欧姆定律与焦耳定律 Ohm's Law & Joule Heating
在电压、电流、电阻与功率里，四个量是分开定义的：电压是两点势差，电流是电荷流量，电阻是阻碍，功率是能量转移速率。本章把它们连起来，回答工程上被问得最多的两个问题：给定电压和电阻，电流多大？给定电流和电阻，发热多少？
前一个问题的答案是欧姆定律，后一个问题的答案是焦耳定律。所有限流电阻、分压网络、电流采样、保险丝、导线线径、MOS 管导通损耗，都是这两个式子的反复应用。本章的主线是：先讲局部（一个电阻），再讲全电路（含电源内阻），再讲非线性（二极管、LED、灯丝），最后把公式放回真实导线、接触电阻和温度里，用一个完整的采样电阻设计收尾。
1. 设计动机
场景一：LED 直接接 5V。 LED 不是电阻，它的正向压降在导通后几乎不变，电流由外部限流决定。5V 直接加在红光 LED 上，电流只受电源内阻、导线电阻和 LED 动态电阻限制，很容易冲到几百 mA，瞬间烧毁。正确做法是串一只限流电阻，让电阻承担 5-V_F 的压差。
场景二：三极管基极直接接 3.3V GPIO。 BJT 的基极-发射极也是一个 PN 结，导通后压降约 0.7V；没有基极电阻，基极电流会大到把 GPIO 或三极管烧掉。基极电阻的算法，就是欧姆定律。
场景三：电流采样。 要测 0~2A 的负载电流，常用一只 25mΩ 的采样电阻，把电流转换成 50mV 电压。它满量程耗散 2^2\times0.025=0.1 W，看起来很小，但采样电阻的温漂、焊接电阻、走线电阻都会直接影响测量精度。
这三个场景的共同点是：电路拓扑可能完全正确，但电流、压降、功耗没有算，器件就会在"看起来很正常"的电压下烧掉。 5V 常被当成"安全电压"，但 5V 加在 10Ω 上就是 0.5A、2.5W；加在 0.05Ω 的接触电阻上，理论上会试图流过 100A、耗散 500W。决定破坏力的是电流和功率，不是电压数值本身。
欧姆定律和焦耳定律之所以是"第一定律"，是因为它们把电路从"接对了没有"推进到"能不能长期工作"。接对只是功能正确；算过电流、压降、功耗，才是工程正确。
| 你想解决 | 先算 | 判据 |
|---|---|---|
| LED 亮度不对/烧毁 | I=(V_{CC}-V_F)/R | I 不超过 LED 额定电流 |
| 电阻发烫/开路 | P=I^2R 或 P=V^2/R | P 不超过降额后的额定功率 |
| 导线/连接器发热 | V=IR、P=I^2R | 压降在允许范围，温升在载流曲线内 |
| 电池带载掉压 | I=E/(R+r) | 端电压不低于负载最低工作电压 |
| 采样电阻精度不够 | V=IR、P=I^2R | 功耗、温漂、走线电阻都在误差预算内 |
2. 定义与直观
2.1 欧姆定律的三种写法
对一只线性电阻，电压、电流、电阻满足：
V=IR\qquad\Longleftrightarrow\qquad I=\frac{V}{R}\qquad\Longleftrightarrow\qquad R=\frac{V}{I}其中 V 是电阻两端的电压，单位伏特（V）；I 是流过电阻的电流，单位安培（A）；R 是电阻，单位欧姆（\Omega）。三个式子是同一个关系的三种代数变形，不是三条独立的定律。
直觉上：电压是推动力，电阻是阻碍，电流是结果。 同样电压下电阻翻倍，电流减半；同样电阻下电压翻倍，电流翻倍。把电压想成水管两端的水压差、电阻想成阀门开度，就得到 I=V/R 的水路版本：阀门关小一半，同样水压下流量减半。这个类比的边界是：水管流量有惯性，电流几乎瞬间建立；且水管里的"阻力"随流量非线性变化，而理想电阻的 R 是常数。
用的时候必须满足两个前提：
- V 和 I 属于同一个元件。 不能把电源电压当成某个串联电阻两端的电压；串联电路里电源电压被多个元件分掉，电阻上只分到其中一部分。
- V 和 I 取关联参考方向。 电流从电压的 + 端流入时，V=IR 取正号；如果电流从 + 端流出，公式要写成 V=-IR，或者把电流取负。符号错了，算出来的功率正负也会错。
欧姆定律的实质不是"电压等于电流乘电阻"这句同义反复，而是断言：在恒定温度、恒定材料和几何尺寸下，流过导体的电流与两端电压成正比，比值 R 是常数。 这个"成正比"是需要实验验证的物理规律，不是数学定义。对大多数金属和碳膜电阻，在正常工作范围内它成立得很好；对二极管、LED、灯丝、热敏电阻，它不成立。
从场的角度看，欧姆定律的局部形式是
\mathbf{J}=\sigma\mathbf{E}其中 \mathbf{J} 是电流密度，单位 \text{A/m}^2；\sigma 是电导率，单位 \text{S/m}；\mathbf{E} 是电场强度，单位 \text{V/m}。这个式子说明"电流密度正比于电场"，比 V=IR 更基本。把 \mathbf{J} 沿截面积分、\mathbf{E} 沿长度积分，就得到 I=V/R，再整理成 V=IR。集总电路里我们直接用 V=IR，不需要每次都回到场论。
电阻的几何来源是
R=\rho\frac{L}{A}其中 \rho 是电阻率，单位 \Omega\cdot\text{m}；L 是导体长度，单位 m；A 是截面积，单位 \text{m}^2。这个式子解释了为什么细线比粗线热、长线比短线压降大：长度加倍，电阻加倍；截面积加倍，电阻减半。
2.2 线性与非线性：欧姆定律对谁成立
把一只元件的电压作横轴、电流作纵轴，画出的曲线叫伏安特性（V-I characteristic）。欧姆定律成立的条件，就是这条曲线是一条过原点的直线：电压加倍，电流也加倍，比值 V/I 处处相同。
三类典型形状：
- 线性电阻：金属膜、碳膜、绕线电阻在额定范围内近似直线，斜率是 1/R。R 不随电压、电流变（理想情况下）。
- 二极管/LED：正向导通后电流随电压指数上升，曲线非常陡。电压稍微增加，电流可能成倍增加；V/I 不是常数，不能拿一个"额定电阻"套。
- 灯丝/热敏电阻：电流让温度升高，温度又改变电阻。灯丝是正温度系数（越热电阻越大），曲线向下弯；NTC 热敏电阻是负温度系数（越热电阻越小），曲线向上翘。两者都不是欧姆元件。
对非线性器件，欧姆定律并没有"完全失效"，而是不能再用一个常数 R。工程上有两种用法：
- 静态电阻 R_{\text{static}}=V/I：工作点上的电压除以电流，用来估算该点的等效损耗，但换个工作点就变。
- 动态电阻 r_{\text{dyn}}=dV/dI：工作点附近电压微小变化与电流微小变化的比值，用于小信号模型。二极管的小信号电阻约 nV_T/I，其中 V_T=kT/q 是热电压；取 T=300 K、k=1.380649\times10^{-23} J/K、q=1.602176634\times10^{-19} C，得 V_T=1.380649\times10^{-23}\times300/(1.602176634\times10^{-19})\approx25.85 mV，常取 25.9mV。
焦耳定律 P=VI 对非线性器件仍然成立；P=I^2R 只在"R 取该工作点的等效电阻"时成立。把 LED 的 V_F/I 当成常数电阻去算别的电流，是典型的错误。
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理想二极管方程写成 I=I_S(e^{V/(nV_T)}-1)，其中 I_S 是反向饱和电流，n 是理想因子（通常 1~2），V_T=kT/q\approx25.9 mV（室温）。在导通区，电流近似按指数变化。取 n=2，电压增加 100mV，电流变为原来的
\frac{I_2}{I_1}=e^{100\text{mV}/(2\times25.9\text{mV})}=e^{1.93}\approx6.9倍。也就是说，LED 两端电压只多了 0.1V，电流就可能涨近 7 倍。这就是"恒压源直接驱动 LED 很危险"的定量原因：电源电压的小波动、LED 温度的小变化，都会造成电流的大波动。实际 LED 还有串联体电阻，会稍微缓和这个指数，但趋势不变。具体数值以器件数据手册的 V-I 曲线为准。
2.3 全电路欧姆定律：电源也有内阻
前面的 V=IR 描述的是一个电阻。真实电源（电池、适配器、信号源）内部也有电阻，叫内阻 r。把电源的电动势记为 E，外接负载记为 R，整个回路满足：
E=I(R+r)\qquad\Longrightarrow\qquad I=\frac{E}{R+r}负载两端的端电压是
V_{\text{terminal}}=E-Ir其中 E 是电动势，单位 V；r 是内阻，单位 \Omega；R 是负载电阻，单位 \Omega；I 是回路电流，单位 A。
举个完整例子：一只 9V 电池，内阻按 1.5Ω 估算（典型量级，具体以数据手册为准），接 100Ω 负载。
I=\frac{9}{100+1.5}=\frac{9}{101.5}\approx0.08867\ \text{A}=88.67\ \text{mA}V_{\text{terminal}}=9-0.08867\times1.5=9-0.133=8.867\ \text{V}负载功率：
P_{\text{load}}=I^2R=0.08867^2\times100\approx0.786\ \text{W}内阻损耗：
P_r=I^2r=0.08867^2\times1.5\approx0.0118\ \text{W}=11.8\ \text{mW}效率：
\eta=\frac{P_{\text{load}}}{EI}=\frac{0.786}{9\times0.08867}\approx98.5\%如果把这节电池短路，R=0，电流将是 I_{sc}=E/r=9/1.5=6 A。实际电池和电源都有保护，不能真的短接；这个数字只用来说明"内阻决定了短路电流的上限"。
全电路欧姆定律解释了很多"电压够但带不动"的现象：电池旧了，内阻变大，空载电压可能还是 9V，一接负载端电压就掉；汽车启动时电池电压瞬间跌到 10V 以下，也是因为启动电流在內阻上产生了大压降。看电源不能只看空载电压，还要看内阻和带载能力。
2.4 焦耳定律：电流怎样变成热
电流流过电阻，电场力做功，电能转化为热。功率就是前面定义的 P=VI。把欧姆定律代进去，得到焦耳定律的三种常用形式：
P=VI=I^2R=\frac{V^2}{R}其中 P 是功率，单位 W；V 是电阻两端电压，单位 V；I 是流过电阻的电流，单位 A；R 是电阻，单位 \Omega。t 秒内产生的热量是
Q=I^2Rt其中 Q 是热量，单位 J；t 是时间，单位 s。能量形式就是 E=Pt=I^2Rt。
推导只有两步：
- 由 V=IR，代入 P=VI 得 P=(IR)I=I^2R；
- 由 I=V/R，代入 P=VI 得 P=V(V/R)=V^2/R。
三个形式在数学上等价，但工程上各有适用场景：串联电路电流相同，用 P=I^2R 方便；并联电路电压相同，用 P=V^2/R 方便；已知电压和电流，直接用 P=VI。
焦耳定律解释了三个常见现象：
- 导线太细会发烫：R=\rho L/A，截面积小则 R 大；同样的电流下 P=I^2R 更大。
- 电阻有额定功率：长期耗散的热必须通过封装、焊盘、PCB 铜箔传到环境；散热跟不上，温度就超限。
- 保险丝会烧断：保险丝是故意设计的小截面导体，电流超过额定后 I^2R 加热到熔点，切断回路。烧断是它的功能，不是"质量不好"。
对非线性器件，P=VI 仍然成立；P=I^2R 和 P=V^2/R 只在 R 取工作点等效电阻时成立。对随时间变化的电压/电流，瞬时功率是 p(t)=v(t)i(t)，平均功率要对一个周期积分，不能简单拿峰值相乘。
3. 定量关系
3.1 公式、符号与单位
把本章的公式集中列出，并写清适用条件：
| 公式 | 已知 | 求 | 适用条件 |
|---|---|---|---|
| V=IR | I,R | V | 欧姆元件，关联参考方向，恒温 |
| I=V/R | V,R | I | 同上 |
| R=V/I | V,I | R | 静态电阻定义，可用于非线性工作点 |
| P=VI | V,I | P | 任何二端元件的瞬时功率 |
| P=I^2R | I,R | P | R 为工作点等效电阻 |
| P=V^2/R | V,R | P | 同上 |
| Q=I^2Rt | I,R,t | Q | R 在时间内近似不变 |
| R=\rho L/A | \rho,L,A | R | 均匀截面导体 |
| R(T)=R_{20}[1+\alpha(T-20)] | R_{20},\alpha,T | R(T) | 线性温度系数近似 |
| E=I(R+r) | E,R,r | I | 含内阻的电源回路 |
符号与单位：
- V：电压，V；I：电流，A；R：电阻，\Omega；
- P：功率，W；Q：热量，J；t：时间，s；
- \rho：电阻率，\Omega\cdot\text{m}；L：长度，m；A：截面积，\text{m}^2；
- R_{20}：20°C 时的电阻，\Omega；\alpha：电阻温度系数，1/^{\circ}\text{C}；
- E：电源电动势，V；r：电源内阻，\Omega。
这里的 R=V/I 与 V=IR 要区分：前者是定义，对任何二端元件都成立，算出来的是工作点的静态电阻；后者是定律，只对欧姆元件成立，断言 R 不随工作点变。把定义当成定律，就会得出"LED 的电阻是 180Ω，所以加 5V 会流过 27.8mA"这类错误结论——实际电流由 LED 的 V-I 曲线和限流元件共同决定。
3.2 三个功率公式怎么选
| 场景 | 相同的量 | 推荐公式 | 结论 |
|---|---|---|---|
| 串联 | 电流 I | P=I^2R | 电阻越大，发热越多 |
| 并联 | 电压 V | P=V^2/R | 电阻越小，发热越多 |
| 已知 V,I | 两者都已知 | P=VI | 直接相乘 |
| 已知 P,R | — | I=\sqrt{P/R} 或 V=\sqrt{PR} | 反推工作点 |
串联时电流处处相同，所以 P 与 R 成正比：大电阻更热。并联时电压相同，所以 P 与 R 成反比：小电阻更热。这个结论和直觉相反的地方在于，"电阻大"不等于"功率大"，要看接法。
用一个具体例子把这件事钉死：一只 100Ω 和一只 10Ω 电阻。
串联，电流 1A：
P_{100}=1^2\times100=100\ \text{W},\qquad P_{10}=1^2\times10=10\ \text{W}100Ω 发热是 10Ω 的 10 倍；总功率 110W，总电压 1\times(100+10)=110 V。
并联，电压 10V：
P_{100}=\frac{10^2}{100}=1\ \text{W},\qquad P_{10}=\frac{10^2}{10}=10\ \text{W}这次 10Ω 发热是 100Ω 的 10 倍；总功率 11W，总电流 10/100+10/10=0.1+1=1.1 A。
同一只 100Ω 电阻，在串联 1A 的例子里耗散 100W，在并联 10V 的例子里只耗散 1W。电阻没变，工作点变了。所以"这颗电阻多少瓦"必须结合电路来问；脱离电路的功率数字没有意义。
3.3 电阻的几何与温度
电阻的几何公式已经在 2.1 节给出：
R=\rho\frac{L}{A}温度对电阻的影响，在一段范围内可以线性近似：
R(T)=R_{20}\left[1+\alpha(T-20)\right]其中 R_{20} 是 20°C 时的电阻，\alpha 是电阻温度系数（单位 1/^{\circ}\text{C}），T 是温度（°C）。铜的 \alpha\approx0.00393\ ^{\circ}\text{C}^{-1}，也就是每升高 1°C，电阻增加约 0.393%。
一根 20°C 时 1Ω 的铜导体，升温到 80°C：
R_{80}=1\times[1+0.00393\times(80-20)] =1\times(1+0.2358)=1.236\ \Omega增加了 23.6%。如果它两端维持 5V，电流会从 5A 降到 5/1.236=4.045 A，降了约 19%。铜导线、电机绕组、继电器线圈都有这种"越热电阻越大、电流越小"的正温度系数。
精密电阻的温漂用 ppm/°C 表示。100\ \text{ppm}/^{\circ}\text{C}=100\times10^{-6}\ /^{\circ}\text{C}=0.01\%/^{\circ}\text{C}。一只 100Ω、100ppm/°C 的电阻，温度从 25°C 升到 85°C（升高 60°C）：
\Delta R=100\times100\times10^{-6}\times60=0.6\ \Omega相对变化 0.6/100=0.6\%。常见厚膜电阻的 TCR 约 100~200ppm/°C，金属膜约 50ppm/°C，精密箔电阻可以做到 1ppm/°C 以下；具体以数据手册为准。对比一下：同样升温 60°C，铜导线变化 23.6%，厚膜电阻只变化 0.6%~1.2%，相差约 20~40 倍。所以"导线电阻"和"电阻器电阻"对温度的敏感度完全不是一个量级。
自热会让问题复杂化：电流产生热，热让温度升高，温度又改变电阻。如果 TCR 为正，电阻变大、电流变小，是负反馈；如果 TCR 为负（NTC），电阻变小、电流变大，可能形成正反馈甚至热失控。设计 NTC 测温、PTC 自恢复保险丝、灯丝限流时，必须把这条反馈路径算进去。
3.4 适用条件与失效边界
欧姆定律的适用条件可以总结为四个"恒定"：
- 材料与几何恒定：均匀导体、固定截面积；接触面积变化、导线断裂、焊点开裂都会让 R 变。
- 温度恒定：TCR 不为零时，R 随温度变；大电流自热会破坏恒温假设。
- 线性工作区：V-I 曲线过原点且是直线；二极管、LED、灯丝、热敏电阻、压敏电阻不满足。
- 集总近似：元件尺寸远小于波长；高频下电压、电流沿导线分布，V=IR 的集总形式不够用。
焦耳定律的适用条件更宽：P=VI 对任何二端元件都成立，包括非线性器件、电源、甚至瞬时变化的信号；P=I^2R 和 P=V^2/R 需要 R 的定义，对非线性器件要用工作点等效电阻，对时变电阻要在时间上积分。
工程上还有几个容易忽略的边界：
- 电压额定值独立于欧姆定律。 电阻的最大工作电压、电容的耐压、绝缘的击穿电压，都不是 V=IR 能算出来的；它们是材料和结构决定的极限。
- 脉冲功率与平均功率不同。 一只电阻能承受的短脉冲功率可能远高于连续额定功率，也可能因为局部热点而更低；必须查数据手册的脉冲功率曲线，不能拿平均功率代替峰值。
- 接触电阻不是常数。 连接器触点的接触电阻随压力、氧化、磨损、电流变化；mΩ 级接触电阻在大电流下会产生可观的压降和热。
- 高频下电阻不再是"电阻"。 寄生电感和电容会让阻抗随频率变，此时要用 Z=R+j\omega L+1/(j\omega C) 描述，欧姆定律的直流形式只是低频近似。
4. 典型计算
4.1 算例一：LED 限流电阻
需求：5V 电源点亮一颗红光 LED，LED 正向压降按 1.8V 计（典型值，具体以数据手册为准），目标电流 10mA。求限流电阻、实际电流、电阻功耗，并验算。
第一步，算电阻上的压降。LED 与电阻串联，电源电压被两者分掉：
V_R=V_{CC}-V_F=5-1.8=3.2\ \text{V}第二步，算电阻：
R=\frac{V_R}{I}=\frac{3.2}{0.01}=320\ \OmegaE24 系列里没有 320Ω，取邻近的 330Ω（IEC 60063 的 E24 标称值）。
第三步，用实际阻值反算电流：
I=\frac{3.2}{330}\approx0.009697\ \text{A}=9.697\ \text{mA}比目标 10mA 低 3%，肉眼几乎看不出差别。
第四步，算电阻功耗：
P_R=I^2R=0.009697^2\times330\approx0.0310\ \text{W}=31.0\ \text{mW}0603 电阻额定 0.1W，占比 0.031/0.1=31\%，低于 50% 的降额目标，合适。0402 电阻额定约 0.0625W，占比 0.031/0.0625\approx49.6\%，已经接近降额上限，长期高温环境建议用 0603。
第五步，算 LED 功耗与总效率：
P_{\text{LED}}=V_F I=1.8\times0.009697\approx0.01745\ \text{W}=17.45\ \text{mW}总功耗 31.0+17.45=48.45 mW，LED 占比 17.45/48.45\approx36\%。也就是说，5V 供电、1.8V LED、10mA 的方案，约 64% 的功率浪费在限流电阻上。
第六步，对比 9V 方案。同样 1.8V、10mA：
R=\frac{9-1.8}{0.01}=720\ \Omega\quad\longrightarrow\quad\text{取 }750\ \OmegaI=\frac{7.2}{750}=0.0096\ \text{A}=9.6\ \text{mA}P_R=0.0096^2\times750\approx0.0691\ \text{W}=69.1\ \text{mW}0603 的 0.1W 已被占到 69%，超过 50% 降额目标，应换 0805（0.125W，占 55.3%）或更大。LED 自身仍只有 1.8\times0.0096=17.28 mW，效率 17.28/(69.1+17.28)\approx20\%。同样一颗 LED，9V 方案的限流电阻发热是 5V 方案的 2.2 倍，效率从 36% 掉到 20%。 这就是"高压小电流驱动 LED 不划算"的定量原因。
第七步，看错误做法。如果忘了扣 LED 压降，直接 R=5/0.01=500\ \Omega，实际电流是
I=\frac{5-1.8}{500}=0.0064\ \text{A}=6.4\ \text{mA}LED 会明显偏暗。如果把 LED 直接接 5V、不加电阻，电流只受寄生参数限制，可能达到数百 mA，结温迅速升高，几秒内烧毁。
4.2 算例二：为什么 5V 小信号也会烧
很多人觉得 5V 对人没有危险，就以为它对器件也安全。但对人安全不等于对器件安全。下面这张表固定电压 5V，只改变电阻：
| 电阻 | 5V 下电流 | 5V 下功率 | 相对 0402 额定 0.0625W | 相对 0603 额定 0.1W |
|---|---|---|---|---|
| 1MΩ | 5µA | 25µW | 0.04% | 0.025% |
| 10kΩ | 0.5mA | 2.5mW | 4% | 2.5% |
| 400Ω | 12.5mA | 62.5mW | 100% | 62.5% |
| 100Ω | 50mA | 250mW | 4 倍 | 2.5 倍 |
| 50Ω | 100mA | 500mW | 8 倍 | 5 倍 |
| 20Ω | 250mA | 1.25W | 20 倍 | 12.5 倍 |
| 10Ω | 500mA | 2.5W | 40 倍 | 25 倍 |
| 1Ω | 5A | 25W | 400 倍 | 250 倍 |
| 0.05Ω | 100A（理论） | 500W（理论） | — | — |
表里的功率都按 P=V^2/R 算：5^2/400=0.0625 W，5^2/100=0.25 W，5^2/10=2.5 W，5^2/0.05=500 W。电流按 I=V/R 算：5/10=0.5 A，5/0.05=100 A。
两个关键结论：
- 0402 电阻在 5V 下，只要阻值小于 400Ω 就超过额定功率。 因为 R_{\min}=V^2/P=25/0.0625=400\ \Omega。0603 的临界值是 25/0.1=250\ \Omega。一颗 10Ω 的 0603 接在 5V 上，功率 2.5W，是额定的 25 倍，几秒钟就会发黄、冒烟。
- 0.05Ω 的接触电阻接在 5V 上，理论上要流过 100A、耗散 500W。 实际电流会被电源内阻、线缆电阻、保护电路限制，但哪怕只到 10A，接触点上的 10^2\times0.05=5 W 也足以烧黑触点。
反过来，1MΩ 电阻接 5V 只有 5µA、25µW，连发热都感觉不到。所以"5V 会不会烧"这个问题没有统一答案，必须问：接在多小的电阻上？电源能提供多大电流？ 低阻值、大电流、小封装，这三个条件凑在一起，5V 一样能烧。
4.3 算例三：导线与接触电阻
需求：2 米长、0.5mm² 的铜导线，给 3A 负载供电。求导线电阻、压降、功耗；再算两个 20mΩ 接触电阻的影响。
导线电阻：
R=\rho\frac{L}{A}=1.68\times10^{-8}\times\frac{2}{0.5\times10^{-6}} =0.0672\ \Omega3A 下压降：
V=IR=3\times0.0672=0.2016\ \text{V}3A 下功耗：
P=I^2R=9\times0.0672=0.6048\ \text{W}5A 下：压降 5\times0.0672=0.336 V，功耗 25\times0.0672=1.68 W。电流增加 67%，功耗增加 178%（因为 P\propto I^2）。
接触电阻：两个触点共 2\times0.02=0.04\ \Omega。
- 3A：压降 3\times0.04=0.12 V，功耗 9\times0.04=0.36 W；
- 5A：压降 0.2 V，功耗 25\times0.04=1 W；
- 10A：压降 0.4 V，功耗 100\times0.04=4 W。
总影响（3A、2 米线、两个触点）：
V_{\text{total}}=0.2016+0.12=0.3216\ \text{V}P_{\text{total}}=0.6048+0.36=0.9648\ \text{W}在 5V 系统里，0.322V 是 6.4%；在 12V 系统里是 2.7%；在 24V 系统里是 1.3%。同样一根线，系统电压越低，线损占比越大。 这就是为什么 5V/2A 的 USB 充电线要粗、要短，而 24V/2A 的工业线可以细一些。
注意：0.96W 的总功耗并不直接等于某个温升。温升取决于导线截面积、绝缘、环境温度、连接器材料和散热条件。功耗是"发热量"，温升是"散热结果"，两者不能混为一谈。 大电流设计要查线缆/连接器的载流—温升曲线，不能只算功率。
4.4 算例四：完整设计——25mΩ 电流采样电阻
这是一个从需求到验算的完整设计例子。
需求：
- 测量 0~2A 的负载电流；
- 满量程输出 50mV 给 ADC；
- 负载供电 5V，最大 2A；
- 环境温度最高 60°C；
- 目标精度 1%（不含 ADC 自身误差）；
- PCB 空间允许 1206 封装。
第一步，算采样电阻：
R_{\text{shunt}}=\frac{V_{\text{FS}}}{I_{\text{FS}}}=\frac{0.05}{2}=0.025\ \Omega=25\ \text{m}\Omega第二步，算功耗：
P_{2A}=I^2R=2^2\times0.025=0.1\ \text{W}P_{1A}=1^2\times0.025=0.025\ \text{W}=25\ \text{mW}第三步，选封装并验算降额。1206 厚膜电阻额定 0.25W（典型值），2A 时占 0.1/0.25=40\%，低于 50% 降额目标，合适。60°C 低于常见的 70°C 降额拐点，不需要额外折减；如果环境升到 100°C，按 70~155°C 线性降额，允许功率为 0.25\times(155-100)/(155-70)\approx0.162 W，此时 0.1W 占 61.8%，余量变小，应换 2512（1W）或降低电流。
第四步，算负载压降（burden voltage）：
V_{\text{burden}}=I_{\text{FS}}R=2\times0.025=0.05\ \text{V}=50\ \text{mV}对 5V 负载，这是 1.0%；对 3.3V 负载，这是 0.05/3.3=1.52\%。如果负载对 3.3V 很敏感，50mV 的 burden 已经不可忽略，应改用更小的采样电阻（如 10mΩ、满量程 20mV），再加一级放大。
第五步，算温漂误差。假设采样电阻的 TCR 为 100ppm/°C，自热温升 50°C：
\frac{\Delta R}{R}=100\times10^{-6}\times50=0.005=0.5\%满量程 2A 时对应 2\times0.005=0.01 A=10mA 的误差。这个误差是"增益误差"性质的，可以通过校准部分消除，但温漂会随温度变，校准只能在一个温度点做。
第六步，做误差预算。假设电阻初始精度 1%、TCR 引入 0.5%、ADC 增益误差 0.5%（假设值，实际以 ADC 数据手册为准），按均方根合成：
\varepsilon_{\text{RSS}}=\sqrt{1^2+0.5^2+0.5^2}\%=\sqrt{1.5}\%\approx1.22\%最坏情况线性相加是 1+0.5+0.5=2\%。两者都超过 1% 的目标。要真正做到 1%，需要选 0.1% 的采样电阻、低 TCR（如 25ppm/°C）、并对 ADC 做增益校准；或者接受 1.5%~2% 的精度并放宽指标。
第七步，检查布局误差。如果 PCB 走线、焊锡、过孔在采样路径上额外引入 10mΩ，相对 25mΩ 就是 10/25=40\% 的误差——比电阻本身精度大得多。解决方法是开尔文接法（Kelvin / 4-wire）：电流从电阻的两端大焊盘流入流出，电压检测从电阻内部的两个小焊盘引出，让测量路径不经过大电流走线。这是 mΩ 级采样电阻的标准做法。
第八步，验算工作点：
| 负载电流 | 采样电压 | 采样功耗 |
|---|---|---|
| 0.5A | 12.5mV | 6.25mW |
| 1A | 25mV | 25mW |
| 2A | 50mV | 100mW |
三组都满足 V=IR 和 P=I^2R，且 2A 时功耗 0.1W，低于 1206 在 60°C 下的允许值。
结论：选 25mΩ、1%、0.25W、1206 封装的采样电阻，开尔文接法；5V/2A 下 burden 1%、功耗 40% 额定；若负载是 3.3V 或要求 1% 精度，改用 10mΩ + 放大，或选 0.1%、低 TCR 的型号并校准。
5. 工程含义
5.1 工程数量级表
| 对象 | 典型量级 | 说明 |
|---|---|---|
| 信号链路电阻 | 1kΩ~1MΩ | 兼顾噪声、功耗与输入偏置 |
| LED 限流电阻 | 100Ω~10kΩ | 由 V_{CC}、V_F、目标电流决定 |
| 电流采样电阻 | 1mΩ~1Ω | 大电流用 mΩ，小电流可用 Ω 级 |
| 上拉/下拉电阻 | 1kΩ~100kΩ | 太大易受噪声，太小费电 |
| 铜导线电阻 | 0.004~0.034Ω/m | 4mm²~0.5mm²，20°C |
| 连接器接触电阻 | 5~50mΩ/触点 | 具体以连接器数据手册为准 |
| PCB 铜箔（1oz） | 约 0.48mΩ/方块 | 10 方块约 4.8mΩ |
| 厚膜电阻 TCR | 100~200ppm/°C | 金属膜约 50ppm/°C |
| 铜的 TCR | 约 3930ppm/°C | 即 0.393%/°C |
| 贴片电阻额定功率 | 0402 约 1/16W，0603 约 1/10W，0805 约 1/8W，1206 约 1/4W | 典型值，以数据手册为准 |
这张表的作用是"先估数量级，再精算"。看到 10A 的电流，就知道 mΩ 级采样电阻、粗导线、大电流连接器是必需项；看到 1µA 的偏置电流，就知道 MΩ 级电阻上的压降不能忽略。
5.2 选型与降额
选电阻不只看阻值，至少要看五个参数：阻值、精度、额定功率、TCR、最大工作电压。
- 功率：长期工作按额定的 50%~70% 降额；高温、密闭、无铜箔散热时更保守。脉冲/浪涌要查脉冲功率曲线，不能拿连续额定值套。
- 精度：1% 是通用值，0.1% 用于采样、电桥、精密分压；精度和 TCR 要一起看，1% 电阻配 200ppm/°C 的 TCR，在 60°C 温升下可能再引入 1.2% 误差。
- TCR：精密应用选 25ppm/°C 或更低；普通限流、上拉可以放宽。
- 最大工作电压：电阻不仅有功率上限，还有电压上限；高压场合即使功率没超，电压也可能超。
- 封装与散热：同样 0.1W，0402 的散热面积远小于 1206；高温环境优先大封装。
导线和连接器的选型逻辑不同：它们没有"阻值"可选，只有截面积、材料、镀层、接触结构。选型的核心是载流—温升曲线，而不是欧姆定律算出来的电阻。欧姆定律帮你算压降和功耗，温升还要看散热。
5.3 温度与漂移
温度对电路的影响有三条路径：
- 电阻值漂移：R(T)=R_{20}[1+\alpha(T-20)]。铜的 23.6%/60°C 远大于精密电阻的 0.6%/60°C；导线、绕组、继电器线圈的漂移往往被低估。
- 器件工作点漂移：LED 的 V_F 随温度下降（约 -2mV/°C 量级，具体看器件），恒压驱动时电流会随温度上升；二极管、三极管、基准源都有温度系数。
- 热失控风险：NTC、灯丝、某些陶瓷电容在某些条件下电阻随温度下降，电流增大又让温度更高，形成正反馈。设计时要保证在最坏温度下仍有足够的限流或保护。
工程做法是按最高工作温度算最坏情况：用 R(T_{\max}) 而不是 25°C 的标称值，用 V_F(T_{\max}) 而不是室温典型值，用降额后的额定功率而不是标称功率。数据手册里的典型值只是"典型"，设计要按最大/最小值。
5.4 什么时候欧姆定律不够用
- 非线性器件：二极管、LED、BJT、MOSFET 的沟道、电池、灯丝、热敏电阻、压敏电阻。用数据手册的 V-I 曲线、分段线性模型或小信号模型，不要用一个常数 R。
- 高频：电阻的寄生电感/电容、导线的分布参数变得重要，要用阻抗 Z 和传输线模型；见阻抗与导纳。
- 高压：击穿、爬电距离、绝缘等级由材料和结构决定，不是 V=IR 能预测的；见安全用电与触电防护。
- 大电流/高温：接触电阻、熔断、热失控、材料软化都会让"常数 R"失效；要按载流—温升曲线和热模型设计。
- 脉冲/瞬态：峰值功率、能量、脉冲宽度共同决定是否损坏；平均功率相同，脉冲形状不同，失效模式也不同。
欧姆定律是局部、线性、集总、恒温的近似。焦耳定律更普遍：P=VI 对任何元件都成立；P=I^2R 需要 R 的定义。工程判断的关键，是知道自己正在用哪个近似、它什么时候会失效。
6. 常见坑
- 忘了扣掉 LED/二极管的正向压降：现象——按 R=V_{CC}/I 算出的电阻装上后，LED 明显偏暗；或者换一颗 LED 就烧。原因——LED 自身有 V_F，限流电阻上的电压是 V_{CC}-V_F，不是 V_{CC}。解决——先算 V_R=V_{CC}-V_F，再 R=V_R/I；用实际阻值反算电流，并核对 LED 的额定电流与功耗。
- 用电源电压代入 P=V^2/R 算串联电阻：现象——算出的电阻功率偏大很多，选了过大封装；或者反过来，用电阻两端电压算错。原因——V 必须是该电阻两端的电压；串联电路里电源电压被多个元件分掉。解决——先求电阻上的压降，再代 P=V^2/R；或者用 P=I^2R，因为串联电流处处相同。
- 认为"电阻越大越热"或"电阻越小越热"：现象——并联时小电阻更热，串联时大电阻更热，和直觉对不上。原因——功率取决于工作点：串联电流相同，P=I^2R 与 R 成正比；并联电压相同，P=V^2/R 与 R 成反比。解决——先判断串联还是并联，再选公式；不确定就回到 P=VI，分别算每个电阻的 V 和 I。
- 忽略导线和接触电阻：现象——5V/2A 的设备末端只有 4.5V，或者连接器摸着发烫。原因——导线电阻、触点电阻与负载串联，产生 IR 压降和 I^2R 发热；低压大电流系统尤其敏感。解决——算回路电阻（去线+回线+触点），核对压降占比和温升；大电流用粗线、短路径、低接触电阻连接器。
- 把欧姆定律直接套在二极管、LED、电池上：现象——用 R=V/I 算出"LED 电阻 180Ω"，再算 5V 下电流 27.8mA，实际完全不对。原因——这些器件的 V-I 曲线非线性，V/I 随工作点变，不是一个常数。解决——用数据手册的 V-I 曲线、V_F 与额定电流、分段模型或小信号模型；焦耳定律仍可用 P=VI，但 P=I^2R 要用工作点等效电阻。
- 电阻功率不降额：现象——0603 电阻长期工作在 0.1W，几个月后发黄、阻值漂移甚至开路。原因——额定功率是特定温度下的上限，实际环境温度、铜箔散热、密闭壳体都会降低有效额定值。解决——按降额曲线把实际功耗压到额定的 50%~70% 以下；高温或密闭环境换 0805/1206，或并联分摊。
- 把电阻开路和短路搞反：现象——测到回路电流为 0，以为电阻"变小了"；或者电阻两端电压为 0，以为电阻"断了"。原因——电阻烧断后是开路（R\to\infty，电流为 0，两端可能仍有电压）；焊锡/碎屑搭桥才是短路（R\approx0，电流暴涨，两端电压接近 0）。解决——断电后用电阻档离线测：开路读数 OL/无穷大，短路读数接近 0；再结合通电时的电压、电流交叉判断，不要只看一个读数。
7. 自测题
5V 加在 100Ω 电阻上，电流和功率各是多少？改加 20V 呢？功率差多少倍？
5V 时：I=V/R=5/100=0.05 A=50mA；P=I^2R=0.05^2\times100=0.25 W；用 P=V^2/R=25/100=0.25 W 验算，一致。
20V 时：I=20/100=0.2 A=200mA；P=0.2^2\times100=4 W；用 P=400/100=4 W 验算，一致。
电压变为 4 倍，电流变为 4 倍，功率变为 4^2=16 倍（0.25\times16=4 W）。这说明功率对电压是平方关系，过压非常危险。
一只 9V 电池，内阻 1.5Ω，接 100Ω 负载。求回路电流、端电压、负载功率、内阻损耗和效率。
回路电流：I=E/(R+r)=9/(100+1.5)=9/101.5\approx0.08867 A=88.67mA。
端电压：V_t=E-Ir=9-0.08867\times1.5=9-0.133=8.867 V。
负载功率：P_{\text{load}}=I^2R=0.08867^2\times100\approx0.786 W。
内阻损耗：P_r=I^2r=0.08867^2\times1.5\approx0.0118 W=11.8mW。
效率：\eta=P_{\text{load}}/(EI)=0.786/(9\times0.08867)\approx98.5\%。
验算：P_{\text{load}}+P_r=0.786+0.0118=0.7978 W；EI=9\times0.08867=0.798 W，一致（舍入误差）。
用 5V 点亮一颗 V_F=2.0V、额定 20mA 的 LED，限流电阻取多大？电阻功耗多少？0603（0.1W）够不够？
电阻压降：V_R=5-2.0=3.0 V。
电阻：R=3.0/0.02=150\ \Omega（150Ω 是 E24 标称值）。
电阻功耗：P_R=I^2R=0.02^2\times150=0.06 W=60mW。
0603 额定 0.1W，占比 60/100=60\%，超过 50% 的降额目标，长期高温下不合适；建议换 0805（0.125W，占比 60/125=48\%）或更大。LED 自身功耗 2.0\times0.02=40 mW；总功耗 100mW，效率 40%。
一只 25mΩ 的采样电阻过 3A 电流，采样电压和功耗各是多少？选 0.5W 的 1206 封装，降额是否合适？
采样电压：V=IR=3\times0.025=0.075 V=75mV。
功耗：P=I^2R=9\times0.025=0.225 W=225mW。
0.5W 封装占比 0.225/0.5=45\%，低于 50% 降额目标，合适；如果用 0.25W 封装，占比 0.225/0.25=90\%，余量太小，不建议。注意 25mΩ 在 3A 下的 burden 是 75mV，对 3.3V 负载约占 2.3%，要核对负载的最低工作电压。
为什么 5V 也能烧电阻？请用 0603（0.1W）和 10Ω 电阻算一遍，并说明 0402（1/16W）在 5V 下的临界阻值。
10Ω、5V 下：I=5/10=0.5 A；P=V^2/R=25/10=2.5 W，或 P=I^2R=0.25\times10=2.5 W。
0603 额定 0.1W，2.5W 是额定的 25 倍，几秒内就会过热、发黄甚至烧毁。
0402 额定 0.0625W，5V 下的临界阻值 R_{\min}=V^2/P=25/0.0625=400\ \Omega；阻值小于 400Ω 就超额定。所以"5V 安全"只对人成立，对低阻值、小封装器件并不成立。
一只 100Ω、100ppm/°C 的电阻，温度从 25°C 升到 85°C，阻值变化多少？同样温升下，1Ω 的铜导线变化多少？两者说明什么？
电阻：\Delta R=100\times100\times10^{-6}\times(85-25)=100\times10^{-4}\times60=0.6\ \Omega，相对变化 0.6/100=0.6\%。
铜导线：\Delta R=1\times0.00393\times60=0.2358\ \Omega，相对变化 23.6%。
两者相差约 23.6/0.6\approx39 倍。说明铜导线、绕组、继电器线圈的温漂远大于精密电阻；设计大电流路径或精密测量时，不能把导线当成"恒定电阻"，要按最高温度核算。
8. 参考资料
- Lessons In Electric Circuits, Volume I – DC（Kuphaldt）：Chapter 2《Ohm's Law》讲 V、I、R 的关系、功率计算与非线性导电（Nonlinear conduction）；本章的欧姆定律、焦耳定律与非线性讨论均按该章结构重写。
- The Art of Electronics, 3rd ed.（Horowitz and Hill），Chapter 1《Foundations》：电阻类型、温度系数、功率额定与电源内阻的工程讲法；本章 TCR 与降额的数值口径参考该书。
- Practical Electronics for Inventors, 4th ed.（Scherz and Monk），Chapter 2《Theory》：欧姆定律、焦耳定律、电池内阻与导线电阻的入门推导；本章全电路欧姆定律的讲法参考该书。
- Vishay CRCW 系列厚膜贴片电阻数据手册：Power Derating 曲线（70°C 以上线性降额、155°C 降为零）与脉冲功率限制；本章 0.1W/0.25W 的降额算例按该曲线演示，具体型号以各自数据手册为准。
- IEC 60063, Preferred number series for resistors and capacitors：E24/E96 标称值系列；本章 330Ω、750Ω 等取值按 E24 选取。
- IPC-2152, Standard for Determining Current Carrying Capacity in Printed Board Design, 2009：PCB 铜箔载流—温升的计算依据；本章导线/铜箔部分只给数量级，实际走线宽度按该标准或制造商数据核对。