是完整的 LC 双极点，相位跌落大，必须用 Type III 补偿才能把相位补回来。好处是抗噪声能力强（只看输出），缺点是输入电压扰动要等输出变化后才被纠正，且逐周期限流要另设。
峰值电流模式（Peak Current-Mode Control, CMC）在电压外环里再套一个电流内环：时钟置位开关，电感电流升到 v_c 设定的阈值时复位。内环把电感"拉直"成一个受控电流源，功率级从二阶退化成一阶：
G_{vd,cm}(s)=\frac{R}{R_i}\cdot\frac{1}{1+sRC}=\frac{G_{dc}}{1+s/\omega_p},\qquad \omega_p=\frac{1}{RC}R_i 是电流检测的等效跨阻（\Omega，把控制电压折算成峰值电流，典型量级 0.1~0.5 V/A，以芯片手册为准）。于是 G_{dc}=R/R_i，主极点 f_p=1/(2\pi RC)。
一阶系统只需要 Type II 补偿。两者的差异列成表：
| 维度 | 电压模式 VMC | 峰值电流模式 CMC |
|---|---|---|
| 取样对象 | 仅输出电压 | 输出电压 + 电感电流 |
| 功率级阶数 | 二阶（LC 双极点） | 一阶（近似单极点） |
| 补偿器 | Type III（2 零 2 极） | Type II（1 零 2 极） |
| 占空比 > 50% | 无额外问题 | 必须加斜率补偿，否则次谐波振荡 |
| 逐周期限流 | 需另设比较器 | 天然具备 |
| 多相均流 | 需外加均流环 | 自动均流 |
| 输入扰动响应 | 慢（等输出变化才纠正） | 快（电感电流立即反映） |
| 噪声敏感度 | 低 | 高（电流前沿噪声会被放大） |
| 轻载 DCM | 双极点退化为单极点，需重算 | 电流内环模型失效，需按 DCM 复核 |
3.3 补偿器：Type II 与 Type III 的零极点放置
Type II 由一个积分器、一个零点、一个高频极点构成，传递函数（gm 型误差放大器，C_p\ll C_c）：
G_c(s)=G_m\cdot\frac{1+\dfrac{s}{\omega_z}}{s(C_c+C_p)\left(1+\dfrac{s}{\omega_p}\right)}f_z=\frac{1}{2\pi R_cC_c},\qquad f_p\approx\frac{1}{2\pi R_cC_p},\qquad G_{c,mid}=G_mR_cG_m 是误差放大器的跨导（S），R_c 是补偿电阻（\Omega），C_c 是零点电容（F），C_p 是高频极点电容（F），G_{c,mid} 是两个特征频率之间的中频增益（无量纲）。
如果是电压型（运放）误差放大器，把 G_mR_c 换成 R_c/R_1，R_1 是反馈分压上臂到反相输入端的电阻，零点与极点的式子不变。
放置规则只有两条，但要做到位：
- 零点对准功率级的主极点：f_z=f_p（CMC）或 f_z=f_0（VMC 单零点场合）。零点提供 +90^\circ 的相位提升，但位置越低、在穿越频率处的提升越接近满额（\arctan(f_c/f_z) 随 f_z 单调递减）：f_z=f_p/10、f_c=3f_p 时提升 88.1°；反过来把零点放到 10f_p，只剩 16.7°，等于白放。
- 高频极点压在 f_{sw}/2 或 ESR 零点，取两者中较低的：f_p=\min(f_{ESR},f_{sw}/2)。它的作用是压掉开关噪声与输出纹波在误差放大器输入端的残余，防止把噪声放大成占空比抖动。用陶瓷输出电容时 f_{ESR} 常在 MHz 量级，所以实际取 f_{sw}/2。
Type III 在 Type II 的基础上再加一个零点、一个极点，专门对付 LC 双极点：
为什么两个零点都放在 f_0：一个双极点贡献 -180^\circ，一个零点只能补 +90^\circ，两个零点才能在 f_0 附近把相位顶回去。放在 f_0 的两侧（例如 0.7f_0 与 1.4f_0）比都放同一点更实用，因为实际 L、C 有容差，f_0 会漂移。
为什么 Type III 不能用于 Boost：Boost 的 RHP 零点不能靠零点抵消（§3.5）。Type III 的两个零点会把 RHP 零点附近的增益抬得更高，反而恶化。
3.4 穿越频率怎么选
这是整个补偿设计里最有"经验值"味道的一步。四条约束同时作用：
约束一：采样效应。 峰值电流模式在 f_{sw}/2 处有一对采样双极点（Ridley 模型），Q=2/\pi。它在穿越频率处贡献的滞后是
\varphi_{samp}=\arctan\frac{f_c/(Q f_n)}{1-(f_c/f_n)^2},\qquad f_n=\frac{f_{sw}}{2},\ Q=\frac{2}{\pi}代入 f_{sw}=500kHz：f_c=f_{sw}/10=50kHz 时 \varphi_{samp}=18.1^\circ；f_c=f_{sw}/5=100kHz 时涨到 36.8^\circ。仅仅把带宽提一倍，就多花 18.7° 的相位预算。
约束二：传输延迟。 比较器、驱动、MOS 开通加起来约 100ns（典型量级），相位滞后
\varphi_{d}=360^\circ\cdot f_c\cdot t_dt_d=100ns、f_c=50kHz 时只有 1.8^\circ，可以忽略；但 f_c=200kHz 时就是 7.2^\circ，开始变得重要。
约束三：输出纹波不能被放大成占空比抖动。 开关频率处的输出纹波如果被误差放大器放大到超过锯齿波幅度，PWM 就会"看见"自己的纹波，产生次谐波或抖动。这要求环路在 f_{sw} 处有足够的衰减，而衰减量正比于 (f_{sw}/f_c)^n。
约束四：瞬态响应。 负载阶跃的恢复时间约为 1/(2\pi f_c) 的量级。要 10µs 级恢复，f_c 至少 20kHz。
四条合起来，工程经验值是：
| 控制模式 | 推荐 f_c | 硬上限 | 理由 |
|---|---|---|---|
| 电压模式 | f_{sw}/10 | f_{sw}/6 | 双极点已吃掉大半相位，再高没有预算 |
| 峰值电流模式 | f_{sw}/10 | f_{sw}/5 | 一阶功率级省下相位，可略高 |
| 有 RHP 零点的拓扑 | \min(f_{sw}/10,\ f_{RHP}/3) | f_{RHP}/2 | RHP 零点比采样效应更早成为瓶颈 |
3.5 RHP 零点与相位裕度的相互作用
RHP 零点的幅频特性与普通零点相同（+20dB/dec），相频特性反号（滞后）。把它和 §3.4 的采样效应放在一起看，就能算出"Boost 为什么慢"：
| f_c 相对 f_{RHP} | RHP 零点滞后 | 采样双极点滞后（f_{sw}=20f_{RHP}） | 两项合计 |
|---|---|---|---|
| f_{RHP}/3 | 18.4^\circ | 3.0^\circ | 21.4^\circ |
| f_{RHP}/2 | 26.6^\circ | 4.5^\circ | 31.1^\circ |
| f_{RHP} | 45.0^\circ | 9.0^\circ | 54.0^\circ |
| 2f_{RHP} | 63.4^\circ | 18.1^\circ | 81.5^\circ |
关键结论：RHP 零点把相位预算消耗掉的同时，还把增益抬高。 一般的极点用 -20dB/dec 的衰减"换取" -90^\circ 的滞后，是等价交换；RHP 零点是"付了相位还倒贴增益"，所以它对稳定性的破坏比同频率的极点严重得多。
由此得到一条不能违反的规则：穿越频率必须低于 f_{RHP}/3。Boost 升压与 Buck-Boost 里 3.7V→12V 的算例把这个数字算到了 17.5kHz，带宽只能取 5.8kHz；同一块板如果做成 Buck，带宽可以取 50kHz。八倍的差距不是补偿技巧能弥补的。
3.6 模型的边界：什么时候公式不管用
- 双极点模型假设电感未饱和、电容是常数。电流接近 I_{sat} 或 MLCC 在直流偏置下容量腰斩时，f_0 会偏移 20%~50%。
- 平均模型在 f_{sw}/2 以上失效。超过这个频率的"环路增益"没有物理意义，仿真也会给出误导性的相位。
- 电流模式的单极点模型在 D>50\% 且没有斜率补偿时不成立，会出现次谐波振荡（§5.3）。
- 所有式子都假设负载是纯电阻。实际负载有容性（去耦电容）或恒功率特性（DC-DC 后级），恒功率负载会引入负阻，等效于降低阻尼，Q 变高。
4. 典型计算
4.1 算例一：12V→5V/3A/500kHz 的 CMC 环路补偿
第 0 步 · 功率级参数。 沿用 开关电源原理与 Buck 降压 的设计：V_{in}=12V、V_{out}=5V、I_{out}=3A、f_{sw}=500kHz、L=6.8\muH、C_{out}=2\times22\muF（5V 偏置下有效 30.8µF）。
R=\frac{5}{3}=1.667\ \Omega,\qquad f_p=\frac{1}{2\pi RC}=\frac{1}{2\pi\times1.667\times30.8\times10^{-6}}=3.10\ \text{kHz}第 1 步 · 控制模式与功率级增益。 选峰值电流模式，取电流检测等效跨阻 R_i=0.3 V/A（典型量级，以芯片手册为准）：
G_{dc}=\frac{R}{R_i}=\frac{1.667}{0.3}=5.56\ (14.9\ \text{dB})反馈分压比 H=V_{ref}/V_{out}=0.8/5=0.16。
第 2 步 · 定穿越频率。 按 f_{sw}/10 取 f_c=50kHz。核对：Boost 那类有 RHP 零点的拓扑要另按 f_{RHP}/3 压，本例是 Buck，没有这个限制。
第 3 步 · 算需要的补偿器增益。
|G_{vd}(f_c)|=\frac{5.56}{\sqrt{1+(50/3.10)^2}}=\frac{5.56}{16.16}=0.344|G_c(f_c)|=\frac{1}{|G_{vd}(f_c)|\cdot H}=\frac{1}{0.344\times0.16}=18.2第 4 步 · 定补偿器元件。 取误差放大器跨导 G_m=200\muS（典型量级），由中频增益 G_mR_c=18.2：
R_c=\frac{18.2}{200\times10^{-6}}=91.0\ \text{k}\Omega\ \Rightarrow\ \text{取 }90.9\ \text{k}\Omega\ (\text{E96})零点对准主极点，f_z=f_p=3.10kHz：
C_c=\frac{1}{2\pi R_cf_z}=\frac{1}{2\pi\times90.9\times10^{3}\times3.10\times10^{3}}=\frac{1}{1.771\times10^{9}}=565\ \text{pF}\ \Rightarrow\ \text{取 }560\ \text{pF}取 560pF 后实际零点 f_z=1/(2\pi\times90.9\text{k}\times560\text{p})=3.13kHz，与目标差 1%，可忽略。
高频极点放在 f_{sw}/2=250kHz：
C_p=\frac{1}{2\pi R_cf_p}=\frac{1}{2\pi\times90.9\times10^{3}\times250\times10^{3}}=\frac{1}{1.428\times10^{11}}=7.0\ \text{pF}\ \Rightarrow\ \text{取 }6.8\ \text{pF}取 6.8pF 后实际极点 f_p=257kHz。这个电容只有几 pF，PCB 上 COMP 引脚的寄生电容（2~5pF）会明显改变它的位置，所以工程上更常见的做法是直接取 10pF：此时 f_p=1/(2\pi\times90.9\text{k}\times10\text{p})=175kHz，补偿器在高频的残差从 -11.0^\circ 变成 -15.9^\circ，PM 从 60.9° 降到 56.0°——仍然落在甜点区，却换来一个不寄生敏感的取值。
第 5 步 · 算相位裕度。 逐项列：
| 环节 | 相位表达式 | f_c=50kHz 处的值 |
|---|---|---|
| 补偿器积分 | -90^\circ | -90.0^\circ |
| 补偿器零点 | +\arctan(f_c/f_z) | +86.5^\circ |
| 补偿器高频极点 | -\arctan(f_c/f_p) | -11.0^\circ |
| 功率级主极点 | -\arctan(f_c/f_p) | -86.5^\circ |
| 采样双极点 | -\arctan\dfrac{f_c/(Qf_n)}{1-(f_c/f_n)^2} | -18.1^\circ |
| 合计 | \mathbf{-119.1^\circ} |
60.9^\circ 落在 50^\circ\sim65^\circ 的甜点区，设计成立。
第 6 步 · 算增益裕度。 相位到 -180^\circ 的位置在 150\sim160kHz 之间。取 155kHz：
|T(155\text{k})|=\frac{18.2\times0.16\times5.56}{\sqrt{1+(155/3.10)^2}}=\frac{16.19}{50.0}=0.324\ (-9.8\ \text{dB})GM=9.8\ \text{dB}>6\ \text{dB}\quad\checkmark第 7 步 · 核对低频增益。 100Hz 处补偿器已进入积分区：
|G_c(100\text{Hz})|=\frac{G_m}{2\pi f(C_c+C_p)}=\frac{200\times10^{-6}}{2\pi\times100\times566.8\times10^{-12}}=561|T(100\text{Hz})|=561\times5.56\times0.16=499\ (54\ \text{dB})也就是说 100Hz 的输入扰动被压到 1/(1+499)\approx0.2\%。这就是积分器的作用：低频增益足够高，稳态误差才小。
第 8 步 · 列出最终取值。
| 元件 | 取值 | 对应频率 | 作用 |
|---|---|---|---|
| R_c | 90.9kΩ（E96） | 设中频增益 18.2 | 决定 f_c |
| C_c | 560pF（E12） | f_z=3.13kHz | 提相位、对消主极点 |
| C_p | 6.8pF（E12） | f_p=257kHz | 压开关噪声 |
第 9 步 · 一致性检查。 把 §4.1 的 f_c=50kHz 与前表中的"CMC 硬上限 f_{sw}/5=100kHz"对比，还有一倍余量。若真把 f_c 提到 100kHz：采样效应涨到 36.8^\circ、功率级极点涨到 88.2^\circ、补偿器残差从 -11.0^\circ 恶化到 -23.0^\circ（高频极点开始发力），合计 -148.0^\circ，PM 只剩 32.0^\circ——这就是"带宽多一倍、裕度少一半"的定量版本。
4.2 算例二：同一功率级改用电压模式，Type III 要什么
把 §4.1 的功率级换成电压模式。此时功率级回到 LC 双极点，先算两个特征量（用 C=30.8\muF）：
f_0=\frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}=\frac{1}{2\pi\sqrt{6.8\times10^{-6}\times30.8\times10^{-6}}}=\frac{1}{2\pi\times1.447\times10^{-5}}=11.0\ \text{kHz}Q=R\sqrt{\frac{C}{L}}=1.667\times\sqrt{\frac{30.8}{6.8}}=1.667\times2.128=3.55f_0 处增益尖峰 20\lg 3.55=11.0dB，相位正好 -90^\circ。
穿越频率的选择和 CMC 完全不同。 在 f_0 之上，双极点的相位继续往 -180^\circ 走，Type III 的两个零点最多补回 +180^\circ，但补的速度跟不上。算三个点：
| f_c | \lvert G_{vd}\rvert | 功率级相位 | 需要的 \lvert G_c\rvert | 补偿器相位 | PM |
|---|---|---|---|---|---|
| 11.0kHz（f_0） | 42.6 | -90.0^\circ | 0.147 | -5.0^\circ | 85.0^\circ |
| 12.6kHz（1.15f_0） | 26.2 | -134.9^\circ | 0.238 | +2.2^\circ | 47.3^\circ |
| 16.5kHz（1.5f_0） | 9.09 | -161.3^\circ | 0.687 | +15.1^\circ | 33.8^\circ |
（f_0 一行按 |G_{vd}(f_0)|=V_{in}Q=12\times3.55=42.6；补偿器相位按双零点在 f_0、高频极点在 f_{sw}/2 算。）
读表：VMC 的 f_c 几乎不能超过 1.2f_0。 到 1.5f_0 时 PM 已经掉到 37.5°，而 CMC 在同样功率级上可以做到约 4.5f_0（50kHz 对 f_0=11kHz，PM 仍有 60.9°）。这就是"为什么现在大多数集成 Buck 是电流模式"的定量答案。
取 f_c=12.6kHz 做 Type III 设计：
- 需要的补偿器增益 0.238（-12.5dB）。电压型误差放大器用 R_c/R_1 设增益，取上臂 R_1=100kΩ：R_c=0.238\times100\ \text{k}=23.8\ \text{k}\Omega\ \Rightarrow\ \text{取 }23.7\ \text{k}\Omega
- 第一组零极点（R_c 与 C_c、C_p）：C_c=\frac{1}{2\pi\times23.7\text{k}\times11.0\text{k}}=611\ \text{pF}\ \Rightarrow\ 620\ \text{pF}C_p=\frac{1}{2\pi\times23.7\text{k}\times250\text{k}}=26.9\ \text{pF}\ \Rightarrow\ 27\ \text{pF}
- 第二组零极点（R_2、C_2，跨接在反相输入端与地之间）的目标频率同样是 f_{z2}=f_0 与 f_{p1}=f_{sw}/2，按所选芯片数据手册的 Type III 公式代入这组频率求解即可。不同厂商对 Type III 的引脚定义与命名不同，照抄别家的 R/C 表是最常见的失败原因。
Type III 的三个注意点：
- 两个零点必须落在 f_0 的 \pm30\% 以内，否则补不到点子上。
- 高频极点 f_{p2}=f_{sw}/2 之后还要再受 C_p 与布线电容的限制，实测常在 150\sim200kHz 而不是 250kHz，PM 会相应下降几度。
- 用陶瓷输出电容时 f_{ESR} 常在 MHz 以上，远高于 f_{sw}/2，f_{p1}=f_{ESR} 这一项落在环路之外，Type III 的第二个高频极点就成了可选项——此时它的差别只在高频噪声衰减，不在相位提升上。
4.3 算例三：换成 Boost，RHP 零点怎么吃掉裕度
用 Boost 升压与 Buck-Boost 的 3.7V→12V/0.5A 算例：L=15\muH、R=24\Omega、D=0.738，则
f_{RHP}=\frac{(1-D)^2R}{2\pi L}=\frac{0.262^2\times24}{2\pi\times15\times10^{-6}}=17.5\ \text{kHz}假设设计者照抄 Buck 的经验取了 f_c=f_{sw}/10=50kHz——远超 f_{RHP}，环路必然振荡。即使退到 f_c=f_{RHP}=17.5kHz，RHP 零点单独贡献 -45^\circ，加上主极点 -89.1^\circ、采样 -6.3^\circ、补偿器残差 -4.9^\circ，合计 -145.3^\circ，PM 只剩 34.7^\circ。
正确的做法是把 f_c 压到 f_{RHP}/3=5.8kHz，此时 RHP 零点只贡献 -18.4^\circ，PM 回到 68.1^\circ。代价是带宽从 50kHz 掉到 5.8kHz，负载阶跃的恢复时间从 3µs 量级变成 30µs 量级。
这张"带宽换稳定"的账，是 Boost 类拓扑无法回避的设计税。
两条曲线在 2kHz 附近几乎重合，越过 10kHz 后迅速分叉。分叉的位置就是 RHP 零点开始发力的位置。
5. 工程含义
5.1 数量级：调环路之前先有个数
| 量 | 数量级 | 12V→5V/3A 的实例 |
|---|---|---|
| f_0（LC 双极点） | 几 kHz ~ 几十 kHz | 11.0kHz |
| Q | 2~10（轻载更高） | 3.55 |
| f_p（CMC 主极点） | 几百 Hz ~ 几 kHz | 3.10kHz |
| f_c（穿越） | f_{sw}/10 | 50kHz |
| PM | 50^\circ\sim65^\circ | 60.9° |
| R_c（gm 型） | 十 kΩ ~ 百 kΩ | 90.9kΩ |
| C_c | 几百 pF ~ 几 nF | 560pF |
| C_p | 几 pF ~ 几十 pF | 6.8pF（计算值），工程取 10pF |
两个"一看就不对"的信号：C_c 落在 nF 以上，说明补偿器增益太低、f_c 被压得太狠；C_p 小于 5pF，说明高频极点已经接近寄生电容的地板，实际位置不受你控制。
5.2 内置补偿 vs 外置补偿
现代集成 Buck 大量采用内部固定补偿，芯片手册只给一组推荐的 L、C_{out} 与输出电容的 ESR 范围。这类芯片的优点是不用算、不容易错；缺点是换一个电感或电容就可能失稳：
- 把 10µH 换成 22µH，f_0 从 11kHz 掉到 7.4kHz，内部固定的两个零点就对不上；
- 把 2×22µF 换成 1×22µF，Q=R\sqrt{C/L} 随 \sqrt{C} 下降，从 3.55 降到 2.51，f_0 处尖峰从 11.0dB 降到 8.0dB；
- 用 MLCC 替代电解，ESR 零点从 300kHz 移到 6MHz，内部补偿的"高频极点对准 ESR 零点"这一条失效。
判断方法：把手册推荐的 L、C 代回本章的公式，看 f_0、Q、f_{ESR} 有没有变；变了就老老实实做一次 AC 扫描。
外置补偿的芯片灵活，但要把 §4.1 的九步走一遍，并对寄生电容做预留。
5.3 斜率补偿：占空比超过 50% 的必需品
峰值电流模式在 D>0.5 时有一个固有不稳定：扰动电流在每个周期的放大倍数是
\alpha=\frac{m_2-m_a}{m_1+m_a}m_1 是电感电流上升斜率（A/s），m_2 是下降斜率（A/s），m_a 是外加的斜率补偿斜坡（A/s，折算到电流检测信号上）。当 \alpha 的绝对值大于 1 时，扰动累积成次谐波振荡。工程上取 m_a\geq0.5\,m_2 可保证全占空比范围稳定。
用 §4.1 的 Buck 算：m_2=V_{out}/L=5/6.8\mu\text{H}=0.735 A/µs，于是
m_a\geq0.5\times0.735=0.368\ \text{A/}\mu\text{s}折算到电流检测电压（R_i=0.3 V/A）：
S_e=m_aR_i=0.368\times0.3=0.110\ \text{V/}\mu\text{s}一个周期（2µs）内的补偿斜坡幅度是 0.110\times2=0.22V。这个值与芯片内部的锯齿波幅度同一量级，说明斜率补偿不是可有可无的小修正。
用示波器判断这件事有一个很直观的方法：看电感电流（或用电流探头看开关电流），如果每个周期的峰值交替一大一小，就是次谐波振荡，特征是频率为 f_{sw}/2 的包络。
5.4 测量：怎么知道补偿对不对
纸上算完必须实测。三种方法，可靠性依次上升：
- 负载阶跃看时域。 让负载在 0.5A 与 2.5A 之间跳变，用示波器看 V_{out}。1~2 次轻微振铃后收敛 = PM 适中；持续振荡 = PM 不足；没有过冲但恢复慢 = PM 太大。 过冲幅度与 PM 有近似关系：\Delta V_{pk}\approx\Delta I/(2\pi f_cC)\times(1+\text{过冲系数})，PM=45^\circ 时过冲系数约 0.4，PM=60^\circ 时约 0.15。
- 注入法测伯德图。 在反馈分压点串一只 10~50Ω 电阻，用注入变压器送入小正弦，扫 10Hz~1MHz，直接读出 |T| 与 \angle T。这是唯一能直接读出 f_c 与 PM 的方法，也是量产前必须做的一次。
- 看开关波形的抖动。 稳定但接近临界时，开关波形的占空比会出现低频抖动（几 kHz 的包络），这是相位裕度不足的早期征兆。
6. 常见坑
- 现象：Boost 样机上电后输出持续振荡（几十 kHz），负载阶跃后永远不收敛；把补偿电容加大一点会好些，但瞬态极慢。
- 原因：RHP 零点在 17.5kHz，而 f_c 取到了 20kHz 以上。RHP 零点在穿越频率处吃掉 45° 以上的相位，同时还抬 3dB 增益，两项叠加把 PM 压到 35° 以下。这不是补偿参数的问题，是拓扑给的上限。
- 解决：先算 f_{RHP}=(1-D)^2R/(2\pi L)，把 f_c 压到 f_{RHP}/3；用 Type II 就够了，不要试图用零点去"抵消"RHP 零点——那会把增益抬得更高。
- 现象：按算出来的 6.8pF 装上，实测 f_c 比设计值低 30%，相位裕度反而变差；换成 10pF 后更糟。
- 原因：COMP 引脚与相邻网络的寄生电容典型 2~5pF，与 C_p 并联后把高频极点从 257kHz 拉到 150kHz 以下。极点位置对 C_p 是反比关系，寄生占比越大偏移越大。
- 解决：C_p 不要小于 10pF（宁可把 f_c 稍微降一点，让 C_p 有可用的取值）；COMP 走线包地、远离 SW 节点；按实测的 f_p 反推有效电容再修正。
- 现象：原型稳定，改版时把 10µH 换成 22µH（为了降纹波），或把 2 颗 22µF 换成 1 颗，样机开始啸叫。
- 原因：内置补偿芯片的零极点是按推荐 L、C 固定的。L 翻倍使 f_0 从 11.0kHz 掉到 7.4kHz；C 减半使 Q 从 3.55 降到 2.51、f_0 处尖峰从 11.0dB 降到 8.0dB。两个变化都让零点对不上极点。
- 解决：任何 L、C 变更都要重算 f_0、Q、f_{ESR}，并与补偿器的零极点对照；用外置补偿的芯片重新取值；至少做一次负载阶跃与 AC 扫描。
- 现象：负载阶跃看起来很干净，但在某些输入电压下会突然出现高频（几百 kHz）振荡。
- 原因：PM 只反映 0dB 穿越点附近的相位，而 GM 反映的是相位到 -180^\circ 时的增益余量。高频极点、采样双极点、传输延迟都在 f_c 之上，它们把相位推到 -180^\circ 时若增益还不够低，就会在那个频率自激。
- 解决：PM 与 GM 一起看，要求 GM>6dB；高频极点不要放得离 f_c 太近（至少 5 倍）；必要时把 f_c 降一档。
- 现象：按标称 22µF 算出的 f_0=11.0kHz 与实际不符，实测 f_c 偏高、PM 偏低。
- 原因：MLCC 在 5V 偏置下实际只剩 70%，C 变小使 f_0 升高（f_0\propto1/\sqrt{C}）。本例用 30.8µF 算得 11.0kHz，用标称 44µF 算得 9.20kHz，差 20%；Q 也随之变化。
- 解决：用偏置后的有效容量算 f_0 与 Q；把电容容差（X5R 通常 ±10%）与老化（每十年约 −5%）也算进去，按最坏组合复核一次 PM。有效容量的取法与电容的降额规则见 功率电感、电容、MOS 与二极管选型。
7. 自测题
为什么功率级的 LC 双极点会让环路不稳定？补偿器用什么去抵消它？
LC 双极点在 f_0 附近贡献将近 -180^\circ 的相位滞后，若它落在穿越频率附近，环路相位裕度被吃光，负反馈变成正反馈。电压模式用 Type III 的两个零点放在 f_0 附近提供 +180^\circ 的超前；电流模式则用电流内环把功率级"拉直"成一阶，双极点消失，只需 Type II 的一个零点。
12V→5V/3A、L=6.8\muH、C=30.8\muF，f_0 与 Q 各是多少？f_0 处的增益尖峰多少 dB？
f_0=1/(2\pi\sqrt{LC})=1/(2\pi\sqrt{6.8\mu\times30.8\mu})=11.0kHz。R=5/3=1.667\Omega，Q=R\sqrt{C/L}=1.667\times2.128=3.55。增益尖峰 20\lg Q=20\lg3.55=11.0dB。注意 C 必须用偏置后的有效值，用标称 44µF 会算出 9.20kHz 与 Q=4.24。
穿越频率为什么常取 f_{sw}/10？把它提到 f_{sw}/5 要付多少相位？
f_{sw}/10 是四条约束的交点：采样双极点（18.1°）、传输延迟（1.8°）、开关纹波抑制、瞬态响应（1/(2\pi f_c)）。提到 f_{sw}/5 时，采样双极点的滞后从 18.1° 涨到 36.8°，多花 18.7°；功率级极点、补偿器残差也都变差，实测 PM 会从 60° 掉到 25° 附近，进入危险区。
RHP 零点与普通零点的幅频特性一样，为什么它更难对付？给出 f_c=f_{RHP} 时的相位代价。
幅频相同（+20dB/dec），但相频反号：普通零点超前 +45^\circ，RHP 零点滞后 -45^\circ。难对付的原因是它"滞后相位的同时抬高增益"——普通极点是"滞后换衰减"，属于等价交换；RHP 零点是"付相位还倒贴增益"。f_c=f_{RHP} 时相位代价 -45^\circ、增益 +3dB，两项叠加通常直接把 PM 打到 35° 以下。
CMC 的 Type II 里，R_c=90.9kΩ、C_c=560pF、C_p=6.8pF，零极点各在哪？若 G_m=200\muS，中频增益多少 dB？
f_z=1/(2\pi R_cC_c)=1/(2\pi\times90.9\text{k}\times560\text{p})=3.13kHz；f_p=1/(2\pi R_cC_p)=1/(2\pi\times90.9\text{k}\times6.8\text{p})=257kHz。中频增益 G_mR_c=200\mu\times90.9\text{k}=18.2，即 20\lg18.2=25.2dB。
电压模式的 Buck 为什么 f_c 几乎不能超过 1.2f_0？用本算例的数字说明。
因为 LC 双极点的相位在 f_0 之后继续往 -180^\circ 走，Type III 的两个零点虽然能补 +180^\circ，但补的速度跟不上相位跌落的速度。本算例：f_c=f_0=11.0kHz 时 PM=87.5^\circ；1.15f_0=12.6kHz 时 PM=50.2^\circ；1.5f_0=16.5kHz 时 PM=37.5^\circ。相比之下同一功率级用电流模式可以做到 50kHz、PM=60.9^\circ。
斜率补偿不足会看到什么波形？m_2=0.735A/µs、R_i=0.3V/A 时需要多大的补偿斜坡？
会看到电感电流（或开关电流）的峰值每周期交替一大一小，包络频率为 f_{sw}/2，输出上叠加拍频纹波。需要的补偿斜坡 m_a\geq0.5m_2=0.368A/µs，折算到电流检测电压 S_e=m_aR_i=0.110V/µs，一个周期内累计 0.22V。
8. 参考资料
- TI SLVA477A Basic Calculation of a Buck Converter's Power Stage：功率级的占空比、纹波与输出电容式；本章 §4.1 的 L、C 取值与它一致。https://www.ti.com/lit/an/slva477a/slva477a.pdf
- Erickson & Maksimovic Fundamentals of Power Electronics（2nd ed.）：平均开关模型与 CCM Buck 的 G_{vd}(s)、LC 双极点与 Q 的定义；本章 §3.1 的严格形式取自该书。
- Pressman / Billings / Morey Switching Power Supply Design（3rd ed.）：Type II/III 补偿网络的零极点放置与 R/C 取值流程；本章 §3.3、§4.2 的方法与它一致。
- Sanjaya Maniktala Switching Power Supplies A-Z（2nd ed.）：穿越频率经验值、斜率补偿的工程近似与"轻载更飘"的成因；本章 §3.4、§5.3 的口径按该书整理。
- ADI AN-149 Modeling and Loop Compensation Design of Switching-Mode Power Supplies：电压模式功率级小信号模型与补偿器设计流程；本章 §4.2 的 Type III 设计顺序与它对齐。https://www.analog.com/media/en/technical-documentation/application-notes/an149fa.pdf
- TI SLVA630A Loop Response Considerations in Peak Current Mode Buck Converter Design：峰值电流模式的功率级简化、Type II 取值与 f_c 选取；本章 §4.1 与之对照。
- R. B. Ridley A New Continuous-Time Model for Current-Mode Control（IEEE Trans. Power Electronics, 1991）：采样双极点（f_{sw}/2、Q=2/\pi）与电流模式的高频修正；本章 §3.4 的采样相位式取自该模型。
- K. Venable The K-Factor — A New Mathematical Tool for Stability Analysis and Synthesis（Proc. Powercon 10, 1983）：按所需相位提升量反推零极点间距；本章 §3.3 的"零点放在哪"的判断依据与该文一致。