节点法与网孔法（进阶）Nodal & Mesh Analysis
基尔霍夫定律 KCL / KVL 给出了两条守恒式，但面对一个三节点、六条支路的网络，光有定律还不够：未知量选谁？方程列几个？电压源串在两个节点之间怎么处理？符号写反了怎么发现？节点法（Nodal Analysis）和网孔法（Mesh Analysis）就是把这些动作固定成流程的两套方法。
节点法以节点电压为未知量，对每个未知节点列 KCL，最后写成矩阵 \mathbf{G}\mathbf{v}=\mathbf{i}；网孔法以网孔电流为未知量，对每个网孔列 KVL，写成 \mathbf{Z}\mathbf{i}=\mathbf{v}。SPICE 内部的 MNA（Modified Nodal Analysis）就是节点法的扩展，所以看懂节点法，等于看懂了仿真器在解什么。这一章把两套流程、方程数核算、超节点/超网孔、受控源导致的矩阵不对称，以及三个能复算的工程算例讲完。
1. 设计动机
场景一：三节点网络的验算。 一个 12 V 电源经 R_1=1 kΩ 到节点 V_1，再经 R_2=1 kΩ 到 V_2、经 R_3=2 kΩ 到 V_3；V_2 经 R_5=4 kΩ 到地，V_3 经 R_4=2 kΩ 到地。靠"串并联眼力"已经很难判断，但列三个 KCL 方程、解一个 3\times3 矩阵，得到 V_1=9 V、V_2=6 V、V_3=3 V，代回每条支路都严丝合缝。矩阵不是数学装饰，它是把"眼力"换成"流程"的工具。
场景二：仿真报 "singular matrix"。 电路里有一个节点只通过电容接到别处，直流分析时这个节点没有直流通路，KCL 方程退化成 0=0，矩阵奇异。看懂方程数核算，就知道该查"哪个节点没有到地的直流路径"，而不是盲目改仿真设置。
场景三：运放增益误差。 反相放大器用理想运放算是 -R_f/R_1=-10，但真实开环增益 A_0=10^5 时，节点方程解出来是 -9.9989，增益误差 -0.011\%。这个数不是仿真软件的专利，手列一个节点方程就能算出来；它决定了你选 0.1% 电阻还是 1% 电阻。
把常见任务压成一张表：
| 你想解决 | 先用什么 | 判据 |
|---|---|---|
| 求某个节点电压 | 节点法，列 KCL | 方程数 = 未知节点数 |
| 求某个支路电流 | 节点法解出电压后回代，或网孔法 | 支路电流 = 相邻网孔电流之差 |
| 含电压源跨接两节点 | 超节点 | 少一个未知量，多一条电压约束 |
| 含电流源被两网孔共用 | 超网孔 | 少一个未知量，多一条电流约束 |
| 含受控源 | 先当独立源写，再补控制方程 | 未知量数 = 方程数，矩阵一般不对称 |
| 仿真结果异常 | 数独立方程、查浮空节点 | 矩阵非奇异、KCL 残差接近 0 |
不懂会在哪摔跤，具体是这四条：
- 对有 n 个节点的电路列 n 个 KCL。实际上只有 n-1 个独立，多出来的一个会让方程组线性相关，手算时表现为"消元后出现 0=0"，仿真时表现为奇异矩阵。
- 把电压源当普通支路，用 (V_1-V_2)/0 算电流。理想电压源的内阻为零，这条支路的电流是未知量，必须用超节点或 MNA 的附加变量处理。
- 受控源只写进 KCL，忘了补控制方程，未知量比方程多一个，解不出来；或者把受控源当独立源，解出一个与电路无关的数。
- 解出负电流就以为算错。负号只表示实际方向与参考方向相反，大小是对的；功率验算才能确认符号体系有没有错。
2. 定义与直观：未知量怎么选
2.1 节点、支路、回路、网孔
- 节点（Node）：两条及以上支路的公共连接点。用理想导线连起来的一整片导体算同一个节点；真实 PCB 上这条"理想导线"有 mΩ 级电阻，§5.4 会算它什么时候失效。
- 支路（Branch）：两个节点之间的一段电路。同一支路内电流处处相同；一条支路可以包含多个串联元件。
- 回路（Loop）：若干支路首尾相接构成的闭合路径。
- 网孔（Mesh）：内部不再包含其他支路的回路，只对平面电路（Planar Circuit）有定义。平面电路可以画在纸上而支路不交叉；网孔数等于独立 KVL 方程数。
2.2 节点法：以"海拔"为未知量
节点法先选一个节点做参考节点（Reference Node），规定它的电压为 0 V，相当于给整张电路图定一个"海平面"。其余每个节点相对参考点的电压就是未知量，共 n-1 个。对每个未知节点写 KCL：流出该节点的支路电流代数和为零。支路电流用两端节点电压差除以电阻（或乘以电导）表示，于是 n-1 个 KCL 变成 n-1 个线性方程。
这个图像的好处是：节点电压是"绝对高度"，支路电流是"高度差除以阻力"。参考点选在哪里不影响任何支路电流与电压差，只影响所有节点电压的共同偏移量；选得好的参考点（通常是最多支路交汇的负端/地）能让方程最简洁。
2.3 网孔法：以"环流"为未知量
网孔法给每个网孔假设一个顺时针（或统一逆时针）的网孔电流（Mesh Current），共 b-n+1 个。对每个网孔沿顺时针方向列 KVL：电阻上的电压降之和等于电压源升之和。网孔电流是数学量，不一定等于某条真实支路的电流；两个相邻网孔共用的支路，真实电流是两者之差。
网孔法的前提是平面电路。如果电路画在纸上必然交叉（例如三维结构、多层互连），网孔的定义就不成立，应改用节点法。对平面电路，网孔数恰好等于独立 KVL 方程数，这是它"方程少"的原因。
2.4 两种方法的对偶
| 项目 | 节点法 | 网孔法 |
|---|---|---|
| 未知量 | 节点电压，n-1 个 | 网孔电流，b-n+1 个 |
| 方程来源 | KCL | KVL |
| 矩阵形式 | \mathbf{G}\mathbf{v}=\mathbf{i} | \mathbf{Z}\mathbf{i}=\mathbf{v} |
| 无源网络矩阵 | 对称 | 对称 |
| 电压源 | 接地则固定节点；跨节点则用超节点 | 直接进入方程右边 |
| 电流源 | 直接进入方程右边 | 共用的电流源用超网孔 |
| 适用范围 | 任意连通网络 | 仅平面网络 |
| 典型场景 | 节点少、支路多；SPICE | 网孔少、平面结构；手算 |
节点法像给每个城市标海拔：先定海平面（参考地），每个城市的海拔就是未知量；两城之间的"水流"由海拔差和管路阻力决定。网孔法像给一张平面地图上的每个独立环路标一个环流：环路内部的支路流量，是相邻环流叠加的结果。两套坐标描述同一张路网，选哪套只看哪种未知量更少。
3. 定量关系：矩阵、独立方程与受控源
3.1 节点法的系统化步骤与 G·v=i
步骤一：选参考节点。 通常选电源负端、地，或支路最多的节点。参考节点电压记为 0 V。
步骤二：标未知节点电压。 其余节点依次标 v_1,v_2,\dots,v_{n-1}。
步骤三：对每个未知节点列 KCL。 统一约定"流出本节点为正"：从节点 i 流向节点 j 的电流写成 (v_i-v_j)g_{ij}，其中 g_{ij}=1/R_{ij} 是两节点间支路的电导。
步骤四：把方程整理成矩阵。 对只有电阻和独立电流源的网络，方程可以机械地写成：
G_{ii}=\sum_{j\ne i} g_{ij},\qquad G_{ij}=-g_{ij}\ (i\ne j),\qquad i_i=\sum I_{s,\text{into }i}其中 G_{ii} 是节点 i 的自电导（连到该节点的所有电导之和），G_{ij} 是节点 i 与 j 之间的互电导（取负），i_i 是流入节点 i 的独立电流源之和。矩阵形式：
\mathbf{G}\mathbf{v}=\mathbf{i}步骤五：解方程。 高斯消元或矩阵求逆，得到各节点电压。
步骤六：回代与验算。 用节点电压算每条支路电流，代回每个节点的 KCL；再用功率守恒做第二重验算。
以图中两节点电路为例：V_s=12 V，R_1=1 kΩ、R_2=2 kΩ、R_3=1 kΩ、R_4=1 kΩ。电导分别为 1、0.5、1、1 mS。对 V_1、V_2 列 KCL（流出为正）：
\frac{V_1-12}{1}+\frac{V_1}{2}+\frac{V_1-V_2}{1}=0,\qquad \frac{V_2-V_1}{1}+\frac{V_2}{1}=0整理成矩阵（单位 mS 与 mA）：
\begin{bmatrix}2.5&-1\\-1&2\end{bmatrix}\begin{bmatrix}V_1\\V_2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}12\\0\end{bmatrix}解得 V_1=6 V、V_2=3 V。验算：R_1 电流 (12-6)/1\text{ k}=6 mA，R_2 电流 6/2\text{ k}=3 mA，R_3 电流 (6-3)/1\text{ k}=3 mA，R_4 电流 3/1\text{ k}=3 mA；节点 V_1 流入 6 mA，流出 3+3=6 mA，节点 V_2 流入 3 mA、流出 3 mA，KCL 成立。
3.2 网孔法的适用条件与 Z·i=v
适用条件：电路必须是平面电路，且每个网孔都能明确定义。含交叉互连、三维结构、分布参数的网络，网孔法要么不适用，要么需要引入"窗口"处理，工程上直接换节点法更省事。
步骤一：画网孔、标网孔电流。 所有网孔电流取同一方向（通常顺时针），共 b-n+1 个。
步骤二：对每个网孔列 KVL。 沿网孔电流方向绕行，电阻压降取正、电压源升取正（或统一相反，但全题一致）。
步骤三：整理成矩阵。 对无源电阻网络：
Z_{ii}=\sum_{k\in\text{mesh }i} R_k,\qquad Z_{ij}=-R_{ij}\ (i\ne j),\qquad v_i=\sum V_{s,\text{rise in direction }i}其中 Z_{ii} 是网孔 i 内所有电阻之和，Z_{ij} 是网孔 i 与 j 共用电阻的负值，v_i 是沿网孔方向电压升之和。矩阵形式：
\mathbf{Z}\mathbf{i}=\mathbf{v}步骤四：解出网孔电流，回代求支路电流。 共用支路的电流等于相邻网孔电流之差；只有单个网孔经过的支路，电流就是该网孔电流。
网孔法的"方程少"是有代价的：网孔电流是数学量，物理支路电流要再做减法；含电流源时还要引入超网孔。节点法则直接给出每个节点的电压，回代支路电流很直接。工程手算里，节点少选节点法，网孔少选网孔法，没有绝对优劣。
3.3 独立方程数核算
这是最容易被跳过、也最容易让仿真报错的一步。对 n 个节点、b 条支路的连通电路：
- 独立 KCL 方程数：n-1（所有节点的 KCL 相加恒等于 0，有一个不独立）；
- 独立 KVL 方程数：b-(n-1)=b-n+1（平面电路中等于网孔数）；
- 两者之和：(n-1)+(b-n+1)=b，正好等于支路数。
| 节点数 n | 支路数 b | 独立 KCL n-1 | 独立 KVL b-n+1 | 合计 |
|---|---|---|---|---|
| 3 | 5 | 2 | 3 | 5 |
| 4 | 6 | 3 | 3 | 6 |
| 10 | 15 | 9 | 6 | 15 |
| 20 | 30 | 19 | 11 | 30 |
节点法的未知量是 n-1 个节点电压；网孔法的未知量是 b-n+1 个网孔电流。方程数必须等于未知量数，多一个少一个都不行：
- 少列一个：欠定，解不唯一，手算时自由变量消不掉；
- 多列一个：过定，方程线性相关，矩阵奇异或最小二乘给出矛盾解。
含理想电压源时，MNA（Modified Nodal Analysis）会为每个独立电压源增加一个支路电流未知量，同时增加一条电压约束方程，未知量与方程数仍然相等：
\begin{bmatrix}\mathbf{G}&\mathbf{B}\\\mathbf{C}&\mathbf{D}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\mathbf{v}\\\mathbf{i}_V\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\mathbf{i}_s\\\mathbf{v}_s\end{bmatrix}其中 \mathbf{v} 是节点电压向量，\mathbf{i}_V 是电压源支路电流向量，\mathbf{v}_s 是电压源约束向量。对 n 个节点、m 个独立电压源的电路，MNA 未知量数是 (n-1)+m。这就是为什么 SPICE 网表里电压源会"多出一个电流变量"。
3.4 超节点与超网孔
超节点（Supernode）处理跨接在两个非参考节点之间的理想电压源。设电压源接在节点 a、b 之间，电压为 V_s：
- 把 a、b 合并成一个"超节点"，对超节点边界列一条 KCL：流出 a 与流出 b 的所有外部支路电流之和为零（电压源内部电流在相加时抵消）；
- 补一条电压约束 v_a-v_b=V_s（极性按电压源正端定）；
- 未知量仍是两个节点电压，方程仍是两条，数目不变。
算例：V_s=10 V 经 R_1=2\,\Omega 到节点 1；节点 1 与节点 2 之间接 6 V 电压源（正端在节点 1）；节点 1 经 R_3=12\,\Omega 到地；节点 2 经 R_2=4\,\Omega 到地。
电压约束：
v_1-v_2=6超节点 KCL（流出为正，电压源支路电流不写进外部支路）：
\frac{v_1-10}{2}+\frac{v_1}{12}+\frac{v_2}{4}=0把 v_1=v_2+6 代入：
\frac{v_2-4}{2}+\frac{v_2+6}{12}+\frac{v_2}{4}=0两边乘 12：
6(v_2-4)+(v_2+6)+3v_2=0\ \Longrightarrow\ 10v_2-18=0\ \Longrightarrow\ v_2=1.8\ \text{V}所以 v_1=7.8 V。验算：R_1 电流 (10-7.8)/2=1.1 A；R_3 电流 7.8/12=0.65 A；R_2 电流 1.8/4=0.45 A。节点 1 的 KCL：流入 1.1 A，流出 R_3 的 0.65 A，其余 0.45 A 经 6 V 源流向节点 2；节点 2 的 KCL：流入 0.45 A，流出 R_2 的 0.45 A，平衡。功率：10 V 源发出 11 W；R_1 耗散 1.1^2\times2=2.42 W；R_3 耗散 0.65^2\times12=5.07 W；R_2 耗散 0.45^2\times4=0.81 W；6 V 源吸收 6\times0.45=2.7 W；合计 2.42+5.07+0.81+2.7=11.0 W，平账。
超网孔（Supermesh）处理被两个网孔共用的理想电流源。设电流源在网孔 1、2 的公共支路上，电流为 I_s：
- 把网孔 1、2 合并成一个超网孔，沿外边界列一条 KVL（公共支路上的电流源电压未知，绕外边界时被跳过）；
- 补一条电流约束（方向按电流源箭头定，写成 i_1-i_2=I_s 或 i_2-i_1=I_s，全题统一）；
- 方程数仍等于网孔数。
算例：网孔 1 含 10 V 电源与 R_1=2\,\Omega，网孔 2 含 R_2=3\,\Omega 与 R_3=1\,\Omega，两网孔共用一条 2 A 电流源（方向使 i_2-i_1=2 A）。超网孔外边界 KVL：
10=2i_1+(3+1)i_2电流约束 i_2=i_1+2，代入：
10=2i_1+4(i_1+2)=6i_1+8\ \Longrightarrow\ i_1=\frac{1}{3}\ \text{A},\qquad i_2=\frac{7}{3}\ \text{A}验算：2i_1+4i_2=2/3+28/3=30/3=10 V，KVL 成立；公共支路电流 i_2-i_1=2 A，与电流源一致。
电源处理的速查：
| 电源位置 | 节点法 | 网孔法 |
|---|---|---|
| 电压源接参考节点 | 该节点电压已知，直接去掉一个未知量 | 直接进方程右边 |
| 电压源跨两个非参考节点 | 超节点 + 电压约束 | 直接进方程右边（若在网孔边界） |
| 电流源接参考节点 | 直接进方程右边 | 若在网孔边界，直接给定网孔电流 |
| 电流源被两网孔共用 | 直接进方程右边 | 超网孔 + 电流约束 |
3.5 受控源为什么让矩阵失去对称性
受控源（Controlled Source）的电压或电流由电路中别处的电压或电流决定。四种类型：VCVS（电压控制电压源）、VCCS（电压控制电流源）、CCCS（电流控制电流源）、CCVS（电流控制电压源）。处理规则只有两条：
- 列 KCL/KVL 时先把它当独立源照写，给它的电压或电流起一个名字；
- 补一条控制方程，把控制量用同一批未知量表示，保证未知量数等于方程数。
为什么矩阵会失去对称性？ 对只含电阻的无源网络，节点导纳矩阵满足 G_{ij}=G_{ji}，网孔阻抗矩阵满足 Z_{ij}=Z_{ji}。这不是巧合，而是互易性（Reciprocity）：在节点 i 注入电流、在节点 j 测电压，与在 j 注入、在 i 测，结果相同。电阻是双向对称元件，所以矩阵对称。
受控源打破的正是这种双向对称。看一个 VCCS 的例子：节点 1 经 R_1=1 kΩ 接 10 V 源、经 R_2=1 kΩ 接地，所以 G_{11}=2 mS；节点 2 经 R_3=1 kΩ 接地，G_{22}=1 mS；另有一个 VCCS，从节点 2 流向地，电流 i_d=gv_1，g=0.5 mS。对节点 2 列 KCL：
\frac{v_2}{1\text{ k}}+gv_1=0\ \Longrightarrow\ 0.5v_1+v_2=0对节点 1：
\frac{v_1-10}{1\text{ k}}+\frac{v_1}{1\text{ k}}=0\ \Longrightarrow\ 2v_1=10\ \Longrightarrow\ v_1=5\ \text{V}于是 v_2=-2.5 V。矩阵形式（mS、mA）：
\begin{bmatrix}2&0\\0.5&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}v_1\\v_2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}10\\0\end{bmatrix}G_{12}=0，G_{21}=0.5 mS，矩阵不对称。物理含义：改变 v_1 会改变受控源从节点 2 抽走的电流；改变 v_2 却不会反过来影响节点 1。这种"单向作用"正是放大、开关、隔离的本质，也是主动电路与无源网络的分界。
网孔法同理。§4.2 的 CCVS 例子给出
\mathbf{Z}=\begin{bmatrix}6&-4\\-2&7\end{bmatrix}\ \OmegaZ_{12}=-4\,\Omega 来自共享电阻 R_2=4\,\Omega；Z_{21}=-2\,\Omega 却是 -4+2，多出来的 +2\,\Omega 是受控源的跨阻。如果矩阵对称，说明网络互易；如果不对称，说明存在受控源或非线性有源元件。 这不是算错，而是电路本身的性质。
| 网络类型 | 节点矩阵 | 网孔矩阵 | 互易性 |
|---|---|---|---|
| 纯电阻 | G_{ij}=G_{ji} | Z_{ij}=Z_{ji} | 满足 |
| 含独立源 | 仍对称（源在右边） | 仍对称（源在右边） | 满足 |
| 含受控源 | 一般 G_{ij}\ne G_{ji} | 一般 Z_{ij}\ne Z_{ji} | 不满足 |
| 含非线性元件 | 小信号模型下仍可能不对称 | 同左 | 一般不满足 |
矩阵不对称本身不代表方程无解，但它意味着网络不互易：求解时要用一般 LU 分解，并检查条件数。对称矩阵可以用 Cholesky 分解、共轭梯度等高效算法；不对称矩阵没有这些便利。SPICE 对含受控源的电路一律按一般矩阵处理。
3.6 适用条件与失效边界
- 线性元件。 节点法/网孔法列的是线性方程；二极管、三极管、饱和电感是非线性的，要先在工作点附近线性化，得到小信号模型再列方程。SPICE 用牛顿迭代反复线性化，本质仍是"每轮解一个线性节点方程"。
- 理想电源模型要自洽。 两个不同电压的理想电压源并联，KVL 矛盾；理想电流源串联，KCL 矛盾；理想电流源开路，电流无路可走。这些拓扑在方程层面表现为无解或奇异矩阵。
- 每个节点要有到地的直流路径。 只通过电容连接的节点，直流分析时没有直流通路，KCL 退化为 0=0；SPICE 通常用 g_{min}（默认约 10^{-12} S，不同实现略有差异）为高阻节点提供数值上的直流通路，但得到的直流电压没有物理意义。
- 理想运放要加约束。 理想运放不是电阻，不能直接写 v_+/R；要用"虚短"约束加输入电流为零，或者用有限增益模型加受控源。MNA 为运放输出支路增加电流变量，是标准做法。
- 数值条件。 节点导纳矩阵的元素可能跨越十几个数量级（1 mΩ 分流器与 1 GΩ 绝缘同处一网），双精度浮点的有效位数会被条件数吃掉。§5.5 给出数量级估计。
4. 典型计算
4.1 算例一：三节点网络的节点法（矩阵、解、代回验算）
电路：V_s=12 V，R_1=1 kΩ（电源到 V_1），R_2=1 kΩ（V_1 到 V_2），R_3=2 kΩ（V_2 到 V_3），R_4=2 kΩ（V_3 到地），R_5=4 kΩ（V_2 到地）。
第 1 步，选参考点、定未知量。 底部为 0 V，未知量为 v_1,v_2,v_3，共 3 个；独立 KCL 也是 3 个。支路数 b=6（电源支路 + 5 个电阻），独立 KVL 数 b-n+1=6-4+1=3，与网孔数一致。
第 2 步，算电导。 G_1=1/1\text{ k}=1 mS，G_2=1 mS，G_3=1/2\text{ k}=0.5 mS，G_4=0.5 mS，G_5=1/4\text{ k}=0.25 mS。
第 3 步，对每个节点列 KCL（流出为正）。
节点 V_1：
\frac{v_1-12}{1}+\frac{v_1-v_2}{1}=0\ \Longrightarrow\ 2v_1-v_2=12节点 V_2：
\frac{v_2-v_1}{1}+\frac{v_2-v_3}{2}+\frac{v_2}{4}=0\ \Longrightarrow\ -v_1+1.75v_2-0.5v_3=0节点 V_3：
\frac{v_3-v_2}{2}+\frac{v_3}{2}=0\ \Longrightarrow\ -0.5v_2+v_3=0第 4 步，写成矩阵。 电压单位 V，电流单位 mA，电导单位 mS：
\begin{bmatrix}2&-1&0\\-1&1.75&-0.5\\0&-0.5&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}v_1\\v_2\\v_3\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}12\\0\\0\end{bmatrix}矩阵行列式：
\det\mathbf{G}=2(1.75\times1-0.25)-(-1)(-1\times1-0)=2\times1.5-1=2.0\ \text{mS}^3\ne0所以解唯一。
第 5 步，消元求解。 由节点 V_3 方程：v_3=0.5v_2。代入节点 V_2 方程：
-v_1+1.75v_2-0.5\times0.5v_2=0\ \Longrightarrow\ v_1=1.5v_2代入节点 V_1 方程：
2\times1.5v_2-v_2=12\ \Longrightarrow\ 3v_2-v_2=12\ \Longrightarrow\ v_2=6\ \text{V}于是
v_1=1.5\times6=9\ \text{V},\qquad v_3=0.5\times6=3\ \text{V}第 6 步，回代支路电流。
i_{R1}=\frac{12-9}{1\text{ k}}=3\ \text{mA},\qquad i_{R2}=\frac{9-6}{1\text{ k}}=3\ \text{mA}i_{R3}=\frac{6-3}{2\text{ k}}=1.5\ \text{mA},\qquad i_{R5}=\frac{6}{4\text{ k}}=1.5\ \text{mA},\qquad i_{R4}=\frac{3}{2\text{ k}}=1.5\ \text{mA}第 7 步，逐节点验算 KCL。
- 节点 V_1：流入 3 mA，流出 3 mA，平衡；
- 节点 V_2：流入 3 mA，流出 1.5+1.5=3 mA，平衡；
- 节点 V_3：流入 1.5 mA，流出 1.5 mA，平衡。
第 8 步，功率验算。 12 V 源发出 12\times3=36 mW；R_1 耗散 3^2\times1=9 mW；R_2 耗散 3^2\times1=9 mW；R_3 耗散 1.5^2\times2=4.5 mW；R_5 耗散 1.5^2\times4=9 mW；R_4 耗散 1.5^2\times2=4.5 mW；合计 9+9+4.5+9+4.5=36 mW，平账。
结论：v_1=9 V、v_2=6 V、v_3=3 V；矩阵行列式非零，解唯一；KCL 与功率双重验算通过。这个例子说明：节点法的"机械"之处在于，列方程时不需要判断串并联，只需要对每个节点把流出电流加起来。
4.2 算例二：含受控源的网孔法
_
电路：网孔 1 顺时针电流 i_1，含 10 V 电压源（升）、R_1=2\,\Omega、共享电阻 R_2=4\,\Omega；网孔 2 顺时针电流 i_2，含 R_2、R_3=3\,\Omega 与一个 CCVS，电压 v_d=2\,\Omega\times i_1，极性使它在网孔 2 的顺时针方向上是电压降。
第 1 步，数未知量与方程数。 网孔电流 i_1,i_2 两个；受控源不增加独立未知量，只增加一条控制方程 v_d=2i_1。总共 2 个未知量、2 条网孔 KVL，必要时把 v_d 当中间量。
第 2 步，网孔 1 的 KVL。
10=(R_1+R_2)i_1-R_2i_2=(2+4)i_1-4i_2=6i_1-4i_2第 3 步，网孔 2 的 KVL。 沿顺时针：R_2 上压降 4(i_2-i_1)，R_3 上压降 3i_2，CCVS 上压降 v_d=2i_1，电压升为零：
0=4(i_2-i_1)+3i_2+2i_1=-2i_1+7i_2第 4 步，写成矩阵。
\begin{bmatrix}6&-4\\-2&7\end{bmatrix}\begin{bmatrix}i_1\\i_2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}10\\0\end{bmatrix}注意 Z_{12}=-4\,\Omega、Z_{21}=-2\,\Omega，矩阵不对称。若没有受控源，共享电阻应同时给出 -4 和 -4；现在 Z_{21} 多了 +2\,\Omega，这就是 CCVS 的跨阻。
第 5 步，求解。 由第二式 2i_1=7i_2，即 i_1=3.5i_2。代入第一式：
6\times3.5i_2-4i_2=21i_2-4i_2=17i_2=10\ \Longrightarrow\ i_2=\frac{10}{17}=0.5882\ \text{A}i_1=3.5\times\frac{10}{17}=\frac{35}{17}=2.0588\ \text{A}第 6 步，回代支路量与验算。
i_{R2}=i_1-i_2=\frac{35-10}{17}=\frac{25}{17}=1.4706\ \text{A}v_d=2i_1=\frac{70}{17}=4.1176\ \text{V}网孔 1 验算：6\times2.0588-4\times0.5882=12.3529-2.3529=10 V；网孔 2 验算：-2\times2.0588+7\times0.5882=-4.1176+4.1176=0 V。
第 7 步，功率验算。 10 V 源发出 10\times2.0588=20.588 W；R_1 耗散 2\times2.0588^2=8.4775 W；R_2 耗散 4\times1.4706^2=8.6505 W；R_3 耗散 3\times0.5882^2=1.0381 W；CCVS 吸收 v_d i_2=4.1176\times0.5882=2.4221 W；合计 8.4775+8.6505+1.0381+2.4221=20.588 W，平账。
第 8 步，说明为什么不能靠"受控源=电阻"的直觉。 如果把 CCVS 误当成 2\,\Omega 电阻，网孔 2 的方程会变成
0=-4i_1+(4+3+2)i_2=-4i_1+9i_2解得 i_1=2.3684 A、i_2=1.0526 A，与正确值相比分别偏 +15.0\% 与 +78.9\%。原因很直接：电阻的电压正比于流过它自己的电流 i_2，而 CCVS 的电压正比于别处的电流 i_1。把受控源当电阻，等于把"单向控制"改成了"双向欧姆关系"，方程就变了。
这也是"不能用节点法直觉"的地方：节点法里你会自然地想"节点电压越高，流出电流越大"，但受控源可以从一个节点抽走电流、却在另一个节点注入，电压与电流之间不再是同一个端口上的正比关系。节点法不是不能解这个电路，但这个 CCVS 是理想电压源，要为它增加一个支路电流未知量（MNA），再把控制量 i_1=(10-v_1)/2 用节点电压表示，步骤比网孔法绕。选方法的原则是：受控源在哪个方法的方程里更容易表达，就用哪个方法。
4.3 完整设计：反相放大器增益误差的节点法核算
需求：设计一个反相放大器，增益 -10.0，增益误差不超过 \pm0.5\%；输入信号 \pm0.5 V，输出负载 10 kΩ，闭环带宽不低于 100 kHz；信号源内阻不超过 2\,\Omega。
第 1 步，选电阻。 取 R_1=1 kΩ、R_f=10 kΩ，理想增益
G_{ideal}=-\frac{R_f}{R_1}=-\frac{10\text{ k}}{1\text{ k}}=-10.0第 2 步，列节点方程。 反相端节点电压记为 v_-，同相端接地为 0 V。对 v_- 列 KCL（流出为正）：
\frac{v_- - V_s}{R_1}+\frac{v_- - V_o}{R_f}=0运放有限增益模型：
V_o=A_0(0-v_-)\ \Longrightarrow\ v_-=-\frac{V_o}{A_0}第 3 步，代入消元。 把 v_-=-V_o/A_0 代入 KCL：
\frac{-\frac{V_o}{A_0}-V_s}{R_1}+\frac{-\frac{V_o}{A_0}-V_o}{R_f}=0两边乘 R_1R_f：
R_f\left(-\frac{V_o}{A_0}-V_s\right)+R_1\left(-\frac{V_o}{A_0}-V_o\right)=0整理：
-V_o\frac{R_1+R_f}{A_0}-R_1V_o=R_fV_s\frac{V_o}{V_s}=-\frac{R_f}{R_1+\frac{R_1+R_f}{A_0}}=-\frac{R_f/R_1}{1+\frac{1+R_f/R_1}{A_0}}第 4 步，代入数值。 R_f/R_1=10，A_0=10^5：
1+\frac{1+10}{10^5}=1+\frac{11}{10^5}=1.00011G=-\frac{10}{1.00011}=-9.99890相对理想值 -10 的误差：
\frac{G-G_{ideal}}{G_{ideal}}=\frac{-9.99890+10}{-10}=-0.000110=-0.0110\%第 5 步，误差预算。 0.1% 电阻的比值容差最坏情况：
\frac{R_f(1+0.1\%)}{R_1(1-0.1\%)}=\frac{1.001}{0.999}=1.002002\ \Longrightarrow\ +0.2002\%信号源内阻 R_s=2\,\Omega 与 R_1 串联，等效输入电阻变成 1.002 kΩ：
G'=-\frac{10}{1.002}=-9.98004\ \Longrightarrow\ -0.1996\%三项绝对值相加：0.0110\%+0.2002\%+0.1996\%=0.4108\%<0.5\%，满足指标。各项的符号不同，最坏情况按绝对值相加是保守估计。
| 误差来源 | 数值 | 对增益的影响 |
|---|---|---|
| 运放有限增益 A_0=10^5 | 1.00011 | -0.0110\% |
| 电阻 0.1% 容差（最坏） | 1.001/0.999 | +0.2002\% |
| 源内阻 2\,\Omega | 1.002 | -0.1996\% |
| 合计（绝对值相加） | — | 0.4108\% |
| 指标 | — | \pm0.5\% |
第 6 步，带宽核算。 闭环增益为 10 时，闭环 -3 dB 带宽近似
f_{-3\text{dB}}\approx\frac{GBW}{|G|}=\frac{GBW}{10}若选 GBW=1 MHz 的运放，带宽正好 100 kHz，没有余量；选 GBW\ge1.1 MHz 留 10% 余量，或直接选 10 MHz 的通用运放，带宽约 1 MHz。具体 GBW 以数据手册的测试条件为准。
第 7 步，节点方程验算。 取 V_s=0.5 V，V_o=-4.99945 V：
v_-=-\frac{-4.99945}{10^5}=49.9945\ \mu\text{V}i_{R1}=\frac{49.9945\ \mu\text{V}-0.5\ \text{V}}{1\text{ k}\Omega}=-0.499950\ \text{mA}i_{Rf}=\frac{49.9945\ \mu\text{V}-(-4.99945\ \text{V})}{10\text{ k}\Omega}=0.499950\ \text{mA}两电流大小相等、方向相反，节点 KCL 残差为 0，说明节点方程解正确。
第 8 步，边界与未计入项。 上述预算只算增益误差，没有算运放失调电压与输入偏置电流：1 mV 的输入失调经增益 10 会变成 10 mV 输出，对 5 V 满量程是 0.2\% 的附加误差；1 nA 偏置电流在 10 kΩ 反馈电阻上产生 10 µV 输出，可忽略。若总误差预算也包含失调，要选低失调运放或加调零。"增益误差 0.41%"和"总输出误差 0.41%"不是一回事，数据手册上的失调、漂移、噪声要逐项加进来。
5. 工程含义
5.1 工程数量级表
| 量 | 典型范围 | 说明 |
|---|---|---|
| 手算未知节点数 | 2–5 | 超过 5 个建议直接仿真 |
| 板级 SPICE 节点数 | 10–10^3 | 取决于器件模型与寄生提取 |
| 支路数/节点数 b/n | 1.2–2.0 | 平面稀疏网络的经验范围 |
| 电阻 | 1 mΩ–1 GΩ | 分流器到绝缘电阻 |
| 电导 | 1 kS–1 nS | 与电阻互为倒数 |
| 节点电压 | 1 mV–100 V | 小信号到母线 |
| 支路电流 | 1 µA–100 A | 偏置到功率 |
| 矩阵条件数 | 1–10^{12} | 混合量级时恶化 |
手算与仿真的分界不是绝对的。一个 5 节点、8 支路的网络，手算矩阵要十几分钟；一个 20 节点网络，手算容易出错，但"列方程—检查量纲—看数量级"仍然是理解仿真结果的最好方式。工程上常见的做法是：手算 2–3 个关键节点做数量级估计，仿真跑全网络，再用 KCL 与功率守恒抽验。
5.2 SPICE 在解什么：MNA 与奇异矩阵
SPICE 的直流工作点分析本质上就是解 MNA 方程：
\begin{bmatrix}\mathbf{G}&\mathbf{B}\\\mathbf{C}&\mathbf{D}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\mathbf{v}\\\mathbf{i}_V\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\mathbf{i}_s\\\mathbf{v}_s\end{bmatrix}\mathbf{G} 是节点导纳矩阵，\mathbf{B}、\mathbf{C} 描述电压源与节点的连接，\mathbf{D} 通常为零。对每个理想电压源，MNA 增加一个支路电流未知量和一条电压约束，所以矩阵比纯节点法大，但仍然是稀疏的。
"singular matrix" 的四个常见原因：
- 浮空节点：某节点只通过电容或电流源连接，直流下没有到地通路。解决：加高阻值泄放电阻，或检查是否漏了地连接。
- 电压源环路：两个不同电压的理想电压源并联，KVL 矛盾。解决：加均流电阻或改成电流源模型。
- 电流源开路：理想电流源所在支路没有闭合路径。解决：检查拓扑，补上回路。
- 受控源控制量丢失：控制电压/电流没有定义，矩阵某行全零。解决：补控制方程或检查参考方向。
SPICE 通常用 g_{min}（默认约 10^{-12} S，不同仿真器略有差异）为高阻节点提供一条数值上的直流通路，避免纯浮空导致的奇异；但这只是数值补救，得到的浮空节点电压没有物理意义。看到 "singular matrix"，先数节点和电压源，再看每个节点有没有直流通路，比反复调收敛参数有效。
5.3 手算与仿真的分工
- 手算适合：2–5 个未知节点、验证拓扑、估算数量级、检查仿真是否离谱、推导符号表达式（如运放增益公式）。
- 仿真适合：非线性器件、大网络、温度/容差扫描、频域与瞬态、蒙特卡洛。
- 两者结合：手算给出"应该是多少"，仿真给出"实际是多少"；两者差一个数量级，通常是模型、单位或参考点出错，而不是仿真精度不够。
一个实用的自检流程：
- 用节点法估算关键节点电压，误差允许 20%；
- 仿真后看 KCL 残差（各节点电流之和应接近 0，相对误差 <10^{-6}）；
- 看功率守恒（电源发出 ≈ 电阻/器件吸收）；
- 改动一个电阻，观察节点电压变化方向是否符合直觉；
- 若不符，先查参考点、单位（mA 与 A、kΩ 与 Ω）和受控源控制量。
5.4 "节点"不是等电位体
节点法的"节点"是理想导线连接的一片导体，现实里这段导体有电阻和电感。1 oz 铜厚约 35 µm，铜的电阻率取 \rho=1.72\times10^{-8}\ \Omega\cdot\text{m}，方块电阻
R_\square=\frac{\rho}{t}=\frac{1.72\times10^{-8}}{35\times10^{-6}}=4.91\times10^{-4}\ \Omega\approx0.49\ \text{m}\Omega/\text{方块}10 mm 长、0.25 mm 宽的走线有 10/0.25=40 个方块，电阻 40\times0.49=19.6 mΩ，取 20 mΩ；流过 1 A 时压降
V=I R=1\times0.020=20\ \text{mV}对 12 位、3.3 V 的 ADC，1 LSB 是
\frac{3.3}{2^{12}}=\frac{3.3}{4096}=0.8057\ \text{mV}20 mV 相当于 20/0.8057=24.8 个 LSB。同一个"节点"在 PCB 两端可能差 20 mV，足以让 ADC 末几位跳动。 所以大电流回路要单独走线、模拟地与功率地单点连接、ADC 用开尔文接法；节点法的"等电位"假设只对理想导线成立。
5.5 数值条件：什么时候矩阵会"病态"
节点导纳矩阵的条件数粗略等于"最大电导/最小电导"之比。一个 1 mΩ 的分流器（G=1000 S）与一个 1 GΩ 的绝缘电阻（G=10^{-9} S）同处一网，电导比是 10^{12}。双精度浮点约 16 位十进制有效数字，条件数 10^{12} 意味着结果只剩约 4 位可信；条件数 10^{8} 则剩约 8 位。
10^{12}\times2.22\times10^{-16}=2.22\times10^{-4}也就是约 0.02\% 的相对误差下限。工程上避免病态的做法：
- 不要在同一方程组里混用 1 mΩ 与 1 GΩ 量级的元件，必要时做尺度缩放；
- 用 SI 单位统一量纲，避免 mA 与 A、kΩ 与 Ω 混写；
- 对高阻节点加泄漏电阻，或改用更稳定的建模方式；
- 仿真后检查残差，而不是只看节点电压的小数点。
6. 常见坑
- 对 n 个节点列 n 个 KCL：现象——手算消元出现 0=0，或仿真报奇异矩阵。原因——所有节点的 KCL 相加恒等于 0，只有 n-1 个独立。解决——先选参考地，只对其余 n-1 个节点列方程；列完数一遍方程数是否等于未知量数。
- 把理想电压源当普通电阻支路：现象——列节点方程时出现 (v_1-v_2)/0，或者强行取一个很小的电阻导致电流巨大。原因——理想电压源的内阻为零，支路电流是未知量，不能由欧姆定律直接写。解决——电压源接参考节点时直接固定该节点电压；跨两个非参考节点时用超节点加电压约束；或用 MNA 增加支路电流变量。
- 受控源漏控制方程，或把它当独立源：现象——未知量比方程多一个，解不出来；或者解出一个与电路无关的数。原因——受控源的电压/电流由别处控制量决定，不是自由变量。解决——先把它当独立源写进 KCL/KVL，再补一条控制方程，最后核对未知量数 = 方程数。
- 看到矩阵不对称就以为算错：现象——反复检查符号，仍不对称。原因——含受控源的网络不满足互易性，G_{ij}\ne G_{ji} 是物理事实。解决——用 §3.5 的方法确认不对称项来自哪个受控源；对称只对纯无源网络成立。
- 网孔法用在非平面电路上：现象——网孔数数不清，方程数与未知量数对不上。原因——网孔只对平面电路有定义，交叉互连的网络没有"内网孔"。解决——改用节点法；或者把交叉点拆成节点，重新画成平面图（如果拓扑允许）。
- 单位混用：现象——解出的节点电压差 1000 倍，或电流差 10^6 倍。原因——mA 与 A、kΩ 与 Ω、µF 与 F 混在一个方程里。解决——统一到 SI 基本单位再列方程，最后再换算；矩阵的每一行量纲必须一致。
7. 自测题
把 §4.1 的电源从 12 V 改成 24 V，其余电阻不变，三个节点电压变成多少？为什么？
电路是线性的，所有独立源同时放大 k 倍，所有节点电压与支路电流也放大 k 倍（叠加定理）。所以
v_1=9\times2=18\ \text{V},\qquad v_2=6\times2=12\ \text{V},\qquad v_3=3\times2=6\ \text{V}验算节点 V_2：流入 (18-12)/1\text{ k}=6 mA；流出 (12-6)/2\text{ k}=3 mA 与 12/4\text{ k}=3 mA，合计 6 mA，KCL 成立。功率也按 k^2=4 倍放大：36 mW 变成 144 mW。
一个电路有 6 个节点、9 条支路，含 1 个独立电压源。节点法、网孔法、MNA 各有多少未知量与方程？
节点法：未知节点电压 n-1=5 个，列 5 条 KCL。
网孔法：网孔电流 b-n+1=9-6+1=4 个，列 4 条 KVL。
MNA：在 5 个节点电压之外，为 1 个独立电压源增加 1 个支路电流未知量，共 5+1=6 个未知量；方程是 5 条 KCL 加 1 条电压约束，共 6 条。
如果电压源接在参考节点与某节点之间，该节点电压直接已知，节点法可少列一个未知量（4 个）；MNA 仍保留全部 5 个节点电压并增加 1 个电源电流，共 6 个未知量，只是电压约束直接给出该节点电压。若电压源跨两个非参考节点，用超节点：未知量仍是 5 个，方程是 4 条超节点/普通节点 KCL 加 1 条电压约束，仍是 5 条。
用超节点法求：10 V 源经 2 Ω 到节点 1，节点 1 与节点 2 之间接 6 V 源（正端在节点 1），节点 1 经 12 Ω 到地，节点 2 经 4 Ω 到地。求 v₁、v₂ 与 6 V 源中的电流。
约束 v_1-v_2=6。超节点 KCL：
\frac{v_1-10}{2}+\frac{v_1}{12}+\frac{v_2}{4}=0代入 v_1=v_2+6：
\frac{v_2-4}{2}+\frac{v_2+6}{12}+\frac{v_2}{4}=0乘 12：6(v_2-4)+(v_2+6)+3v_2=0，即 10v_2-18=0，所以 v_2=1.8 V、v_1=7.8 V。
6 V 源中的电流由节点 1 的 KCL 求：外部流入节点 1 的电流 (10-7.8)/2=1.1 A，流出 R_3 的电流 7.8/12=0.65 A，剩下 1.1-0.65=0.45 A 从节点 1 经 6 V 源流向节点 2。验算节点 2：流入 0.45 A，流出 1.8/4=0.45 A，平衡。
某 VCCS 电路的节点矩阵为 G=[[2,0],[0.5,1]] mS，电流向量 i=[10,0] mA。求 v₁、v₂，并解释为什么 G₁₂≠G₂₁。
第一行：2v_1=10，所以 v_1=5 V。
第二行：0.5v_1+v_2=0，所以 v_2=-2.5 V。
G_{12}=0、G_{21}=0.5 mS，矩阵不对称。原因是 VCCS 从节点 2 抽电流、却由节点 1 的电压控制：v_1 变化会改变节点 2 的 KCL，而 v_2 变化不会反过来影响节点 1。纯电阻网络满足互易性，矩阵才对称；受控源是单向作用，破坏互易性。矩阵不对称不代表算错，只说明网络不是无源互易网络。
两个网孔共用一个 2 A 电流源，网孔 1 含 2 Ω 与 10 V 源，网孔 2 含 3 Ω 与 1 Ω。用超网孔求 i₁、i₂。
设电流源方向使 i_2-i_1=2 A。超网孔外边界 KVL：
10=2i_1+(3+1)i_2代入 i_2=i_1+2：
10=2i_1+4(i_1+2)=6i_1+8\ \Longrightarrow\ i_1=\frac{1}{3}\ \text{A}i_2=\frac{1}{3}+2=\frac{7}{3}\ \text{A}验算：2\times(1/3)+4\times(7/3)=2/3+28/3=30/3=10 V，KVL 成立；i_2-i_1=2 A，电流约束成立。
反相放大器 R₁=1 kΩ、R_f=100 kΩ、A₀=10⁵，理想增益是多少？有限增益下实际增益与误差是多少？
理想增益：
G_{ideal}=-\frac{100\text{ k}}{1\text{ k}}=-100有限增益公式：
G=-\frac{R_f/R_1}{1+\frac{1+R_f/R_1}{A_0}}=-\frac{100}{1+\frac{101}{10^5}}=-\frac{100}{1.00101}=-99.8991误差：
\frac{-99.8991+100}{-100}=-0.001009=-0.1009\%开环增益 10^5 时，闭环增益 100 的误差约 0.1\%。若要求 0.01\%，只把 A_0 提高到 10^6 也只能把有限增益误差压到约 0.0101\%，仍略高于目标；要留裕量可取 A_0\ge2\times10^6，而且电阻容差与失调必须另外分配预算。
8. 参考资料
- Lessons In Electric Circuits, Vol. I – DC（Tony R. Kuphaldt，ibiblio 公开版）：Chapter 10 DC Network Analysis 系统讲节点法、网孔法、超节点/超网孔、叠加与戴维南定理；本章 §3.1–§3.4 的流程与该书一致。https://www.ibiblio.org/kuphaldt/electricCircuits/
- 《电路》（邱关源，高等教育出版社）："电阻电路的一般分析"一章讲节点法、网孔法、独立方程数与受控源处理；"含有运算放大器的电阻电路"一章讲理想运放与节点方程。本章的方程数核算与运放算例口径与该书一致。
- Sedra & Smith, Microelectronic Circuits：Chapter 2 Operational Amplifiers 用节点方程与受控源模型分析反相/同相放大器，给出有限增益误差公式；本章 §4.3 的推导与该书同源。
- Ho, Ruehli and Brennan, "The Modified Nodal Approach to Network Analysis"，IEEE Trans. Circuits and Systems, vol. CAS-22, no. 6, pp. 504–509, 1975：MNA 的原始论文，说明为什么电压源要增加支路电流未知量；本章 §3.3 与 §5.2 的矩阵形式依据该文。
- Nagel, SPICE2: A Computer Program to Simulate Semiconductor Circuits，Memo ERL-M520, University of California Berkeley, 1975：SPICE 的经典实现文档，节点分析、g_{min} 与收敛策略的出处；本章"奇异矩阵"排查思路与该文档一致。
- Khan Academy — Electrical Engineering：节点电压法与网孔电流法的入门练习，可用于核对本章自测题的手算步骤。https://www.khanacademy.org/science/electrical-engineering