加法、减法运算电路 Summing & Difference Amplifier
加法器（summing amplifier）几乎是从反相放大器"免费"长出来的：反相端本来就是虚地，是一个天然的电流求和点，多接几路输入电阻，各路的 V_k/R_k 就在这个节点上相加，再由 R_f 转成电压。整章只需要一条 KCL，就能推出 V_{OUT}=-\sum (R_f/R_k)V_k。
但"免费"有一个隐含前提：只有反相加法器才真正满足"各路互不影响"。同相加法器看起来输入阻抗更高、输出不反相，实际上所有输入共用同一个节点，谁把电阻改一点，别人的增益就跟着变——这不是"性能差一点"，而是权重根本无法独立设定。这一章把两种结构的推导都做一遍，用一条闭式解把串扰写成可算的数字，再用一个"三路加权、E96 取整、算误差、算带宽、算相位裕度"的完整算例收尾。
符号沿用运放概述：符号、封装与引脚与理想模型五假设与虚短、虚断：开环增益 A_{OL}、闭环增益 A_{CL} 或 G、反馈系数 \beta（不是三极管的电流放大倍数）、环路增益 T=A_{OL}\beta、噪声增益 1/\beta、GBW、PM。虚短、虚断只在负反馈成立（反馈回到反相端）、输出未饱和、|T|\gg1 时才有意义，本章每次使用前都会点明这个前提。减法器的严格电阻匹配与共模抑制见差分放大器与电阻匹配。
1. 设计动机
场景一：三路 0~1 V 传感器合成，源内阻忘了算。 要把三路信号按等权相加成 V_{OUT}=-(V_1+V_2+V_3)，取 R_f=10\ \text{k}\Omega、三只 R_k=10\ \text{k}\Omega。设计上每路权重是 1。但三路传感器的输出内阻各 1 kΩ，实际权重变成 R_f/(R_k+R_s)=10/11=0.909，三路总增益从 3 掉到 2.727，相对误差 -9.1\%——比任何一只电阻的精度都大一个数量级。反相加法器的每一路输入阻抗就是该路的 R_k，源内阻直接串进权重里。
场景二：同相加法器改一只电阻，三路全变。 三路等权、R_1=R_2=R_3=10\ \text{k}\Omega、同相增益 K=10，此时每路增益 3.333。把 R_2 从 10 kΩ 改成 10.1 kΩ（+1%），通道 1 的增益变成 3.344（+0.333%），通道 2 自己变成 3.311（-0.667\%）。如果 R_2 直接改成 20 kΩ（+100%），通道 1 和通道 3 的增益都跳到 4.000（+20%），通道 2 掉到 2.000（-40\%）。这就是串扰：不是信号串过去，是权重被改掉了。
场景三：单电源 5 V 下三路相加，输出被削在 0 V。 三路各 1 V、等权相加，输出应该是 -3\ \text{V}；但 5 V 单电源的输出最低只能到 0 V 附近，负半周全部削平。反相加法器的输出天然是负的，单电源下必须把同相端偏置到 V_{ref}、输入输出交流耦合，或者注入一路直流做电平搬移（见单电源电路与电平偏置搬移）。
| 你想确认 | 先算 | 判据（工程经验值） |
|---|---|---|
| 源内阻会不会改变权重 | 每路 R_k 与源内阻 R_s | R_k\ge1000R_s → 权重误差 ≤0.1% |
| 权重准不准 | w_k=R_f/R_k 与电阻容差 | 0.1% 电阻 → 最坏 0.2% 权重误差 |
| 带宽够不够 | 1/\beta=1+R_f/R_{eq}，R_{eq}=\left(\sum 1/R_k\right)^{-1} | f_{cl}=GBW/(1/\beta)\ge10\times 最高频率 |
| 相位裕度够不够 | 求和节点极点 1/(2\pi(R_f\parallel R_{eq})C_{in}) | 极点 ≥3 倍 f_{cl} → PM ≥55° |
| 直流误差多大 | V_{OS}(1/\beta)+I_BR_f | 小于满量程的 1/10 |
| 未用通道悬空会不会变 | R_{eq} 是否随通道数变 | 带宽与 PM 都要按最坏连接方式重算 |
| 单电源能不能用 | 输出是否要为负 | 要负输出就加偏置或双电源 |
不算会摔在哪，四条带数字的代价：
- 把源内阻当零。 R_k=10\ \text{k}\Omega、R_s=1\ \text{k}\Omega，权重从 1 掉到 0.909，误差 -9.1\%；三路都是这样，满量程 3 V 时误差 273 mV。
- 用同相加法器还想独立调权重。 改一路 100%，别的路变 20%、甚至 40%（场景二），调参过程根本不收敛。
- 用 1% 电阻做加权。 每路权重最坏误差 = 1% + 1% = 2%；对 w_1=2、w_2=0.5、w_3=3 的加权和，三路各 1 V 时最坏输出误差 =(2+0.5+3)\times2\%=110\ \text{mV}，5.5 V 满量程的 2.0%。
- 忽略噪声增益与信号权重的区别。 三路并联后 R_{eq}=18.13\ \text{k}\Omega，噪声增益 1/\beta=6.52，既不是最大权重 3，也不是权重之和 5.5。按 3 算带宽会高估 2.2 倍。
2. 定义与直观
2.1 一句话定义：虚地节点就是求和节点
加法器：把若干路输入电压各经一只电阻接到同一个节点，让各路电流在该节点上按 KCL 相加，再由一只反馈电阻把"和电流"转成输出电压。
- 反相加法器：求和节点是运放的反相端，被负反馈钳在虚地（\approx0\ \text{V}），输出与输入反相。
- 同相加法器：求和节点是运放的同相端，节点电压随信号摆动，之后再被同相放大器放大 K 倍。
两种结构的区别不在"能不能加"，而在求和节点是不是被钳住。节点被钳住，每路电流就只由自己的 V_k 和 R_k 决定，其他路改什么都不影响它；节点不被钳住，节点电压由所有路共同决定，每路的权重里都含着别人的电阻。
前提照例要说清：下面所有推导都假设负反馈闭合（R_f 接回反相端）、输出在线性区、|T|\gg1。三条缺一条，V_-\approx V_+ 就不成立，加法关系随之失效。开环或正反馈时输出贴着电源轨，看上去"还在求和"，其实已经完全不是线性电路。
2.2 反相加法器：虚地让各路"看到"同一个 0 V
把三路输入都接到反相端，这个节点就是求和节点（summing node）。在负反馈成立、输出未饱和的前提下，反相端是虚地 V_-\approx0\ \text{V}，于是：
- 第 k 路流进节点的电流是 I_k=(V_k-0)/R_k=V_k/R_k，只和本路有关；
- 由虚断 I_-=0，这些电流不能流进运放，只能全部流过 R_f；
- 流过 R_f 的电流是 \sum I_k，在 R_f 上产生压降，输出因此是 -\sum I_kR_f。
"互不影响"的物理原因就在这里：虚地把求和节点的电位钉在 0 V，每路的电压差被这个 0 V 固定住，所以第 2 路怎么变，都不会改变第 1 路两端的电压差，也就不会改变第 1 路的电流。这不是"设计得好"，而是负反馈强制出来的结构性质。
还有一个更强的结论：因为整个网络是线性的，叠加原理严格成立。多路同时输入时的输出，精确等于每路单独作用时输出的和；任何一路的电压都不会以"乘积项"或"交叉项"的形式出现在别的路的贡献里。第 3 节会给出保留有限 A_{OL} 时的完整表达式，那里也没有交叉项。
2.3 同相加法器：一个节点捆住所有路
同相加法器把输入汇到同相端：各路经 R_k 接到节点 P（V_+），节点 P 再经 R_g 接地（也可以不接，即 R_g\to\infty），输出经 R_f、R_a 分压送回反相端，构成同相放大，增益 K=1+R_f/R_a。
节点 P 的电压由 KCL 决定：
\frac{V_+-V_1}{R_1}+\frac{V_+-V_2}{R_2}+\cdots+\frac{V_+}{R_g}=0整理后 V_+ 是各路电压的加权平均，权重是各自电导 1/R_k 占总电导的比例。问题就出在这个"占比"上：总电导里含着所有路的 1/R_k，所以任何一路的电阻一变，所有权重的分母都变，每路的增益都跟着变。
2.4 类比：定压水槽与浮动水桶
反相加法器像几个水龙头往一个定压水槽里放水：水槽的液面被伺服机构死死钳在 0，每个龙头的流量只由自己的开度（1/R_k）和上游水压（V_k）决定。你把 2 号龙头开大，1 号龙头的流量一点不变，只是总流量变大、水槽的排水口（R_f）水位升高。
同相加法器像一个浮动的桶：所有龙头共用一个水位，谁开大一点，水位就往上走，于是所有龙头的流量都变。你想让 1 号龙头多流一点，结果发现 2 号、3 号的流量也跟着动了。
类比的边界：水槽的"定压"不是天生的，是负反馈按出来的。一旦输出撞到电源轨，伺服就按不动了，液面立刻随各路流量漂走——这时"各路互不影响"瞬间失效，而且从外表看电路还在工作。判断虚地是否有效，看的是输出有没有离开线性区，不是看反相端电压接不接近 0 V。
2.5 减法器与加减混合：标题里为什么有"减法"
加法器解决"相加"，减法器解决"相减"。最常用的减法电路是四电阻差分放大器：V_2 经 R_2 接同相端、同相端再经 R_g 接地，V_1 经 R_1 接反相端、R_f 从输出接回反相端。当 R_1=R_2 且 R_f=R_g 时
V_{OUT}=\frac{R_f}{R_1}\left(V_2-V_1\right)它本质上是"同相加法器 + 反相加法器"的组合：同相端那一路被 1+R_f/R_1 放大，反相端那一路被 -R_f/R_1 放大，两者相减。但差分放大器的精度不取决于单只电阻的绝对值，而取决于四只电阻的比值匹配：任何一只偏离，CMRR 就掉下来（定量分析见差分放大器与电阻匹配）。
本章的主线仍是加法器——因为减法器的每一半都是加法器，把"哪一路放在同相端、哪一路放在反相端"想清楚，加减混合电路就不需要另记公式。
3. 定量关系
3.1 反相加法器的推导
前提：负反馈闭合（R_f 回到反相端）、输出未饱和、|T|\gg1。于是可用虚短 V_-=V_+=0（同相端接地）与虚断 I_-=0。对反相端列 KCL：
\sum_{k=1}^{n}\frac{V_k-0}{R_k}+\frac{V_{OUT}-0}{R_f}=0移项并乘 R_f：
V_{OUT}=-R_f\sum_{k=1}^{n}\frac{V_k}{R_k}=-\sum_{k=1}^{n}w_kV_k,\qquad w_k=\frac{R_f}{R_k}符号与单位：V_{OUT}、V_k 单位 V；R_f、R_k 单位 Ω；权重 w_k=R_f/R_k 无量纲（V/V），本身是正数，输出整体的负号来自"信号从 R_k 进、从 R_f 出"这个反相拓扑，不来自权重。这一点与反相放大器完全一致：\beta 仍是正数，负反馈的判据看的是 T=A_{OL}\beta 的相位，不是闭环增益的符号。
保留有限 A_{OL} 的修正式。设 V_-=-V_{OUT}/A_{OL}，对反相端列 KCL 并消去 V_-，可整理为
V_{OUT}=-\frac{R_f\sum_{k=1}^{n}\dfrac{V_k}{R_k}}{1+\dfrac{1+R_f\sum_{k=1}^{n}\dfrac{1}{R_k}}{A_{OL}}}这个式子值得盯着看三秒：分母里只有各路电导之和，没有交叉项。也就是说，有限的 A_{OL} 只是把所有路的贡献一起乘上一个公共因子
\frac{1}{1+1/T_0},\qquad T_0=A_{OL}\beta,\qquad \beta=\frac{R_{eq}}{R_{eq}+R_f},\qquad R_{eq}=\left(\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{R_k}\right)^{-1}它让总增益小一点点，但不会让第 2 路影响第 1 路。第 4.2 节会把这一点算成具体数字，并与同相加法器对比。
3.2 权重、权重精度与"精度由电阻比值决定"
权重 w_k=R_f/R_k 是两只电阻的比值，所以权重的相对误差也是两只电阻相对误差的组合：
\frac{\Delta w_k}{w_k}=\frac{\Delta R_f}{R_f}-\frac{\Delta R_k}{R_k},\qquad \left|\frac{\Delta w_k}{w_k}\right|_{\max}=\left|\frac{\Delta R_f}{R_f}\right|+\left|\frac{\Delta R_k}{R_k}\right|- 0.1% 薄膜电阻：最坏 0.2\%，按均方根合成 \sqrt{0.1^2+0.1^2}=0.141\%。
- 1% 电阻：最坏 2\%，均方根 1.41\%。
绝对误差要乘上权重。权重 w_k=3 的那一路，0.1% 的比值误差对应输入 1 V 时 3\times1\ \text{V}\times0.2\%=6\ \text{mV} 的输出误差；权重 0.5 的那一路同样 0.2% 只有 1 mV。所以高权重通道要优先用高精度电阻，或者干脆把权重拆成两级（先按最大权重归一化，再用一级固定增益）。
三条实操结论：
- 精度由比值决定，不由绝对值决定。 同一批 0.1% 电阻的绝对值可能都偏 +0.08%，但比值仍然很准；反过来，两只 1% 电阻的绝对值都"很标准"，比值照样可能差 2%。买电阻时看的是容差与温度系数，不是标称值。
- E96 取整误差是系统误差，可以校准。 例如把 R_f=100\ \text{k}\Omega、w_3=3 取成 R_3=33.2\ \text{k}\Omega，实际权重是 3.012，多出 +0.4\%。这个偏差是确定的、可复现的，出厂校准能把它校掉；电阻容差是随机的，校不掉。
- 温度跟踪比绝对值更重要。 同一封装内的电阻网络（或同一批同一料号）温度系数接近，比值随温度的变化远小于单个电阻的变化（典型跟踪量级 5~25 ppm/°C，具体以数据手册为准）。用分立电阻做高精度加权时，最好选同一厂家、同一温度系数档位、同一封装尺寸的料号。
3.3 输入阻抗、噪声增益与带宽
输入阻抗。虚地让每一路的负载就是它自己的 R_k：
Z_{in,k}\approx R_k这是反相加法器最容易被忽略的一条：加法器的输入阻抗不是"运放的输入阻抗"，而是你选的 R_k。三路权重不同，三路输入阻抗就不同——权重 3 的那一路 R_k 最小、最好驱动；权重 0.5 的那一路 R_k 最大、最容易被源内阻改变权重。
噪声增益。所有输入电阻在交流上都并在求和节点与地之间（源是低阻输出时，其输出端对交流是地），所以
\frac{1}{\beta}=1+\frac{R_f}{R_{eq}}=1+R_f\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{R_k}三个必须分清的量：
| 量 | 表达式 | 本例（第 4.1 节） | 决定什么 |
|---|---|---|---|
| 单路信号权重 | w_k=R_f/R_k | 2、0.5、3 | 该路的信号放大倍数 |
| 权重之和 | \sum w_k | 5.5 | 满量程输出 |
| 噪声增益 | 1/\beta=1+R_f/R_{eq} | 6.52 | 带宽、噪声、失调放大 |
带宽按噪声增益算：
f_{cl}=\frac{GBW}{1/\beta}=\frac{GBW}{1+R_f/R_{eq}}注意 R_{eq} 是所有 R_k 的并联。路数越多，R_{eq} 越小，噪声增益越大，带宽越窄——这跟"我只用一路，权重也只有 3"的直觉相反。第 4.1 节会看到：三路全接时 f_{cl}=1.53\ \text{MHz}，只接一路时 f_{cl}=3.33\ \text{MHz}，差 2.2 倍。
未用通道悬空会改变噪声增益。如果某一路的信号源被拔掉，那一路的 R_k 就悬空，不再参与 R_{eq}，噪声增益变小、f_{cl} 变高，但求和节点的极点频率也跟着变，相位裕度可能明显变差（第 4.1 节给数字）。工程做法：未用的通道把 R_k 的输入端接地，而不是让它悬空。
3.4 同相加法器：权重与串扰的闭式解
对节点 P 列 KCL，并记
R_{par}=R_g\parallel R_1\parallel\cdots\parallel R_n=\left(\frac{1}{R_g}+\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{R_k}\right)^{-1}则节点电压与各路增益为
V_+=R_{par}\sum_{k=1}^{n}\frac{V_k}{R_k},\qquad V_{OUT}=K V_+,\qquad A_k=\frac{\partial V_{OUT}}{\partial V_k}=K\frac{R_{par}}{R_k}其中 K=1+R_f/R_a 是同相放大级的增益。每一路的增益里都含着 R_{par}，而 R_{par} 含着所有路的电阻——这就是串扰的数学形态。
把 R_{par} 的定义代进去求偏导，得到两个干净的闭式解。改变第 j 路的 R_j 时：
\frac{\Delta A_k}{A_k}=\frac{R_{par}}{R_j}\cdot\frac{\Delta R_j}{R_j}\quad(k\neq j),\qquad \frac{\Delta A_j}{A_j}=\left(\frac{R_{par}}{R_j}-1\right)\frac{\Delta R_j}{R_j}串扰系数就是 R_{par}/R_j，它恰好等于第 j 路的归一化增益 A_j/K。三条推论：
- 路数越多，串扰系数越小，但单路增益也同比例变小。 等阻、R_g\to\infty 时 R_{par}=R/n，串扰系数 =1/n，单路增益 =K/n。两者之比恒为 1/K，与路数无关——加路数不能改善串扰，只能靠提高 K。两路时改一路 1% 动另一路 0.5%，四路时 0.25%，但四路时每路增益也只剩 K/4。
- 加重载 R_g 能压串扰，但要拿增益换。 R_g 减小使 R_{par} 减小、串扰系数下降；可 A_k=K R_{par}/R_k 同比例下降，要保持同样的输出幅度就得把 K 提高同样的倍数。第 5.2 节会算：串扰降 10 倍，K 要从 10 提到 100，带宽和噪声一起恶化 10 倍。
- 改一路，自己被改得最狠。 由第二式，R_{par}/R_j<1 时，被改的那一路增益变化是负的，而且幅度比别的路大。等阻三路时 R_{par}/R_j=1/3：改 R_2 1%，别的路 +0.333%，R_2 自己 -0.667\%。
输入阻抗也不高。第 k 路看到的阻抗是它自己的 R_k 加上节点 P 对地的其余并联电阻：
Z_{in,k}=R_k+\left(R_g\parallel R_1\parallel\cdots\parallel R_{k-1}\parallel R_{k+1}\parallel\cdots\parallel R_n\right)三路等阻 10 kΩ、R_g\to\infty 时，Z_{in}=10\ \text{k}\Omega+5\ \text{k}\Omega=15\ \text{k}\Omega——只比反相加法器的 10 kΩ 高 1.5 倍，离"高输入阻抗"差得远。同相加法器的高输入阻抗只在"单路、R_k 很大"时才成立；多路共用节点时，阻抗由电阻网络决定，不由 R_{icm} 决定。
3.5 两种加法器的关键差异
| 项目 | 反相加法器 | 同相加法器 |
|---|---|---|
| 求和节点 | 反相端，虚地（\approx0\ \text{V}） | 同相端，随信号摆动 |
| 各路是否独立 | 是，叠加原理严格成立，无交叉项 | 否，改一路动全部 |
| 串扰系数 | \approx0（仅剩 1/T_0 的公共因子） | R_{par}/R_j，等阻时 1/n |
| 单路增益 | R_f/R_k（反相） | K R_{par}/R_k（同相） |
| 输入阻抗 | R_k | R_k+ 其余路并联 |
| 输入端共模电压 | \approx0（虚地） | 等于 V_+，随信号变 |
| 噪声增益 | 1+R_f/R_{eq} | K |
| 权重能否独立设定 | 能 | 不能 |
| 单电源友好度 | 差（输出为负） | 好（输出为正） |
| 元件数 | n+1 只电阻 | n+2 只电阻（含 R_g、分压） |
3.6 适用条件与失效边界
- 负反馈必须回到反相端。 接错到同相端就是正反馈，输出锁死，虚地与求和关系全部失效；这是上电前必须核对的一项。
- 输出必须在线性区。 反相加法器输出为负，单电源下撞 0 V 就是饱和；多路同时满幅时输出是权重之和乘以输入，最容易被忽略。
- |T|\gg1。 低频、低噪声增益时 T 很大；路数少、R_{eq} 大、R_f 大时 T 下降，增益误差按 1/(1+T_0) 增大。
- 源内阻远小于 R_k。 否则权重变成 R_f/(R_k+R_s)，而且每一路的偏差还不一样，等于人为制造了失配。
- 求和节点的电容要小。 所有 R_k 并联后与 R_f 一起跟 C_{in} 形成极点，路数越多、R_{eq} 越小极点越高；但只用少数通道时极点会显著下降，PM 要按最坏连接方式核算。
- 同相加法器还要多看一条：输入共模范围。 V_+ 随信号摆动，单电源下必须落在 ICMR 内，否则输入级截止（见同相比例放大器）。
4. 典型计算
4.1 完整算例：设计 V_{OUT}=-(2V_1+0.5V_2+3V_3)
需求：三路输入各 \pm1\ \text{V}，输出 V_{OUT}=-(2V_1+0.5V_2+3V_3)，满量程 \pm5.5\ \text{V}；双电源 \pm15\ \text{V}；闭环带宽不低于 100 kHz；用 E96 系列 0.1% 薄膜电阻；运放取 A_{OL0}=10^5、GBW=10 MHz、C_{in}=5\ \text{pF}、V_{OS}=1\ \text{mV}、I_B=25\ \text{nA}（典型量级，以数据手册为准）。
第 1 步：定 R_f。 取 R_f=100\ \text{k}\Omega（E96 有 100），这是权重公式的公共分子。R_f 取大一点可以让 R_k 落在"不太小"的区间，但超过几百 kΩ 后偏置电流误差与噪声开始变差。
第 2 步：按权重反算 R_k。 R_k=R_f/w_k：
| 通道 | 目标权重 w_k | 理论 R_k | E96 取整 | 实际权重 R_f/R_k | 权重误差 |
|---|---|---|---|---|---|
| V_1 | 2 | 50.0 kΩ | 49.9 kΩ | 2.0040 | +0.200\% |
| V_2 | 0.5 | 200 kΩ | 200 kΩ | 0.5000 | 0\% |
| V_3 | 3 | 33.33 kΩ | 33.2 kΩ | 3.0120 | +0.402\% |
三只电阻都取 E96、0.1%。E96 里没有 50.0 kΩ（48.7 与 51.1 之间是 49.9），也没有 33.33 kΩ（最近是 33.2），所以取整误差是必然的。这是系统误差，可以校准；0.1% 的容差是随机误差，校不掉。
第 3 步：满量程验算。 三路都取 1.000 V：
V_{OUT}=-(2.0040+0.5000+3.0120)\times1.000\ \text{V}=-5.5161\ \text{V}理想值是 -5.5000\ \text{V}，误差 -16.1\ \text{mV}，相对满量程 -0.292\%。对 5 V/12 位 ADC（1 LSB =1.22\ \text{mV}）相当于 13 个 LSB——还没算电阻容差，光取整就已经超了。
第 4 步：输入阻抗与源内阻预算。 每路输入阻抗等于该路 R_k：49.9 kΩ、200 kΩ、33.2 kΩ。若源内阻 R_s=100\ \Omega，权重误差分别为
\frac{R_s}{R_1}=\frac{100}{49900}=0.200\%,\qquad \frac{R_s}{R_2}=\frac{100}{200000}=0.050\%,\qquad \frac{R_s}{R_3}=\frac{100}{33200}=0.301\%最小 R_k 的那一路决定源内阻预算：要把权重误差压到 0.1%，R_s 必须满足 R_s\le0.1\%\times33.2\ \text{k}\Omega=33\ \Omega。源内阻 1 kΩ 时，第 3 路权重会偏 3.0\%——比电阻容差大 15 倍，必须加缓冲。
第 5 步：噪声增益。 先算 R_{eq}：
\frac{1}{R_{eq}}=\frac{1}{49.9\ \text{k}}+\frac{1}{200\ \text{k}}+\frac{1}{33.2\ \text{k}}=20.04+5.00+30.12=55.16\ \mu\text{S}R_{eq}=\frac{1}{55.16\ \mu\text{S}}=18.13\ \text{k}\Omega,\qquad \beta=\frac{18.13}{18.13+100}=0.15347\frac{1}{\beta}=1+\frac{R_f}{R_{eq}}=1+\frac{100}{18.13}=6.516这个 6.52 既不是最大权重 3，也不是权重之和 5.5。 它是"所有输入电阻并联"的结果，由反馈网络对误差的放大倍数决定，与信号怎么分配无关。
第 6 步：带宽。
f_{cl}=\frac{GBW}{1/\beta}=\frac{10\ \text{MHz}}{6.516}=1.535\ \text{MHz}比 100 kHz 的要求高 15 倍，满足。若误按最大权重 3 算，会得到 f_{cl}=3.33\ \text{MHz}，高估 2.2 倍；这个错误会让人以为 3 MHz 的运放够用，实际只够 1.5 MHz。
第 7 步：求和节点极点与相位裕度。 求和节点对地的交流电阻是 R_f\parallel R_{eq}：
R_f\parallel R_{eq}=\frac{100\times18.13}{100+18.13}=15.35\ \text{k}\Omegaf_p=\frac{1}{2\pi(R_f\parallel R_{eq})C_{in}}=\frac{1}{2\pi\times15350\times5\times10^{-12}}=2.074\ \text{MHz}极点只有 f_{cl} 的 1.35 倍，相位裕度必须实算。由 |T|=1 的方程 u^2(1+u^2)=(f_{c0}/f_p)^2（f_{c0}=GBW/(1/\beta)=1.535\ \text{MHz}，推导见稳定性：伯德图、相位裕度与补偿）：
\frac{f_{c0}}{f_p}=\frac{1.535}{2.074}=0.740,\qquad u^2=\frac{-1+\sqrt{1+4\times0.740^2}}{2}=0.393u=0.627,\qquad f_c=u f_p=1.30\ \text{MHz},\qquad PM=180^{\circ}-90^{\circ}-\arctan(0.627)=57.9^{\circ}57.9° 可以接受（一般要求 ≥45°，精密场合 ≥60°），但余量已经不多。把 C_{in} 换成 10 pF（长走线、多路并联焊盘会这样）：
f_p=\frac{1}{2\pi\times15350\times10\times10^{-12}}=1.037\ \text{MHz},\qquad u=1.031,\qquad f_c=1.069\ \text{MHz}PM=180^{\circ}-90^{\circ}-\arctan(1.031)=44.1^{\circ}掉到临界值。这就是"多路加法器要把求和节点做小"的定量理由：C_{in} 每翻一倍，PM 掉十几度。
第 8 步：未用通道悬空会怎样。 只接第 1 路、另两路悬空时，R_{eq}=49.9\ \text{k}\Omega：
\frac{1}{\beta}=1+\frac{100}{49.9}=3.004,\qquad f_{c0}=\frac{10\ \text{MHz}}{3.004}=3.33\ \text{MHz}R_f\parallel R_{eq}=33.31\ \text{k}\Omega,\qquad f_p=\frac{1}{2\pi\times33310\times5\times10^{-12}}=0.956\ \text{MHz}u=1.738,\qquad f_c=1.66\ \text{MHz},\qquad PM=180^{\circ}-90^{\circ}-\arctan(1.738)=30.0^{\circ}带宽变宽了，稳定性却变差了：f_c 从 1.30 MHz 升到 1.66 MHz，而极点还留在 0.956 MHz，PM 从 57.9° 掉到 30.0°，示波器上能看到明显振铃。解决很简单：未用通道的 R_k 输入端接地，让 R_{eq} 保持三路并联的值。
第 9 步：直流误差预算。 三项主导：
| 误差源 | 折合到输入 | 输出误差 | 说明 |
|---|---|---|---|
| V_{OS}=1\ \text{mV} | 1 mV | 6.52\ \text{mV} | 乘噪声增益 6.52 |
| I_B=25\ \text{nA} | — | I_BR_f=2.50\ \text{mV} | 偏置电流全部流过 R_f，与 R_{eq} 无关 |
| 电阻容差 0.1% | 每路 0.2% | 5.5\ \text{V}\times0.2\%=11.0\ \text{mV} | 最坏相加，三路同向 |
| E96 取整 | 见第 2 步 | 16.1\ \text{mV} | 系统误差，可校准 |
| PSRR 80 dB、电源变化 50 mV | 5\ \mu\text{V} | 0.033\ \text{mV} | 可忽略 |
最坏值（容差 + V_{OS} + I_B）=11.0+6.52+2.50=20.0\ \text{mV}，加取整误差 36.1 mV，占 5.5 V 满量程的 0.66%。按均方根合成（容差项 \sqrt{3} 路独立：\sqrt{(2\times0.002)^2+(0.5\times0.002)^2+(3\times0.002)^2}=7.28\ \text{mV}）约 \sqrt{7.28^2+6.52^2+2.50^2}=10.2\ \text{mV}，加取整 26.3 mV。
第 10 步：汇总。
| 项目 | 结果 | 公式 |
|---|---|---|
| 各路权重 | 2.004 / 0.500 / 3.012 | R_f/R_k |
| 满量程输出（三路各 1 V） | -5.5161\ \text{V} | -\sum w_kV_k |
| 取整误差 | -16.1\ \text{mV}（-0.292\%） | 与理想值比较 |
| 输入阻抗 | 49.9 / 200 / 33.2 kΩ | R_k |
| 源内阻预算（≤0.1%） | 33 Ω（由第 3 路决定） | R_s\le0.1\%R_k |
| 噪声增益 | 6.516 | 1+R_f/R_{eq} |
| 闭环带宽 | 1.535 MHz | GBW/(1/\beta) |
| PM（C_{in}=5\ \text{pF}） | 57.9° | 180^{\circ}-90^{\circ}-\arctan u |
| PM（未用通道悬空） | 30.0° | 同上 |
| 直流误差（最坏 / RSS） | 20.0 / 10.2 mV | 各项合成 |
4.2 串扰对比算例：把一只电阻改 1%
同相加法器：三路等阻 10\ \text{k}\Omega、R_g\to\infty、K=10。R_{par}=10/3=3.333\ \text{k}\Omega，每路增益
A_k=K\frac{R_{par}}{R_k}=10\times\frac{3.333}{10}=3.333改 R_2 为 10.1 kΩ（+1%）。串扰系数 R_{par}/R_2=1/3：
\frac{\Delta A_1}{A_1}=\frac{1}{3}\times1\%=+0.333\%,\qquad \frac{\Delta A_2}{A_2}=\left(\frac{1}{3}-1\right)\times1\%=-0.667\%直接代入验算：\sum1/R=1/10+1/10.1+1/10=0.29901\ \text{mS}，A_1=10\times(0.1/0.29901)=3.3444，A_2=10\times(0.09901/0.29901)=3.3113，与闭式解一致。
反相加法器（第 4.1 节那组）：改 R_2 为 202 kΩ（+1%），R_{eq} 从 18.129 kΩ 变成 18.145 kΩ，噪声增益从 6.5161 变成 6.5111，公共因子变化
\frac{\Delta V_{OUT}}{V_{OUT}}\approx\frac{1}{T_0}\cdot\frac{\Delta T_0}{T_0}=\frac{1}{15347}\times7.6\times10^{-4}=5.0\times10^{-8}约 0.000005\%，比同相加法器的 0.333% 小约 4.8 个数量级（3.33\times10^{-3}/5.0\times10^{-8}=6.7\times10^{4}）。而且这 0.000005% 是所有路一起变，不是"通道 1 被通道 2 带偏"——从信号意义上说，反相加法器的串扰是零。
对比表：
| 改动 | 反相加法器 | 同相加法器 |
|---|---|---|
| R_2 +1% | 各路 \approx0（5\times10^{-8}） | 其余路 +0.333\%，自己 -0.667\% |
| R_2 +100% | 各路 \approx0 | 其余路 +20\%，自己 -40\% |
结论：反相加法器的"独立性"是结构性的、不随精度等级变化的；同相加法器的串扰是拓扑决定的，换更高精度的电阻只会让"设定的权重"更准，不会让各路独立。
4.3 权电阻求和 DAC：权重范围决定成败
把数字位的开关接到反相加法器的各路输入，第 k 位用 R_k=R_f/2^k，输出就是
V_{OUT}=-R_f\sum_{k=0}^{n-1}\frac{D_k}{2^kR},\qquad D_k\in\{0,1\}- 8 位时最大与最小电阻之比 2^7=128:1。取 R_f=10\ \text{k}\Omega，最小 R_0=10\ \text{k}\Omega/2^0 与最大 R_7=R_f/128=78.1\ \Omega——注意权重越大电阻越小，所以最小电阻是 78 Ω，最大是 10 kΩ 的 128 倍即 1.28 MΩ（对应最低位）。
- 78 Ω 这一路：开关导通电阻 R_{on} 若为 20 Ω，权重误差 20/78=26\%，最高位直接失准。
- 1.28 MΩ 这一路：25 nA 偏置电流在它上面产生 32 mV 的误差；热噪声 \sqrt{4kTR}=146\ \text{nV}/\sqrt{\text{Hz}}。
- 所以实际 DAC 用 R-2R 梯形网络（只有 R 与 2R 两种阻值），或用集成 DAC。权电阻结构的价值在于原理直观，不在于工程实现。
同一套电路换个用法就是"电平搬移"和"音频混合"：前者在某一路注入稳定直流 V_{off}，输出叠加一个可调偏置；后者把多路音频经各自电阻汇入虚地，R_f 定总增益。两者的共同点仍是虚地让各路独立。
5. 工程含义
5.1 数量级表
| 量 | 典型范围 | 备注 |
|---|---|---|
| R_f | 1\ \text{k}\Omega\sim1\ \text{M}\Omega | 甜点区 10\ \text{k}\Omega\sim100\ \text{k}\Omega |
| R_k | R_f/w_k | 权重范围建议 ≤10:1，超过就换 R-2R 或两级 |
| 权重 | 0.1~10 | 超过 10:1 时最小 R_k 太小、最大 R_k 太大 |
| 输入阻抗 | =R_k | 高阻源必须加缓冲 |
| 噪声增益 | 1+R_f/R_{eq} | 与权重无关，由并联值决定 |
| f_{cl} | GBW/(1+R_f/R_{eq}) | 路数越多越窄 |
| 求和节点极点 | 1/(2\pi(R_f\parallel R_{eq})C_{in}) | 要 ≥3 倍 f_{cl} |
| 直流误差 | V_{OS}(1/\beta)+I_BR_f | 两项量级相当 |
5.2 为什么同相加法器在实际中很少用
四条定量理由，按"能不能救"排序：
（1）权重不能独立设定，这是拓扑缺陷，救不了。 3.4 节的两个闭式解说明：改一路，其余所有路都按 R_{par}/R_j 变化。多通道系统里"先调 1 路、再调 2 路、再回头发现 1 路变了"的循环，就是这条公式的现场版。反相加法器没有这个问题：w_k=R_f/R_k 只含本路电阻与公共的 R_f。
（2）要压串扰必须拿增益换，代价是带宽与噪声。 目标：把三路等阻时的串扰系数从 1/3 压到 1/30。由串扰系数 =R_{par}/R_k，需 R_{par}=10\ \text{k}\Omega/30=333\ \Omega。三路并联已是 3.333 kΩ，要再并一只 R_g：
\frac{1}{333}=\frac{1}{3333}+\frac{1}{R_g}\ \Rightarrow\ R_g=370\ \Omega要保持每路增益仍是 3.333，K 必须提到 3.333/(333/10000)=100
K=1+\frac{R_f}{R_a}=100\ \Rightarrow\ \frac{R_f}{R_a}=99噪声增益从 10 变成 100，闭环带宽变成原来的 1/10，输出噪声按噪声增益放大 10 倍。串扰降 10 倍，带宽和噪声各付 10 倍——这笔账在同相加法器上永远躲不掉。
（3）输入阻抗只高 1.5 倍，不是"无穷大"。 3.4 节算过：三路 10 kΩ 等阻时 Z_{in}=15\ \text{k}\Omega，反相加法器是 10 kΩ。要真正高阻，得把 R_k 提到 MΩ 级，那时偏置电流（25 nA × 1 MΩ = 25 mV）和电阻热噪声（\sqrt{4kT\times1\ \text{M}\Omega}=129\ \text{nV}/\sqrt{\text{Hz}}）双双恶化。"同相加法器输入阻抗高"这句话，只在单路或 R_k 很大的时候成立；多路共用节点时它是个错觉。
（4）共模电压随信号摆动，受 ICMR 限制。 反相加法器的求和节点固定在 \approx0\ \text{V}，只要运放允许 0 V 共模，三路信号可以在任意共模下工作；同相加法器的 V_+ 本身就是加权平均信号，必须落在输入共模范围内，单电源下还要额外抬偏置。
所以要"多路独立加权"，选反相加法器；要"高输入阻抗"，每路先加电压跟随器再进反相加法器；要"抑制共模、只取差值"，选差分放大器或仪表放大器（三运放）。同相加法器的位置很窄：单电源、输出必须为正、路数少、权重固定不需要调整。
5.3 单电源与电平搬移
反相加法器的输出天然为负，5 V 单电源下必须把整个输出"抬"到 V_{CC}/2。最直接的作法是多注入一路稳定直流（图见下）：
要静态点等于 2.5 V（5 V 单电源的中点），取 V_{off}=2.5\ \text{V}（基准源，不能直接取电源分压，否则偏置随电源漂）：
\frac{R_f}{R_{off}}\times2.5\ \text{V}=-2.5\ \text{V}\ \Rightarrow\ R_{off}=R_f=100\ \text{k}\Omega交流项仍是 -R_f/R_1，与偏置项互不影响——这又一次体现了虚地的价值：注入直流不会改变交流权重。输入输出都要交流耦合，耦合电容与 R_1 形成高通，截止频率 1/(2\pi R_1C) 要低于最低信号频率的 1/10。细节见单电源电路与电平偏置搬移。
5.4 布局：求和节点是全板最"脏"的节点
- 求和节点走线要短。 三只 R_k 与 R_f 都汇到这一点，焊盘电容、走线电容、运放 C_{in} 全部叠加。第 4.1 节算过：C_{in} 从 5 pF 到 10 pF，PM 从 57.9° 掉到 44.1°。多路加法器的求和节点往往比单路反相放大更长，这一点尤其要注意。
- 各路地回流分开走。 如果三路信号源共用一段地线，第 3 路的回流电流会在地线电阻上产生压降，串进第 1 路的参考。定量：地线电阻 10 mΩ、某路回流 100 mA（大信号或容性负载时可能出现），地弹 1 mV，经权重 3 放大就是 3 mV。这是真实存在的"模拟串扰"，与拓扑无关，只能靠布局解决。
- 反馈电阻紧靠反相端。 R_f 的一端尽量短接到求和节点，另一端靠近输出，不要从板子另一头绕回。
- 电源退耦。 每个电源脚就近 100 nF，双电源正负各一只；退耦不良表现为输出高频毛刺，容易被误判为"运放噪声大"。
5.5 模型什么时候不够用
- 源内阻与 R_k 可比：权重按 R_f/(R_k+R_s) 重算，每路偏差还不同。
- 通道数多、R_{eq} 小：噪声增益变大、带宽变窄，且 T_0 下降使增益误差上升。
- 只用少数通道：R_{eq} 变大，f_c 升高、PM 变差（第 4.1 节第 8 步）。
- 大信号：输出电流限、压摆率、饱和恢复进入预算；多路同时满幅时输出摆幅最容易越界。
- 精密直流：V_{OS}、I_B、电阻失配、热电偶效应全部进入预算，V_{OS} 与失配通常是前两位。
- 高频接近 f_{cl}：单极点模型只能给量级，第二极点与 C_{in} 极点必须一起算。
6. 常见坑
现象：三路等权加法器，某一路接上高内阻传感器后，该路输出明显变小，换低阻源立刻正常。原因：把加法器输入阻抗当成"运放的无穷大输入阻抗"；实际 Z_{in,k}=R_k，源内阻与 R_k 串联分压，权重变成 R_f/(R_k+R_s)。解决：按 R_f/(R_k+R_s) 重算权重；高阻源前面加跟随器；或把该路 R_k 加大（同时核算噪声与偏置电流）。
现象：同相加法器调 R_2 想让通道 2 增益变小，结果通道 1、3 的增益一起变大，越调越乱。原因：所有输入共用同相端节点，A_k=K R_{par}/R_k，R_{par} 含所有路的电阻。解决：需要独立权重就换反相加法器；如果必须用同相加法器，按 3.4 节的闭式解一次性联立求解，不要逐路试调。
现象：用 1% 电阻搭的三路加权和，实测满量程误差 100 mV 以上，换 0.1% 电阻仍剩十几 mV。原因：前者的主导项是电阻容差（最坏 2% 权重误差），后者是 E96 取整误差（系统误差）。解决：容差问题用 0.1% 或电阻网络；取整误差用校准消除，或在设计阶段就选比值精确的 E96 组合。
现象：三路加法器只接一路使用时出现振铃，三路全接反而正常。原因：未用通道悬空使 R_{eq} 变大，噪声增益变小、f_c 升高，而求和节点极点频率下降（R_f\parallel R_{eq} 变大），PM 从 57.9° 掉到 30.0°。解决：未用通道的 R_k 输入端接地，不要悬空；或按单路连接方式重算 PM 并加前馈电容。
现象：单电源 5 V 供电，输入为 0 时输出卡在 0 V 附近，一加信号下半周就被削平。原因：反相加法器输出为负，单电源没有负摆幅；同相端又接地，静态点就是 0 V。解决：同相端偏置到 V_{ref}（典型 V_{CC}/2），输入输出交流耦合；或注入一路稳定直流做电平搬移（5.3 节）；或改用双电源。
现象：电路在面包板上正常，做成 PCB 后噪声与串扰明显变大，某一路信号"串"到另一路。原因：求和节点走线变长使 C_{in} 增大、PM 下降；三路共用一段地线，回流在地线电阻上形成共阻抗耦合。解决：缩短求和节点走线、各路地线单点汇合、必要时给高阻节点加保护环；用示波器看地线上的实际压降，而不是只看输出电压。
现象：反馈电阻 R_f 虚焊或错接到同相端，输出锁在电源轨，输入加信号也不动。原因：前者使负反馈断开，后者把负反馈变成正反馈，V_{OUT}=A_{OL}V_{IN}/(1-A_{OL}\beta) 分母趋零。解决：先量电源脚，再用万用表确认 R_f 两端连通性；核对反馈是否回到反相端；必要时先接成跟随器验证器件。
7. 自测题
三路反相加法器，R_f=100\ \text{k}\Omega，R_1=50\ \text{k}\Omega、R_2=200\ \text{k}\Omega、R_3=33.3\ \text{k}\Omega，三路输入都是 0.5 V，输出是多少？如果三路源内阻都是 1 kΩ 呢？
理想情况：
V_{OUT}=-100\left(\frac{0.5}{50}+\frac{0.5}{200}+\frac{0.5}{33.3}\right)=-(1.000+0.250+1.502)=-2.752\ \text{V}若每路源内阻 1 kΩ，权重变成 R_f/(R_k+1\ \text{k}\Omega)：
V_{OUT}=-0.5\times100\left(\frac{1}{51}+\frac{1}{201}+\frac{1}{34.3}\right)=-0.5\times100\times(0.019608+0.004975+0.029155)=-2.687\ \text{V}误差 -65\ \text{mV}（-2.4\%）。注意误差不是均匀分布的：R_3 最小、受影响最大（权重从 3.003 掉到 2.915，-2.9\%），R_2 最大、几乎不受影响（-0.5\%）。三路的相对偏差不同，等于人为制造了失配。
为什么反相加法器各路"互不影响"，而同相加法器会互相牵连？用一句话说清物理原因，再用公式说明。
物理原因：反相加法器的求和节点被负反馈钳在虚地（\approx0\ \text{V}），每路电阻两端的电压差只由本路输入决定；同相加法器的求和节点电压由所有路共同决定，任何一路的电阻都出现在所有路权重的分母里。
公式：反相加法器 w_k=R_f/R_k，只含本路电阻与公共的 R_f；同相加法器 A_k=K R_{par}/R_k，而 R_{par}=R_g\parallel R_1\parallel\cdots\parallel R_n 含所有路。改 R_j 时，反相加法器只有 w_j 变，同相加法器所有 A_k 都按 R_{par}/R_j 变化。
三路等阻同相加法器，R_1=R_2=R_3=10\ \text{k}\Omega、K=10、R_g 开路。求每路增益、串扰系数；若把 R_2 改成 10.1 kΩ，各路增益各变成多少？
R_{par}=10/3=3.333\ \text{k}\Omega，每路增益
A_k=K\frac{R_{par}}{R_k}=10\times\frac{3.333}{10}=3.333串扰系数 R_{par}/R_k=1/3。改 R_2 为 10.1 kΩ：
\frac{\Delta A_1}{A_1}=+\frac{1}{3}\times1\%=+0.333\%,\qquad \frac{\Delta A_2}{A_2}=\left(\frac{1}{3}-1\right)\times1\%=-0.667\%即 A_1=A_3=3.344、A_2=3.311。被改的那一路变化最大（-0.667%），而且方向与直觉相反（把 R_2 调大，A_2 变小，但别的路变大）。
三路反相加法器的噪声增益是多少？为什么既不是最大权重 3，也不是权重之和 5.5？如果只接一路呢？
噪声增益由所有输入电阻的并联值决定：
\frac{1}{\beta}=1+\frac{R_f}{R_{eq}},\qquad R_{eq}=\left(\sum\frac{1}{R_k}\right)^{-1}取 R_f=100\ \text{k}\Omega、R_k=49.9/200/33.2\ \text{k}\Omega，R_{eq}=18.13\ \text{k}\Omega，1/\beta=1+100/18.13=6.516。
它不是 3 也不是 5.5，因为噪声增益描述的是"反馈网络对误差的放大倍数"，误差从求和节点注入，看到的是所有 R_k 的并联，而不是某一路的权重。只接一路（其余悬空）时 R_{eq}=49.9\ \text{k}\Omega，1/\beta=3.004——所以带宽会随"接了几路"变化。
求和节点 C_{in}=5\ \text{pF}、R_f=100\ \text{k}\Omega、R_{eq}=18.13\ \text{k}\Omega、GBW=10 MHz。求求和节点极点、f_c 与 PM；若 C_{in} 变成 10 pF 呢？
R_f\parallel R_{eq}=15.35\ \text{k}\Omega,\qquad f_p=\frac{1}{2\pi\times15350\times5\times10^{-12}}=2.074\ \text{MHz}1/\beta=6.516，f_{c0}=10\ \text{MHz}/6.516=1.535\ \text{MHz}。解 u^2(1+u^2)=(f_{c0}/f_p)^2：
\frac{f_{c0}}{f_p}=0.740,\qquad u=0.627,\qquad f_c=1.30\ \text{MHz}PM=180^{\circ}-90^{\circ}-\arctan(0.627)=57.9^{\circ}C_{in}=10\ \text{pF} 时 f_p=1.037\ \text{MHz}，u=1.031，f_c=1.069\ \text{MHz}，PM=44.1^{\circ}——已经从"可以接受"掉到"临界"。结论：求和节点的电容每翻一倍，PM 掉十几度；多路加法器的布局比单路反相放大更敏感。
要把同相加法器的串扰系数从 1/3 压到 1/30，需要做什么？代价是什么？
串扰系数 =R_{par}/R_k，R_k=10\ \text{k}\Omega 时要 R_{par}=333\ \Omega。三路并联已是 3.333 kΩ，需再并 R_g：
\frac{1}{333}=\frac{1}{3333}+\frac{1}{R_g}\ \Rightarrow\ R_g=370\ \Omega要保持每路增益仍为 3.333，K 必须提到 3.333/(333/10000)=100。噪声增益从 10 变 100：
- 闭环带宽变成原来的 1/10；
- 输出噪声按噪声增益放大 10 倍；
- 分压电阻 R_a、R_f 的取值与功耗也要重算。
结论：同相加法器的串扰每降 10 倍，就要用 10 倍增益去换，带宽与噪声同时恶化 10 倍。这就是它在实际中很少用的核心原因。
用权电阻结构做 8 位 DAC，R_f=10\ \text{k}\Omega，最高位权重 128。最小和最大电阻各是多少？各有什么问题？
权重 w_k=2^k，R_k=R_f/2^k：
- 最高位 k=7：R_7=10\ \text{k}\Omega/128=78.1\ \Omega；
- 最低位 k=0：R_0=10\ \text{k}\Omega，但若把 R_f 也按位缩放，最大电阻可达 R_f\times128=1.28\ \text{M}\Omega。
问题：78 Ω 与开关导通电阻（典型几十 Ω）同量级，最高位权重严重失准；1.28 MΩ 上 25 nA 偏置电流产生 32 mV 误差，热噪声 \sqrt{4kT\times1.28\ \text{M}\Omega}=146\ \text{nV}/\sqrt{\text{Hz}}，且与开关/PCB 的寄生电容形成慢极点。所以工程上用 R-2R 梯形网络（只有两种阻值），或直接用集成 DAC。
8. 参考资料
- TI, Op Amps for Everyone（SLOD006B）：Chapter 3 Development of the Ideal Op Amp Equations 给反相组态的一般 KCL 推导与多路输入求和；Chapter 6 Development of the Non-Ideal Op Amp Equations 给有限 A_{OL} 的修正式（本章 3.1 节的分母形式与该书一致）；Chapter 17 Circuit Board Layout Techniques 讲求和节点与地回流。
- Analog Devices, MT-033 Voltage Feedback Op Amp Gain and Bandwidth：噪声增益 1/\beta、闭环带宽与增益带宽积。本章 3.3 节把"多路并联后的 R_{eq}"代入该口径，得到 f_{cl}=GBW/(1/\beta)。https://www.analog.com/media/en/training-seminars/tutorials/MT-033.pdf
- Analog Devices, MT-035 Op Amp Inputs, Outputs, Single-Supply & Rail-to-Rail Issues：输入共模范围、输出摆幅与单电源边界。本章 3.6 节与 5.3 节的 ICMR、偏置讨论按该文。https://www.analog.com/media/en/training-seminars/tutorials/MT-035.pdf
- TI, Single-Supply Op-Amp Circuit Collection（SLOA058）：单电源求和、偏置注入与交流耦合的成套电路；本章 5.3 节的 V_{ref} 注入法与输入输出耦合按该文口径。
- Sedra & Smith, Microelectronic Circuits（8th ed.）：Chapter 2 Operational Amplifiers，反相组态的一般阻抗形式与加权求和（weighted summer）；本章 3.1、3.2 节的权重定义与该章一致。
- Sergio Franco, Design with Operational Amplifiers and Analog Integrated Systems（4th ed.）：Chapter 2 Circuits with Resistive Feedback 给求和与差分电路的输入电阻、输出电阻口径；本章 3.3 节的 Z_{in,k}=R_k 与该书一致。
- 童诗白、华成英《模拟电子技术基础》：「信号的运算和处理」给反相加法器、同相加法器与加减运算电路的教材讲法；本章的"虚地求和"与"同相端加权平均"两种讲法与该书一致。