噪声：电压噪声、电流噪声与计算 Noise: Voltage & Current Noise
把运放的两个输入端短路，用高分辨率示波器看输出，会看到一条毛茸茸的线——这就是噪声（Noise）。它和失调、偏置电流不一样：失调是一个可以标定的常数，噪声是随机的、标不掉，只能压缩。常用的压缩办法有三条：换更安静的器件、把噪声源（尤其是电阻）改小、把带宽收窄。三条都要用数字算，算错方向就会像下面这样白花钱。
本章建立四件事：三类噪声（热噪声、散粒噪声、1/f 噪声）的来源与谱密度；数据手册里的 e_n、i_n 曲线怎么读、哪些条件被隐藏在脚注里；噪声带宽 BW_n=(\pi/2)f_c 而不是 3dB 带宽——这条每年都有人算错；以及多源噪声的 RSS 合成（电压相加要平方）。最后用一个 R_s=100\ \text{k}\Omega、G=100、f_c=10\ \text{kHz} 的高阻传感器算例，把 e_n 项、i_nR_s 项、电阻热噪声项逐项算出来，看看到底是谁在主导。
本章约定：e_n 是输入参考电压噪声密度（\text{V}/\sqrt{\text{Hz}}，常用 \text{nV}/\sqrt{\text{Hz}}）；i_n 是输入参考电流噪声密度（\text{A}/\sqrt{\text{Hz}}，常用 \text{pA}/\sqrt{\text{Hz}}）；e_{ni} 是折算到输入的总噪声密度；BW_n 是等效噪声带宽（Hz）；f_c 是闭环 -3\ \text{dB} 带宽（Hz）；1/\beta 是噪声增益，同相组态 1/\beta=1+R_f/R_1；k=1.380649\times10^{-23}\ \text{J/K} 是玻尔兹曼常数；q=1.602176634\times10^{-19}\ \text{C} 是电子电荷；T 是绝对温度（K）。符号口径与开环、闭环增益与负反馈本质、失调电压、偏置电流与漂移一致。下面的推导默认负反馈闭合、输出在线性区、虚短与虚断成立（前提见理想模型五假设与虚短、虚断）；比较器那种开环或正反馈的状态不适用。
1. 设计动机
场景一：100 kΩ 传感器，88% 的噪声来自传感器自己。 高阻传感器 R_s=100\ \text{k}\Omega，接成 G=100、f_c=10\ \text{kHz} 的同相放大；运放 e_n=10\ \text{nV}/\sqrt{\text{Hz}}、i_n=0.1\ \text{pA}/\sqrt{\text{Hz}}。很多人第一反应是"换一颗 3\ \text{nV} 的超低噪声运放"。算完才知道：100\ \text{k}\Omega 在 300 K 的热噪声密度是 40.7\ \text{nV}/\sqrt{\text{Hz}}，占了总噪声功率的 88%；把 e_n 从 10 nV 降到 3 nV，总输出噪声只从 542\ \mu\text{V rms} 降到 529\ \mu\text{V rms}，改善 0.22 dB。真正的杠杆是把源阻抗或带宽降下来，不是换芯片。
场景二：1 kΩ 源，选错输入级差 10 dB。 同一个信号源换成 1\ \text{k}\Omega。低噪声双极输入（e_n=5\ \text{nV}/\sqrt{\text{Hz}}、i_n=0.5\ \text{pA}/\sqrt{\text{Hz}}）总输入噪声密度 6.5\ \text{nV}/\sqrt{\text{Hz}}；通用 CMOS（e_n=20\ \text{nV}/\sqrt{\text{Hz}}、i_n=0.01\ \text{pA}/\sqrt{\text{Hz}}）是 20.4\ \text{nV}/\sqrt{\text{Hz}}，差 3.15 倍（约 10 dB）。而把源阻抗换回 100\ \text{k}\Omega，排名立刻反转：双极输入 64.7\ \text{nV}/\sqrt{\text{Hz}}，CMOS 45.4\ \text{nV}/\sqrt{\text{Hz}}。e_n 和 i_n 必须一起看，交叉点在 R_s=e_n/i_n。
场景三：0.1~10 Hz 的 1/f 噪声，白噪声公式完全失效。 一个直流测量前端，信号带宽只有 10 Hz，按 1 kHz 的 e_n=10\ \text{nV}/\sqrt{\text{Hz}} 估出噪声 40\ \text{nV rms}，实测却有 218\ \text{nV rms}。差别全部来自 1/f 段：1/f 拐点 100 Hz 时，0.1~10 Hz 内的 1/f 分量是 214.6\ \text{nV rms}，是白噪声分量的 5.4 倍。低频测量不能只看 1 kHz 那一个点。
| 你想确认 | 先算 | 判据（工程经验值） |
|---|---|---|
| 源电阻本身有多吵 | e_{R}=\sqrt{4kTR_s} | 与 e_n 比，大 3 倍以上则器件不再是瓶颈 |
| 电流噪声会不会主导 | i_nR_s | 与 e_n 同量级时两者都要算 |
| 器件选得对不对 | R_{s,opt}=e_n/i_n | 源阻抗在 R_{s,opt} 附近时噪声系数最小 |
| 噪声带宽取多少 | BW_n=(\pi/2)f_c | 不能直接用 f_c，会低估 1.96 dB |
| 总噪声多大 | 各源平方和再开方 | 一项主导时 RSS 接近最大值 |
| 低频能不能用 | 1/f 拐点与工作频段 | 工作频段跨过拐点就要单独积分 |
| 信噪比够不够 | 20\lg(V_{sig}/V_n) | 噪声 rms < 1 LSB（至少 < 1/2 LSB） |
不算会摔在哪，四个带数字的代价：
- 把 f_c 当噪声带宽。 f_c=10\ \text{kHz} 时 BW_n=15.708\ \text{kHz}，噪声被低估 \sqrt{\pi/2}=1.253 倍，即 1.96 dB：算出来 433\ \mu\text{V}，实际 542\ \mu\text{V}。方向是乐观的，这正是最危险的方向。
- 把噪声电压直接相加。 e_n=10\ \text{nV}、i_nR_s=10\ \text{nV}、4kTR_s=40.7\ \text{nV}，直接相加得 60.7\ \text{nV}，RSS 只有 43.3\ \text{nV}，高估 2.94 dB。反过来，如果误以为"三项取最大"就只报 40.7\ \text{nV}，又低估 0.53 dB。
- 高阻源用高 i_n 器件。 R_s=100\ \text{k}\Omega 配 i_n=1\ \text{pA}/\sqrt{\text{Hz}} 的通用双极运放，i_nR_s=100\ \text{nV}/\sqrt{\text{Hz}}，总噪声 108\ \text{nV}/\sqrt{\text{Hz}}，是本章算例（0.1\ \text{pA}）的 2.5 倍。同一个电路，换错输入级就多 8 dB 噪声。
- 反馈电阻取太大。 1\ \text{M}\Omega 电阻的热噪声是 128.7\ \text{nV}/\sqrt{\text{Hz}}，比 10\ \text{nV} 的运放本身大一个数量级；高增益、高阻反馈的设计里，反馈网络经常才是最大噪声源。
2. 定义与直观
2.1 三类噪声：来源不同，谱形不同，处理方式也不同
| 类型 | 物理来源 | 谱密度 | 谱形 | 与直流工作点的关系 |
|---|---|---|---|---|
| 热噪声（Thermal / Johnson） | 电阻中载流子的热运动，任何有电阻的导体都有 | e_n=\sqrt{4kTR}，i_n=\sqrt{4kT/R} | 白噪声（平坦） | 与电流无关，只与 T、R 有关 |
| 散粒噪声（Shot） | 载流子越过 PN 结势垒的离散性 | i_n=\sqrt{2qI} | 白噪声 | 正比于 \sqrt{I}，没有直流电流就没有散粒噪声 |
| 1/f 噪声（Flicker） | 半导体表面缺陷、陷阱对载流子的随机俘获与释放 | e_n^2=K/f | 每十倍频下降 10 dB | 与工艺、面积有关，与偏置有关 |
| 爆发噪声（Burst / Popcorn） | 缺陷处的随机跳变 | 非高斯，无法用谱密度完整描述 | 离散跳变 | 随机出现，只能靠筛选 |
前三种是设计要算的，第四种只能靠器件筛选和现场排查。三者的谱密度形状决定了算法：
- 白噪声（热噪声、散粒噪声）的功率谱密度是常数，带宽内的 rms 直接是"密度乘 \sqrt{BW_n}"。
- 1/f 噪声的功率谱密度随频率下降，必须对 1/f 积分，不能用 1 kHz 的值乘带宽。
- 两类噪声叠加时，先把各自积分成 rms，再 RSS；不能把密度直接相加。
数量级先建立起来：300 K 下 1\ \text{k}\Omega 电阻的热噪声是 4.07\ \text{nV}/\sqrt{\text{Hz}}，所以工程上常记"每 kΩ 约 4 nV/√Hz"；100\ \text{k}\Omega 是 40.7\ \text{nV}/\sqrt{\text{Hz}}。散粒噪声：1\ \mu\text{A} 直流电流对应 0.566\ \text{pA}/\sqrt{\text{Hz}}，100\ \text{nA} 对应 0.179\ \text{pA}/\sqrt{\text{Hz}}——这就是双极输入运放 i_n 的量级来源（基极电流的散粒噪声）。
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2.2 噪声是随机量：只能用 rms、谱密度和统计分布描述
一个噪声波形不能预测下一时刻的值，但它的功率谱密度是确定的。工程上用三个量：
- 谱密度 e_n（\text{V}/\sqrt{\text{Hz}}）：每 \sqrt{\text{Hz}} 带宽内的噪声电压。注意单位里带根号，是因为功率与带宽成正比、电压与 \sqrt{\text{带宽}} 成正比。
- rms 值（\text{V rms}）：谱密度在带宽内积分后的有效值。白噪声时 V_{n,\text{rms}}=e_n\sqrt{BW_n}。
- 峰峰值（\text{V p-p}）：示波器上看到的值。高斯噪声的峰峰值没有理论上限，工程上按 6.6\times V_{n,\text{rms}} 估"99.9% 时间不超过"的峰峰值（对应 \pm3.3\sigma）。这是一个统计口径，不是保证值：测 10 次可能有 1 次超过。
多源合成的规则只有一条：不相干的噪声按功率相加，也就是电压的平方相加。
V_{n,\text{total}}=\sqrt{V_1^2+V_2^2+\cdots+V_N^2}两个独立的 10\ \text{nV}/\sqrt{\text{Hz}} 源，合成是 \sqrt{10^2+10^2}=14.14\ \text{nV}/\sqrt{\text{Hz}}（+3.01 dB），不是 20\ \text{nV}（+6.02 dB）。如果两个源完全相关（同一个源分两路），才按电压直接相加。判断相关性的依据是物理来源：不同电阻的热噪声、运放的 e_n 与电阻的热噪声，都互不相干；同一个噪声源经过两条路径，可能相关。
把噪声想成打在屋顶上的雨点：每一滴的方向、大小都随机，但单位面积、单位时间的总水量是稳定的。带宽就是屋顶的面积：面积翻倍，接到的水量翻倍；噪声的功率也随带宽线性增长，所以噪声电压只涨 \sqrt{2} 倍——这就是为什么谱密度乘的是 \sqrt{BW}，不是 BW。
类比的边界：雨点是经典粒子，噪声是随机过程；雨量可以精确预测长期平均，噪声的瞬时峰峰值永远无法保证。所以噪声预算只能给 rms 和统计峰峰值，不能承诺"绝不超过某个电压"。
2.3 从谱密度到 rms：为什么必须用噪声带宽
理想的白噪声通过一个理想的砖墙滤波器（通带到 f_c、带外为零），rms 就是 e_n\sqrt{f_c}。但运放的闭环响应不是砖墙，而是一条单极点曲线：
|H(f)|=\frac{1}{\sqrt{1+(f/f_c)^2}}它的功率在 f_c 以上还在缓慢下降，一直积分到无穷大，得到的等效带宽比 f_c 大。这个积分就是本章最重要的一个数：
BW_n=\int_0^\infty|H(f)|^2\,df=\int_0^\infty\frac{df}{1+(f/f_c)^2}=\frac{\pi}{2}f_c\approx1.5708f_cBW_n 比 f_c 大 57.1%，\sqrt{BW_n} 比 \sqrt{f_c} 大 25.3%（1.96 dB）。 也就是说，用 f_c 直接乘会把噪声算小 20.2%。这个系数只对单极点闭环成立；二阶、三阶的系数小一些（§3.3 给表），有峰化时反而更大。数据手册里的"0.1~10 Hz 噪声"通常是按指定带通滤波后的积分结果，滤波器的噪声带宽与阶数有关，不要和本章的 BW_n 直接互换。
2.4 数据手册里的 e_n、i_n 怎么读
数据手册给噪声的方式有三种，读法不一样：
- 单点值：在 1 kHz（有时还有 10 Hz）给一个 e_n，单位 \text{nV}/\sqrt{\text{Hz}}。这个点通常是白噪声平台，但如果 1/f 拐点高于 1 kHz，它已经包含了 1/f 成分。
- 频谱曲线：横轴频率（对数）、纵轴 \text{nV}/\sqrt{\text{Hz}}（对数）。曲线上"平坦段"是白噪声，"每十倍频下降 10 dB"的斜段是 1/f；两段延长线的交点就是1/f 拐点 f_{ce}。
- 积分噪声：直接给"0.1~10 Hz"或"10 Hz~1 kHz"的 \mu\text{V rms} 或 \text{p-p}，通常注明测试带宽与增益。这种值不能反推出谱密度曲线，只能用于同条件比较。
读曲线要核对四个条件：
- 测试增益与源阻抗：e_n 是输入折算量，但测试时源阻抗会叠加 i_nR_s 与 4kTR_s；读曲线要看清测试条件，i_n 的测量更依赖源阻抗。
- 典型值还是最大值：曲线几乎都是 typical；预算要按 max 或加裕量。数据手册通常只给 e_n 的典型曲线，i_n 有时连曲线都没有。
- i_n 与 I_B 不是一回事：I_B 是直流偏置电流（A），i_n 是它的随机起伏（\text{A}/\sqrt{\text{Hz}}）。双极输入的 i_n 大致是 I_B 的散粒噪声 \sqrt{2qI_B}；CMOS 输入两者都极小，但不能假设为零。
- e_n 与 i_n 的相关性：数据手册不保证两者独立；预算按独立处理是常见做法，但要知道这是一个假设。
2.5 源阻抗面前的三项竞争
把信号源看成"一个理想电压源串一个 R_s"，运放输入端看到的噪声有三项：
| 项 | 密度 | 随 R_s 的变化 | 谁主导 |
|---|---|---|---|
| 运放电压噪声 e_n | 常数 | 不随 R_s 变 | 低阻源 |
| 电流噪声在源阻抗上的压降 i_nR_s | 正比 R_s | 线性增长 | 高阻源 |
| 源电阻自身的热噪声 \sqrt{4kTR_s} | 正比 \sqrt{R_s} | 平方根增长 | 高阻源，且无法被任何运放消除 |
三项画在同一张图上，前两项在 R_s=e_n/i_n 处相等，这个点叫噪声匹配点。但注意：这个点让噪声系数（放大器相对源热噪声的恶化量）最小，不是让总噪声最小——在固定温度下，总噪声随 R_s 单调上升，因为源电阻自己的热噪声也在涨。这个区别在 §3.5 展开，它是本章最容易讲错的一处。
3. 定量关系
3.1 电阻热噪声：\sqrt{4kTR\Delta f}
任何电阻，不论有没有电流流过，都有热噪声。电压形式：
e_{n,R}=\sqrt{4kTR}\quad\left[\text{V}/\sqrt{\text{Hz}}\right]电流形式（把电阻看成诺顿源）：
i_{n,R}=\sqrt{\frac{4kT}{R}}\quad\left[\text{A}/\sqrt{\text{Hz}}\right]符号与单位：k=1.380649\times10^{-23}\ \text{J/K}；T 是绝对温度（K），300 K 对应约 27^{\circ}\text{C}；R 是电阻（\Omega）；e_{n,R} 的单位是 \text{V}/\sqrt{\text{Hz}}。在 300 K 下 4kT=1.6568\times10^{-20}\ \text{J}。
带宽 \Delta f 内的 rms 噪声是 e_{n,R}\sqrt{\Delta f}。对白噪声，\Delta f 要换成噪声带宽 BW_n，不是信号带宽。
| R | e_{n,R}（300 K） | i_{n,R}（300 K） |
|---|---|---|
| 10\ \Omega | 0.407\ \text{nV}/\sqrt{\text{Hz}} | 40.7\ \text{pA}/\sqrt{\text{Hz}} |
| 100\ \Omega | 1.29\ \text{nV}/\sqrt{\text{Hz}} | 12.87\ \text{pA}/\sqrt{\text{Hz}} |
| 1\ \text{k}\Omega | 4.07\ \text{nV}/\sqrt{\text{Hz}} | 4.07\ \text{pA}/\sqrt{\text{Hz}} |
| 10\ \text{k}\Omega | 12.87\ \text{nV}/\sqrt{\text{Hz}} | 1.287\ \text{pA}/\sqrt{\text{Hz}} |
| 100\ \text{k}\Omega | 40.70\ \text{nV}/\sqrt{\text{Hz}} | 0.407\ \text{pA}/\sqrt{\text{Hz}} |
| 1\ \text{M}\Omega | 128.7\ \text{nV}/\sqrt{\text{Hz}} | 0.1287\ \text{pA}/\sqrt{\text{Hz}} |
复算一行：R=100\ \text{k}\Omega，
e_{n,R}=\sqrt{4\times1.380649\times10^{-23}\times300\times10^5}=\sqrt{1.6568\times10^{-15}}=4.070\times10^{-8}\ \text{V}/\sqrt{\text{Hz}}=40.70\ \text{nV}/\sqrt{\text{Hz}}这张表要背下来的部分：阻值每涨 100 倍，噪声涨 10 倍；1\ \text{k}\Omega 对应 4\ \text{nV}/\sqrt{\text{Hz}}，100\ \text{k}\Omega 对应 40\ \text{nV}/\sqrt{\text{Hz}}，1\ \text{M}\Omega 对应 129\ \text{nV}/\sqrt{\text{Hz}}。低噪声设计里"把电阻压到 kΩ 量级"不是习惯，是这行数字逼出来的。
3.2 散粒噪声与 1/f 噪声
散粒噪声来自电荷的离散性：
i_{n,\text{shot}}=\sqrt{2qI}\quad\left[\text{A}/\sqrt{\text{Hz}}\right]其中 q=1.602176634\times10^{-19}\ \text{C}，I 是流过势垒的直流电流（A）。I=1\ \mu\text{A} 时 i_n=\sqrt{2\times1.602\times10^{-19}\times10^{-6}}=5.66\times10^{-13}\ \text{A}/\sqrt{\text{Hz}}=0.566\ \text{pA}/\sqrt{\text{Hz}}。双极输入运放的基极电流 I_B 就是这样一个直流电流，所以 i_n\approx\sqrt{2qI_B}：I_B=100\ \text{nA} 对应 0.179\ \text{pA}/\sqrt{\text{Hz}}。
1/f 噪声（闪烁噪声）的功率谱密度与频率成反比：
e_n^2(f)=e_{nw}^2\left(1+\frac{f_{ce}}{f}\right)其中 e_{nw} 是白噪声平台密度（\text{V}/\sqrt{\text{Hz}}），f_{ce} 是 1/f 拐点（Hz），e_n(f) 是该频率处的总密度。在 f=f_{ce} 处，1/f 分量与白噪声分量相等。拐点以下每降十倍频，电压密度涨 \sqrt{10}=3.16 倍（+10 dB）。
在 [f_1,f_2] 内积分 1/f 分量，得到 rms：
E_{1/f}=e_{nw}\sqrt{f_{ce}\ln\frac{f_2}{f_1}}符号与单位：E_{1/f} 单位 V rms；f_1、f_2 是频带下限与上限（Hz）。这个式子假设 f_1 远低于 f_{ce}、f_2 远高于 f_{ce}，且把 1/f 段当砖墙积分；用于预算够用，精确值要按实际滤波器形状数值积分。
复算：e_{nw}=10\ \text{nV}/\sqrt{\text{Hz}}、f_{ce}=100\ \text{Hz}、f_1=0.1\ \text{Hz}、f_2=10\ \text{Hz}：
E_{1/f}=10\times10^{-9}\times\sqrt{100\times\ln\frac{10}{0.1}}=10^{-8}\times\sqrt{100\times4.605}=10^{-8}\times21.46=214.6\ \text{nV rms}同一频带的白噪声分量是 10\ \text{nV}\times\sqrt{(\pi/2)\times10}=39.6\ \text{nV rms}，1/f 是它的 5.4 倍。0.1~10 Hz 测量里，1 kHz 的 e_n 几乎没有参考价值。
3.3 噪声带宽：(\pi/2)f_c，不是 f_c
单极点闭环的噪声带宽已经在 §2.3 推出：
BW_n=\frac{\pi}{2}f_c\approx1.5708f_c三个直接可算的差：
| 你用的带宽 | 数值（f_c=10\ \text{kHz}） | 噪声电压（e_{ni}=43.28\ \text{nV}/\sqrt{\text{Hz}}、G=100） | 相对正确值 |
|---|---|---|---|
| f_c（错） | 10 kHz | 433\ \mu\text{V rms} | −20.2%（−1.96 dB） |
| 2f_c（错） | 20 kHz | 612\ \mu\text{V rms} | +12.8%（+1.05 dB） |
| (\pi/2)f_c（对） | 15.708 kHz | 542\ \mu\text{V rms} | 0 |
注意 2f_c 也不对：它比正确值大 12.8%，方向和 f_c 相反。这两个错误都很常见，一个是"忘了滚降的尾巴"，一个是"把单极点当成了双边带"。
不同阶数的低通，系数不一样。对最大平坦（巴特沃斯）响应 |H(f)|^2=1/[1+(f/f_c)^{2n}]：
BW_n=f_c\cdot\frac{\pi/(2n)}{\sin\left(\pi/(2n)\right)}| 阶数 n | BW_n/f_c | 说明 |
|---|---|---|
| 1 | 1.5708 | 单极点，运放闭环最常见 |
| 2 | 1.1107 | 二阶低通、Sallen-Key |
| 3 | 1.0472 | 三阶 |
| 4 | 1.0262 | 四阶，已接近砖墙 |
这张表的用法：如果运放后面还有一级二阶抗混叠滤波，系统的总噪声带宽不是 1.5708f_c，而是由每一级的噪声带宽与增益共同决定；不能拿一个系数套整条链路。级联两个相同的一阶节时，噪声带宽是 0.7854f_0，而总 -3\ \text{dB} 带宽是 0.6436f_0，比值 1.22——系数随拓扑变，报告里必须写清用的是哪一个。
3.4 噪声增益与分项合成公式
噪声增益 1/\beta 是运放电压噪声、电流噪声、电阻热噪声被放大的统一倍数：
\frac{1}{\beta}=1+\frac{R_f}{R_1}\quad\text{（同相组态）}反相组态的信号增益是 -R_f/R_1，但噪声增益仍是 1+R_f/R_1，两者差 1。噪声预算一律用噪声增益，不用信号增益（见开环、闭环增益与负反馈本质）。
同相组态、源阻抗为纯电阻 R_s 时，输入参考总噪声密度是五项平方和：
e_{ni}=\sqrt{e_n^2+\left(i_nR_s\right)^2+4kTR_s+\left[i_n\left(R_1\parallel R_f\right)\right]^2+4kT\left(R_1\parallel R_f\right)}符号与单位：e_{ni} 单位 \text{V}/\sqrt{\text{Hz}}；R_s 是源阻抗（\Omega）；R_1\parallel R_f 是反相端对地的直流等效电阻（\Omega）。五项依次是：运放电压噪声、电流噪声在源阻抗上的压降、源电阻热噪声、电流噪声在反馈网络上的压降、反馈网络热噪声。
反馈网络那一项值得单独验算：R_1 的热噪声经 R_f/R_1 放大到输出，功率是 4kTR_f^2/R_1；R_f 的热噪声直接出现在输出，功率是 4kTR_f。两项相加再除以噪声增益的平方 (1+R_f/R_1)^2，折算到输入正好是
4kT\left(\frac{R_f^2}{R_1}+R_f\right)\cdot\frac{1}{\left(1+\frac{R_f}{R_1}\right)^2}=4kT\frac{R_1R_f}{R_1+R_f}=4kT\left(R_1\parallel R_f\right)这就是式子里出现 R_1\parallel R_f 而不是 R_f 的原因。
输出噪声：
V_{out,n}=e_{ni}\cdot\frac{1}{\beta}\cdot\sqrt{BW_n}符号与单位：V_{out,n} 单位 V rms；1/\beta 无量纲；BW_n 单位 Hz。
三条使用条件必须同时满足：① 闭环是单极点（否则 BW_n 换系数）；② 信号源是纯电阻、输入电容的极点高于工作频段（否则 R_sC_{in} 会改变噪声增益的频响）；③ 各项互不相干（否则按相关性合成）。反相组态的公式不同：R_s 与 R_1 串联，信号被分压，噪声项要按 R_s+R_1 重算——本章算例用同相组态，因为高阻传感器通常接同相/仪表拓扑。
3.5 噪声匹配点：R_{s,opt}=e_n/i_n 到底优化了什么
把"放大器引入的噪声"与"源电阻自身的热噪声"相比，定义噪声系数：
NF=1+\frac{e_n^2+\left(i_nR_s\right)^2}{4kTR_s},\qquad NF(\text{dB})=10\lg NF注意这里用 10\lg，因为 NF 是功率比；而噪声电压比用 20\lg。两者数值相同（因为电压比平方就是功率比），但写规格时要注明是哪一个。
对 R_s 求导并令其为零，得到
R_{s,opt}=\frac{e_n}{i_n},\qquad NF_{min}=1+\frac{e_ni_n}{2kT}复算：e_n=10\ \text{nV}/\sqrt{\text{Hz}}、i_n=0.1\ \text{pA}/\sqrt{\text{Hz}}：
R_{s,opt}=\frac{10\times10^{-9}}{0.1\times10^{-12}}=1.0\times10^5\ \Omega=100\ \text{k}\OmegaNF_{min}=1+\frac{10^{-8}\times10^{-13}}{2\times1.380649\times10^{-23}\times300}=1+\frac{10^{-21}}{8.284\times10^{-21}}=1.1207NF_{min}(\text{dB})=10\lg1.1207=0.495\ \text{dB}这里必须纠正一个流行说法："R_s=e_n/i_n 时总噪声最小。" 不对。R_{s,opt} 让噪声系数最小，也就是让放大器相对源热噪声的恶化最小；总输入噪声 e_{ni} 在固定温度下随 R_s 单调上升，因为 4kTR_s 这一项一直在涨。在 R_{s,opt} 处，e_n 项与 i_nR_s 项相等（都是 10 nV），但源热噪声是 40.7 nV，总噪声 43.3 nV——比源热噪声只高 6.3%。NF_{min}=0.495\ \text{dB} 只算了 e_n 与 i_nR_s；把反馈网络也算进去是 0.53 dB（§4.1 的 542.4/510.1）。选型时用 R_{s,opt} 判断"该用低 e_n 还是低 i_n 器件"是对的；用它判断"总噪声最小"是错的。 真要降总噪声，只能降 R_s、降带宽、或降温度。
3.6 适用条件与失效边界
- 单极点假设：BW_n=(\pi/2)f_c 只对单极点闭环成立；有第二极点、峰化、或后级滤波时，要按实际 |H(f)|^2 积分。
- 白噪声假设：e_n\sqrt{BW_n} 只对平坦段成立；跨过 1/f 拐点必须分段积分。
- 独立性假设：不同电阻、运放 e_n 与电阻热噪声可视为独立；同一噪声源经两条路径、或 e_n 与 i_n 通过同一器件参数相关时，不能平方和。
- 高斯假设：6.6\times rms 的峰峰值是统计口径（约 99.9%），不是保证值；低概率的大幅值（burst noise）会超出这个估计。
- 电阻模型：4kTR 只描述热噪声；碳膜/厚膜电阻在直流电流下还有过剩噪声（1/f 型），低噪声设计要用金属膜/薄膜电阻。
- 温度：4kT 中的 T 是绝对温度；从 300 K 到 400 K，热噪声涨 \sqrt{400/300}=1.155 倍（+1.25 dB），高温场合要重算。
- 输入电容与源阻抗：R_sC_{in} 在高频形成极点，可能让噪声增益出现峰化，实际噪声比本公式大；高阻源必须核对。
- 测量口径：数据手册的积分噪声有指定带宽与增益，不能直接和本章的 BW_n 数值互换。
4. 典型计算
4.1 完整算例：R_s=100\ \text{k}\Omega、G=100、f_c=10\ \text{kHz}
需求：高阻传感器 R_s=100\ \text{k}\Omega（300 K），接成同相 G=100（R_1=1\ \text{k}\Omega、R_f=99\ \text{k}\Omega）。运放 e_n=10\ \text{nV}/\sqrt{\text{Hz}}、i_n=0.1\ \text{pA}/\sqrt{\text{Hz}}（按白噪声处理，1/f 在 §4.3 单独算）。闭环 -3\ \text{dB} 带宽 f_c=10\ \text{kHz}（对应 GBW=1 MHz、噪声增益 100）。求输出总噪声、等效输入噪声、信噪比，并指出主导项。
第 1 步：噪声增益与噪声带宽。
\frac{1}{\beta}=1+\frac{R_f}{R_1}=1+\frac{99}{1}=100BW_n=\frac{\pi}{2}f_c=\frac{\pi}{2}\times10^4=1.5708\times10^4\ \text{Hz}=15.708\ \text{kHz}\sqrt{BW_n}=\sqrt{1.5708\times10^4}=125.33\ \sqrt{\text{Hz}}第 2 步：源电阻热噪声。
e_{R_s}=\sqrt{4kTR_s}=\sqrt{4\times1.380649\times10^{-23}\times300\times10^5}=40.70\ \text{nV}/\sqrt{\text{Hz}}第 3 步：电流噪声在源阻抗上的压降。
i_nR_s=0.1\times10^{-12}\times10^5=1.0\times10^{-8}\ \text{V}/\sqrt{\text{Hz}}=10.0\ \text{nV}/\sqrt{\text{Hz}}它恰好等于 e_n，因为 R_s=100\ \text{k}\Omega 正好是 e_n/i_n 的匹配点。这是设计者选的值，不是巧合：高阻源选 i_n 低的器件，就是为了让这一项不压倒 e_n。
第 4 步：反馈网络的两项。
R_1\parallel R_f=\frac{1\times99}{1+99}=0.990\ \text{k}\Omega=990\ \Omega4kT\left(R_1\parallel R_f\right)=\sqrt{1.6568\times10^{-20}\times990}=4.05\ \text{nV}/\sqrt{\text{Hz}}i_n\left(R_1\parallel R_f\right)=0.1\times10^{-12}\times990=9.9\times10^{-11}\ \text{V}/\sqrt{\text{Hz}}=0.099\ \text{nV}/\sqrt{\text{Hz}}第 5 步：RSS 合成输入参考密度。
e_{ni}=\sqrt{10.0^2+10.0^2+40.70^2+4.05^2+0.099^2}\ \text{nV}/\sqrt{\text{Hz}}e_{ni}=\sqrt{100+100+1656.5+16.4+0.01}=\sqrt{1872.9}=43.28\ \text{nV}/\sqrt{\text{Hz}}第 6 步：输出噪声与输入等效噪声。
V_{out,n}=43.28\times10^{-9}\times100\times125.33=5.424\times10^{-4}\ \text{V rms}=542.4\ \mu\text{V rms}V_{in,n}=\frac{V_{out,n}}{100}=5.424\ \mu\text{V rms}按 6.6\times 估峰峰值：
V_{p-p}\approx6.6\times542.4\ \mu\text{V}=3.58\ \text{mV p-p}第 7 步：分项占比。
___
| 噪声源 | 输入密度（\text{nV}/\sqrt{\text{Hz}}） | 输出贡献（\mu\text{V rms}） | 功率占比 |
|---|---|---|---|
| 运放 e_n | 10.0 | 125.3 | 5.34% |
| i_nR_s | 10.0 | 125.3 | 5.34% |
| 源电阻 4kTR_s | 40.70 | 510.1 | 88.45% |
| 反馈网络 4kT(R_1\parallel R_f) | 4.05 | 50.8 | 0.88% |
| i_n(R_1\parallel R_f) | 0.099 | 1.24 | 0.0005% |
| RSS 合计 | 43.28 | 542.4 | 100% |
复算一行：源电阻项 40.70\times10^{-9}\times100\times125.33=5.101\times10^{-4}\ \text{V}=510.1\ \mu\text{V}；它对总功率的贡献是 (510.1/542.4)^2=88.45\%。
第 8 步：信噪比与 ADC 分辨率。
设传感器满量程输出 10\ \text{mV rms}，放大器输出 10\ \text{mV}\times100=1.0\ \text{V rms}：
SNR=20\lg\frac{1.0\ \text{V}}{542.4\ \mu\text{V}}=20\lg1844=65.3\ \text{dB}对 3.3 V、12 位 ADC（1 LSB =3.3/4096=805.7\ \mu\text{V}）：
\frac{542.4\ \mu\text{V}}{805.7\ \mu\text{V}}=0.673\ \text{LSB}也就是噪声约 0.67 个码，折合有效位数约 65.3/6.02\approx10.8 位（含 1.76 dB 修正后约 10.6 位）——12 位 ADC 只能拿到约 10.6 位有效分辨率，这就是模拟前级的噪声代价。若信号只有 1\ \text{mV rms}，SNR 降到 45.3\ \text{dB}，542\ \mu\text{V} 的噪声已经是信号的 54%，必须降带宽或降源阻抗。
第 9 步：口径检查——如果 10 kHz 指的是噪声带宽。 若规格写的是"噪声带宽 10 kHz"，则 BW_n=10\ \text{kHz}，对应 f_c=(2/\pi)\times10\ \text{kHz}=6.366\ \text{kHz}，输出噪声是
43.28\times10^{-9}\times100\times\sqrt{10^4}=432.8\ \mu\text{V rms}比本章的 542.4 µV 低 1.96 dB。同一句"带宽 10 kHz"，两种口径差约 25%（542/433=1.253，即 1.96 dB），所以规格书必须写清是 f_c 还是 BW_n。
第 10 步：换器件能改善多少？ 把 e_n 从 10 nV 换成 3 nV（i_n 不变）：
e_{ni}=\sqrt{3^2+10^2+40.70^2+4.05^2}=42.22\ \text{nV}/\sqrt{\text{Hz}}V_{out,n}=42.22\times10^{-9}\times100\times125.33=529.1\ \mu\text{V rms}只降 2.5%（−0.22 dB）。若同时把源阻抗从 100 kΩ 降到 10 kΩ，源热噪声变成 12.87 nV，总密度降到 16.83 nV，输出 210.9\ \mu\text{V rms}——降 2.6 倍，这才是数量级的改善。结论：主导项是源电阻，优化顺序应该是"降源阻抗 → 降带宽 → 换器件"。
4.2 算例二：1 kΩ 源，双极还是 CMOS
已知：源阻抗 R_s=1\ \text{k}\Omega（300 K），两种候选器件：A 为低噪声双极（e_n=5\ \text{nV}/\sqrt{\text{Hz}}、i_n=0.5\ \text{pA}/\sqrt{\text{Hz}}）；B 为通用 CMOS（e_n=20\ \text{nV}/\sqrt{\text{Hz}}、i_n=0.01\ \text{pA}/\sqrt{\text{Hz}}）。忽略反馈网络，比较输入参考总密度。
第 1 步：源热噪声。
e_{R_s}=\sqrt{1.6568\times10^{-20}\times10^3}=4.07\ \text{nV}/\sqrt{\text{Hz}}第 2 步：器件 A。
e_{ni,A}=\sqrt{5^2+\left(0.5\times10^{-12}\times10^3\times10^9\right)^2+4.07^2}=\sqrt{25+0.25+16.6}=6.47\ \text{nV}/\sqrt{\text{Hz}}（i_nR_s=0.5\ \text{pA}\times1\ \text{k}\Omega=0.5\ \text{nV}。）
第 3 步：器件 B。
e_{ni,B}=\sqrt{20^2+\left(0.01\times10^{-12}\times10^3\times10^9\right)^2+4.07^2}=\sqrt{400+0.0001+16.6}=20.41\ \text{nV}/\sqrt{\text{Hz}}第 4 步：换成 100 kΩ 再看。
e_{ni,A}=\sqrt{25+\left(0.5\times10^{-12}\times10^5\times10^9\right)^2+40.70^2}=\sqrt{25+2500+1656.8}=64.67\ \text{nV}/\sqrt{\text{Hz}}e_{ni,B}=\sqrt{400+\left(0.01\times10^{-12}\times10^5\times10^9\right)^2+40.70^2}=\sqrt{400+1+1656.8}=45.36\ \text{nV}/\sqrt{\text{Hz}}第 5 步：交叉点。 忽略 \sqrt{4kTR_s}（两面相同，抵消），令 e_n^2+(i_nR_s)^2 相等：
5^2+\left(0.5R_s\right)^2=20^2+\left(0.01R_s\right)^2\quad(R_s\ \text{以 k}\Omega\ \text{计，}e_n\ \text{以 nV 计})0.25R_s^2-0.0001R_s^2=375\quad\Rightarrow\quad R_s^2=\frac{375}{0.2499}=1500.6\quad\Rightarrow\quad R_s=38.7\ \text{k}\Omega结论：源阻抗低于 38.7 kΩ 用双极低噪声器件；高于 38.7 kΩ 用 CMOS/JFET。这个交叉点由两款器件的 e_n、i_n 共同决定，不是把两个 R_{s,opt} 取平均：A 的 R_{s,opt}=10\ \text{k}\Omega、B 的 R_{s,opt}=2\ \text{M}\Omega，交叉点 38.7 kΩ 更靠近 A 一侧。 本章算例的 100 kΩ 已经越过交叉点，所以选 i_n=0.1\ \text{pA} 的器件是对的；如果贪便宜用 1 pA 的通用双极件，i_nR_s=100\ \text{nV}，比源热噪声还大 2.5 倍。
4.3 算例三：1/f 在 0.1~10 Hz 与 10 Hz~10 kHz 的贡献
已知：e_{nw}=10\ \text{nV}/\sqrt{\text{Hz}}、f_{ce}=100\ \text{Hz}。分别求 0.1~10 Hz 与 10 Hz~10 kHz 两个频段的 e_n 分量。
第 1 步：0.1~10 Hz 的 1/f 分量。
E_{1/f}=10\times10^{-9}\times\sqrt{100\times\ln\frac{10}{0.1}}=10^{-8}\times\sqrt{460.5}=214.6\ \text{nV rms}第 2 步：同频带的白噪声分量。 单极点 10 Hz 低通的 BW_n=(\pi/2)\times10=15.708\ \text{Hz}：
E_{w}=10\times10^{-9}\times\sqrt{15.708}=39.63\ \text{nV rms}第 3 步：合成。
E_{total}=\sqrt{214.6^2+39.63^2}=\sqrt{46053+1571}=218.2\ \text{nV rms}1/f 占总功率的 46053/47624=96.7\%——这个频段里 1/f 完全主导，白噪声平台值没有参考意义。
第 4 步：10 Hz~10 kHz 频段。
E_{1/f}=10^{-8}\times\sqrt{100\times\ln1000}=10^{-8}\times26.28=262.8\ \text{nV rms}E_w=10^{-8}\times\sqrt{1.5708\times10^4}=1.253\ \mu\text{V rms}E_{total}=\sqrt{1253^2+262.8^2}=1.281\ \mu\text{V rms}1/f 只占 4.2% 的功率——同样是 1/f 噪声，频段不同，重要性差约 23 倍（95.8% 对 4.2%）。这解释了为什么"音频/直流精密测量"和"宽带放大器"要用两套完全不同的选型逻辑。
代回 §4.1 的总额：e_n 的积分从 1.253\ \mu\text{V rms} 变成 \sqrt{1253^2+262.8^2}=1.281\ \mu\text{V rms}，输出贡献从 125.3\ \mu\text{V} 变成 128.1\ \mu\text{V}；在 542.4\ \mu\text{V} 的总噪声里只增加约 0.01 dB，所以主算例按白噪声处理是合理的。但如果源阻抗降到 1\ \text{k}\Omega，e_n 项在总噪声里的占比上升，1/f 就必须计入——同一个 1/f 拐点，在不同的源阻抗下重要性完全不同。
5. 工程含义
5.1 数量级表：先知道该看哪个数
| 输入级类型 | e_n（1 kHz） | i_n（1 kHz） | R_{s,opt}=e_n/i_n | 1/f 拐点 | 典型适用 |
|---|---|---|---|---|---|
| 低噪声双极 | 1~5 \text{nV}/\sqrt{\text{Hz}} | 0.5~3 \text{pA}/\sqrt{\text{Hz}} | 0.3~10 \text{k}\Omega | 2~50 Hz | 低阻源、音频、传感器前置 |
| 精密双极 | 5~15 \text{nV}/\sqrt{\text{Hz}} | 0.2~1 \text{pA}/\sqrt{\text{Hz}} | 5~75 \text{k}\Omega | 10~100 Hz | 精密直流、仪表 |
| JFET 输入 | 5~20 \text{nV}/\sqrt{\text{Hz}} | 0.001~0.05 \text{pA}/\sqrt{\text{Hz}} | 0.1~20 \text{M}\Omega | 10~200 Hz | 高阻传感器、pH、光电 |
| CMOS 输入 | 10~50 \text{nV}/\sqrt{\text{Hz}} | 0.001~0.01 \text{pA}/\sqrt{\text{Hz}} | 1~50 \text{M}\Omega | 1~10 kHz | 高阻、低功耗 |
| 斩波/零漂移 | 10~30 \text{nV}/\sqrt{\text{Hz}} | 0.01~0.1 \text{pA}/\sqrt{\text{Hz}} | 0.1~3 \text{M}\Omega | 被斩波搬移 | 精密直流、低频 |
这些是典型量级，具体型号以数据手册为准。表的用法：先算源阻抗，再对照 R_{s,opt} 选输入级；不要拿"最低 e_n"的器件去接 1 MΩ 源，也不要拿 CMOS 去接 50 Ω 源。
5.2 选型顺序：先算源，再算器件，最后算带宽
- 算源热噪声：e_{R_s}=\sqrt{4kTR_s}。这是噪声的物理下限，任何器件都不可能低于它。
- 算 i_nR_s：与 e_n 比较。i_nR_s 比 e_n 大 3 倍以上时，优先降 i_n（换 CMOS/JFET）；反之优先降 e_n。
- 算 R_{s,opt}：确认所选器件的 e_n/i_n 在源阻抗附近；偏离一个数量级以上，说明选型方向错了。
- 算带宽：BW_n=(\pi/2)f_c（或按实际滤波器阶数取系数），再乘 \sqrt{BW_n}。
- 算 1/f：工作频段跨过拐点时单独积分；0.1~10 Hz 测量必须看拐点。
- 算反馈网络：R_1\parallel R_f 的热噪声与 i_n 项；高增益、高阻反馈时这一项经常进前二。
- 最后看价格、封装、功耗。
5.3 布局与外部噪声：算不到的比算得到的更大
- 高阻节点保护：R_s 在 100 kΩ 以上时，PCB 漏电、湿度、助焊剂残留、输入电容耦合都会引入噪声；加保护环（guard ring）、清洗、三防漆（见失调电压、偏置电流与漂移）。
- 反馈电阻靠近反相端：缩短高阻节点走线，减少拾取面积；反馈电阻上方不要走数字线。
- 屏蔽与双绞：传感器引线双绞、屏蔽层单端接地；屏蔽层两端接地会形成地环路，把地电流变成共模噪声。
- 电源去耦：每个电源脚就近 100 nF，模拟电源与数字电源分开；开关电源的纹波会通过 PSRR 进入输出（见共模范围、CMRR 与 PSRR）。
- 地平面：完整地平面、单点汇合；地弹会把数字电流变成输入端的共模噪声。
- 电阻类型：金属膜/薄膜电阻的热噪声就是 4kTR，但碳膜/厚膜在直流电流下还有过剩 1/f 噪声；低噪声设计不要用碳膜。
- 温度与热电偶：不同金属结点产生 \mu\text{V}/^{\circ}\text{C} 级热电势，属于直流误差，不是噪声，但会被误判成"低频噪声"；两个输入端等温布局。
5.4 测量：怎么证明噪声预算是对的
- 测 e_n：把运放接成高增益（如 1000 倍）同相放大，输入端用低阻（如 50 Ω）端接，用频谱分析仪测输出噪声密度，再除以增益、扣除源电阻与反馈网络的热噪声。测量系统的本底噪声要至少低 10 dB，否则测到的是仪器。
- 测 i_n：输入端接一个大电阻（如 10 MΩ）或电容，测输出噪声，扣除 4kTR 与 e_n 项后反推 i_n。大电阻本身的热噪声很大，要用已知值精确扣除。
- 测总噪声：用真有效值表或示波器带宽限制到 BW_n，读 rms；注意表的热噪声本底与带宽。
- 环境：电池供电、屏蔽箱、远离开关电源与无线设备；50 Hz 工频与地环路是最常见的"假噪声"。
- 验收判据：实测与预算差 3 dB 以内算正常；差 10 dB 以上先查测量方法，再查器件与布局。
5.5 噪声与其他误差的关系
噪声是随机误差，失调/偏置/CMRR/PSRR 是系统误差。系统误差可以标定（至少在一次校准后），噪声不能。预算时两者分开：系统误差按最坏和或 RSS 合成（见失调电压、偏置电流与漂移），噪声按 rms 单独给；最后用"噪声 + 失调 + 非线性"一起判断 ADC 的有效位数。不要把噪声 rms 和失调 mV 直接相加——一个是统计量，一个是直流量，量纲相同但意义不同。
6. 常见坑
- 现象：按 f_c 算出的噪声比实测小 2 dB 左右，设计"刚好达标"却在量产中掉指标。原因：把闭环 -3\ \text{dB} 带宽当噪声带宽；单极点系统的等效噪声带宽是 (\pi/2)f_c=1.571f_c，噪声被低估 \sqrt{\pi/2}=1.253 倍（1.96 dB）。解决：白噪声一律乘 \sqrt{\pi/2}；多阶滤波器按 (\pi/2n)/\sin(\pi/2n) 取系数；报告里写清用的是 f_c 还是 BW_n。
- 现象：手算总噪声 60 nV，实测只有 43 nV，或者反过来算小了。原因：把噪声电压直接相加，或把 RSS 用在了相关源上。解决：不相干源按平方和开方；两个 10 nV 源合成 14.14 nV（+3 dB），不是 20 nV（+6 dB）；同一源分两路才按电压相加。
- 现象：100 kΩ 传感器接上后噪声比预期大 8 dB，换低 e_n 运放没用。原因：i_nR_s 项主导；通用双极运放 i_n=1\ \text{pA}/\sqrt{\text{Hz}} 在 100 kΩ 上产生 100 nV/√Hz，而 e_n 只有 5~10 nV。解决：先算 i_nR_s 与 e_n 的比；高阻源换 JFET/CMOS 低 i_n 器件，或降低源阻抗。
- 现象：高增益前置的噪声比运放手册的 e_n 算出来大一个数量级。原因：反馈电阻太大，4kT(R_1\parallel R_f) 成为主导；1 MΩ 反馈电阻的热噪声是 128.7 nV/√Hz。解决：在增益允许的前提下压低反馈电阻（kΩ~数十 kΩ）；必要时用 T 型网络或变压器，但要重新算噪声。
- 现象：0.1~10 Hz 噪声实测 200 nV rms，按 1 kHz 的 e_n 算只有 40 nV。原因：1/f 噪声在低频主导，1 kHz 的单点值不能代表低频。解决：查 1/f 拐点，按 E_{1/f}=e_{nw}\sqrt{f_{ce}\ln(f_2/f_1)} 单独积分；低频测量优先选低 1/f 器件或斩波稳零器件。
- 现象：以为源阻抗等于 e_n/i_n 时"总噪声最小"，于是把源阻抗往上加。原因：R_{s,opt} 优化的是噪声系数（放大器相对源热噪声的恶化），不是总噪声；在固定温度下总噪声随 R_s 单调上升。解决：用 R_{s,opt} 判断选型方向；降总噪声只能降 R_s、降带宽、降温度。
- 现象：换了一批电阻，噪声变大且随直流电流变化。原因：碳膜/厚膜电阻的过剩噪声（1/f 型），与电流有关，不在 4kTR 模型里。解决：低噪声场合用金属膜/薄膜电阻；大阻值处避免直流电流。
7. 自测题
R_s=100\ \text{k}\Omega、300 K、f_c=10\ \text{kHz} 单极点。源电阻自身的 rms 噪声是多少？如果误用 f_c 当噪声带宽，会差多少 dB？
源电阻密度：
e_{R_s}=\sqrt{4\times1.380649\times10^{-23}\times300\times10^5}=40.70\ \text{nV}/\sqrt{\text{Hz}}噪声带宽：
BW_n=\frac{\pi}{2}\times10^4=15.708\ \text{kHz},\qquad \sqrt{BW_n}=125.33V_{n,\text{rms}}=40.70\times10^{-9}\times125.33=5.101\times10^{-6}\ \text{V}=5.10\ \mu\text{V rms}误用 f_c：40.70\times10^{-9}\times100=4.07\ \mu\text{V rms}，低估 5.10/4.07=1.253 倍，即 20\lg1.253=1.96\ \text{dB}。
两个独立的 10\ \text{nV}/\sqrt{\text{Hz}} 噪声源和一个 40.7\ \text{nV}/\sqrt{\text{Hz}} 源，总密度是多少？如果直接相加会高估多少 dB？
RSS：
e_{total}=\sqrt{10^2+10^2+40.7^2}=\sqrt{100+100+1656.5}=43.09\ \text{nV}/\sqrt{\text{Hz}}直接相加：10+10+40.7=60.7\ \text{nV}/\sqrt{\text{Hz}}。
20\lg\frac{60.7}{43.09}=20\lg1.409=2.98\ \text{dB}直接相加高估约 3 dB。 注意：RSS 的结果 43.09 nV 与 40.7 nV 只差 0.5 dB，因为 40.7 nV 一项已经主导——这正是"一项主导时 RSS 接近最大值"的例子。
e_n=10\ \text{nV}/\sqrt{\text{Hz}}、i_n=0.1\ \text{pA}/\sqrt{\text{Hz}}、R_s=100\ \text{k}\Omega。e_n 项与 i_nR_s 项各是多少？R_{s,opt} 是多少？为什么此时总噪声不是最小？
i_nR_s=0.1\times10^{-12}\times10^5=10\ \text{nV}/\sqrt{\text{Hz}}与 e_n 相等，所以 R_s 正好是 R_{s,opt}=e_n/i_n=100\ \text{k}\Omega。
但总输入噪声密度是：
e_{ni}=\sqrt{10^2+10^2+40.7^2}=43.1\ \text{nV}/\sqrt{\text{Hz}}其中 40.7\ \text{nV} 来自源电阻自身的热噪声。R_{s,opt} 只让"放大器引入的噪声"相对源热噪声的恶化最小（NF_{min}=0.495\ \text{dB}），在固定温度下总噪声仍随 R_s 上升。 要降总噪声，只能降 R_s、降带宽、降温度。
e_{nw}=10\ \text{nV}/\sqrt{\text{Hz}}、f_{ce}=100\ \text{Hz}。0.1~10 Hz 的 1/f 分量与白噪声分量各是多少？哪个主导？
1/f 分量：
E_{1/f}=10\times10^{-9}\times\sqrt{100\times\ln\frac{10}{0.1}}=10^{-8}\times\sqrt{460.5}=214.6\ \text{nV rms}白噪声分量（BW_n=(\pi/2)\times10=15.708\ \text{Hz}）：
E_w=10\times10^{-9}\times\sqrt{15.708}=39.63\ \text{nV rms}合成：
E_{total}=\sqrt{214.6^2+39.63^2}=218.2\ \text{nV rms}1/f 占总功率 214.6^2/218.2^2=96.7\%。低频测量必须看 1/f 拐点，不能只用 1 kHz 的 e_n。
一个 G=100 的同相放大，输入参考总噪声 5.42\ \mu\text{V rms}，信号满量程 10\ \text{mV rms}。信噪比是多少 dB？对 3.3 V、12 位 ADC 是多少个 LSB？
输出信号 10\ \text{mV}\times100=1.0\ \text{V rms}，输出噪声 5.42\ \mu\text{V}\times100=542\ \mu\text{V rms}：
SNR=20\lg\frac{1.0}{542\times10^{-6}}=20\lg1845=65.3\ \text{dB}12 位、3.3 V 的 1 LSB =3.3/4096=805.7\ \mu\text{V}：
\frac{542\ \mu\text{V}}{805.7\ \mu\text{V}}=0.673\ \text{LSB}有效位数约 65.3/6.02\approx10.8 位（含 1.76 dB 修正后约 10.6 位）。12 位 ADC 只发挥出约 10.6 位，剩下的 1.4 位被模拟噪声吃掉了。
为什么反馈电阻取大了会变成主要噪声源？1 MΩ 反馈电阻在 300 K 的噪声密度是多少？
e_{n,R}=\sqrt{4kTR}=\sqrt{1.6568\times10^{-20}\times10^6}=128.7\ \text{nV}/\sqrt{\text{Hz}}它比 10\ \text{nV}/\sqrt{\text{Hz}} 的运放本身大 12.9 倍；即使按噪声增益折算，4kT(R_1\parallel R_f) 也可能与 e_n 同量级或更大。低噪声设计中，反馈电阻的阻值不是"越大越省电"，而是"越大越吵"；在增益允许的前提下压到 kΩ~数十 kΩ，并核算 i_n(R_1\parallel R_f) 与 4kT(R_1\parallel R_f) 两项。
数据手册给 e_n=10\ \text{nV}/\sqrt{\text{Hz}}（1 kHz），但你的电路工作在 1 Hz~100 Hz。能直接用这个值乘 \sqrt{BW_n} 吗？
不能直接乘，要先看 1/f 拐点。若拐点是 100 Hz，1 Hz 处的密度是 10\times\sqrt{1+100}=100.5\ \text{nV}/\sqrt{\text{Hz}}，是 1 kHz 值的 10 倍；在 1~100 Hz 内积分，1/f 分量为
E_{1/f}=10\times10^{-9}\times\sqrt{100\times\ln100}=10^{-8}\times21.46=214.6\ \text{nV rms}而白噪声分量只有 10\times10^{-9}\times\sqrt{(\pi/2)\times100}=125.3\ \text{nV rms}。工作频段跨过拐点时，必须分段积分；只看 1 kHz 单点会低估低频噪声。
8. 参考资料
- Analog Devices, MT-047 Op Amp Noise：噪声的物理来源、输入参考噪声模型、e_n/i_n 谱密度曲线的读法。本章 §2.1、§2.4 的分类与读图口径按该文。https://www.analog.com/media/en/training-seminars/tutorials/MT-047.pdf
- Analog Devices, MT-048 Op Amp Noise Relationships（1/f Noise, RMS Noise, and Equivalent Noise Bandwidth）：1/f 噪声的积分、RMS 换算与单极点噪声带宽 \pi/2 因子。本章 §3.2、§3.3 的公式与 §4.3 的算例按该文口径。https://www.analog.com/media/en/training-seminars/tutorials/MT-048.pdf
- Analog Devices, MT-049 Op Amp Total Output Noise Calculations for Single-Pole System：把 e_n、i_n、源阻抗、反馈网络逐项折算到输出再 RSS 的标准算法。本章 §3.4、§4.1 的分项表与该方法一致。https://www.analog.com/media/en/training-seminars/tutorials/MT-049.pdf
- TI, Op Amps for Everyone（SLOD006B）：Chapter 10 Op Amp Noise Theory and Applications 给噪声模型、噪声增益、带宽与信噪比的工程口径；本章 §2.5、§3.5 的"源阻抗三项竞争"参考该章。
- TI, Noise Analysis in Operational Amplifier Circuits（SLVA043B）：分项噪声预算、源阻抗匹配、噪声系数与 R_{s,opt} 的推导；本章 §3.5 的 NF 与 R_{s,opt} 公式按该文，并纠正了"R_{s,opt} 使总噪声最小"的常见误读。https://www.ti.com/lit/an/slva043b/slva043b.pdf
- Sergio Franco, Design with Operational Amplifiers and Analog Integrated Systems（4th ed.）：Noise 一章给噪声谱密度、等效噪声带宽与多源合成的严格推导；本章 §3.1~§3.3 的符号与量纲与该书一致。