同相比例放大器 Non-Inverting Amplifier
同相比例放大器（non-inverting amplifier）把信号送进同相端，用 R_1、R_f 组成的分压网络把输出电压的一部分送回反相端，理想增益 A_{CL}=1+R_f/R_1，输出与输入同相。它相对反相比例放大器最大的优势是输入阻抗极高：信号直接接运放的同相端，源看到的是共模输入电阻 R_{icm}，典型 10^9\sim10^{15}\ \Omega，而不是 R_1。高阻传感器、pH 电极、压电片、桥式传感器都更愿意接它。
但"输入阻抗高"不是免费的。同相端的共模电压等于输入电压，受输入共模范围（ICMR）限制；单电源下信号还必须抬到某个参考电平，而不能简单地把同相端偏置到 V_{CC}/2——同相放大的直流增益也是 1+R_f/R_1，偏置 2.5 V、增益 11 会把输出顶到 27.5 V。正确的做法是把反馈分压的参考端（R_1 的下端）接到 V_{ref}，让直流输出等于 V_{ref}，交流增益仍是 1+R_f/R_1。这一章会把这条容易踩的坑、ICMR 的定量边界和完整设计算例一次讲清。
符号沿用运放概述：符号、封装与引脚：开环增益 A_{OL}、闭环增益 A_{CL} 或 G、反馈系数 \beta（不是三极管的电流放大倍数）、环路增益 T=A_{OL}\beta、噪声增益 1/\beta、GBW、PM。虚短、虚断只在负反馈成立、输出未饱和、|T|\gg1 时成立；本章在偏置与 ICMR 两节会反复用到这个前提。
1. 设计动机
场景一：1 MΩ 传感器接反相放大，信号被衰减 100 倍。 传感器内阻 1 MΩ，输出 ±0.2 V；如果用反相放大、R_1=10\ \text{k}\Omega，输入阻抗就是 10 kΩ，源内阻与 R_1 分压，真正送到虚地的信号只有 10/(1000+10)=0.99\%，增益从 -10 掉到 -0.099。改用同相放大，输入阻抗由 R_{icm}=1\ \text{G}\Omega 决定，1 MΩ 源的分压误差只有 10^6/(10^9+10^6)=0.1\%；这就是同相拓扑存在的第一理由。
场景二：5 V 单电源、±0.2 V 交流信号、增益 +11。 直接把信号接同相端，负半周会低于 0 V：运放的输入共模范围可能不允许，输出也没有负摆幅。把同相端偏置到 2.5 V 行不行？不行——同相放大的直流增益也是 11，输出直流会变成 11\times2.5=27.5\ \text{V}，直接撞轨。正确做法是把 R_1 的下端接到 2.5 V 参考，同相端也偏置到 2.5 V；这样直流输出等于 2.5 V，交流增益仍是 11。
场景三：非轨到轨输入运放、5 V 单电源、信号共模 4 V。 运放的 ICMR 只有 1.5~3.5 V，4 V 已经超出上限，输入级截止，输出可能突然反相或锁死。把信号交流耦合、重新偏置到 2.5 V 才能工作。同相放大的输入共模电压等于输入电压本身，这是它相对反相放大的第二个代价。
| 你想确认 | 先算 | 判据（工程经验值） |
|---|---|---|
| 高阻源会不会被分压 | R_{icm} 与 R_s | R_{icm}\ge100R_s（误差 ≤1%） |
| 输入共模会不会越界 | V_{cm}=V_{IN} 与 ICMR | 全信号范围落在 ICMR 内 |
| 输出会不会削顶 | V_{OUT}=V_{ref}+G(V_{IN}-V_{ref}) | 峰值离轨 ≥0.2 V（RRO） |
| 增益准不准 | T=A_{OL}\beta | T\ge100 → 误差 ≤1% |
| 带宽够不够 | f_{cl}=GBW/G | f_{cl}\ge10\times 最高信号频率 |
| 单电源偏置对不对 | 直流输出是否等于 V_{ref} | 不是 G\times V_{ref} |
不算会摔在哪，四个带数字的代价：
- 把同相端直接偏置到 V_{CC}/2。 V_{ref}=2.5\ \text{V}、G=11，输出直流 27.5\ \text{V}，5 V 电源下直接饱和，交流信号完全看不到。
- 忽略 ICMR。 5 V 单电源、ICMR 1.5~3.5 V、信号共模 4 V，输入级截止，输出可能反相；这不是"失真"，是工作点没了。
- 输入电容把高阻优势吃掉。 R_{icm}=1\ \text{G}\Omega、C_{in}=5\ \text{pF}，100 kHz 时输入阻抗只剩 318 kΩ；如果信号是 100 kHz、源是 1 MΩ，分压误差约 24%。
- 用 1% 电阻做 +11。 两只 1% 最坏反向，比值误差 2%，折算到 G=11 是 1.82%，2.5 V 输出就是 45.5 mV；12 位 5 V ADC 的 1 LSB 才 1.22 mV，直接吃掉 37 个 LSB。
2. 定义与直观
2.1 一句话定义与两只电阻的位置
同相比例放大器：输入接同相端，R_1 从反相端接参考端（双电源时是地，单电源时是 V_{ref}），R_f 从输出接回反相端。理想闭环增益
A_{CL}=1+\frac{R_f}{R_1}符号与单位：A_{CL} 无量纲（V/V），正号表示输出与输入同相；R_1、R_f 单位 \Omega。反馈系数
\beta=\frac{R_1}{R_1+R_f},\qquad \frac{1}{\beta}=1+\frac{R_f}{R_1}=A_{CL}注意：同相组态的噪声增益恰好等于信号增益。这一点和反相组态不同——反相的噪声增益是 1+R_f/R_1，比信号增益 R_f/R_1 大 1。
2.2 虚短的直观：分压器被"反着用"
同相端的电压是 V_{IN}；负反馈把反相端拉到同样的电位，V_-=V_{IN}。反相端接在 R_1、R_f 的分压点上：
V_-=V_{OUT}\frac{R_1}{R_1+R_f}既然 V_-=V_{IN}，就有
V_{OUT}=V_{IN}\frac{R_1+R_f}{R_1}=V_{IN}\left(1+\frac{R_f}{R_1}\right)直观上，R_1、R_f 是一个"反着用"的分压器：通常分压器把输出变小，这里运放强制分压点的电压等于输入，于是输出必须是输入的 (R_1+R_f)/R_1 倍。增益来自"分压比被倒过来用"，不是来自运放本身。
把 V_{IN} 想成设定温度，R_1、R_f 分压比想成温度传感器的衰减系数，运放是加热器。设定温度升高，传感器读数暂时偏低，加热器加大功率，直到传感器读数重新等于设定值；此时槽内实际温度就是设定值除以衰减系数，也就是被放大了 1+R_f/R_1 倍。
类比的边界：恒温槽的"设定值"可以是任意绝对温度，而同相放大的输入共模电压必须落在运放允许的 ICMR 内；槽可以加热也可以制冷，单电源同相放大却不能输出负电压。增益公式不负责工作点，工作点要另外设计。
2.3 输入侧与反馈侧是分开的
同相放大最关键的结构事实：信号只进同相端，反馈网络接在反相端和输出之间，不加载信号源。所以
- 输入阻抗由同相端决定：R_{icm}、输入电容 C_{in}、外部偏置电阻 R_b 的并联；
- 反馈网络只加载输出，不加载输入；R_1、R_f 取多大，都不会直接降低输入阻抗（但会影响噪声、带宽和稳定性）。
这跟反相放大正好相反：反相的输入网络 R_1 就是信号源的负载，R_1 取小了输入阻抗就低。需要高输入阻抗时，拓扑选择比电阻取值更重要。
3. 定量关系
3.1 理想增益推导
在负反馈成立、输出未饱和、|T|\gg1 的前提下，用虚短 V_-=V_+=V_{IN}，用虚断 I_-=0。R_1 与 R_f 流过同一电流，构成分压：
V_-=V_{OUT}\frac{R_1}{R_1+R_f}=V_{IN}整理得
A_{CL}=\frac{V_{OUT}}{V_{IN}}=1+\frac{R_f}{R_1}反馈系数 \beta=R_1/(R_1+R_f)，所以 1/\beta=1+R_f/R_1，理想闭环增益就是噪声增益。虚短、虚断的三条前提（负反馈闭合、输出未饱和、|T|\gg1）见理想模型五假设与虚短、虚断。
3.2 有限开环增益的修正
同相组态的闭环增益是标准反馈式
A_{CL}=\frac{A_{OL}}{1+A_{OL}\beta}=\frac{1}{\beta}\cdot\frac{T}{1+T}=\frac{1+R_f/R_1}{1+\dfrac{1+R_f/R_1}{A_{OL}}}其中 T=A_{OL}\beta。相对理想值 1/\beta 的误差是 -1/(1+T)。负反馈如何用多余的 A_{OL} 换精度、带宽和低输出阻抗，见开环、闭环增益与负反馈本质。以 A_{OL0}=10^5、R_1=10\ \text{k}\Omega、R_f=100\ \text{k}\Omega 为例：
\beta=\frac{10}{110}=0.090909,\qquad \frac{1}{\beta}=11.0,\qquad T_0=10^5\times0.090909=9090.9A_{CL0}=11\times\frac{9090.9}{9091.9}=10.99879误差 -0.0110\%。100 kHz 处 |T|=9.09，实际增益
|A_{CL}(100\ \text{kHz})|=11\times\frac{9.0909}{\sqrt{1+9.0909^2}}=11\times\frac{9.0909}{9.1457}=10.9329误差 -0.610\%。这个相对误差和反相 -10 在 100 kHz 处完全一样（-0.610\%），因为两者的 \beta、T 相同，只是理想增益一个是 11、一个是 10。误差因子只看 T，不看信号增益的绝对值。
3.3 输入阻抗：真正的优势，也是频率的函数
同相输入阻抗由三部分并联：
Z_{in}=R_{icm}\parallel R_b\parallel\frac{1}{j\omega C_{in}}其中 R_b 是外部偏置电阻（交流耦合时用来给同相端提供直流路径），C_{in} 是运放输入电容与 PCB 寄生电容之和。以 R_{icm}=1\ \text{G}\Omega、R_b=10\ \text{M}\Omega、C_{in}=5\ \text{pF} 为例：
| 频率 | R_{icm}\parallel R_b | \lvert Z_{C_{in}}\rvert | Z_{in} |
|---|---|---|---|
| 直流 | 9.90 MΩ | \infty | 9.90 MΩ |
| 1 kHz | 9.90 MΩ | 31.8 MΩ | 7.55 MΩ |
| 10 kHz | 9.90 MΩ | 3.18 MΩ | 2.41 MΩ |
| 28.6 kHz | 9.90 MΩ | 1.11 MΩ | 1.00 MΩ |
| 100 kHz | 9.90 MΩ | 318 kΩ | 308 kΩ |
| 1 MHz | 9.90 MΩ | 31.8 kΩ | 31.7 kΩ |
"输入阻抗大于 1 MΩ"只在 28.6 kHz 以下成立；100 kHz 时只剩 308 kΩ。这不是运放不好，是输入电容的物理限制：1/(2\pi fC_{in}) 随频率反比下降，任何高阻输入都逃不掉。要高阻到更高频率，只能选 C_{in} 更小的运放（例如 1~2 pF），或者在源端加自举/屏蔽。
输入偏置电流在 R_b 上的压降是另一个直流项：
V_{err,I_B}=I_BR_bR_b=10\ \text{M}\Omega 时，I_B=1\ \text{pA} 对应 10 µV，I_B=25\ \text{nA} 对应 250 mV。同相放大的高输入阻抗必须配低 I_B 的运放；双极输入运放接 10 MΩ 偏置电阻，输出会偏到不能用。偏置电流的完整预算见失调电压、偏置电流与漂移。
3.4 噪声增益 = 信号增益：与反相放大的关键差异
同相组态的 \beta=R_1/(R_1+R_f)，所以 1/\beta=1+R_f/R_1=A_{CL}。三个后果：
- 带宽：f_{cl}=GBW/(1/\beta)=GBW/G。目标 +10 时 f_{cl}=GBW/10；目标 +11 时 f_{cl}=GBW/11。想要 +10 又想要更宽带宽，取 R_f/R_1=9（R_1=10\ \text{k}\Omega、R_f=90.9\ \text{k}\Omega E96，G=10.09），f_{cl}=991\ \text{kHz}（GBW=10 MHz）；若用理想比值 9.00（R_f=90.0\ \text{k}\Omega），f_{cl}=1.000\ \text{MHz}，差 0.9%。
- 噪声：运放电压噪声被 G 放大，不是被 G+1 放大；同相 +10 的输出噪声密度是 10e_n，反相 -10 是 11e_n，高 10%。但闭环噪声带宽也按 1/G 缩小，总输出噪声只按 \sqrt{G} 增加。
- 稳定性：G 越小，f_{c} 越高，离第二极点越近，PM 越小。同相 +1 就是跟随器，PM 最低；+11 的 f_c=909\ \text{kHz}，比跟随器低 11 倍，稳定性好得多。这也是为什么去补偿运放要求"最小增益 ≥5"——它要保证 f_c 足够低。
| 指标 | 同相 +10（R_f=90.9\ \text{k}\Omega） | 同相 +11（R_f/R_1=10） | 反相 -10（R_f/R_1=10） |
|---|---|---|---|
| 信号增益 | 10.09 | 11.0 | -10.0 |
| 噪声增益 1/\beta | 10.09 | 11.0 | 11.0 |
| f_{cl}（GBW=10 MHz） | 991 kHz | 909 kHz | 909 kHz |
| 输出噪声密度 | 10.09e_n | 11e_n | 11e_n |
| 输入阻抗 | R_{icm} | R_{icm} | R_1 |
| 输入共模电压 | V_{IN} | V_{IN} | \approx0 |
同相 +10 和反相 -10 的"信号增益绝对值"一样，但噪声增益、带宽、输入阻抗、共模电压全不一样。 这正是拓扑选择要算清楚的原因；同相组态属于电压串联负反馈，四种拓扑的判别见反馈四拓扑与环路增益。
3.5 单电源偏置：为什么不能只把同相端抬到 V_{CC}/2
单电源 5 V、目标 +11、输入是 ±0.2 V 的交流信号。最直觉的做法是：同相端用两只 100 kΩ 电阻分压到 2.5 V，R_1 下端接地。算一下直流工作点：
V_{OUT,DC}=G\times V_{+,DC}=11\times2.5=27.5\ \text{V}5 V 电源下根本不可能，运放直接饱和到正轨。同相放大的直流增益和交流增益是同一个 G，偏置电压也会被放大 G 倍。
正确做法是把 R_1 的下端也接到 V_{ref}，而不是地：
- 同相端经 R_b 接 V_{ref}；
- R_1 从反相端接 V_{ref}；
- 输入经 C_{in} 交流耦合到同相端。
直流时 V_+=V_{ref}，虚短使 V_-=V_{ref}；R_1 两端都是 V_{ref}，没有电流，R_f 也没有电流，所以 V_{OUT}=V_{ref}。交流时 V_{ref} 是交流地，R_1 下端交流接地，增益仍是 1+R_f/R_1。直流输出等于 V_{ref}，不是 G\times V_{ref}。
这个 V_{ref} 就是单电源电路的"虚地"：它不是 0 V，而是 2.5 V；所有交流信号都以它为参考。它必须低阻抗，因为 R_1 上的交流电流要流进它。以 R_1=10\ \text{k}\Omega、输入 ±0.2 V 为例，R_1 上的交流电流峰值 0.2/10\ \text{k}=20\ \mu\text{A}。如果 V_{ref} 直接由两只 100 kΩ 电阻分压（戴维南内阻 50 kΩ），这 20 µA 会产生
V_{ref,err}=20\ \mu\text{A}\times50\ \text{k}\Omega=1.0\ \text{V}的交流误差——增益和失真都会彻底崩掉。用一只电压跟随器把 2.5 V 分压缓冲一下，输出阻抗降到毫欧级，同样的 20 µA 只产生 20\ \mu\text{A}\times0.5\ \text{m}\Omega=10\ \text{nV}。单电源同相放大的"虚地"必须是一只缓冲器，不能是裸分压器。
3.6 ICMR 与输出摆幅：两条独立的边界
同相端的共模电压就是输入电压：V_{cm}=V_{IN}=V_{ref}+v_{ac}。它必须落在运放的输入共模范围 [V_{ICMR-},V_{ICMR+}] 内：
V_{ICMR-}\le V_{ref}+v_{ac}\le V_{ICMR+}输出电压还必须落在输出摆幅内：
V_{OUT,min}\le V_{ref}+G\,v_{ac}\le V_{OUT,max}两个不等式给出两个最大输入幅度：
|v_{ac}|_{ICMR}=\min(V_{ICMR+}-V_{ref},\ V_{ref}-V_{ICMR-})|v_{ac}|_{OUT}=\frac{\min(V_{OUT,max}-V_{ref},\ V_{ref}-V_{OUT,min})}{G}实际可用幅度取两者较小值。以 V_{ref}=2.5\ \text{V}、ICMR 1.5~3.5 V、输出摆幅 0.2~4.8 V 为例：
|v_{ac}|_{ICMR}=\min(1.0,1.0)=1.0\ \text{V},\qquad |v_{ac}|_{OUT}=\frac{\min(2.3,2.3)}{G}=\frac{2.3}{G}- G=11：|v_{ac}|_{OUT}=2.3/11=0.209\ \text{V}，输出摆幅先受限；
- G=2：|v_{ac}|_{OUT}=2.3/2=1.15\ \text{V}，ICMR 的 1.0 V 先受限；
- 交点：2.3/G=1.0\Rightarrow G=2.3。
ICMR 和输出摆幅谁先卡住，取决于增益和偏置点，不是固定答案。 把偏置点从 2.5 V 挪到 4.0 V，ICMR 上限只剩 3.5−4.0=−0.5 V，直接不可用；挪到 1.0 V，下限 1.5 V 又越界。所以单电源偏置点不是随便取 V_{CC}/2，要同时满足 ICMR 和输出摆幅。
图里两条线在 G=2.3 附近交叉：低增益时 ICMR 是瓶颈，高增益时输出摆幅是瓶颈。设计时先算这两条线，再选增益和偏置点；只算其中一条，另一边会在样机上给你惊喜。
3.7 适用条件与失效边界
- 负反馈回到反相端。 接错到同相端就是正反馈，输出锁死。
- 输入共模在 ICMR 内。 同相端的 V_{cm}=V_{IN}，单电源下尤其要查下限和上限；非轨到轨输入级的 ICMR 可能只有 1.5~3.5 V。
- 输出在线性区。 单电源下输出不能为负；偏置点与增益要一起算，别让直流工作点先饱和。
- |T|\gg1。 高增益、高频时 T 下降，增益误差按 1/(1+T) 增大。
- 源内阻与 R_{icm} 可比。 高阻源还要看 C_{in} 的极点，不能只看直流 R_{icm}。
- 反馈网络是实数。 纯电阻低频成立；加电容后 \beta(s) 带相移，稳定性要重算。
4. 典型计算
4.1 完整算例：+11、R_{in}>1\ \text{M}\Omega、5 V 单电源
需求：传感器输出 ±0.2 V（以 0 V 为参考），源内阻 10 kΩ；放大 +11 后送 5 V 单电源 ADC；要求输入阻抗大于 1 MΩ，信号带宽 20 kHz。运放示例参数：A_{OL0}=10^5、GBW=10 MHz、f_p=100\ \text{Hz}、R_{icm}=1\ \text{G}\Omega、C_{in}=5\ \text{pF}、I_B=1\ \text{pA}、V_{OS}=1\ \text{mV}、CMRR=80 dB、PSRR=80 dB、e_n=10\ \text{nV}/\sqrt{\text{Hz}}、RRO 输出（5 mA 时离轨 0.2 V）、ICMR 1.5~3.5 V（典型量级，以数据手册为准）。
第 1 步：取 E96 电阻。 G=11 要求 R_f/R_1=10。取 R_1=10.0\ \text{k}\Omega、R_f=100\ \text{k}\Omega（都是 E96），0.1% 薄膜电阻。\beta=10/110=0.090909，1/\beta=11.0。
第 2 步：单电源偏置。 取 V_{ref}=2.5\ \text{V}。同相端经 R_b=10\ \text{M}\Omega 接 V_{ref}，输入经 C_{in}=1\ \mu\text{F} 交流耦合；R_1 下端接 V_{ref}，不是地。V_{ref} 由两只 100 kΩ 电阻分压、再用一只跟随器缓冲（或直接用 2.5 V 基准源），输出阻抗毫欧级；分压点并 100 nF 旁路。
直流：V_+=V_-=V_{ref}，R_1 两端等电位，V_{OUT}=V_{ref}=2.5\ \text{V}。交流：V_{ref} 是交流地，A_{CL}=1+R_f/R_1=11。输出以 2.5 V 为中心，±0.2 V 输入对应 ±2.2 V 输出，即 0.3~4.7 V，RRO 的 0.2 V 余量够用。
第 3 步：输入阻抗。 直流
Z_{in}=R_{icm}\parallel R_b=1\ \text{G}\Omega\parallel10\ \text{M}\Omega=9.90\ \text{M}\Omega>1\ \text{M}\Omega1 kHz 时 C_{in}=5\ \text{pF} 的阻抗 1/(2\pi\times10^3\times5\times10^{-12})=31.8\ \text{M}\Omega，并联后 9.90\parallel31.8=7.55\ \text{M}\Omega；20 kHz 时 1.59\ \text{M}\Omega，并联后 1.37\ \text{M}\Omega——在 20 kHz 信号带宽边缘仍大于 1 MΩ。100 kHz 时降到 308 kΩ，超出本题带宽，不影响。
第 4 步：带宽与 20 kHz 处的误差。 噪声增益 11，
f_{cl}=\frac{10\ \text{MHz}}{11}=909.1\ \text{kHz}20 kHz 处 f/f_{cl}=0.022：
\frac{|A_{CL}(20\ \text{kHz})|}{11}=\frac{1}{\sqrt{1+0.022^2}}=0.999758误差 -0.0242\%，可以忽略。100 kHz 处误差 -0.610\%，仍在 1% 以内；如果信号带宽要到 100 kHz，f_{cl} 至少 1 MHz（GBW≥11 MHz），10 MHz 只是刚好够。
第 5 步：输出摆幅与 ICMR。 输出 0.3~4.7 V，RRO 在 5 mA 下 0.2~4.8 V，低端余量 0.1 V、高端余量 0.1 V，偏紧但可用；如果把增益提到 12，输出 0.1~4.9 V，低端就越界了。ICMR：V_{cm}=2.5\pm0.2=2.3\sim2.7\ \text{V}，在 1.5~3.5 V 内，余量 0.8 V。
按 §3.6 算两条边界：
|v_{ac}|_{ICMR}=1.0\ \text{V},\qquad |v_{ac}|_{OUT}=\frac{2.3}{11}=0.209\ \text{V}实际 0.2 V 小于 0.209 V，输出摆幅是瓶颈，ICMR 还有 5 倍余量。如果把增益降到 2，输出允许 1.15 V，ICMR 的 1.0 V 反而先卡住；这说明"ICMR 够不够"不能脱离增益和偏置点单独回答。
第 6 步：直流误差预算。
| 误差源 | 折合到输入 | 输出误差 | 说明 |
|---|---|---|---|
| V_{OS}=1\ \text{mV} | 1\ \text{mV} | 11.0\ \text{mV} | 乘噪声增益 11 |
| I_B=1\ \text{pA} | 1\ \text{pA}\times10\ \text{M}\Omega=10\ \mu\text{V} | 0.11\ \text{mV} | R_b=10\ \text{M}\Omega |
| CMRR=80 dB、V_{cm}=2.5\ \text{V} | 2.5\ \text{V}/10^4=250\ \mu\text{V} | 2.75\ \text{mV} | 共模误差乘 11 |
| PSRR=80 dB、电源变化 50 mV | 50\ \text{mV}/10^4=5\ \mu\text{V} | 0.055\ \text{mV} | 正负电源各算一次 |
| 电阻失配 0.1% | 增益误差 0.1818% | 4.0\ \text{mV} | (R_f/R_1)/(1+R_f/R_1)\times0.2\%，作用在 2.2 V 信号上 |
| V_{ref} 初始误差 5 mV（0.1% 分压） | 5 mV | 5.0\ \text{mV} | V_{ref} 到输出增益为 1 |
| 参考缓冲器 V_{OS} 1 mV | 1 mV | 1.0\ \text{mV} | 同上，增益 1 |
最坏相加：11.0+0.11+2.75+0.055+4.0+5.0+1.0=23.9\ \text{mV}；RSS：\sqrt{11^2+0.11^2+2.75^2+0.055^2+4.0^2+5^2+1^2}=13.1\ \text{mV}。相对 2.2 V 输出摆幅，最坏 1.09%，RSS 0.59%。主导项是 V_{OS}、V_{ref} 初始误差和电阻失配，共模误差排第四；要再准，先换低 V_{OS} 器件、用 0.1% 基准，再考虑 CMRR。
第 7 步：噪声。 闭环噪声带宽 BW=(\pi/2)\times909.1\ \text{kHz}=1.428\ \text{MHz}。运放噪声：
V_{n,op}=10\ \text{nV}/\sqrt{\text{Hz}}\times11\times\sqrt{1.428\times10^6}=131.4\ \mu\text{V}_{\text{RMS}}反馈网络热噪声（R_1\parallel R_f=9.091\ \text{k}\Omega，12.27\ \text{nV}/\sqrt{\text{Hz}}）：
V_{n,R}=12.27\ \text{nV}/\sqrt{\text{Hz}}\times11\times\sqrt{1.428\times10^6}=161.3\ \mu\text{V}_{\text{RMS}}总输出噪声 \sqrt{131.4^2+161.3^2}=208.1\ \mu\text{V}_{\text{RMS}}，约 0.17 个 12 位 5 V ADC 的 LSB。偏置电阻 R_b=10\ \text{M}\Omega 的热噪声密度是 407\ \text{nV}/\sqrt{\text{Hz}}，但同相端的 100 nF 旁路把它滤到 0.16 Hz 以下，高频噪声被旁路，不进入输出；如果没有这只电容，R_b 的噪声会成为主导项。
第 8 步：稳定性。 纯电阻反馈、G=11、f_{cl}=909\ \text{kHz}；R_1\parallel R_f=9.09\ \text{k}\Omega、C_{in}=5\ \text{pF} 的反相端极点 3.50 MHz，远高于 f_{cl}，PM 足够。驱动 1 nF 容性负载时，f_{p2}=1/(2\pi\times50\times10^{-9})=3.18\ \text{MHz}，f_{c0}/f_{p2}=0.286，u=0.275，PM =90^{\circ}-\arctan0.275=74.6^{\circ}；10 nF 时 f_{p2}=318\ \text{kHz}，u=1.549，PM 掉到 32.8^{\circ}，需要隔离电阻。同相 +11 比跟随器稳得多，但大电容仍然能把它放倒。
第 9 步：汇总。
| 项目 | 结果 | 公式 |
|---|---|---|
| 增益（直流） | 10.99879 | (1+R_f/R_1)T_0/(1+T_0) |
| 增益误差（直流） | -0.0110\% | -1/(1+T_0) |
| 增益（100 kHz） | 10.9329 | 复数 T/(1+T) |
| 增益误差（100 kHz） | -0.610\% | 同上 |
| -3\ \text{dB} 带宽 | 909.1 kHz | GBW/G |
| 输入阻抗（直流） | 9.90 MΩ | R_{icm}\parallel R_b |
| 输入阻抗（20 kHz） | 1.37 MΩ | 加 C_{in} 并联 |
| 最大输入（输出限制） | 0.209 V | 2.3/G |
| 最大输入（ICMR 限制） | 1.0 V | 3.5-2.5 |
| 直流误差（最坏） | 23.9 mV | 各项相加 |
| 输出噪声 | 208\ \mu\text{V}_{\text{RMS}} | e_nG\sqrt{BW} 与电阻噪声 RSS |
4.2 算例二：同相 +10 与反相 −10 的账本对比
已知：同一只运放 A_{OL0}=10^5、GBW=10 MHz、e_n=10\ \text{nV}/\sqrt{\text{Hz}}；同相 +10 取 R_1=10\ \text{k}\Omega、R_f=90.9\ \text{k}\Omega；反相 -10 取 R_1=10\ \text{k}\Omega、R_f=100\ \text{k}\Omega。
第 1 步：噪声增益与带宽。
- 同相 +10：\beta=10/100.9=0.09911，1/\beta=10.09，f_{cl}=991\ \text{kHz}；
- 反相 -10：\beta=10/110=0.090909，1/\beta=11.0，f_{cl}=909\ \text{kHz}。
反相带宽低 8.3%，不是 10%，因为同相 +10 的 \beta 也不是正好 0.1（R_f=90.9\ \text{k} 是 E96 近似 9 倍）。
第 2 步：输出噪声。 同相：10\ \text{nV}\times10.09\times\sqrt{(\pi/2)\times991\ \text{k}}=126\ \mu\text{V}_{\text{RMS}}；反相：10\ \text{nV}\times11\times\sqrt{(\pi/2)\times909\ \text{k}}=131\ \mu\text{V}_{\text{RMS}}。反相高约 4%，不是 10%——同样因为噪声带宽随 1/\beta 缩小。
第 3 步：输入阻抗与共模。 同相输入阻抗 R_{icm}（1 GΩ 量级），共模电压等于 V_{IN}；反相输入阻抗 R_1=10\ \text{k}\Omega，共模电压约 0。1 MΩ 源时，同相分压误差 0.1%，反相增益掉到 -0.099。同样的增益数字，拓扑选错就完全不能用。
4.3 算例三：参考缓冲器为什么必须低阻抗
已知：V_{ref} 由两只 100 kΩ 电阻从 5 V 分压，戴维南内阻 R_{th}=50\ \text{k}\Omega；R_1=10\ \text{k}\Omega，输入 ±0.2 V。
第 1 步：R_1 上的交流电流峰值。
i_{R1,pk}=\frac{0.2\ \text{V}}{10\ \text{k}\Omega}=20\ \mu\text{A}第 2 步：裸分压器的交流误差。
v_{ref,err}=20\ \mu\text{A}\times50\ \text{k}\Omega=1.0\ \text{V}这个误差和信号本身一样大，增益、线性度全毁。裸分压器只能做直流参考，不能做交流虚地。
第 3 步：加跟随器缓冲。 跟随器输出阻抗 R_{out,OL}/(1+T)=50/10^5=0.5\ \text{m}\Omega：
v_{ref,err}=20\ \mu\text{A}\times0.5\ \text{m}\Omega=10\ \text{nV}可以忽略。缓冲器的 V_{OS} 会给 V_{ref} 带来 1 mV 的直流偏移，通过 R_1 的反馈，这个偏移到输出是 1 mV（不是 11 mV），因为 V_{ref} 同时驱动同相端和 R_1 下端，属于共模参考。这是"把 R_1 下端接到 V_{ref}"的另一个好处：参考噪声和漂移不被信号增益放大。
4.4 算例四：ICMR 与输出摆幅谁先受限
已知：V_{ref}=2.5\ \text{V}、ICMR 1.5~3.5 V、输出摆幅 0.2~4.8 V；求 G=1,2,3,5,11 时的最大输入峰值。
第 1 步：ICMR 限制。 |v_{ac}|_{ICMR}=\min(3.5-2.5,2.5-1.5)=1.0\ \text{V}，与增益无关。
第 2 步：输出限制。 |v_{ac}|_{OUT}=2.3/G。
| G | 输出限制 | ICMR 限制 | 实际可用 | 谁先受限 |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 2.30 V | 1.00 V | 1.00 V | ICMR |
| 2 | 1.15 V | 1.00 V | 1.00 V | ICMR |
| 3 | 0.767 V | 1.00 V | 0.767 V | 输出 |
| 5 | 0.460 V | 1.00 V | 0.460 V | 输出 |
| 11 | 0.209 V | 1.00 V | 0.209 V | 输出 |
第 3 步：结论。 低增益时 ICMR 先卡住，高增益时输出摆幅先卡住，交点 G=2.3。要把可用输入做大，低增益时抬偏置点或换轨到轨输入，高增益时降增益或换 RRO 输出。"我的运放 ICMR 够宽"这句话只有在给定增益和偏置点后才有意义。
5. 工程含义
5.1 数量级表
| 量 | 典型范围 | 备注 |
|---|---|---|
| 信号增益 | 1\sim1000 | 单级建议不超过 A_{OL}/100 |
| 噪声增益 | 等于信号增益 | 这是与反相组态的关键差异 |
| R_{icm} | 双极 10^6\sim10^8\ \Omega；CMOS 10^{12}\sim10^{15}\ \Omega | 高阻源优先 CMOS/JFET |
| I_B | 双极 10 nA~1 µA；CMOS 1 pA~1 nA | 与 R_b 一起算 I_BR_b |
| C_{in} | 1~10 pF | 与源内阻形成输入极点 |
| ICMR | 非 RRI 可能只有 1.5~3.5 V（5 V 供电） | 查数据手册曲线，不只看标题 |
| 输出摆幅 | RRO 轻载 0.05~4.95 V；重载 0.3~4.7 V | 按负载电流查曲线 |
| f_{cl} | GBW/G | 目标 10 时约 GBW/10 |
5.2 偏置点怎么选
- 先定输出静态点。 ADC 输入范围的中点、后级电路的偏置点，通常就是 V_{ref}。
- 算 ICMR 上下余量。 V_{ref} 到 ICMR 上下限的距离要大于信号峰值；不够就换 RRI 器件或挪偏置点。
- 算输出上下余量。 V_{ref}\pm G\,v_{ac} 要在输出摆幅内；重载时按实际负载电流查曲线。
- 让 V_{ref} 低阻抗。 用跟随器或基准源，不要用裸分压器；R_1 下端与同相端接同一个 V_{ref}，参考噪声才不被 G 放大。
- 交流耦合电容。 C_{in} 与 R_b 形成高通，f_L=1/(2\pi R_bC_{in})；R_b=10\ \text{M}\Omega、C_{in}=1\ \mu\text{F} 时 f_L=0.016\ \text{Hz}，远低于信号带宽。
5.3 布局与保护
- 同相端走线要短：高阻节点，C_{in} 每增加 1 pF，输入极点就往下掉；焊盘尽量小，必要时加 guard ring。
- R_1 下端接 V_{ref} 的走线要粗：它要承载 R_1 的交流电流，走线电阻会变成增益误差；V_{ref} 的旁路电容就近放。
- 输入保护：高阻输入容易被 ESD、探头、长线过压；串 1~10 kΩ 限流电阻并加钳位二极管，但要核算漏电流与输入电容。
- 反馈电阻紧靠反相端：R_f 从输出到反相端的走线越短越好；R_1 与 R_f 的结点尽量小。
- 电源退耦：每个电源脚 100 nF，单电源时再加 1~10 µF；退耦不良会把电源纹波通过 PSRR 带到输出。
5.4 模型什么时候不够用
- 输入共模接近 ICMR 边界：输入级跨导下降、失真增大，甚至相位反转；小信号模型完全失效。
- 输出接近轨：输出级进入非线性，增益下降、恢复变慢；RRO 的"离轨 50 mV"只在轻载成立。
- 高频接近 f_{cl}：第二极点、输入电容、PCB 寄生都进来。
- 大信号：压摆率、输出电流限、饱和恢复都会限制。
- 高阻源：I_B、C_{in}、PCB 漏电、guard ring 完整性都会改变输入阻抗。
- 精密直流：V_{OS}、V_{ref} 初始误差、电阻失配、1/f 噪声都进入预算。
6. 常见坑
现象：5 V 单电源、+11 同相放大，同相端偏置到 2.5 V、R_1 下端接地，上电输出直接贴 5 V。原因：同相放大的直流增益也是 11，11\times2.5=27.5\ \text{V}，输出饱和。解决：把 R_1 下端接到 V_{ref}，同相端也偏置到 V_{ref}；直流输出等于 V_{ref}，交流增益仍是 11。用跟随器缓冲 V_{ref}，不要用裸分压器。
现象：信号共模 4 V，运放 ICMR 只有 1.5~3.5 V，输出突然反相或锁死。原因：同相端共模电压超出 ICMR 上限，输入级截止。解决：交流耦合、重新偏置到 2.5 V；或换轨到轨输入运放；或改用反相拓扑（共模电压接近 0）。
现象：1 MΩ 源接同相放大，直流正常，100 kHz 时增益掉了 20% 以上。原因：输入电容 C_{in}=5\ \text{pF} 与源内阻形成 31.8 kHz 极点，100 kHz 时输入阻抗只剩 308 kΩ，源被加载。解决：选 C_{in}<1\ \text{pF} 的运放、降低源内阻、加自举/屏蔽，或把信号带宽降到极点以下。
现象：同相端用 10 MΩ 偏置电阻，输出有 250 mV 的固定偏移，随温度漂。原因：双极输入运放 I_B=25\ \text{nA}，25\ \text{nA}\times10\ \text{M}\Omega=250\ \text{mV}。解决：换 CMOS/JFET 输入运放（I_B 降到 pA 级）；或降低 R_b（但会降低输入阻抗、提高高通截止频率）。
现象：V_{ref} 用两只 100 kΩ 电阻分压，输入加信号后输出波形失真、增益偏低。原因：R_1 上的交流电流（20 µA）流过 50 kΩ 戴维南内阻，产生 1 V 的交流误差。解决：用跟随器或基准源缓冲 V_{ref}，输出阻抗降到毫欧级；旁路电容就近放。
现象：+11 用 1% 电阻，实测增益偏差 1.82%，2.5 V 输出差 45.5 mV。原因：G=1+R_f/R_1 对 R_f/R_1 的失配敏感，两只 1% 最坏反向，比值误差 2%，折算到 G=11 是 10/11\times2\%=1.82\%。解决：用 0.1% 电阻（最坏 0.18%），或做增益校准；高精度场合把 R_1、R_f 选同一批次、同一封装。
现象：同相 +11 驱动 10 nF 负载，输出在几百 kHz 上振荡。原因：容性负载与 R_{out,OL} 造出第二极点，f_{p2}=318\ \text{kHz}，f_{c0}=909\ \text{kHz}，PM 只剩 32.8°。解决：输出串 22~100 Ω 隔离电阻，反馈取在电阻内侧；或选容性负载稳定器件；按稳定性：伯德图、相位裕度与补偿算 PM。
7. 自测题
R_1=10\ \text{k}\Omega、R_f=100\ \text{k}\Omega，同相增益是多少？如果输入 0.2 V，输出多少？噪声增益是多少？
A_{CL}=1+\frac{R_f}{R_1}=1+\frac{100}{10}=11.0输入 0.2 V，输出 11\times0.2=2.2\ \text{V}，与输入同相。
噪声增益 1/\beta=1+R_f/R_1=11.0，等于信号增益。这是同相组态和反相组态的关键差异：反相 -10 的信号增益是 10，噪声增益是 11。
为什么不能把同相端直接偏置到 V_{CC}/2、R_1 下端接地？正确的单电源偏置怎么接？
同相放大的直流增益也是 1+R_f/R_1。V_{CC}=5\ \text{V}、V_{ref}=2.5\ \text{V}、G=11 时，输出直流
V_{OUT,DC}=11\times2.5=27.5\ \text{V}远超 5 V 电源，运放直接饱和。正确做法：把 R_1 的下端接到 V_{ref}，同相端也经 R_b 接 V_{ref}，输入交流耦合。直流时 V_+=V_-=V_{ref}，R_1 两端等电位，V_{OUT}=V_{ref}；交流时 V_{ref} 是交流地，增益仍是 1+R_f/R_1。
V_{ref} 必须低阻抗：R_1=10\ \text{k}\Omega、输入 ±0.2 V 时，R_1 上的交流电流峰值 20 µA；50 kΩ 戴维南内阻会产生 1 V 误差，必须用跟随器或基准源缓冲。
同相 +11、V_{ref}=2.5\ \text{V}、ICMR 1.5~3.5 V、输出摆幅 0.2~4.8 V。最大输入峰值是多少？谁先受限？如果增益改成 2 呢？
ICMR 限制：
|v_{ac}|_{ICMR}=\min(3.5-2.5,2.5-1.5)=1.0\ \text{V}输出限制：
|v_{ac}|_{OUT}=\frac{\min(4.8-2.5,2.5-0.2)}{11}=\frac{2.3}{11}=0.209\ \text{V}实际取 0.209 V，输出摆幅先受限。
G=2 时输出限制 2.3/2=1.15\ \text{V}，ICMR 仍是 1.0 V，ICMR 先受限。交点 G=2.3。所以"ICMR 够不够"必须结合增益和偏置点回答。
同相放大 R_1=10\ \text{k}\Omega、R_f=100\ \text{k}\Omega，R_{icm}=1\ \text{G}\Omega、R_b=10\ \text{M}\Omega、C_{in}=5\ \text{pF}。直流、1 kHz、100 kHz 的输入阻抗各是多少？
直流：
Z_{in}=1\ \text{G}\Omega\parallel10\ \text{M}\Omega=9.90\ \text{M}\Omega1 kHz：C_{in} 阻抗 1/(2\pi\times10^3\times5\times10^{-12})=31.8\ \text{M}\Omega，
Z_{in}=9.90\ \text{M}\Omega\parallel31.8\ \text{M}\Omega=7.55\ \text{M}\Omega100 kHz：C_{in} 阻抗 318 kΩ，
Z_{in}=9.90\ \text{M}\Omega\parallel318\ \text{k}\Omega=308\ \text{k}\Omega"输入阻抗大于 1 MΩ"只在 28.6 kHz 以下成立；100 kHz 时只剩 308 kΩ。高阻输入是频率的函数，不是常数。
同相 +11 的直流误差主要来自哪几项？V_{OS}=1\ \text{mV}、I_B=1\ \text{pA}、R_b=10\ \text{M}\Omega、CMRR=80 dB、V_{cm}=2.5\ \text{V}、0.1% 电阻、V_{ref} 初始误差 5 mV、参考缓冲器 V_{OS}=1\ \text{mV}，最坏总误差多少？
各项：
- V_{OS}：1\ \text{mV}\times11=11.0\ \text{mV}；
- I_B：1\ \text{pA}\times10\ \text{M}\Omega=10\ \mu\text{V}，乘 11 得 0.11\ \text{mV}；
- CMRR：2.5\ \text{V}/10^4=250\ \mu\text{V}，乘 11 得 2.75\ \text{mV}；
- PSRR：50\ \text{mV}/10^4=5\ \mu\text{V}，乘 11 得 0.055\ \text{mV}；
- 电阻失配 0.1%：0.1818\%\times2.2\ \text{V}=4.0\ \text{mV}（按 2.2 V 输出摆幅算）；
- V_{ref} 初始误差 5 mV：到输出增益 1，5.0\ \text{mV}；
- 参考缓冲器 V_{OS} 1 mV：1.0\ \text{mV}。
最坏相加约 11.0+0.11+2.75+0.055+4.0+5.0+1.0=23.9\ \text{mV}；RSS 约 \sqrt{11^2+0.11^2+2.75^2+0.055^2+4.0^2+5^2+1^2}=13.1\ \text{mV}。主导项是 V_{OS}、V_{ref} 初始误差和电阻失配。注意 V_{ref} 的误差到输出是 1 倍，不是 11 倍，因为 R_1 下端也接 V_{ref}，参考是共模的。
为什么同相 +10 和反相 −10 的"增益绝对值"一样，带宽和噪声却不同？
同相 +10：\beta=R_1/(R_1+R_f)=10/(10+90)=0.1，噪声增益 1/\beta=10，f_{cl}=GBW/10。
反相 −10：R_1=10\ \text{k}\Omega、R_f=100\ \text{k}\Omega，\beta=10/110=0.090909，噪声增益 1/\beta=11，f_{cl}=GBW/11。
反相的噪声增益比同相大 1，所以带宽低约 9%，输出噪声密度高 10%（总噪声约高 5%，因为噪声带宽也缩小）。带宽、噪声、失调、共模误差都按噪声增益 1/\beta 算，不按信号增益算。 同样标称"10 倍"，反相电路比同相电路少约 9% 的带宽。
同相 +11 驱动 1 nF 和 10 nF 容性负载，PM 各是多少？为什么同相 +11 比跟随器稳？
f_{c0}=GBW/G=10\ \text{MHz}/11=909\ \text{kHz}，R_{out,OL}=50\ \Omega。
1 nF：f_{p2}=1/(2\pi\times50\times10^{-9})=3.18\ \text{MHz}，比值 909\ \text{k}/3.18\ \text{M}=0.286，解 u^2(1+u^2)=0.286^2 得 u=0.275，
PM=90^{\circ}-\arctan0.275=74.6^{\circ}10 nF：f_{p2}=318\ \text{kHz}，比值 2.86，u=1.549，
PM=90^{\circ}-\arctan1.549=32.8^{\circ}同相 +11 的 f_{c0} 只有 909 kHz，比跟随器的 10 MHz 低 11 倍，第二极点相对更远，所以 PM 高得多。跟随器最容易振荡，不是因为它"增益为 1"，而是因为它的穿越频率最高。
8. 参考资料
- TI, Op Amps for Everyone（SLOD006B）：Chapter 3 Development of the Ideal Op Amp Equations 给同相组态的虚短、分压推导与理想增益；Chapter 6 Development of the Non-Ideal Op Amp Equations 给有限 A_{OL} 的修正式。本章 §3.1、§3.2 的推导顺序与该书一致。
- TI, Single-Supply Op-Amp Circuit Collection（SLOA058）：单电源同相放大、偏置与交流耦合的成套电路；本章 §3.5、§5.2 的 V_{ref} 偏置与参考缓冲按该文口径。
- Analog Devices, MT-035 Op Amp Inputs, Outputs, Single-Supply & Rail-to-Rail Issues：输入共模范围、输出摆幅与轨到轨的真实边界；本章 §3.6、§4.4 的 ICMR 与摆幅预算参考该文。https://www.analog.com/media/en/training-seminars/tutorials/MT-035.pdf
- Analog Devices, MT-033 Voltage Feedback Op Amp Gain and Bandwidth：噪声增益、闭环带宽与增益带宽积；本章 §3.4、§4.2 的 f_{cl}=GBW/G 按该文。https://www.analog.com/media/en/training-seminars/tutorials/MT-033.pdf
- TI, LM358 数据手册：Input Common-Mode Voltage Range 给 5 V 单电源下 0~V_{CC}-1.5\ \text{V} 的典型边界，Output Voltage Swing 与 Input Bias Current 表给出摆幅、偏置电流的测试条件；本章 §3.6 的 ICMR 示例按该手册的量级整理。https://www.ti.com/lit/ds/symlink/lm358.pdf
- Sergio Franco, Design with Operational Amplifiers and Analog Integrated Systems（4th ed.）：Chapter 2 Circuits with Resistive Feedback 给同相组态的输入电阻、输出电阻与有限增益修正；本章 §3.3 的 Z_{in} 与该书一致。