积分器与微分器 Integrator & Differentiator
比例放大器把信号"按固定倍数放大"，很多时候我们想要的却是信号随时间的累积或变化率：加速度积分成速度、速度再积分成位移；PID 里的积分项消除稳态误差、微分项预判趋势；给积分器送方波就得到三角波。这些功能的共同数学形态是 1/s 与 s——把反馈臂或输入臂的电阻换成电容，就得到了。
这一章的核心结论只有一句：积分器就是"极点落在原点的低通"，微分器就是"零点落在原点的高通"。把它当低通看，就能立刻明白三件事：直流增益为什么无穷大、漂移为什么必然把输出顶到电源轨、为什么并联一只大电阻能"救"它；也就能明白微分器为什么"理论上可以做、实际不能直接用"——它的增益随频率无限增长，而环路却在高频先失去相位裕度。
符号沿用运放概述：符号、封装与引脚与理想模型五假设与虚短、虚断：开环增益 A_{OL}、闭环增益 A_{CL} 或 G、反馈系数 \beta（不是三极管的电流放大倍数）、环路增益 T=A_{OL}\beta、噪声增益 1/\beta、GBW、PM。虚短、虚断只在负反馈成立、输出未饱和、|T|\gg1 时才有意义；积分器与微分器都靠负反馈工作，这个前提在本章尤其重要，因为它们的反馈网络里带着电容，\beta 是频率的函数。
1. 设计动机
场景一：加速度计积分两次得位移，积分器自己先撞了轨。 用一只理想积分器（R=10\ \text{k}\Omega、C=10\ \text{nF}）对加速度信号积分，没有输入时输出本该保持不动。但运放的失调电压 1\ \text{mV} 与偏置电流 25\ \text{nA} 一起往电容里灌电流：
I=\frac{V_{OS}}{R}+I_B=\frac{1\ \text{mV}}{10\ \text{k}\Omega}+25\ \text{nA}=125\ \text{nA},\qquad \frac{dV_{OUT}}{dt}=\frac{I}{C}=\frac{125\ \text{nA}}{10\ \text{nF}}=12.5\ \text{V/s}±15 V 电源下只要 1.2 s 就撞轨。传感器还没动，输出已经贴在电源轨上了。
场景二：微分器接上传感器，输出全是高频毛刺。 微分器的增益 |H|=2\pi fRC 随频率线性增长：R=10\ \text{k}\Omega、C=10\ \text{nF} 时，1 MHz 处增益 628 倍。传感器电缆上拾取 1 mV 的 1 MHz 噪声，输出就是 628 mV；10 MHz 的 1 mV 噪声直接把输出顶到电源轨。这不是"噪声大"，是传递函数本身在放大噪声。
场景三：PID 控制器里，积分项把输出积分到饱和。 温度控制回路里执行器已经全开，误差仍在积累，积分电容继续充电，等温度回落时需要很长时间才能"放掉"这段积分——这就是积分饱和（wind-up）。工程上必须加复位开关或限幅，让积分器能被人为清零。
| 你想确认 | 先算 | 判据（工程经验值） |
|---|---|---|
| 积分时间常数选多大 | \tau=RC、f_0=1/(2\pi RC) | f_0 落在信号频带中部，\lvert H\rvert 用满量程的 1/3~2/3 |
| 漂移多久撞轨 | (V_{OS}/R+I_B)/C | 无输入时 >10 倍最长工作时间 |
| 并联 R_f 取多大 | f_p=1/(2\pi R_fC) | f_p\le0.1\times 最低信号频率 |
| 积分电容选什么 | 漏电、介质吸收、电压系数 | C0G/NP0 或薄膜，避开电解与高 K 陶瓷 |
| 微分器能不能直接用 | \lvert H(1\ \text{MHz})\rvert=2\pi fRC | 高频增益 ≤ 后续电路可接受的范围 |
| 微分器稳不稳 | \beta 极点 1/(2\pi RC) 与 f_c | PM ≥45°，否则输入串 R_1 |
| 需不需要复位 | 是否有"清零/重新开始"需求 | 需要就加开关，并核算电荷注入 |
不算会摔在哪，四条带数字的代价：
- 不并 R_f 就用积分器。 12.5 V/s 的漂移，1.2 s 撞轨；换成 I_B=1\ \mu\text{A} 的双极输入运放，漂移速率升到 (100\ \text{nA}+1\ \mu\text{A})/10\ \text{nF}=110\ \text{V/s}，136 ms 就撞轨。
- 微分器直接接传感器。 1 MHz、1 mV 的噪声被放大 628 倍；而且输入阻抗在 1 MHz 只有 1/(2\pi\times10^6\times10\ \text{nF})=15.9\ \Omega，50 Ω 的源内阻与它分压，信号只剩 24%。
- 用 1% 电容算积分时间常数。 \tau 直接由 RC 决定，1% 电阻 + 5% 电容就是 6% 的时间常数误差，三角波幅度同比例偏差。
- 在积分器上做"高精度直流"。 积分器的高频噪声增益趋于 1、低频噪声增益趋于无穷，1/f 噪声与失调被一路积分，直流精度不可能靠它保证。
2. 定义与直观
2.1 一句话定义：换掉一只元件
积分器（integrator）：输入臂是电阻 R、反馈臂是电容 C 的反相放大电路，输出与输入的积分成正比。
微分器（differentiator）：输入臂是电容 C、反馈臂是电阻 R 的反相放大电路，输出与输入的变化率成正比。
两者都是反相比例放大器的特例：把闭环增益公式 -Z_f/Z_{in} 里的阻抗换成电容的 1/(sC) 就得到了。结构上只换了一只元件，数学上却从"常数"变成了"1/s 或 s"——这正是这两个电路值得单独成章的原因。
2.2 积分器 = 极点在原点的低通
一阶低通的传递函数是
H_{LP}(s)=-\frac{H_0}{1+\dfrac{s}{\omega_c}}它的幅频在 f\ll f_c 时是平的（增益 H_0），在 f\gg f_c 时以 -20\ \text{dB}/十倍频程下降。现在让截止频率 \omega_c\to0、同时让直流增益 H_0\to\infty，并保持乘积 H_0\omega_c 不变：
H_{LP}(s)\ \longrightarrow\ -\frac{1}{sRC}这就是积分器：一个极点从 f_c 一路搬到原点的低通。它没有"通带"，从直流开始就以 -20\ \text{dB}/十倍频程下降，在
f_0=\frac{1}{2\pi RC}处 |H|=1（0 dB）。相位在整个频段上是 -90^{\circ}（加上反相拓扑的 180^{\circ}）。
"原点极点"这四个字的后果：直流增益是无穷大。任何一点点直流误差（失调、偏置电流、输入信号的直流分量）都会被当成"要一直积下去"的信号，输出必然单调爬向某一侧电源轨。这不是器件不好，是传递函数在 s=0 处发散。
2.3 微分器 = 零点在原点的"高通"
同理，一阶高通
H_{HP}(s)=-\frac{s/\omega_c}{1+s/\omega_c}在 \omega_c\to\infty 的极限下变成
H_{HP}(s)\ \longrightarrow\ -sRC这就是微分器：一个转折频率被推到无穷远的高通，于是增益永远以 +20\ \text{dB}/十倍频程上升，没有上限。相位在整个频段上是 +90^{\circ}（加上反相拓扑的 180^{\circ}）。
"零点在原点"的后果正好相反：高频增益无穷大。任何高频噪声、任何突变边沿，都会被放大到由运放摆幅决定的程度。
| 积分器 | 微分器 | |
|---|---|---|
| 传递函数 | -1/(sRC) | -sRC |
| 奇异点 | 极点 s=0 | 零点 s=0 |
| 幅频斜率 | -20\ \text{dB}/十倍频程 | +20\ \text{dB}/十倍频程 |
| 单位增益频率 | f_0=1/(2\pi RC) | f_0=1/(2\pi RC) |
| 相位（含反相） | 180^{\circ}-90^{\circ}=90^{\circ} | 180^{\circ}+90^{\circ}=270^{\circ} |
| 直流增益 | \infty | 0 |
| 高频增益 | 0 | \infty |
| 现实中的主要麻烦 | 漂移撞轨 | 噪声放大、稳定性 |
2.4 类比：水桶与水位计
积分器像一只水桶：输入是进水流量，输出是水位。流量恒定，水位就匀速上升（三角波的斜坡）；流量为零，水位应该保持——但桶底有个看不见的小孔（失调与偏置电流），水会慢慢漏掉或渗入，时间一长水位不是满了就是干了。并联 R_f 相当于在桶壁开一个受控的泄流孔：水位越高漏得越快，于是水位被稳定在某个高度，代价是"纯积分"只对变化足够快的流量成立。
微分器像一台水位计：它读的是水位的变化率。水位缓慢上升，读数很小；水面上一点涟漪（高频噪声），读数就剧烈跳动。想让读数可用，必须在探头前加一个机械阻尼（串联 R_1）——阻尼越大读数越稳，但能跟上的变化也越慢。
类比的边界：水桶的水位不会自己"归零"，积分器也不会；想重新开始必须主动复位（把桶倒空），这就是复位开关的由来。水位计的阻尼会引入相位滞后，微分器的 R_1 同样会在高于 1/(2\pi R_1C) 的频段把"微分"变成"比例"。
2.5 前提：这两只电路也是负反馈电路
积分器与微分器的反馈都回到反相端，属于电压并联负反馈。分析时同样要先确认三条：负反馈闭合、输出在线性区、|T|\gg1。区别在于这里的 \beta 是频率的函数：
- 积分器：\beta(s)=\dfrac{Z_{in}}{Z_{in}+Z_f}=\dfrac{R}{R+\dfrac{1}{sC}}=\dfrac{sRC}{1+sRC}。低频 \beta\to0（增益无穷大），高频 \beta\to1。
- 微分器：\beta(s)=\dfrac{\dfrac{1}{sC}}{\dfrac{1}{sC}+R}=\dfrac{1}{1+sRC}。低频 \beta\to1，高频 \beta\to0。
这两个 \beta 的高频极限决定了两者的命运：积分器在高频退化成"跟随器"（\beta\to1），微分器在高频环路增益一路衰减、但闭环噪声增益一路上升。第 3.6 节会把这件事算成相位裕度。
3. 定量关系
3.1 积分器的推导
前提：负反馈闭合（C 与 R_f 都接回反相端）、输出未饱和、|T|\gg1。于是反相端是虚地 V_-\approx0，且 I_-=0。
流过 R 的电流全部流进电容：
I=\frac{V_{in}}{R},\qquad Q=\int I\,dt=\frac{1}{R}\int V_{in}\,dt电容上的电压是 Q/C，而输出端接在电容的右侧、反相端在左侧，所以
V_{OUT}(t)=-\frac{Q}{C}=-\frac{1}{RC}\int V_{in}(t)\,dt+V_{OUT}(0)写成拉普拉斯形式：
H(s)=\frac{V_{OUT}(s)}{V_{in}(s)}=-\frac{1}{sRC},\qquad |H(f)|=\frac{1}{2\pi fRC},\qquad \angle H=-90^{\circ}\ (\text{相对反相})符号与单位：R 单位 Ω，C 单位 F，\tau=RC 单位 s（时间常数）；f_0=1/(2\pi RC) 单位 Hz，是 |H|=1 的频率；V_{OUT}(0) 是积分初值，由电容上的初始电荷决定。积分器是有"记忆"的，这一点和比例放大器根本不同，也是它必须配复位开关的原因。
时域斜率是最常用的形式：
\left|\frac{dV_{OUT}}{dt}\right|=\frac{|V_{in}|}{RC}输入 1 V、\tau=100\ \mu\text{s} 时斜率是 10\ \text{V/ms}，半毫秒走 5 V。
3.2 积分器 = 低通 + 原点极点：三个直接推论
把积分器当低通看，三条工程结论立刻出来：
（1）直流增益无穷大 → 必须给直流一条出路。 理想积分器在 f=0 处增益发散，任何直流误差都被"积"成斜坡。并联 R_f 后
Z_f=R_f\parallel\frac{1}{sC}=\frac{R_f}{1+sR_fC},\qquad H(s)=-\frac{Z_f}{R}=-\frac{R_f/R}{1+sR_fC}电路变成一只直流增益为 -R_f/R、极点位于
f_p=\frac{1}{2\pi R_fC}的一阶低通。当 f\gg f_p 时 |sR_fC|\gg1，H(s)\approx-1/(sRC)，又回到积分器。所以"实用积分器"= 把极点从原点搬到 f_p 的低通，积分只在 f\gg f_p 的频段成立。
（2）单位增益频率不变。 R_f 只决定极点位置，不改变 f_0：
|H(f_0)|=\frac{R_f/R}{\sqrt{1+(f_0/f_p)^2}}=\frac{K}{\sqrt{1+K^2}}\approx1\quad(K=R_f/R\gg1)其中 f_0/f_p=R_f/R=K。所以 R_f 是"下限拐点"，\tau=RC 是"增益刻度"，两者可以独立设计——这是实用积分器最重要的设计自由度。
（3）高频噪声增益趋于 1。 由 2.5 节的 \beta(s)，
\frac{1}{\beta}=\frac{1+sRC}{sRC}=1+\frac{1}{sRC}当 f\gg f_0 时 1/\beta\to1。积分器在高频就是一个跟随器：它的噪声增益是 1，环路表现得和单位增益缓冲器一模一样。这句话是第 3.6 节分析稳定性的钥匙。
3.3 实用积分器的三条修正
理想积分器在实验室里活不过一秒，工程上必须做三件事。
修正一：反馈电容并联大电阻 R_f，限制直流增益。 这是最重要的一条。取 R_f=(10\sim1000)R，把直流增益限制在 10\sim1000，输出失调变成有限值：
V_{OUT,DC}\approx\left(1+\frac{R_f}{R}\right)V_{OS}+I_BR_f以 R=10\ \text{k}\Omega、C=10\ \text{nF}、R_f=1\ \text{M}\Omega、V_{OS}=1\ \text{mV}、I_B=25\ \text{nA} 为例：V_{OUT,DC}=101\times1\ \text{mV}+25\ \text{nA}\times1\ \text{M}\Omega=101\ \text{mV}+25\ \text{mV}=126\ \text{mV}。相比"1.2 s 撞轨"，这是可以接受的静态误差。
修正二：与积分电容串联一只小电阻 R_s，限制高频增益。 电容在高频阻抗趋零，反馈臂在高频几乎短路，运放输出端的容性负载与自身第二极点容易引起高频振铃；串联 R_s 后高频反馈阻抗被钳在 R_s，噪声增益在高频变成 1+R_s/R，不再是 1，环路穿越频率下降、PM 改善。代价是高于
f_s=\frac{1}{2\pi R_sC}之后积分精度下降（R_s 上的压降开始分走信号）。取 R_s\le R/100 时 f_s\ge100f_0，工作在 f_0 附近时影响可以忽略。
修正三：跨接复位开关，给电容一条清零通路。 复位开关闭合时电容被短路，电荷瞬间泄放，输出回到 0（严格说是回到运放的失调电平）。没有复位，积分器只能等 R_fC 的时间常数慢慢"忘掉"历史，长常数下要等几秒甚至几十秒。注意"串联输入电阻"这个说法属于微分器（见 3.5 节）：积分器的输入端本来就有一只 R 把电压转成电流，不需要再串；真正需要额外串联电阻的位置在反馈臂的电容一侧。
3.4 微分器的推导与"三个不能直接用"
前提同上。由虚地与虚断，流过电容的电流全部流过 R：
I=C\frac{dV_{in}}{dt},\qquad V_{OUT}=-IR=-RC\frac{dV_{in}}{dt}H(s)=-sRC,\qquad |H(f)|=2\pi fRC,\qquad \angle H=+90^{\circ}\ (\text{相对反相})理想微分器可以直接写出公式，但不能直接接进电路。 三个原因都是"零点在原点"的直接后果：
（1）增益没有上限，噪声被无差别放大。 |H|=2\pi fRC 随频率线性增长。R=10\ \text{k}\Omega、C=10\ \text{nF} 时，\tau=100\ \mu\text{s}，1 MHz 处
|H|=2\pi\times10^6\times10^4\times10^{-8}=628.31 mV 的噪声变成 628 mV。而运放自身的输入电压噪声、电阻热噪声、电源纹波全都在这个频段里，输出几乎被噪声淹没。
（2）输入阻抗随频率下降，信号源被越拖越重。 输入臂是电容，|Z_{in}|=1/(2\pi fC)，1 MHz 时只有 15.9\ \Omega。信号源内阻 50 Ω 与它分压：
\frac{15.9}{50+15.9}=0.241只剩 24% 的电流进得来，而且这个分压比随频率变化，等效于在输入端额外加了一个 1/(2\pi\times50\times10\ \text{nF})=318\ \text{kHz} 的极点，把微分关系彻底破坏。微分器的"输入阻抗"不是常数，它对信号源是一个频率相关的重负载。
（3）稳定性：理想微分器几乎必然振荡。 见 3.6 节，PM 只有约 2^{\circ}。
3.5 实用微分器：串 R_1、并 C_f
修正的思路与积分器对称：把高频增益压平、把环路穿越频率挪到 \beta 极点之前。
加入串在输入臂上的 R_1 后：
Z_{in}=R_1+\frac{1}{sC},\qquad H(s)=-\frac{R_f}{R_1+\dfrac{1}{sC}}=-\frac{sR_fC}{1+sR_1C}三个频段：
- f\ll1/(2\pi R_1C)：H\approx-sR_fC，真微分；
- f\gg1/(2\pi R_1C)：H\approx-R_f/R_1，增益被压平，不再随频率上升；
- 高频增益上限 |H|_{max}=R_f/R_1，由两只电阻的比值决定。
再在 R_f 上并一只小 C_f，高于 f_2=1/(2\pi R_fC_f) 后增益进一步以 -20\ \text{dB}/十倍频程下降，把残余高频噪声也压掉。最终
H(s)=-\frac{sR_fC}{(1+sR_1C)(1+sR_fC_f)}设计顺序：先定微分频段上限 f_{max}，取
R_1=\frac{1}{2\pi f_{max}C}再按允许的高频增益取 R_f=R_1|H|_{max}，最后按噪声要求决定要不要加 C_f（f_2\ge3f_{max} 时影响最小）。
3.6 环路稳定性：积分器像跟随器，微分器像"反相器"
把两个电路的 \beta(s) 代进 T=A_{OL}\beta，结论会与直觉相反，值得单独算一遍。
积分器：\beta=sRC/(1+sRC)，在 f\gg f_0 时 \beta\to1、相位 \to0。所以高频环路增益 |T|\approx|A_{OL}|，穿越频率
f_c\approx\frac{GBW}{1/\beta}\bigg|_{f\gg f_0}=\frac{GBW}{1}=GBW积分器的稳定性等价于跟随器的稳定性：单极点模型下 PM 是 90^{\circ}，实际取决于运放第二极点与负载电容在 GBW 处贡献多少相位。积分器不是"天生比跟随器更容易振"，它就是跟随器——只不过它在低频的噪声增益很大，容易被误认为"环路增益很高所以很稳"。
微分器：\beta=1/(1+sRC) 在 f_\beta=1/(2\pi RC) 处有一个极点，之后 \beta 以 -20\ \text{dB}/十倍频程下降。穿越频率满足
|T|=\frac{GBW}{f}\cdot\frac{1}{\sqrt{1+(f/f_\beta)^2}}=1当 f\gg f_\beta 时可近似
\frac{GBW}{f}\cdot\frac{f_\beta}{f}=1\ \Rightarrow\ f_c\approx\sqrt{GBW\cdot f_\beta}而在 f_c 处，\beta 的极点已经贡献了接近 -90^{\circ} 的相位，加上运放主极点的 -90^{\circ}，总相位接近 -180^{\circ}：
PM=180^{\circ}-90^{\circ}-\arctan\frac{f_c}{f_\beta}\approx180^{\circ}-90^{\circ}-90^{\circ}\approx0^{\circ}以 RC=100\ \mu\text{s}、GBW=1 MHz 为例：f_\beta=1.59\ \text{kHz}，f_c=\sqrt{10^6\times1591.5}=39.9\ \text{kHz}，PM=180^{\circ}-90^{\circ}-\arctan(39894/1591.5)=2.3^{\circ}。这不是"容易振"，是在实际电路里几乎必然振。 加入 R_1 后 \beta 在高频被钳在 R_1/(R_1+R_f)，极点相位在穿越频率之前就恢复了，第 4.2 节会算出 PM 回到 86^{\circ}。
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直觉上"环路增益越高越稳"是把"增益"和"环路增益 T"混为一谈。稳定性看的是 T 的相位在 |T|=1 处的余量。微分器的闭环增益（噪声增益 1/\beta=1+sRC）随频率上升，但环路增益 |T|=|A|/\beta 反而下降得更快——穿越频率被 \beta 的极点拉低，而相位滞后在穿越点已经吃满。所以"闭环增益高"和"环路增益高"是两件事，稳定性只认后者。这个区分在开环、闭环增益与负反馈本质里有完整讨论。
3.7 适用条件与失效边界
- 负反馈必须闭合。 电容开路、虚焊、复位开关没断开，反馈都断开，输出撞轨。
- 输出必须在线性区。 积分器撞轨后"看起来还在积分"，但输出不再响应输入；微分器在大边沿处会瞬间饱和。
- |T|\gg1 的频率范围。 高于 f_0 之后积分器仍近似成立，但高于 f_c 后虚短失效，公式不再适用。
- 直流必须有着落。 积分器要有 R_f 或复位开关，微分器要有输入隔直（本身就有）与反馈直流通路。
- 电容必须是"电容"。 电解电容的漏电与极性、高 K 陶瓷的电压系数与介质吸收，都会把"积分"变成"带记忆的漏电"。
- 源内阻进入传递函数。 积分器的 R 与源内阻串联，直接改变 \tau；微分器的源内阻与 C 形成额外极点。
4. 典型计算
4.1 算例一：1 kHz 方波经 RC 积分后的三角波幅度与线性度
需求：输入为 \pm1\ \text{V}、1 kHz 的对称方波，用积分器得到三角波，要求峰峰值 5 V（\pm2.5\ \text{V}），估算幅度误差与线性度。
第 1 步：定时间常数。 半周期内输出变化量
\Delta V_{OUT}=\frac{V_{in}}{RC}\cdot\frac{T}{2}要求 \Delta V_{OUT}=5\ \text{V}，V_{in}=1\ \text{V}，T/2=0.5\ \text{ms}：
RC=\frac{V_{in}T/2}{\Delta V_{OUT}}=\frac{1\times0.5\times10^{-3}}{5}=1.00\times10^{-4}\ \text{s}=100\ \mu\text{s}第 2 步：取 E96 值。 取 C=10\ \text{nF}（C0G），则 R=100\ \mu\text{s}/10\ \text{nF}=10.0\ \text{k}\Omega（E96 有 10.0）。实际 \tau=10.0\ \text{k}\Omega\times10\ \text{nF}=100.0\ \mu\text{s}，精确落在设计值上，f_0=1/(2\pi\times100\ \mu\text{s})=1591.5\ \text{Hz}。
第 3 步：理想积分器的幅度与斜率。 理想积分器（无 R_f）的阶跃响应是完美斜坡：
\left|\frac{dV_{OUT}}{dt}\right|=\frac{1\ \text{V}}{100\ \mu\text{s}}=10.0\ \text{V/ms},\qquad \Delta V_{OUT}=10.0\ \text{V/ms}\times0.5\ \text{ms}=5.000\ \text{V}峰峰值 5.000 V、±2.500 V，线性度是理想的 0。理想积分器不会因为"输入是方波、时间常数有限"而产生三角波失真——这一点与无源 RC 近似积分完全不同，也是运放积分器的价值所在。
第 4 步：加上 R_f=1\ \text{M}\Omega 后的实际波形。 实用积分器的直流增益 K=R_f/R=100，时间常数 \tau_d=R_fC=10\ \text{ms}。稳态下，方波经一阶低通的峰峰值为
V_{pp}=2K V_{in}\frac{1-\beta}{1+\beta},\qquad \beta=e^{-\frac{T/2}{\tau_d}}=e^{-0.05}=0.95123V_{pp}=2\times100\times1\times\frac{1-0.95123}{1+0.95123}=4.999\ \text{V}幅度几乎没变（-0.02\%），因为指数段的平均斜率恰好等于 V_{in}/RC，正负半周的"下垂"互相抵消。变的是形状：
- 起始斜率 =(A+K V_{in})/\tau_d=10.25\ \text{V/ms}，结束斜率 =(A+K V_{in})e^{-0.05}/\tau_d=9.75\ \text{V/ms}，斜率变化 4.88\%；
- 与理想直线相比，最大偏差出现在半周期中点附近，为 31.2\ \text{mV}，占峰峰值的 0.625\%。
| 指标 | 理想积分器 | 实用积分器（R_f=1\ \text{M}\Omega） |
|---|---|---|
| 峰峰值 | 5.000 V | 4.999 V（-0.02\%） |
| 斜率（开始 → 结束） | 10.00 → 10.00 V/ms | 10.25 → 9.75 V/ms（-4.88\%） |
| 与直线的最大偏差 | 0 | 31.2 mV（峰峰值的 0.625%） |
| 波形 | 完美三角 | 指数段拼成的"圆角三角" |
| 直流增益 | \infty | 100 |
图里两条输出曲线几乎重合，差别体现在每段中点的 31\ \text{mV} 下凹——示波器上表现为三角波的"边略微向内弯"。
第 5 步：输入直流分量会被放大 K 倍。 若方波带 10 mV 直流偏置（占空比 50.5%），输出静态点偏移
\Delta V_{OUT,DC}=-K\times10\ \text{mV}=-100\times10\ \text{mV}=-1.00\ \text{V}这是一个很容易被忽略的坑：R_f 把直流增益限制在 100，输入端 10 mV 的失调就变成 1 V 的输出偏移，占 \pm2.5\ \text{V} 摆幅的 40%。所以实用积分器的输入端要么交流耦合，要么用低失调运放并接受这部分误差。
第 6 步：运放自身误差。 1 kHz 处 f/f_0=0.63，\beta=0.532，|A_{OL}|=GBW/f=1\ \text{MHz}/1\ \text{kHz}=1000，|T|=1000\times0.532=532，增益误差约 1/(1+532)=0.19\%；所需压摆率是 10\ \text{V/ms}=0.01\ \text{V}/\mu\text{s}，任何运放都够。所以这个电路的误差主导项是 R_f 引起的直流偏移与电容的介质吸收，不是运放带宽。
4.2 算例二：1 mV/1 MHz 噪声被微分器放大到多少
已知：微分器 R_f=10\ \text{k}\Omega、C=10\ \text{nF}，\tau=100\ \mu\text{s}；噪声为 1 mV 幅度的 1 MHz 正弦（电缆拾取或开关电源残余）。
第 1 步：1 MHz 处的增益。
|H(1\ \text{MHz})|=2\pi fR_fC=2\pi\times10^6\times10^4\times10^{-8}=628.3V_{OUT}=628.3\times1\ \text{mV}=628\ \text{mV}第 2 步：换到 10 MHz。 |H|=6283，1 mV 输入需要 6.28 V 输出——超出 \pm5\ \text{V} 电源，输出直接饱和。微分器的输出幅度由噪声频谱的最高频分量决定，而不是由有用信号决定。
第 3 步：输入阻抗与源内阻。 |Z_{in}|=1/(2\pi fC)，1 MHz 时 15.9\ \Omega；源内阻 50 Ω 时分压比 0.241，等效在输入端引入 318\ \text{kHz} 的极点。这意味着实际电路的"微分"只在中频段成立，高频既被噪声淹没又被源内阻破坏。
第 4 步：加 R_1=1.5\ \text{k}\Omega 后。 高频拐点
f_h=\frac{1}{2\pi R_1C}=\frac{1}{2\pi\times1500\times10^{-8}}=10.61\ \text{kHz}高频增益上限
|H|_{max}=\frac{R_f}{R_1}=\frac{10\ \text{k}\Omega}{1.5\ \text{k}\Omega}=6.6671 MHz 处实际增益
|H|=\frac{2\pi fR_fC}{\sqrt{1+(2\pi fR_1C)^2}}=\frac{628.3}{\sqrt{1+94.25^2}}=6.67V_{OUT}=6.25\times1\ \text{mV}=6.25\ \text{mV}从 628 mV 降到 6.67 mV，压低 94 倍（-39.5\ \text{dB}）。
第 5 步：稳定性同步改善。 加 R_1 后 \beta 在高频被钳在 R_1/(R_1+R_f)=1.5/11.5=0.1304，噪声增益上限 7.67，穿越频率
f_c\approx\frac{GBW}{7.67}=\frac{1\ \text{MHz}}{7.67}=130\ \text{kHz}\beta 的极点 1/(2\pi(R_1+R_f)C)=1.384\ \text{kHz}、零点 10.61\ \text{kHz}，在 130 kHz 处 \beta 的相位已经恢复到
\angle\beta=\arctan\frac{130}{10.61}-\arctan\frac{130}{1.384}=85.3^{\circ}-89.4^{\circ}=-4.1^{\circ}PM=180^{\circ}-90^{\circ}-4.1^{\circ}=86.0^{\circ}从 2.3^{\circ} 回到 86.0^{\circ}，电路从"几乎必振"变成"很稳"。
第 6 步：代价。 高于 10.61\ \text{kHz} 后不再是微分，而是增益 6.67 的比例放大。如果信号本身含 10 kHz 以上成分，这些成分会被"压平"而不是"微分"，产生相位与幅度失真。所以 R_1 必须按"最高有用信号频率"设计，而不是按噪声频率设计：R_1 越大越安静，但微分带宽越窄。
| 方案 | 1 MHz 处增益 | 1 mV 噪声输出 | f_c | PM |
|---|---|---|---|---|
| 理想微分器（无 R_1） | 628 | 628 mV | 39.9 kHz | 2.3^{\circ} |
| 加 R_1=1.5\ \text{k}\Omega | 6.67 | 6.67 mV | 130 kHz | 86.0^{\circ} |
4.3 算例三：求和积分器与电荷放大器
求和积分器：多路输入各经电阻汇入同一个虚地节点，输出对加权和积分：
V_{OUT}(t)=-\frac{1}{C}\int\left(\frac{V_1}{R_1}+\frac{V_2}{R_2}\right)dt权重仍由 1/R_k 决定，且虚地让各路互不影响（与加法、减法运算电路同一原理）。代价是每一路的直流误差都被同时积分，路数越多漂移越快，R_f 要按"所有路并联"重新核算。
电荷放大器：压电传感器是高输出阻抗的电荷源，把它接到反相端、反馈臂用电容 C_f，反相端的虚地把电荷"吸"进 C_f：
V_{OUT}=-\frac{Q}{C_f}取 C_f=1\ \text{nF}，Q=1\ \text{pC} 时 V_{OUT}=-1\ \text{mV}；灵敏度由 C_f 决定，与电缆长度几乎无关（电缆电容被虚地短路掉）。反馈电阻 R_f（典型 1\ \text{G}\Omega 量级）给 C_f 一条直流泄放通路，1\ \text{pA} 的漏电流就会产生 1\ \text{mV} 的偏移，所以必须用 FET/CMOS 输入运放、清洁的 PCB 与屏蔽电缆。详见V/I、I/V 转换与传感器接口。
5. 工程含义
5.1 数量级表
| 量 | 典型范围 | 备注 |
|---|---|---|
| R | 1\ \text{k}\Omega\sim1\ \text{M}\Omega | 太小则信号源负担重，太大则偏置与噪声 |
| C | 1\ \text{nF}\sim1\ \mu\text{F} | 小于 1 nF 时杂散电容占比大，大于 1 µF 时漏电与体积成问题 |
| \tau=RC | 10\ \mu\text{s}\sim1\ \text{s} | 由信号频率与输出幅度共同决定 |
| f_0=1/(2\pi\tau) | 0.16\ \text{Hz}\sim16\ \text{kHz} | 积分器"单位增益"频率 |
| R_f/R | 10\sim1000 | 直流增益，太小学积分带宽，太大漂移抑制不足 |
| f_p=1/(2\pi R_fC) | \le0.1f_{min} | 有效积分区间下限 |
| R_1（微分器） | R_f/\lvert H\rvert_{max} | 按最高有用频率反算 |
| R_f（电荷放大器） | 100\ \text{M}\Omega\sim10\ \text{G}\Omega | 需要低漏电、保护环 |
5.2 电容选型：漏电、介质吸收与电压系数
积分器的精度几乎完全由电容决定，三条必须看：
- 漏电（leakage）：漏电流与偏置电流一样直接给电容充电，形成漂移。电解电容漏电可达 µA 级，不适合做积分电容；C0G/NP0 与薄膜（PP、PPS）的绝缘电阻通常高得多（典型量级，以数据手册为准）。
- 介质吸收（dielectric absorption, DA）：电容"放电放不干净"，表现为积分器复位后输出缓慢回爬、三角波顶部出现"回勾"。C0G 与薄膜的 DA 通常远小于高 K 陶瓷（X7R/Y5V），后者在高精度积分里应避免（典型量级，以数据手册为准）。
- 电压系数与温度系数：高 K 陶瓷的容值随直流偏压和温度显著变化，C 变了 \tau 就变，三角波斜率随之漂移。C0G 的容值稳定性好得多，代价是同样容值下体积更大、成本更高。
工程结论：积分电容选 C0G/NP0 或薄膜，容值精度按 \tau 的精度要求反推。 1% 电阻 + 5% 电容 → \tau 最坏偏 6%，三角波幅度同比例偏 6%。
5.3 复位与清零的工程实现
- 机械/模拟开关跨接电容：最简单。断开瞬间会有电荷注入（charge injection），典型几 pC 到几十 pC。10\ \text{pC} 注入到 10\ \text{nF} 上是
之后还要等介质吸收回爬稳定，才能开始真正的积分。
- 复位后等待：等 3\sim5 倍 R_fC 再采样，让 DA 与开关的电荷重新分布完。
- 不要用"输入端接地"代替复位：输入接地只停止充电，电容上的电荷还在，输出保持不动——那是"暂停"，不是"清零"。
5.4 噪声、漂移与低频噪声增益
积分器的噪声增益 1/\beta=1+1/(sRC) 在低频趋于无穷。这不是数学游戏：运放的 1/f 噪声、失调 drift、输入偏置电流的漂移，全都被这个低频增益放大并积分，表现为输出缓慢爬行。三条对策：
- 限制直流增益（并 R_f），把 1/\beta 的低频渐近线从无穷压到 1+R_f/R。
- 降低输入端的直流误差：低 V_{OS}、低 I_B 的运放，输入端隔直。
- 压缩噪声带宽：在积分器之后再加一级低通，或在 R_f 上并小电容（与 R_f 形成高频极点）。
高频端的噪声增益趋于 1，所以积分器对宽带噪声的放大并不比跟随器差；真正难缠的是低频段。
5.5 布局与漏电流
- 高阻节点（反相端）必须短、必须干净：1\ \text{G}\Omega 级的反馈电阻上，1\ \text{pA} 漏电就是 1\ \text{mV}。助焊剂残留、指纹、潮湿都会把 PCB 表面电阻从 10^{12}\ \Omega 降到 10^{9}\ \Omega 量级（典型量级，实测为准）。
- 保护环（guard ring）：把反相端周围一圈用同电位（或缓冲后的同电位）驱动，切断表面漏电流路径。
- 电容与运放尽量靠近，减小反馈回路的寄生电容与拾取面积。
- 复位开关的走线不要穿过高阻节点，否则开关的寄生电容会把数字边沿耦合进积分节点。
5.6 模型什么时候不够用
- 频率接近 f_c：虚短失效，1/(sRC) 不再准确。
- 大信号/快边沿：压摆率与输出电流限决定三角波的最高斜率。
- 精密积分：DA、漏电、温漂、运放失调全部进入预算。
- 长积分时间：偏置电流的积分成为主导，必须用低 I_B 运放与低漏电电容。
- 单电源：输出只能单向摆动，必须偏置到 V_{CC}/2（见单电源电路与电平偏置搬移）。
6. 常见坑
现象：积分器没有输入时输出缓慢爬向正电源轨，几秒后贴死不动。原因：反馈电容没有直流通路，V_{OS} 与 I_B 持续给电容充电；R=10\ \text{k}\Omega、C=10\ \text{nF} 时漂移速率 (1\ \text{mV}/10\ \text{k}\Omega+25\ \text{nA})/10\ \text{nF}=12.5\ \text{V/s}。解决：反馈电容并联 R_f=(10\sim1000)R，把直流增益限制在有限值；或加复位开关定期清零。
现象：三角波的三个边"不直"，每段中间下凹，或者复位后输出回爬。原因：一是 R_f 取值过小（K=R_f/R 不够大），指数段太明显；二是电容介质吸收（高 K 陶瓷、电解电容）。解决：R_f 取 100R 以上，使 f_p\le0.1f_{min}；电容换 C0G/NP0 或薄膜。
现象：微分器输出全是高频毛刺，有用信号看不见。原因：|H|=2\pi fRC 随频率上升，1 MHz 处 628 倍，把电缆拾取的 1 mV 噪声放大到 628 mV。解决：输入电容串联 R_1=1/(2\pi f_{max}C)，把高频增益钳在 R_f/R_1；必要时在 R_f 上并 C_f 进一步压低高频。
现象：微分器一上电就自激，输出是几 MHz 的等幅振荡。原因：\beta 的极点 1/(2\pi RC) 在穿越频率之前贡献了接近 90^{\circ} 相位，PM 只剩约 2^{\circ}。解决：串 R_1 把 \beta 的高频值钳住（PM 回到 86^{\circ}），或在反馈臂并 C_f 引入零点；两者都要按最高有用频率设计，不能凭感觉取。
现象：积分器在单电源下只能输出正的三角波，负半周被削平。原因：单电源没有负摆幅，同相端又接地，输出静态点就是 0 V。解决：同相端偏置到 V_{CC}/2，输入输出交流耦合；或改用双电源。
现象：复位开关断开后输出不是 0，而是几十 mV 到几百 mV，且每次不一样。原因：开关的电荷注入（典型几 pC 到几十 pC）落在积分电容上，10\ \text{pC}/10\ \text{nF}=1\ \text{mV}；加上介质吸收的残余回爬。解决：复位后等待 3\sim5 个 R_fC 再开始积分；选低电荷注入的模拟开关；必要时软件扣除固定偏置。
现象：换了一只用"低噪声"运放，积分器输出反而更漂。原因：低频漂移由 V_{OS} 与 I_B 主导，与电压噪声密度无关；新器件可能 I_B 更大或 1/f 拐点更高。解决：按 V_{OS}、V_{OS} 温漂、I_B 选器件，而不是只看 e_n；参见失调电压、偏置电流与漂移。
7. 自测题
积分器 R=10\ \text{k}\Omega、C=10\ \text{nF}，输入一直保持 +1 V。输出以多快的速度变化？\pm15\ \text{V} 电源下多久撞轨？
时间常数 \tau=RC=10\ \text{k}\Omega\times10\ \text{nF}=100\ \mu\text{s}。
\left|\frac{dV_{OUT}}{dt}\right|=\frac{|V_{in}|}{RC}=\frac{1\ \text{V}}{100\ \mu\text{s}}=10\ \text{V/ms}方向为负（反相积分）。从 0 V 到 -15\ \text{V} 需要 15\ \text{V}/10\ \text{V/ms}=1.5\ \text{ms}。
注意：如果输入为 0，撞轨时间由失调与偏置电流决定，本例是 12.5\ \text{V/s}，撞轨要 1.2 s——比"有输入"慢得多，但方向是确定的，撞轨只是时间问题。
为什么实用积分器要在反馈电容上并联 R_f？它对 f_0=1/(2\pi RC) 有没有影响？
并联 R_f 是给直流（失调电压、偏置电流、输入直流分量）提供一条泄放通路，把直流增益从无穷大限制为 -R_f/R，防止输出漂移撞轨。它把极点从原点搬到 f_p=1/(2\pi R_fC)，只有在 f\gg f_p 时才保持积分特性。
对 f_0 没有影响：
|H(f_0)|=\frac{R_f/R}{\sqrt{1+(f_0/f_p)^2}}=\frac{K}{\sqrt{1+K^2}}\approx1因为 f_0/f_p=R_f/R=K，R_f 只决定下限拐点，\tau=RC 决定增益刻度。这正是"并 R_f 不破坏积分器"的定量依据。
1 kHz、±1 V 方波经 R=10\ \text{k}\Omega、C=10\ \text{nF} 的理想积分器，输出三角波的峰峰值是多少？换成实用积分器（R_f=1\ \text{M}\Omega）后幅度变多少？
理想积分器，半周期 T/2=0.5\ \text{ms}：
\Delta V_{OUT}=\frac{V_{in}}{RC}\cdot\frac{T}{2}=\frac{1}{100\ \mu\text{s}}\times0.5\ \text{ms}=5.000\ \text{V}峰峰值 5.000 V。
实用积分器：K=100、\tau_d=R_fC=10\ \text{ms}、\beta=e^{-0.5/10}=0.95123，
V_{pp}=2KV_{in}\frac{1-\beta}{1+\beta}=2\times100\times\frac{1-0.95123}{1+0.95123}=4.999\ \text{V}幅度只差 -0.02\%，但波形变成指数段：斜率从 10.25 V/ms 降到 9.75 V/ms（-4.88\%），与直线的最大偏差 31.2 mV（峰峰值的 0.625%）。幅度几乎不变，形状与斜率变了。
微分器 R=10\ \text{k}\Omega、C=10\ \text{nF}，1 mV 的 1 MHz 噪声在输出端有多大？为什么说它"理论上可以做、实际不能直接用"？
|H|=2\pi fRC=2\pi\times10^6\times10^4\times10^{-8}=628.3V_{OUT}=628.3\times1\ \text{mV}=628\ \text{mV}不能直接用的三个原因：① 增益随频率无限增长，噪声被无差别放大；② 输入阻抗 |Z_{in}|=1/(2\pi fC) 随频率下降，1 MHz 时只有 15.9 Ω，被源内阻严重分压；③ \beta 的极点 1/(2\pi RC)=1.59\ \text{kHz} 在穿越频率 39.9 kHz 之前贡献接近 90^{\circ} 相位，PM 只剩 2.3^{\circ}，极易自激。
为什么说"积分器的稳定性等价于跟随器"？微分器又为什么相反？
积分器 \beta=sRC/(1+sRC)，高频 \beta\to1、相位 \to0，于是 |T|\approx|A_{OL}|，穿越频率 f_c\approx GBW——与单位增益跟随器完全相同。低频的高噪声增益（1/\beta\to\infty）只影响精度与噪声，不改善稳定性。
微分器 \beta=1/(1+sRC)，高频 \beta\to0，穿越频率被 f_\beta=1/(2\pi RC) 拉低到 f_c\approx\sqrt{GBW\cdot f_\beta}，而在该频率上 \beta 的极点已经贡献了接近 -90^{\circ}，与运放主极点的 -90^{\circ} 叠加成 -180^{\circ}，PM 趋于 0。一个高频退化成跟随器，一个高频把相位吃光，方向完全相反。
实用微分器 R_f=10\ \text{k}\Omega、C=10\ \text{nF}，信号最高频率 10 kHz。R_1 取多少？高频增益被限制到多少？
R_1=\frac{1}{2\pi f_{max}C}=\frac{1}{2\pi\times10^4\times10^{-8}}=1.59\ \text{k}\Omega取 E96 值 1.58\ \text{k}\Omega。高频增益上限
|H|_{max}=\frac{R_f}{R_1}=\frac{10\ \text{k}\Omega}{1.58\ \text{k}\Omega}=6.33高于 f_h=1/(2\pi R_1C)\approx10.1\ \text{kHz} 后不再是微分而是增益 6.33 的比例放大。1 MHz 处 |H|=628.3/\sqrt{1+99.3^2}=6.33，正好被钳在 R_f/R_1 上，1 mV 噪声只放大到 6.33 mV，而不是 628 mV。
取舍：R_1 越大越安静，微分带宽越窄；必须按"最高有用信号频率"而不是"噪声频率"设计。
电荷放大器的输出为什么与电缆电容无关？C_f=1\ \text{nF}、R_f=1\ \text{G}\Omega 时，1 pC 电荷和 1 pA 漏电流各产生多大输出？
因为反相端是虚地，压电片产生的电荷全部被"吸"进反馈电容 C_f：
V_{OUT}=-\frac{Q}{C_f}电缆的并联电容接在压电片两端，一端是虚地，另一端是源，两端电压都近似不变，所以它不进入传递函数。
1\ \text{pC} 电荷：V_{OUT}=-1\ \text{pC}/1\ \text{nF}=-1\ \text{mV}。1\ \text{pA} 漏电流（R_f 或 PCB 表面）：V_{OUT}=1\ \text{pA}\times1\ \text{G}\Omega=1\ \text{mV}。
两者同量级——这就是电荷放大器必须用 FET/CMOS 输入运放、清洁 PCB、加保护环、用低噪声电缆的原因：1 pA 的漏电等于 1 pC 的信号。
8. 参考资料
- TI, Op Amps for Everyone（SLOD006B）：Chapter 6 Development of the Non-Ideal Op Amp Equations 给有限 A_{OL} 与 |T| 对闭环传递函数的修正；Chapter 16 Active Filter Design Techniques 把积分器作为"原点极点低通"处理，并给出有损积分器（lossy integrator）的设计口径。本章 3.2、3.3 节的讲法与该书一致。
- Sedra & Smith, Microelectronic Circuits（8th ed.）：Chapter 2 Operational Amplifiers，The Inverting Configuration with General Impedances 一节把 Z_1、Z_2 换成电容即得积分器与微分器；本章 3.1、3.4 的推导顺序与该节一致。
- 童诗白、华成英《模拟电子技术基础》：「信号的运算和处理」给积分运算电路、微分运算电路与"实用微分电路"的教材讲法；本章 3.3 节的三条修正与 3.5 节的 R_1 作用与该书口径一致。
- TI, Single-Supply Op-Amp Circuit Collection（SLOA058）：单电源积分器、微分器的偏置与交流耦合电路；本章 5.6 节与常见坑里的单电源处理按该文。
- Analog Devices, MT-033 Voltage Feedback Op Amp Gain and Bandwidth：噪声增益 1/\beta、环路增益与闭环带宽；本章 3.6 节"积分器高频退化为跟随器"的论证按该文的 f_c=GBW/(1/\beta) 口径。https://www.analog.com/media/en/training-seminars/tutorials/MT-033.pdf
- Sergio Franco, Design with Operational Amplifiers and Analog Integrated Systems（4th ed.）：有源滤波器部分对"有损积分器"、微分器噪声增益与稳定性的讨论；本章 3.6 节的相位分析与该书"稳定性只在环路增益上判断"的口径一致。