二阶滤波器 Sallen-Key 与 Q 值 Sallen-Key 2nd-Order Filter
1. 设计动机
一阶低通在截止频率以外只以 -20\ \text{dB/dec} 滚降。把截止频率设在 1 kHz、要压掉 10 kHz 的开关噪声，一阶只把它压到 -20\ \text{dB}，也就是还剩十分之一；如果噪声原本比信号高 40 dB，滤完仍比信号高 20 dB。二阶低通在同样频率处以 -40\ \text{dB/dec} 滚降，10 kHz 处是 -40\ \text{dB}，正好把 40 dB 的差距抹平。再往上，每增加一阶就多 -20\ \text{dB/dec}，但元件、运放和调试成本也随之一阶一阶地涨。
Sallen-Key 是二阶有源滤波里最省器件的结构之一：一只运放、两只电阻、两只电容，不用电感，输出阻抗低，直接带后级也不会被负载拖垮。它把“二阶”的两个极点做进了两节 RC 和一条从输出回到中间节点的电容通路里；这条通路是正反馈，专门在 f_0 附近把响应“顶”起来，所以 Q 可以做到远大于无源 RC 网络的 0.5。代价是：Q 不再是“顺带得到”的参数，而是必须算准、必须留容差、必须检查稳定边界的设计变量。
不懂 Sallen-Key 的工程师通常会在三个地方摔跤。第一，把“等值 R、等值 C”当成万能公式，结果 Q 只有 0.5，通带在 f_0 处已经掉了 6 dB，却以为自己做的是巴特沃斯。第二，把 Q 算得很高、把增益电阻取得很随意，换一批 1% 电阻后 Q 从 10 跑到 16，带内鼓包、时域振铃，甚至自激。第三，只看 f_0 对不对，不看运放的增益带宽积和相位裕度 PM，实际响应在高频变形。本章把这三个坑都拆成可复算的数字。
一阶滤波器的内容见一阶低通与高通；本章只讨论二阶及二阶以上的 Sallen-Key 结构。稳定性与相位裕度的完整判据见稳定性：伯德图、相位裕度与补偿；Q、阻尼比与带宽的通用定义见 RLC 电路与谐振。
2. 定义与直观：二阶低通在做什么
2.1 一句话定义与三个参数
二阶低通（second-order low-pass）是这样一个线性网络：它的传递函数分母里 s 的最高次是 2，通带内增益近似为常数，频率超过 f_0 后以 -40\ \text{dB/dec} 滚降。写成标准形式：
H(s)=\frac{K\omega_0^2}{s^2+\frac{\omega_0}{Q}s+\omega_0^2}其中 s 是拉普拉斯变量，单位 \text{rad/s}；K 是通带（直流）增益，无量纲；\omega_0=2\pi f_0 是自然角频率，单位 \text{rad/s}；f_0 是自然频率，单位 \text{Hz}；Q 是品质因数，无量纲；\zeta=1/(2Q) 是阻尼比，无量纲。三个参数的分工是：
- f_0 决定“拐在哪”，主要由 R、C 的乘积决定；
- Q 决定“拐得多急、拐点附近鼓不鼓”，由元件比值或增益 K 决定；
- K 决定通带放大量，Sallen-Key 里它同时会影响 Q，这是后面所有麻烦的根源。
2.2 电路结构：C_1 是那条“正反馈”通路
把图里的节点按信号流向读一遍：
- 输入 V_{in} 经 R_1 到节点 A，再经 R_2 到运放同相端 B；
- C_2 从 B 接地，是“第二只电容”；
- C_1 从 A 接到输出，把输出信号引回 A——这条通路与输入信号在 A 点同相叠加，是 Sallen-Key 的正反馈来源；
- 运放接成同相放大器，V_{out}=K V_B，K=1+R_b/R_a；反相端经 R_b 接输出、经 R_a 接地，构成运放自身的负反馈。
这里必须把两个“反馈”分开：运放自身的负反馈（输出经 R_b/R_a 回到反相端）保证它工作在线性区，才有虚短、虚断；C_1 的正反馈是滤波器网络内部的，不改变运放闭环的负反馈性质。换句话说，虚短、虚断的前提是运放处于负反馈闭环，Sallen-Key 满足这个前提；C_1 只是让网络在 f_0 附近的阻尼变小，Q 变大。把这一点记反，就会把“正反馈”误当成“运放接成了正反馈”，从而不敢用虚短，或者把稳定性判据用错地方。
2.3 虚短、虚断在这里怎么用
理想运放、线性区、负反馈闭环三个条件同时成立时：
- 虚断：同相端、反相端输入电流为零，所以 R_2 的电流全部流入 C_2，运放输入端不“吃”电流；
- 虚短：同相端与反相端电位相等，V_-=V_+=V_B。V_- 由输出经 R_b/R_a 分压得到，V_-=V_{out}R_a/(R_a+R_b)=V_{out}/K，与 V_{out}=K V_B 自洽。
如果运放已经进入非线性（输出撞轨、自激、上电饱和），虚短不再成立，下面的传递函数也随之失效——这是所有“算出来和示波器对不上”问题的第一检查项。
推秋千时，如果每次都在秋千往回摆的瞬间推，它会越荡越高；推的相位不对，或者推得太猛，秋千会翻过去。Sallen-Key 的 C_1 就是那只“在正确相位推一把”的手：它把输出的一部分送回到节点 A，让 A 点在 f_0 附近的电压比没有它时更高，等效于减小阻尼、抬高 Q。K 越大，这只手推得越猛；K 接近某个边界时，阻尼被推到零，秋千就停不下来了——这就是自激。
3. 定量关系：f_0、Q 与元件比值
3.1 节点方程与传递函数
对节点 A、B 列 KCL。设 A 点电位 V_A、B 点电位 V_B，运放同相端电流为零：
\frac{V_{in}-V_A}{R_1}=\frac{V_A-V_B}{R_2}+sC_1(V_A-V_{out})\frac{V_A-V_B}{R_2}=sC_2V_B又因为 V_{out}=K V_B，把 V_A=V_B(1+sR_2C_2) 代入第一式，消去 V_A、V_B，整理得到：
H(s)=\frac{K}{1+s\left[C_2(R_1+R_2)+R_1C_1(1-K)\right]+s^2R_1R_2C_1C_2}与标准二阶形式逐项对照：
\omega_0=\frac{1}{\sqrt{R_1R_2C_1C_2}},\qquad f_0=\frac{1}{2\pi\sqrt{R_1R_2C_1C_2}}Q=\frac{\sqrt{R_1R_2C_1C_2}}{C_2(R_1+R_2)+R_1C_1(1-K)}符号与单位：
| 符号 | 含义 | 单位 | 备注 |
|---|---|---|---|
| R_1,R_2 | 两级串联电阻 | \Omega | 取值 1 k$\Omega$~100 k$\Omega$ 较常见 |
| C_1 | 从节点 A 到输出的反馈电容 | F | 决定正反馈强弱 |
| C_2 | 从同相端到地的电容 | F | 与 R_1+R_2 一起决定阻尼 |
| K | 同相增益，K=1+R_b/R_a | 无量纲 | K\geq1 |
| f_0 | 自然频率 | Hz | 不是“-3\ \text{dB} 频率”，两者只在 Q=0.707 时重合 |
| Q | 品质因数 | 无量纲 | 峰值与阻尼由它决定 |
| \zeta | 阻尼比 | 无量纲 | \zeta=1/(2Q) |
适用条件：理想运放、线性区、负反馈闭环、元件为线性时不变、忽略运放输入电容与输出电阻。失效边界：运放进入非线性、Q 高到极点进入右半平面、运放 GBW 不足导致高频附加相移、电容介质随电压/温度变化。
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由第二式得 V_A=V_B(1+sR_2C_2)。第一式两边乘 R_1：
V_{in}-V_A=R_1\left[\frac{V_A-V_B}{R_2}+sC_1(V_A-KV_B)\right]把 V_A 代入，按 V_B 合并：
V_{in}=V_B\left\{1+s\left[C_2(R_1+R_2)+R_1C_1(1-K)\right]+s^2R_1R_2C_1C_2\right\}两边除以 V_{in}、再用 V_{out}=K V_B，即得 §3.1 的 H(s)。注意 s 项里的 (1-K)：K 越大，这一项越小，阻尼越小，Q 越大；当它被减到 0 时，s 项消失，极点落在虚轴上，电路进入等幅振荡。
3.2 几种常见取值下的简化式
设计时不会每次都从一般式算，先把几种常用取值的简化式背下来，再决定用哪一种。
（a）单位增益、等值电阻：K=1，R_1=R_2=R。 这是最容易算、Q 最稳的一种，代价是 Q 只能靠 C_1/C_2 调：
f_0=\frac{1}{2\pi R\sqrt{C_1C_2}},\qquad Q=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{C_1}{C_2}}复算：R_1=R_2=R 时，Q=\dfrac{R\sqrt{C_1C_2}}{C_2\cdot2R}=\dfrac12\sqrt{\dfrac{C_1}{C_2}}。
（b）等值电阻、等值电容、增益设定 Q：R_1=R_2=R，C_1=C_2=C。 这时 f_0=1/(2\pi RC)，Q 只由 K 定：
Q=\frac{1}{3-K},\qquad K=1+\frac{R_b}{R_a}巴特沃斯 Q=1/\sqrt2=0.7071 对应 3-K=\sqrt2，即 K=1.5858，R_b/R_a=0.5858。
（c）反相型多路反馈（MFB）。 Sallen-Key 是同相结构；需要反相输出时，可以换成 MFB。它的 Q 与增益耦合更紧，元件灵敏度也不同，具体取舍见 §5.2 与 带通与带阻滤波器。
（d）高通：把串联电阻换成串联电容。 低通的信号通路是“R_1、R_2 串联”，高通把它换成“C_1、C_2 串联”；低通的 C_1（节点 A 到输出）在高通里换成 R_1（节点 A 到输出），低通的 C_2（同相端到地）换成 R_2（同相端到地）。对节点 A、B 列 KCL：
\frac{V_{in}-V_A}{1/(sC_1)}=\frac{V_A-V_B}{1/(sC_2)}+\frac{V_A-V_{out}}{R_1}\frac{V_A-V_B}{1/(sC_2)}=\frac{V_B}{R_2}再用 V_{out}=K V_B 消去 V_A、V_B，整理得
H_{HP}(s)=\frac{Ks^2R_1R_2C_1C_2}{1+s\left[C_1R_1+C_2R_1+C_2R_2(1-K)\right]+s^2R_1R_2C_1C_2}对照标准形式，f_0 仍是 1/(2\pi\sqrt{R_1R_2C_1C_2})，Q 变成
Q=\frac{\sqrt{R_1R_2C_1C_2}}{R_1(C_1+C_2)+C_2R_2(1-K)}等值 R、C 时同样简化为 Q=1/(3-K)：K=1.586 是巴特沃斯，K=2.9 是 Q=10。高通在 f_0 处的增益是 KQ，高频通带增益是 K；Q=0.707 时 f_0 处相对高频通带为 -3\ \text{dB}，Q=10 时 f_0 处比高频通带高 20 dB。低通的结论（Q=1/(3-K)、等值时的 K<3 边界、Q 的灵敏度）对高通同样成立，只是输入输出角色互换。
取等值 R=15.8\ \text{k}\Omega、C=10\ \text{nF}、K=2.9：f_0=1007\ \text{Hz}、Q=10、f_0 处增益 KQ=29（29.2\ \text{dB}），高频通带增益 2.9（9.2\ \text{dB}）。这就是带通与带阻滤波器里 1 kHz/Q=10 带通的低端那半节：它挡住 f_0 以下的频率，并在 f_0 处形成 Q=10 的峰。
3.3 Q 与元件比值：两张表
表一：单位增益、R_1=R_2=R 时，Q 随 C_1/C_2 变化。 用 Q=0.5\sqrt{C_1/C_2} 复算：
| C_1/C_2 | Q | 峰值（dB） | 形态 |
|---|---|---|---|
| 0.25 | 0.250 | 0 | 过阻尼，通带下垂 |
| 0.5 | 0.354 | 0 | 过阻尼 |
| 1 | 0.500 | 0 | 临界阻尼，f_0 处 -6.02\ \text{dB} |
| 2 | 0.707 | 0 | 巴特沃斯，最大平坦 |
| 4 | 1.000 | 1.25 | 轻微鼓包 |
| 10 | 1.581 | 4.44 | 明显鼓包 |
| 100 | 5.000 | 14.02 | 高 Q，窄峰 |
| 400 | 10.000 | 20.01 | 很高 Q，对容差敏感 |
表二：等值 R、等值 C 时，Q 随 K 变化。 用 Q=1/(3-K) 复算：
| K | 1+R_b/R_a 示例 | Q | 峰值（dB） |
|---|---|---|---|
| 1.0 | R_b=0 | 0.500 | 0 |
| 1.5 | R_b/R_a=0.5 | 0.667 | 0 |
| 1.586 | R_b/R_a=0.586 | 0.707 | 0 |
| 2.0 | R_b/R_a=1 | 1.000 | 1.25 |
| 2.5 | R_b/R_a=1.5 | 2.000 | 6.30 |
| 2.9 | R_b/R_a=1.9 | 10.000 | 20.01 |
| 2.99 | R_b/R_a=1.99 | 100.000 | 40.00 |
很多资料看到分母里的 3-K，就记成“等值时 Q=1/3”。这是把分母的 3 当成了 Q 的分母。实际代入 K=1：3-K=2，Q=1/2=0.5，不是 0.333。复算一遍：K=1、R_1=R_2=R、C_1=C_2=C 时，s 项系数是 C(R+R)+RC(1-1)=2RC，除以 \sqrt{R^2C^2}=RC，得 1/Q=2，所以 Q=0.5。
Q=1/3 确实会出现，但它属于等值 Wien 网络（\beta 的分母是 s^2R^2C^2+3sRC+1）或某些 MFB 拓扑，不属于这个 Sallen-Key 低通。更关键的是：在 K\geq1 的 Sallen-Key 里，等值 R、C 的 Q=1/(3-K) 只能从 0.5 往上走，根本到不了 0.333；想用等值取值做巴特沃斯，必须把 K 精确设到 1.586，而不是“等值就自然平”。
现象：按“等值 R、等值 C”搭好，测到 f_0 处比通带低 6 dB，以为电路坏了。原因：单位增益时 Q=0.5，f_0 处本来就比直流低 20\lg(0.5)=-6.02\ \text{dB}。解决：把 C_1 取成 2C_2（单位增益巴特沃斯），或把 K 设到 1.586；两种做法只能选一种，不能既等值又巴特沃斯。
3.4 稳定边界不是永远 K<3
从 Q 的分母看，稳定的必要条件是分母的 s 项系数大于零：
C_2(R_1+R_2)+R_1C_1(1-K)>0即
K<1+\frac{C_2(R_1+R_2)}{R_1C_1}等值 R、C 时右边是 1+(R+R)/R=3，所以“K<3”只是这个特例，不是普遍规律。换一组比值，边界会变：
| R_1 | R_2 | C_1 | C_2 | K_{\max}=1+\dfrac{C_2(R_1+R_2)}{R_1C_1} |
|---|---|---|---|---|
| 1 k$\Omega$ | 1 k$\Omega$ | 10 nF | 10 nF | 3.0 |
| 1 k$\Omega$ | 1 k$\Omega$ | 20 nF | 10 nF | 2.0 |
| 1 k$\Omega$ | 2 k$\Omega$ | 10 nF | 10 nF | 4.0 |
| 1 k$\Omega$ | 1 k$\Omega$ | 10 nF | 22 nF | 5.4 |
这张表解释了两件事：第一，从滤波器网络的极点看，单位增益（K=1）的 Sallen-Key 对任何正元件都稳定，因为 1<1+\text{正数} 恒成立；第二，增益设定 Q 的结构把稳定性押在 K 上，K 越靠近边界，Q 越高、越危险。设计高 Q 时，先算 K_{\max}，再让 K 留出至少 10% 的余量；不要背“K<3”就到处套。
3.5 Q 过高：峰值、峰值频率与振铃
Q 大于 1/\sqrt2=0.7071 时，幅频曲线出现峰值。峰值大小和峰值频率分别是：
M_r=\frac{Q}{\sqrt{1-\frac{1}{4Q^2}}}\quad(Q>0.7071),\qquad f_p=f_0\sqrt{1-\frac{1}{2Q^2}}复算 Q=2：M_r=2/\sqrt{1-1/16}=2/\sqrt{0.9375}=2.0656，即 20\lg(2.0656)=6.30\ \text{dB}；f_p=f_0\sqrt{1-1/8}=0.9354f_0。Q=10：M_r=10/\sqrt{1-1/400}=10/\sqrt{0.9975}=10.0125，即 20.01\ \text{dB}；f_p=0.9975f_0。
| Q | \zeta=1/(2Q) | 峰值 M_r | 峰值 dB | f_p/f_0 | 阶跃过冲 M_p（时域） |
|---|---|---|---|---|---|
| 0.5 | 1.000 | 1.000 | 0 | — | 0 |
| 0.707 | 0.707 | 1.000 | 0 | — | 4.3% |
| 1.0 | 0.500 | 1.155 | 1.25 | 0.707 | 16.3% |
| 2.0 | 0.250 | 2.066 | 6.30 | 0.935 | 44.4% |
| 5.0 | 0.100 | 5.025 | 14.02 | 0.990 | 72.9% |
| 10.0 | 0.050 | 10.013 | 20.01 | 0.998 | 85.4% |
归一化幅频曲线（相对直流增益 K，横轴 f/f_0，数据由 |H|=1/\sqrt{(1-x^2)^2+x^2/Q^2} 逐点计算）：
时域过冲用 M_p=e^{-\pi\zeta/\sqrt{1-\zeta^2}} 复算，例如 Q=2、\zeta=0.25：M_p=e^{-0.7854/\sqrt{0.9375}}=e^{-0.8112}=0.444，即 44.4%。频域峰值和时域过冲是同一组极点的两个侧面：Q 高，频域鼓包，时域振铃；两者不能只看一个。
还要注意一个容易混的口径：这里的“带宽”不是 f_0/Q。f_0/Q 是带通/带阻的半功率带宽定义；二阶低通的 -3\ \text{dB} 频率（相对直流增益）由
(1-x^2)^2+\frac{x^2}{Q^2}=2,\qquad x=\frac{f_{-3\text{dB}}}{f_0}解出。Q=0.5 时 x=0.6436；Q=0.707 时 x=1.000；Q=1 时 x=1.272；Q=10 时 x=1.551。低通的“拐点”随 Q 升高反而往外推，这和带通的“Q 越高带宽越窄”方向相反，别把两套口径混用。
3.6 Q 的灵敏度：为什么高 Q 设计难
Q 对元件的敏感程度决定了“算得准”能不能变成“做得准”。用对数灵敏度
S_x^Q=\frac{x}{Q}\frac{\partial Q}{\partial x}衡量 x 变化 1% 时 Q 变化百分之几。
增益设定 Q 的结构：Q=1/(3-K)，K=1+R_b/R_a。对 K 求导：
S_K^Q=\frac{K}{Q}\cdot\frac{1}{(3-K)^2}=\frac{K}{3-K}=KQ这个式子很残酷：Q=0.707 时 S_K^Q=1.12，1% 的 K 误差只让 Q 变 1.1%；Q=10 时 S_K^Q=29，1% 的 K 误差让 Q 变 29%。而 K 由两只电阻的比值决定，1% 电阻的比值误差最坏约 2%，折算到 K 上的误差约 1.3%（1.9\times2\%/2.9=1.31\%）；于是 Q=10 的 Q 误差约 38%，Q 范围约 7.3~16.2（§4.5 复算）。
单位增益、等值电阻的结构：Q=0.5\sqrt{C_1/C_2}，对 C_1/C_2 的灵敏度是
S_{C_1/C_2}^Q=\frac12也就是电容比值变 1%，Q 只变 0.5%。这就是为什么同样要 Q=0.707，单位增益 + 电容比值的方案比等值 + 增益设定的方案更抗容差；代价是电容比值要准，Q=10 时 C_1/C_2=400，比值本身不容易做得很准。
| 结构 | Q 由什么定 | 灵敏度 | Q=0.707 时 1% 误差 | Q=10 时 1% 误差 |
|---|---|---|---|---|
| 单位增益、R_1=R_2 | C_1/C_2 | S_{C_1/C_2}^Q=1/2 | 0.5% | 0.5% |
| 等值 R、C、增益设定 | K=1+R_b/R_a | S_K^Q=KQ | 1.12% | 29% |
4. 典型计算：10 kHz 巴特沃斯低通
4.1 需求与拓扑选择
需求：f_0=10\ \text{kHz}，巴特沃斯（最大平坦，Q=1/\sqrt2=0.7071），通带增益 1（单位增益），只用一只运放。选单位增益、R_1=R_2=R、用 C_1/C_2 定 Q 的拓扑：它把“增益”和“Q”解耦，Q 只由电容比值定，1% 电阻不会把 Q 推跑。
4.2 从 Q 反推 C_1/C_2
由 Q=\frac12\sqrt{C_1/C_2} 反解：
\frac{C_1}{C_2}=(2Q)^2=(2\times0.7071)^2=1.4142^2=2.000取 C_2=10\ \text{nF}（C0G/NP0，1%），则 C_1=20\ \text{nF}。20 nF 不是 E12 的整数档，实用做法是两只 10 nF 并联：比值精确为 2.000，而且同批次、同介质，温漂一致。若改用 E12 的 22 nF，C_1/C_2=2.2，Q=0.5\sqrt{2.2}=0.7416（比目标高 4.9%），峰值约 +0.036\ \text{dB}，仍接近平坦，但已不是严格的巴特沃斯。
4.3 取 E96 电阻，算实际 f_0 与 Q
由 f_0=1/(2\pi R\sqrt{C_1C_2}) 反解：
R=\frac{1}{2\pi f_0\sqrt{C_1C_2}}=\frac{1}{2\pi\times10^4\times\sqrt{20\times10^{-9}\times10\times10^{-9}}}=\frac{1}{2\pi\times10^4\times14.142\times10^{-9}}=1125.4\ \Omega取 E96 的 1.13 k$\Omega$（1% 金属膜）。实际
f_0=\frac{1}{2\pi\times1130\times14.142\times10^{-9}}=9959.3\ \text{Hz}相对 10 kHz 低 0.41%，在 1% 电阻的容差内。实际 Q 仍由电容比值决定：
Q=\frac12\sqrt{\frac{20\ \text{nF}}{10\ \text{nF}}}=0.70714.4 1% 容差的最坏偏差
电阻：两只 1.13 k$\Omega$ 的 1% 电阻，最坏情况一只 +1%、一只 -1%。Q 的完整式是
Q=\frac12\sqrt{\frac{C_1}{C_2}}\cdot\frac{2\sqrt{R_1R_2}}{R_1+R_2}后一个因子在 R_1=R_2 处对失配是二阶不敏感的：R_1=1.01R、R_2=0.99R 时，2\sqrt{0.9999}/2=0.999975，Q 只从 0.70711 降到 0.70707，变化 -0.005\%。电阻容差主要影响 f_0：两只同向 +1% 时 f_0 降 1.0%（9860.6 Hz），反向时只变 +0.005\%（9959.7 Hz）。
电容：C0G 1% 电容的比值最坏为 1.01/0.99=1.0202 或 0.99/1.01=0.9802；标称 C_1/C_2=2，所以实际比值是 2\times1.0202=2.0404 或 2\times0.9802=1.9604，对应
Q=0.5\sqrt{2.0404}=0.7142\quad\text{或}\quad Q=0.5\sqrt{1.9604}=0.7001即 +1.0\% 或 -1.0\%。峰值从 0 dB 变成 +0.0017\ \text{dB}（Q=0.7142）或仍为 0 dB（Q=0.7001，无峰值）。若用 5% 电容，相对比值因子是 1.05/0.95=1.105 或 0.95/1.05=0.905，实际 C_1/C_2=2.21 或 1.81，Q 到 0.7434 或 0.6726，峰值 +0.040\ \text{dB} 或 0 dB——峰值变化仍然很小，因为巴特沃斯点附近峰值对 Q 是二阶不敏感的；真正明显的是 f_0 和带边形状。
| 容差项 | 最坏 Q | 峰值变化 | 对应 f_0 偏移 | f_0 最坏偏移（另一组合） |
|---|---|---|---|---|
| 1% 电阻（反向） | 0.70707 | 0 | +0.005\% | -1.0\%（同向） |
| 1% 电容（反向） | 0.7001~0.7142 | 0~+0.0017\ \text{dB} | +0.005\% | -1.0\%（同向） |
| 5% 电容（反向） | 0.6726~0.7434 | 0~+0.040\ \text{dB} | +0.125\% | -4.76\%／+5.26\%（同向） |
这张表给出一个反直觉但重要的结论：在这个拓扑里，1% 电阻不会把 Q 推跑，Q 由电容比值定；想把 Q 做准，先保电容比值，而不是盲目把电阻换成 0.1%。反过来，电容同向漂移 1% 时 Q 几乎不变，但 f_0 会偏 1.0%；5% 电容同向漂移时 f_0 偏 4.76%（两只都 +5%）或 5.26%（两只都 −5%），最坏 5.26%。表中的 f_0 偏移是单项贡献；电阻与电容同时同向偏 1% 时，两项叠加，f_0 最坏偏约 2.0%（1/(1.01\times1.01)=0.9803）。任务书里“用 1% 电阻算 Q 的最坏偏差”如果指的是“等值 R、C + 增益设定 Q”的结构，答案会完全不同，见下一节。
4.5 对照：等值 R、C + 增益设定 Q 的容差
同样 f_0=10\ \text{kHz}、Q=0.7071，换第二种拓扑：C_1=C_2=10\ \text{nF}，R_1=R_2=R=1/(2\pi\times10^4\times10\ \text{nF})=1591.5\ \Omega，取 E96 的 1.58 k$\Omega$；K=1.5858，取 R_a=10\ \text{k}\Omega、R_b=5.86\ \text{k}\Omega。实际 f_0=1/(2\pi\times1580\times10\ \text{nF})=10074\ \text{Hz}\ (\approx10.07\ \text{kHz})。
R_b/R_a 的 1% 最坏比值是 0.586\times(1.01/0.99)=0.5978 或 0.586\times(0.99/1.01)=0.5745，对应 K=1.5978 或 1.5745，Q=1/(3-K)=0.7132 或 0.7015。峰值 +0.0012\ \text{dB} 或 0 dB——在巴特沃斯点附近仍然很小。但把同样的 1% 电阻放到 Q=10（K=2.9）：
K=2.9\pm0.038\ \Rightarrow\ Q=\frac{1}{3-K}=7.27\sim16.23峰值从 20.01 dB 变成 17.25 dB 或 24.21 dB，跨度 7 dB（+4.20/−2.76 dB）；按 f_0/Q 口径，带宽从 1.0 kHz 变成 1.376 kHz 或 0.616 kHz（二阶低通的 −3 dB 点是另一回事，约 15.6 kHz，不能拿 f_0/Q 当低通带宽）。这个对照说明：高 Q 的 Sallen-Key 不能把 Q 押在 1% 电阻的增益比上；要么用单位增益 + 电容比值（Q 稳，但高 Q 需要大比值），要么用 0.1% 电阻/微调，要么换状态变量等 Q 与增益解耦的结构。
4.6 验算：通带、阻带与运放带宽
幅频验算（Q=0.7071 的巴特沃斯）：
- f=f_0：|H|=K/\sqrt2=0.7071，相对通带 -3.01\ \text{dB}；
- f=2f_0：|H|=1/\sqrt{1+2^4}=1/\sqrt{17}=0.2425，-12.30\ \text{dB}；
- f=10f_0：|H|=1/\sqrt{1+10^4}=0.0099995，-40.00\ \text{dB}；
- f=100f_0：-80.00\ \text{dB}。
注意 10f_0 处是 -40.00\ \text{dB}，不是“差不多 -40”：巴特沃斯的 |H|^2=1/(1+x^4)，x=10 时 x^4=10^4，分母 10001，|H|=0.0099995，20\lg=-40.0004\ \text{dB}。
运放带宽：Sallen-Key 的 Q 依赖运放在 f_0 处的开环增益。经验规则是 GBW\geq100f_0（Q\leq1 时），Q=10 时留到 500f_0 以上并仿真确认；10 kHz、Q=0.707 选 GBW\geq1\ \text{MHz} 的通用运放即可。运放自身的相位裕度 PM 要按稳定性：伯德图、相位裕度与补偿的方法核对，目标至少 45^{\circ}，通常取 60^{\circ}；滤波器的 Q 和运放的 PM 不是同一个量，前者是闭环频响的峰，后者是运放自身环路在穿越频率处的稳定余量。
- R_1=R_2=1.13\ \text{k}\Omega，1% 金属膜；
- C_2=10\ \text{nF}，C0G/NP0，1%；
- C_1=2\times10\ \text{nF} 并联，C0G/NP0，1%；
- 运放：单位增益稳定，GBW\geq1\ \text{MHz}，输入偏置电流在 1.13 k$\Omega$ 上产生的失调可忽略；
- 实测预期：f_0=9.96\ \text{kHz}，Q=0.707，10f_0 处 -40\ \text{dB}；
- 若把 C_1 换成 22 nF，Q=0.742，峰值 +0.036\ \text{dB}，f_0 变为 1/(2\pi\times1130\times\sqrt{22\text{n}\times10\text{n}})=1/(2\pi\times1130\times14.832\text{n})=9497\ \text{Hz}，偏低 5.0%。
5. 工程含义：从纸面 Q 到能用的电路
5.1 Q 的选择：巴特沃斯、贝塞尔、切比雪夫
| 响应 | Q | 特点 | 典型用途 |
|---|---|---|---|
| 贝塞尔（Bessel） | 0.577 | 群时延最平，过冲小，过渡带最缓 | 脉冲、方波、图像 |
| 巴特沃斯（Butterworth） | 0.707 | 通带最大平坦，过渡带居中 | 通用抗混叠、测量 |
| 切比雪夫（Chebyshev） | >0.707 | 通带有纹波，过渡带更陡 | 对选择性要求高、允许纹波 |
| 高 Q（如 5~10） | 5~10 | 窄带、强峰值、振铃 | 窄带选频、谐振 |
巴特沃斯不是“最好”，只是“通带最平”；脉冲场合选贝塞尔，窄带选高 Q。选错响应类型，后面怎么调元件都不对。
5.2 元件取值与数量级
- 先定 C 再算 R：kHz 级取 C=1\ \text{nF}\sim100\ \text{nF}，R 落在 1 k$\Omega$~100 k$\Omega$；MHz 级取 100 pF~1 nF。C 太大，R 太小、信号源负载重；C 太小，R 太大、偏置电流和噪声问题突出。
- 电容介质：C0G/NP0，1% 或 5%；X7R 的电容随直流偏压和温度变化，会把 f_0 和 Q 一起拖走；电解电容只适合做隔直，不适合做滤波定时。
- 电阻：1% 金属膜；高 Q 的增益设定结构用 0.1% 或微调电位器。电阻的热噪声按 \sqrt{4kTR\Delta f} 估算（k 为玻尔兹曼常数，T 为绝对温度，\Delta f 为噪声带宽），第一级 R 越大噪声越大。
- 增益电阻：R_a、R_b 取 10 k$\Omega$~100 k$\Omega$；太小增加运放输出负载，太大受偏置电流和输入电容影响。R_b 与 R_a 的比值决定 K，要按 E96 实际值反算 K 和 Q，不要只写标称值。
- 运放选型：GBW\geq100f_0（Q≤1）或 500f_0（Q=10）；单位增益稳定；输入共模范围覆盖工作点；输出摆幅满足后级；容性负载按稳定性：伯德图、相位裕度与补偿加隔离电阻。
5.3 稳定性与布局
Sallen-Key 的稳定性有两层：
- 滤波器网络的极点：由 §3.4 的 K_{\max} 决定。K 越接近边界，Q 越高，极点越靠近虚轴；到边界上，理论 Q 无穷大，实际会自激。
- 运放自身的环路：由 A_{OL}、\beta、T=A_{OL}\beta 和 PM 决定。C_1 接在输出与节点 A 之间，会把输出电容负载的一部分“看”进运放环路；C_1 越大、R_1 越小，高频越容易出问题。噪声增益 1/\beta=K 越高，运放的闭环带宽越低，通常越稳；但 K 高又推高滤波器 Q，两个方向要一起权衡。
布局上，节点 A 是高阻节点，C_1 的走线要短，避免与输出大电流路径并行；C_2 的地要就近回到运放的地；增益分压 R_a、R_b 靠近反相端，减少寄生电容。高 Q 时，节点 A 的寄生电容会改变 f_0 和 Q，打样后要用网络分析仪或频率扫描实测。
5.4 单电源、直流与噪声
- 直流增益：直流下 C_1、C_2 开路，R_1、R_2 直通，V_{out}=K V_{in}。Sallen-Key 低通不隔直，输入直流会按 K 放大；需要隔直时在输入或输出加耦合电容，但耦合电容会与输入阻抗形成额外的高通转折，要一起算。
- 单电源：交流信号必须偏置在 V_{cc}/2 附近；同相端 B 的直流电位由偏置网络设定，R_1、R_2 会与偏置网络分压。不要直接把输入接地，否则负半周被削。
- 噪声：R_1、R_2 的热噪声被运放同相放大；C_1 把输出噪声引回节点 A，形成频率相关的噪声增益。低噪声设计的第一级尽量用低阻值、低噪声运放，并把带宽限制在需要的范围内。
- 失调：运放输入失调电压被 K 放大；高 Q 结构的直流精度通常不是重点，但如果后级是直流耦合，要算失调预算。
6. 常见坑
- 现象：按“等值 R、等值 C”搭好，f_0 处比通带低 6 dB，以为滤波失败。原因：单位增益时 Q=0.5，f_0 处本来就是 -6.02\ \text{dB}，不是巴特沃斯。解决：把 C_1 取成 2C_2，或把 K 设到 1.586；先确认自己要做的是哪一种响应。
- 现象：K 调到 2.9 附近，输出在 f_0 上持续振荡，输入不接也有。原因：3-K=0.1，Q=10，极点非常靠近虚轴；1% 增益电阻就能把 K 推到 2.938，Q 到 16，稍有寄生相移就自激。解决：K 留 10% 余量、用 0.1% 电阻或微调；高 Q 改用 Q 与增益解耦的结构（单位增益 + 电容比值，或状态变量滤波器）。
- 现象：Q 设计成 0.707，实测只有 0.5 左右，通带下垂。原因：C_1、C_2 接反。C_1 是反馈电容（A 到输出），C_2 是同相端到地；接反后 Q=0.5\sqrt{C_2/C_1}=0.354。解决：按原理图核对标号，PCB 丝印把 C_1、C_2 标清楚。
- 现象：换了一批电容后 f_0 偏 10%，Q 也变了。原因：用了 X7R 或电解电容，容值随直流偏压、温度变化；或者电容容差是 10%。解决：C0G/NP0、1%；C_1、C_2 同批次；打样后实测 f_0。
- 现象：低频响应正常，高频出现额外鼓包或振荡。原因：运放 GBW 不足，或 C_1 把容性负载引入环路，PM 不够。解决：按 GBW\geq100f_0（Q≤1）/ 500f_0（Q=10）选型；输出串 10~100 \Omega 隔离电阻；按稳定性：伯德图、相位裕度与补偿核对 PM。
- 现象：单电源供电时输出负半周被削，或直流工作点漂到轨。原因：同相端没有偏置到 V_{cc}/2，或输入直流被 K 放大。解决：用 R_1、R_2 之前的偏置网络或输入耦合电容把工作点定在 V_{cc}/2；核算 K 对失调的放大。
7. 自测题
Sallen-Key 低通取 R1=R2=10 kΩ、C1=20 nF、C2=10 nF、单位增益，求 f0、Q，并说明 f0 处比通带低多少 dB。
f_0=\frac{1}{2\pi\times10^4\times\sqrt{20\text{n}\times10\text{n}}}=\frac{1}{2\pi\times10^4\times14.142\text{n}}=1125\ \text{Hz}Q=\frac12\sqrt{\frac{20}{10}}=0.7071f_0 处 |H|=KQ=1\times0.7071，即比通带低 20\lg(0.7071)=-3.01\ \text{dB}，正好是巴特沃斯的 -3\ \text{dB} 点。
等值 R、等值 C 的 Sallen-Key 低通，单位增益时 Q 是多少？有人说 Q=1/3，错在哪里？要做巴特沃斯，K 应该取多少？
Q=1/(3-K)，K=1 时 Q=1/2=0.5，不是 1/3。分母里的 3 是 3-K 的常数项，不是 Q 的分母；Q=1/3 属于等值 Wien 网络或某些 MFB 拓扑，不属于这个 Sallen-Key 低通。
巴特沃斯 Q=1/\sqrt2=0.7071，由 Q=1/(3-K) 得 K=3-1/Q=3-1.4142=1.5858，即 R_b/R_a=0.5858。
设计 f0=1 kHz、Q=10 的等值 R、C Sallen-Key 低通，K 取多少？若两只增益电阻各有 1% 误差，Q 的最坏范围是多少？峰值怎么变？
Q=1/(3-K)=10，K=2.9，R_b/R_a=1.9。
1% 电阻的比值最坏为 1.9\times(1.01/0.99)=1.938 或 1.9\times(0.99/1.01)=1.862，对应 K=2.938 或 2.862：
Q=\frac{1}{3-2.938}=16.2,\qquad Q=\frac{1}{3-2.862}=7.25峰值 M_r=Q/\sqrt{1-1/(4Q^2)}：Q=16.2 时约 +24.2\ \text{dB}，Q=7.25 时约 +17.2\ \text{dB}，变化约 \pm3.5\ \text{dB}。高 Q 不能押在 1% 增益电阻上。
单位增益、R1=R2=1.13 kΩ、C2=10 nF，要 Q=0.707，C1 取多少？取 C1=20 nF 时 f0 是多少？
Q=\frac12\sqrt{C_1/C_2}=0.7071，所以 C_1/C_2=(2Q)^2=2，C_1=20\ \text{nF}。
f_0=\frac{1}{2\pi\times1130\times\sqrt{20\text{n}\times10\text{n}}}=9959\ \text{Hz}\approx9.96\ \text{kHz}R1=1 kΩ、R2=2 kΩ、C1=10 nF、C2=10 nF 的 Sallen-Key 低通，K 的稳定边界是多少？单位增益是否安全？
K_{\max}=1+\frac{C_2(R_1+R_2)}{R_1C_1}=1+\frac{10\text{n}\times3\text{k}}{1\text{k}\times10\text{n}}=1+3=4K=1 远小于 4，单位增益安全。但若把它接成 K=3.9 的高 Q 结构，就只剩 2.5% 的余量，1% 电阻的误差就可能把它推过边界。
二阶低通 Q=2，峰值多少 dB？峰值频率是 f0 的几倍？对应的时域阶跃过冲大约多少？
M_r=\frac{2}{\sqrt{1-1/16}}=\frac{2}{\sqrt{0.9375}}=2.066\Rightarrow20\lg(2.066)=6.30\ \text{dB}f_p=f_0\sqrt{1-1/(2Q^2)}=f_0\sqrt{1-1/8}=0.935f_0\zeta=1/(2Q)=0.25，时域过冲
M_p=e^{-\pi\zeta/\sqrt{1-\zeta^2}}=e^{-0.7854/\sqrt{0.9375}}=e^{-0.8112}=44.4\%频域 +6.3\ \text{dB} 和时域 44% 过冲是同一组极点的两个侧面。
8. 参考资料
- TI, Op Amps for Everyone（SLOD006B），Chapter 16 Active Filter Design Techniques：Sallen-Key 低通/高通的节点方程、等值与增益设定 Q 的设计表。
- TI, Active Low-Pass Filter Design（SLOA049B）：等元件与增益设定 Q 的取值步骤、Q 与元件比值的对照表。https://www.ti.com/lit/an/sloa049b/sloa049b.pdf
- Analog Devices, MT-210 Analog Filters（Mini Tutorial）：Sallen-Key 与多路反馈拓扑的频响、Q 与元件灵敏度的数量级。https://www.analog.com/media/en/training-seminars/tutorials/MT-210.pdf
- Sergio Franco, Design with Operational Amplifiers and Analog Integrated Systems（4th ed.），Filter Circuits 一章：Sallen-Key 传递函数、Q 灵敏度与高阶滤波器的级联设计。
- Sedra and Smith, Microelectronic Circuits（8th ed.），Active Filters 部分：二阶传递函数的标准形式、Sallen-Key 与双 T 网络的结构与优缺点。