反馈四拓扑与环路增益 Feedback Topologies & Loop Gain
负反馈（negative feedback）在电路上只开两个接口：一个在输出端，一个在输入端。输出端的接口问"我把什么量送回去"——取样电压还是取样电流；输入端的接口问"我把送回来的量跟谁比"——电压串联相减还是电流并联相加。每个问题两个答案，组合起来就是四种反馈拓扑（feedback topology）。
四种拓扑决定的不是"增益公式好不好看"，而是三件硬指标：输入电阻、输出电阻、以及闭环增益对哪些元件敏感。同一只运放，接成同相放大时输入电阻可以做到 10 TΩ 量级，接成反相放大时输入电阻只有 R_1——两者差九个数量级，而"运放输入阻抗无穷大"这句话只对前者成立。
本章约定（与整篇运放章节一致）：开环增益 A_{OL}、闭环增益 A_{CL}（下文也写 G）、反馈系数 \beta（不是三极管的电流放大倍数）、环路增益 T=A_{OL}\beta、噪声增益 1/\beta、增益带宽积 GBW、相位裕度 PM、增益裕度 GM。本章的 \beta 与 T 除非特别说明都指运放层的定义：\beta 无量纲、T 无量纲、T=A_{OL}\beta。拓扑层的 A 与 \beta 可以带量纲，见 §3.1——把这两套记法混用，是本章最容易出错的地方。
本章要办三件事：① 给出一套能落到具体电路上的判别流程，而不是背四句口诀；② 把四种拓扑对 R_{in}、R_{out} 的影响记成可复算的倍数，并指出教材公式在什么情况下会差一个量级；③ 用两个完整算例（光电二极管跨阻放大、压控电流源）把 T、A_{CL}、R_{out} 一次算到底，最后解开一个高频混淆点："电流反馈型运放的带宽不随增益变化"说的到底是什么。
三章地基见运放概述：符号、封装与引脚、理想模型五假设与虚短、虚断、开环、闭环增益与负反馈本质；相移累积导致的自激与补偿见稳定性：伯德图、相位裕度与补偿。本章的 T 与那三章完全同一口径。
1. 设计动机
场景一：光电二极管前置放大照抄反相放大公式。 光电二极管电流 I_{ph}=10\ \mu\text{A}、结电容 C_d=10\ \text{pF}、并联电阻 R_{sh}=10\ \text{M}\Omega，用 R_f=100\ \text{k}\Omega 接成跨阻放大。按反相放大的写法 V_{OUT}=-I_{ph}R_f=-1.0\ \text{V}，数字看起来对，于是画完就投板。但这个电路的反馈系数 \beta\approx1（对纯电流源），噪声增益也是 1，穿越频率因此被推到 383 kHz、几乎用满 GBW=1 MHz——这恰恰是最容易振荡的接法：C_d 与 R_f 在 160.7 kHz 造出一个极点，相位裕度只剩 22.8°，输出会在 400 kHz 附近振铃。公式没错，错在没判拓扑。
场景二：用同相放大驱动 LED 做恒流。 同相放大稳住的是输出电压：V_{OUT}=10\times V_{IN} 与负载无关，所以流过 LED 的电流 I=V_{OUT}/R_L 随 R_L 反比变化。R_L 从 100 Ω 变成 50 Ω，电流从 10 mA 翻到 20 mA。要"稳电流"，取样对象必须从电压换成电流——这是拓扑问题，不是增益问题。
场景三：1 MΩ 高阻传感器接反相放大。 R_1=10\ \text{k}\Omega、R_f=100\ \text{k}\Omega，设计增益 −10。实际信号源内阻 1 MΩ 与 R_1 串联分压，增益变成 -100/(1010)=-0.099，比设计值低 20\lg(0.0099)=-40.1\ \text{dB}——信号还没进运放就只剩 1%。
| 你想确认 | 先算 | 判据（工程经验值） |
|---|---|---|
| 高阻源会不会被分压 | 该拓扑的 R_{in} 与源内阻 R_s | R_{in}\ge100R_s（误差 ≤1%） |
| 带载会不会掉增益 | R_{out,CL} 与 R_L | R_{out,CL}\le R_L/100 |
| 输出稳的是电压还是电流 | 取样对象 | 要稳电压用电压取样，要稳电流用电流取样 |
| 增益准不准 | T=A_{OL}\beta | T\ge100 → 误差 ≤1% |
| 带宽够不够 | f_{cl}=GBW/(1/\beta) | f_{cl}\ge10\times 最高信号频率 |
| 会不会自激 | \beta 是否带相移、PM | PM ≥ 45°（推荐 60°） |
不判拓扑会摔在哪，四个带数字的代价：
- 把反相当高阻输入用。 R_s=1\ \text{M}\Omega、R_1=10\ \text{k}\Omega、R_f=100\ \text{k}\Omega：增益 -100/(10+1000)=-0.099，相对 −10 差 −40.1 dB。
- 把电压取样当电流源用。 V_{OUT}=1\ \text{V} 固定，R_L 从 100 Ω 变 50 Ω，电流从 10 mA 变 20 mA，误差 100%。
- 把跨阻放大当反相放大算噪声增益。 反相放大的 1/\beta=1+R_f/R_1=11；跨阻放大的源是 R_{sh}=10\ \text{M}\Omega 并着 C_d 的电流源，\beta=R_{sh}/(R_{sh}+R_f)=0.9901，1/\beta=1.010——噪声增益接近 1，f_c 接近 GBW=1 MHz，C_d 造出的第二极点（160.7 kHz）正好落在穿越频率附近，PM 只有 22.8°。
- 忘了 \beta 里有负载。 压控电流源的 \beta=R_s/(R_s+R_L)，R_L 从 100 Ω 变 1 kΩ，T=A_{OL}\beta 从 5\times10^4 掉到 9091，增益误差从 1/(1+5\times10^4)=0.0020\% 变成 1/(1+9091)=0.0110\%。
2. 定义与直观
2.1 两个问题，四个格子
四种拓扑的命名规则只有一条：先说输出取样什么，再说输入怎么比较。
- 输出端：反馈网络并在输出节点上、取的是输出电压 → 电压取样（voltage sensing）；反馈网络串在输出回路里、取的是输出电流 → 电流取样（current sensing）。
- 输入端：反馈量与输入信号在同一回路里串联相减 → 串联求和（series mixing，电压求和）；两者在同一节点上电流相加 → 并联求和（shunt mixing，电流求和）。
| 中文名 | 英文（输入在前） | 输出取样 | 输入比较 | 闭环量纲 | 典型电路 |
|---|---|---|---|---|---|
| 电压串联 | series-shunt | 电压 | 电压（串联） | V→V | 同相放大、跟随器 |
| 电压并联 | shunt-shunt | 电压 | 电流（并联） | I→V 或 V→V | 反相放大、跨阻放大 |
| 电流串联 | series-series | 电流 | 电压（串联） | V→I | 压控电流源（VCCS） |
| 电流并联 | shunt-series | 电流 | 电流（并联） | I→I | 电流放大器 |
"闭环量纲"这一列要特别小心：它描述的是反馈环内前向通路的量纲，不是信号源接进来的量纲。反相放大接的是电压源、出的是电压（V→V），但它的基本放大器被看成跨阻型（把流入求和节点的电流变成输出电压），所以它在表里归到"电压并联"。判拓扑看的是"反馈环怎么闭合"，不是"信号长什么样"。
2.2 判别法：两道闸门与两次交叉验证
教科书给的判据是"输出端短路/开路、输入端短路"。这两句话本身没错，但操作定义必须写清楚，否则反相放大一定会被判错。
闸门一：输出端开路（让 i_{out}=0，即把负载断开）。
- 反馈消失（V_- 不再跟着输出动）→ 电流取样：反馈量正比于输出电流，没有电流就没有反馈。
- 反馈仍在 → 电压取样：反馈量正比于输出电压，负载断不断与它无关。
交叉验证：把输出端对地短路（v_{out}=0）。 反馈消失 → 电压取样；反馈仍在（短路电流仍流过取样电阻）→ 电流取样。
闸门二：输入端短路（把接收输入信号的那个运放端子对地短路，同时移走信号源）。
- 反馈量被这条短路线旁路、运放输入端再也拿不到误差 → 并联求和：反馈是电流，它与输入信号在同一个节点上相加，短路把这个节点钉死，电流就白流了。
- 反馈量仍完整地加在另一个端子上 → 串联求和：反馈是电压，它与输入信号在不同端子上串联相减，短路一个端子不影响另一个。
交叉验证：列方程。 在输入端写 KCL（电流相加）就是并联，写 KVL（回路电压相减）就是串联。
把"输入端短路"理解成"把信号源短路"（例如把反相放大里 R_1 的左端接地）。这时反馈电流仍经 R_f\to 反相端 \to R_1\to 地流动，反相端电压不为零，反馈没有消失，于是反相放大被误判成"串联"。正确的操作是短路运放接收输入信号的那个端子：反相放大的输入接在反相端，短路反相端，R_f 的反馈电流被短路线旁路，反馈才真正消失。
把两道闸门用到四个具体电路上：
| 电路 | 输出端开路（i_o=0） | 输出判定 | 输入端短路 | 输入判定 | 结论 |
|---|---|---|---|---|---|
| 同相放大 | R_f、R_1 仍从 V_{OUT} 取电压送到反相端 | 电压取样 | 短路同相端，反相端的反馈电压仍在 | 串联 | 电压串联 |
| 反相放大 | R_f 仍接在输出与反相端之间 | 电压取样 | 短路反相端，R_f 的反馈电流被旁路 | 并联 | 电压并联 |
| 跨阻放大（TIA） | R_f 仍接在输出与反相端之间 | 电压取样 | 短路反相端，光电流与反馈电流一起被旁路 | 并联 | 电压并联 |
| 压控电流源（VCCS） | 无电流流过取样电阻 R_s，反馈电压归零 | 电流取样 | 短路同相端，反相端仍由 R_s 上的电压驱动 | 串联 | 电流串联 |
2.3 中英文名字的顺序正好相反
中文"电压串联"是先输出后输入（先取样电压、再串联求和）；英文 series-shunt 是先输入后输出（先串联、再并联取样）。所以：
- 电压串联 = series-shunt（输入串联、输出并联取电压）
- 电压并联 = shunt-shunt
- 电流串联 = series-series
- 电流并联 = shunt-series
记忆法：中文先说出"取什么"，英文先说出"怎么比"。 两套名字都对，混着背一定出错；写文档时建议同时给出中英文，评审时才不会歧义。
2.4 类比：四种接头
把反馈网络想成一根管子，它要从输出端"接"一个量出来，再"接"回输入端。
- 电压取样像电压表并联在输出两端：它测的是两点之间的压差，负载断不断都能测。
- 电流取样像电流表串进输出回路：回路一断，读数立刻归零。
- 串联求和像两个电压源首尾相接：极性对了就相减，接反了就相加（正反馈）。
- 并联求和像两根水管汇进同一个节点：流量相加，节点的压力由下游决定。
类比的边界有两处：① 真实的电表会分流/分压，而理想反馈网络不取电流——但运放的反馈网络确实会加载（R_f 与源阻抗分压，§3.5），这一点电表类比帮不上忙；② 水管里"压力"和"流量"不能同时钉死，电路里"电压取样"和"电流取样"也只能选一个，选错就是场景二那种"稳了电压丢了电流"。
3. 定量关系
3.1 四种拓扑的量纲账本
四种拓扑共用同一个闭环公式，区别只在 A 与 \beta 的量纲：
A_{CL}=\frac{A}{1+A\beta}=\frac{A}{1+T},\qquad T=A\beta\ \text{（无量纲）}| 拓扑 | 前向增益 A | 反馈系数 \beta | 理想 A_{CL}=1/\beta |
|---|---|---|---|
| 电压串联 | V/V，无量纲 | V/V，无量纲 | 无量纲（电压比） |
| 电压并联 | V/A，单位 \Omega（跨阻） | A/V，单位 S（跨导） | 单位 \Omega（跨阻） |
| 电流串联 | A/V，单位 S（跨导） | V/A，单位 \Omega（跨阻） | 单位 S（跨导） |
| 电流并联 | A/A，无量纲 | A/A，无量纲 | 无量纲（电流比） |
为什么 T 永远无量纲：输入怎么比较决定了 \beta 的"分母"是什么量，输出取什么决定了 A 的"分子"是什么量，两者量纲相乘必然抵消。这条性质让四种拓扑可以共用同一套稳定性判据（PM、GM），不必为每种拓扑另立一套。
为什么 1/\beta 就是理想闭环增益：当 T\to\infty 时 A_{CL}\to1/\beta，而 1/\beta 恰好是"反馈网络要求的输出—输入比例"。所以设计时先由需求定 1/\beta（想要多大增益），再由 T 定精度（能有多准）。
3.2 两套 β：拓扑层的 β 与运放层的 β
这是本章最容易混的地方，必须一次说清。
运放层（本章与前三章统一使用）：\beta 是反馈网络把输出送回反相端的比例，无量纲，0<\beta\le1；T=A_{OL}\beta 是运放自己的环路增益。同相放大 \beta=R_1/(R_1+R_f)；反相放大也是 \beta=R_1/(R_1+R_f)（\beta 永远是正数，负号来自输入网络，不来自 \beta）。
拓扑层（教材讲四种组态时使用）：A 与 \beta 允许带量纲，1/\beta 直接是理想闭环增益。跨阻放大的 \beta_{topo}=1/R_f（单位 S），因为前向通路是跨阻；压控电流源的 \beta_{topo}=R_s（单位 \Omega），因为前向通路是跨导。
两者的关系是：\beta_{topo} 是"反馈量/输出量"，而运放层 \beta 是"送回反相端的电压/输出电压"。对纯电阻网络、且运放输入不取电流时，两者只差一个前向通路的量纲折算：
- 同相放大：\beta_{topo}=\beta=R_1/(R_1+R_f)，两种记法数值相同。
- 反相放大：\beta_{topo}=1/R_f（跨导），而 \beta=R_1/(R_1+R_f)；1/\beta_{topo}=R_f 是跨阻增益，1/\beta=1+R_f/R_1 是噪声增益，两者不是同一个数。
- 跨阻放大：\beta_{topo}=1/Z_f，\beta=Z_s/(Z_s+Z_f)；当源是理想电流源（Z_s\to\infty）时 \beta\to1，T\to A_{OL}。
- 压控电流源：\beta_{topo}=R_s，\beta=R_s/(R_s+R_L)；\beta 里含 R_L，所以 T 随负载变。
工程建议：算 T、算带宽、算稳定性时一律用运放层 \beta（前三章的公式可以直接套）；只有在"选拓扑、判断阻抗往哪走"时才用拓扑层的量纲视角。混用的典型后果是把 T 算错成 A_{OL}R_f 这种量纲都不对的式子。
3.3 输入电阻与输出电阻：该乘还是该除
| 拓扑 | R_{in} | R_{out} | 本章算例的具体数字 |
|---|---|---|---|
| 电压串联 | \times(1+T) | \div(1+T) | 1\ \text{G}\Omega\to10.0\ \text{T}\Omega；50\ \Omega\to5.0\ \text{m}\Omega |
| 电压并联 | \div(1+T)，但常被串联的 R_1 掩盖 | \div(1+T) | R_{in}\approx R_1=10\ \text{k}\Omega；50\ \Omega\to5.5\ \text{m}\Omega |
| 电流串联 | \times(1+T) | \times(1+T) | R_{out}=R_s(1+A_{OL})+R_{out,OL}=10.0\ \text{M}\Omega |
| 电流并联 | \div(1+T) | \times(1+T) | 数值随实现方式变化，方向不变 |
四个数字的复算（取 A_{OL0}=10^5、R_{out,OL}=50\ \Omega、R_{icm}=1\ \text{G}\Omega）：
- 同相放大（\beta=0.1，T_0=10^4）：R_{in}=R_{icm}(1+T_0)=10^9\times(1+10^4)=1.0001\times10^{13}\ \Omega=10.0\ \text{T}\Omega；R_{out}=50/(1+10^4)=4.9995\times10^{-3}\ \Omega=5.0\ \text{m}\Omega。
- 反相放大（R_1=10\ \text{k}\Omega、R_f=100\ \text{k}\Omega，\beta=0.0909，T_0=9091）：精确式 R_{in}=R_1+R_f/(1+A_{OL})=10^4+10^5/(1+10^5)=10^4+1.0\ \Omega\approx10\ \text{k}\Omega；R_{out}=50/(1+9091)=5.5\times10^{-3}\ \Omega=5.5\ \text{m}\Omega。
- 压控电流源（R_s=100\ \Omega、A_{OL}=10^5）：见 §4.2 的推导，R_{out}=R_s(1+A_{OL})+R_{out,OL}=100\times100001+50=1.000015\times10^{7}\ \Omega=10.0\ \text{M}\Omega。
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输出电阻（电压取样）。 在输出端加测试电压 V_t、量注入电流 I_t，输入端接地。反馈网络把 \beta V_t 送回反相端，误差电压 -TV_t，受控源输出 -TV_t，于是 I_t=(V_t+TV_t)/R_{out,OL}，得 R_{out,CL}=R_{out,OL}/(1+T)。前提：反馈网络对输出的加载可以忽略。
输出电阻（电流取样）。 把负载换成测试源 V_t，此时反馈网络只剩取样电阻 R_s，\beta=1、T=A_{OL}。列 KCL：流过 R_s 的电流就是 I_t，所以 V_-=I_tR_s；运放输出 V_p=-A_{OL}I_tR_s-I_tR_{out,OL}；V_t=V_p-V_-=-I_t\left[R_s(1+A_{OL})+R_{out,OL}\right]。取绝对值即 R_{out,CL}=R_s(1+A_{OL})+R_{out,OL}。
注意：教材写的"电流反馈把 R_{out} 乘以 (1+T)"用的是 R_{out,OL} 作基数，得到 50\times(1+10^4)=0.5\ \text{M}\Omega；而负载实际看到的是 10.0\ \text{M}\Omega，差 20 倍。差别来自取样电阻 R_s 串在环内、本身就变成了输出电阻的一部分——基数到底是 R_{out,OL} 还是 R_s+R_{out,OL}，取决于负载断在哪里。工程上按"测试源换掉负载后重新列 KCL"算一次，比套公式可靠。
输入电阻（串联）。 信号加在同相端，反馈把反相端"抬"到几乎与同相端同电位（自举），信号源看到的电阻被放大 (1+T) 倍：R_{in,CL}=R_{icm}(1+T)。实际受 PCB 漏电、保护环与输入电容限制，量不到 TΩ 级。
输入电阻（并联）。 反相端是虚地，信号源看到的是 R_1 到地；精确推导（保留 A_{OL}）给出 R_{in}=R_1+R_f/(1+A_{OL})。A_{OL}=10^5、R_f=100\ \text{k}\Omega 时第二项只有 1 Ω，所以 R_{in}\approx R_1 这条近似在很宽的范围内够用。
3.4 四种接法的 β、1/β 与 A_CL
同样一只运放、同样"想要 10 倍"，四种接法的 \beta 与理想闭环量完全不同：
| 电路 | 拓扑 | 运放层 \beta（无量纲） | 拓扑层理想闭环量 1/\beta_{topo} | 实际 A_{CL} |
|---|---|---|---|---|
| 同相放大 | 电压串联 | R_1/(R_1+R_f) | 1+R_f/R_1（V/V） | 1/\beta\cdot T/(1+T) |
| 反相放大 | 电压并联 | R_1/(R_1+R_f) | R_f/R_1（V/V） | -(R_f/R_1)\cdot T/(1+T) |
| 跨阻放大 | 电压并联 | Z_s/(Z_s+Z_f)\to1 | Z_f（\Omega） | -Z_f\cdot T/(1+T) |
| 压控电流源 | 电流串联 | R_s/(R_s+R_L) | 1/R_s（S） | (1/R_s)\cdot T/(1+T) |
第 3 列与第 4 列不是同一个东西：第 3 列是运放层 \beta（无量纲，决定 T 与带宽），第 4 列是拓扑层 1/\beta_{topo}（带量纲，就是理想闭环增益）。压控电流源这一行最典型：运放层 1/\beta=(R_s+R_L)/R_s（本例 200/100=2，决定带宽 500 kHz），拓扑层 1/\beta_{topo}=1/R_s=10\ \text{mA/V}（决定闭环跨导）——两个数都对，用途不同。
反相放大这一行有两个"增益"，必须分开记：信号增益是 R_f/R_1=10，而 1/\beta=1+R_f/R_1=11 是噪声增益。噪声增益决定闭环带宽（f_{cl}=GBW/11=90.9\ \text{kHz}）、输出噪声和稳定性，信号增益只决定输入到输出的比例。把两者当同一个数，带宽会高估 10%，噪声会低估 10%。
跨阻放大这一行的 \beta\approx1 是它的性格来源：反馈网络没有分压，环路上没有衰减，所以 T 几乎等于 A_{OL}，f_c 几乎顶到 GBW。好处是带宽大，坏处是任何一点额外相移都会直接吃掉 PM——这就是 §4.1 要算的东西。
压控电流源这一行的 \beta 里有 R_L，意味着环路增益随负载变化：负载越轻（R_L 越大），\beta 越小，T 越小，精度越差。这是"电流源输出阻抗高、但精度随负载漂"的根源。
3.5 适用条件与失效边界
- \beta 是实数：纯电阻反馈网络在低频可以这么看。反馈网络一旦带电容（积分器、滤波器、跨阻放大的 C_d），\beta 自带相移，T 的相位要按 \beta(s) 重算。
- 反馈网络不加载信号源：反相放大的 R_1 会与源内阻分压；跨阻放大的 C_d 会与 R_f 分压。源阻抗与反馈元件可比时，1/\beta 的数值要重新算。
- 负反馈真的闭合：反馈回反相端、输出在线性区。接错端或输出撞轨时，T 的定义失效，本章所有公式不再适用（判据见理想模型五假设与虚短、虚断）。
- |T|\gg1：A_{CL}=1/\beta 只在 |T|\gg1 时成立；高频时 |T| 下降，增益跌落、相移出现，f_{cl} 之后的闭环增益跟着开环曲线走。
- 运放层与拓扑层不混用：见 §3.2。量纲混用不会报错，只会算出一个数量级不对的结果。
4. 典型计算
4.1 算例一：光电二极管跨阻放大——判拓扑、算 T、A_{CL}、R_{out} 与稳定性
已知：运放 A_{OL0}=10^5、主极点 f_p=10\ \text{Hz}（GBW=1 MHz）、R_{out,OL}=50\ \Omega；光电二极管 I_{ph}=10\ \mu\text{A}、C_d=10\ \text{pF}、R_{sh}=10\ \text{M}\Omega；R_f=100\ \text{k}\Omega。求拓扑、T、A_{CL}、R_{out,CL}、相位裕度，并给出补偿方案。（器件参数为典型量级，以数据手册为准。）
第 1 步：判拓扑。 输出端开路（断开负载）：R_f 仍接在输出与反相端之间，反馈电压照旧存在 → 电压取样。输入端短路（把反相端对地短路）：光电流与 R_f 的反馈电流都被短路线旁路，运放输入端拿不到误差 → 并联求和。结论：电压并联（shunt-shunt），与"跨阻放大 = 电压并联"一致。
第 2 步：反馈系数与直流环路增益。 源阻抗是 R_{sh} 与 C_d 的并联，直流下只有 R_{sh}：
\beta_{DC}=\frac{R_{sh}}{R_{sh}+R_f}=\frac{10\ \text{M}\Omega}{10\ \text{M}\Omega+100\ \text{k}\Omega}=\frac{10}{10.1}=0.990099T_0=A_{OL0}\beta_{DC}=10^5\times0.990099=9.901\times10^4第 3 步：闭环跨阻与输出电压。
A_{CL}=-R_f\cdot\frac{T_0}{1+T_0}=-100\ \text{k}\Omega\times\frac{9.901\times10^4}{1+9.901\times10^4}=-100\ \text{k}\Omega\times0.9999899=-99.999\ \text{k}\OmegaV_{OUT}=A_{CL}\cdot I_{ph}=-99.999\ \text{k}\Omega\times10\ \mu\text{A}=-0.99999\ \text{V}相对理想值 -I_{ph}R_f=-1.0000\ \text{V}，误差 -1/(1+T_0)=-1.010\times10^{-5}=-0.0010\%。
第 4 步：输出电阻。 电压取样，\div(1+T)：
R_{out,CL}=\frac{R_{out,OL}}{1+T_0}=\frac{50\ \Omega}{1+9.901\times10^4}=5.05\times10^{-4}\ \Omega=0.505\ \text{m}\Omega这个数字说明：电压并联的输出阻抗低到可以忽略，接 10 kΩ 后级的分压误差是 0.505\ \text{m}\Omega/10\ \text{k}\Omega=5.05\times10^{-8}，完全不用管。
第 5 步：交流通路与相位裕度（无补偿）。 C_d 与 R_f 造出 \beta 的极点：
f_{p\beta}=\frac{1}{2\pi(R_{sh}\parallel R_f)C_d}=\frac{1}{2\pi\times9.901\times10^4\ \Omega\times10\times10^{-12}\ \text{F}}=160.7\ \text{kHz}环路增益 T(s)=A_{OL}(s)\beta(s) 在 160.7\ \text{kHz} 之后按 -40\ \text{dB/} 十倍频滚降，穿越频率解 |T(f_c)|=1 得 f_c=383.1\ \text{kHz}。此处
\angle T=-90.0^{\circ}-\arctan\frac{383.1\ \text{kHz}}{160.7\ \text{kHz}}=-90.0^{\circ}-67.2^{\circ}=-157.2^{\circ}PM=180^{\circ}+\angle T=180^{\circ}-157.2^{\circ}=22.8^{\circ}PM=22.8^{\circ} 意味着闭环频响峰值约 1/(2\zeta\sqrt{1-\zeta^2})，取 \zeta\approx PM/100=0.228：1/(2\times0.228\times0.9737)=2.25，即 +7.0\ \text{dB} 的峰化——时域上是大振铃。不改电路，这个前置放大器不能用。
第 6 步：按公式选补偿电容。 跨阻放大的经典补偿把 \beta 的极点用零点抵消，取
C_f=\sqrt{\frac{C_d}{2\pi R_f\cdot GBW}}=\sqrt{\frac{10\times10^{-12}\ \text{F}}{2\pi\times10^5\ \Omega\times10^6\ \text{Hz}}}=\sqrt{1.5915\times10^{-23}\ \text{F}^2}=3.99\ \text{pF}取标称值 C_f=4\ \text{pF}。此时
f_z=\frac{1}{2\pi R_fC_f}=\frac{1}{2\pi\times10^5\times4\times10^{-12}}=397.9\ \text{kHz}f_{p\beta}'=\frac{1}{2\pi(R_{sh}\parallel R_f)(C_d+C_f)}=\frac{1}{2\pi\times9.901\times10^4\times14\times10^{-12}}=114.8\ \text{kHz}第 7 步：补偿后的 PM。 在 f_c'=391.1\ \text{kHz} 处
\angle T=-90.0^{\circ}+\arctan\frac{391.1}{397.9}-\arctan\frac{391.1}{114.8}=-90.0^{\circ}+44.5^{\circ}-73.6^{\circ}=-119.1^{\circ}PM=180^{\circ}-119.1^{\circ}=60.9^{\circ}第 8 步：代价。 闭环 -3\ \text{dB} 带宽按 f_{-3\text{dB}}\approx\sqrt{GBW/\left[2\pi R_f(C_d+C_f)\right]}：
- 无补偿：\sqrt{10^6/(2\pi\times10^5\times10\times10^{-12})}=398.9\ \text{kHz}（PM 只有 22.8°，这个 -3\ \text{dB} 点已经没有意义）。
- C_f=4\ \text{pF}：\sqrt{10^6/(2\pi\times10^5\times14\times10^{-12})}=337.2\ \text{kHz}。
用 15% 的带宽（398.9\to337.2\ \text{kHz}）换 38° 的相位裕度，这就是跨阻放大补偿的全部交易。汇总：
| 项目 | 无补偿 | C_f=4\ \text{pF} | 公式 |
|---|---|---|---|
| \beta 极点 | 160.7 kHz | 114.8 kHz | 1/[2\pi(R_{sh}\parallel R_f)(C_d+C_f)] |
| \beta 零点 | — | 397.9 kHz | 1/(2\pi R_fC_f) |
| 穿越频率 | 383.1 kHz | 391.1 kHz | 解 \lvert T\rvert=1 |
| 相位裕度 | 22.8° | 60.9° | 180^{\circ}+\angle T(f_c) |
| 闭环带宽 | 398.9 kHz | 337.2 kHz | \sqrt{GBW/[2\pi R_f(C_d+C_f)]} |
4.2 算例二：压控电流源（电流串联）的 T、A_{CL}、R_{out}
电路（对应上图右半）：输入 V_{IN} 接同相端；输出经负载 R_L 接到取样节点，R_s 从取样节点接地；取样节点直接接反相端。反馈取样的是流过 R_s（也就是流过负载）的电流，反馈电压与输入电压在不同端子上串联相减 → 电流串联。
已知：V_{IN}=1\ \text{V}、R_s=100\ \Omega、R_L=100\ \Omega、A_{OL}=10^5、R_{out,OL}=50\ \Omega。
第 1 步：反馈系数与环路增益。 R_s 与 R_L 对输出电压分压，取到 R_s 上的比例就是运放层 \beta：
\beta=\frac{R_s}{R_s+R_L}=\frac{100\ \Omega}{200\ \Omega}=0.5,\qquad T=A_{OL}\beta=10^5\times0.5=5\times10^4第 2 步：闭环跨导与输出电流。 理想值 1/R_s=1/100\ \Omega=10\ \text{mA/V}：
A_{CL}=\frac{1}{R_s}\cdot\frac{T}{1+T}=10\ \text{mA/V}\times\frac{5\times10^4}{1+5\times10^4}=9.99980\ \text{mA/V}I_{OUT}=A_{CL}\cdot V_{IN}=9.99980\ \text{mA/V}\times1\ \text{V}=9.99980\ \text{mA}相对理想值 10 mA 的误差 -1/(1+T)=-2.0\times10^{-5}=-0.0020\%。闭式解 I_{OUT}=V_{IN}/[R_s+(R_s+R_L)/A_{OL}]=1/(100+0.002)=9.99980\ \text{mA}，两式一致。
第 3 步：输出电阻。 把负载换成测试源，反馈网络只剩 R_s，\beta=1、T=A_{OL}=10^5：
R_{out}=R_s(1+A_{OL})+R_{out,OL}=100\ \Omega\times(1+10^5)+50\ \Omega=1.000015\times10^7\ \Omega=10.0\ \text{M}\Omega注意这里的陷阱：如果套"电流反馈把 R_{out,OL} 乘以 (1+T)"，会算出 50\ \Omega\times(1+10^5)=5.0\ \text{M}\Omega，比正确值小一半；如果连 \beta 都用 0.5 代入，会算出 50\times(1+5\times10^4)=2.5\ \text{M}\Omega，差 4 倍。原因是取样电阻 R_s 串在环路里，它自己就构成了输出电阻的主体。
第 4 步：负载敏感度。 \beta 含 R_L，所以 T 随负载变：
| R_L | \beta=R_s/(R_s+R_L) | T=A_{OL}\beta | I_{OUT} | 负载电压 |
|---|---|---|---|---|
| 10 Ω | 0.9091 | 9.091\times10^4 | 9.99989 mA | 1.100 V |
| 100 Ω | 0.5000 | 5.000\times10^4 | 9.99980 mA | 2.000 V |
| 1 kΩ | 0.0909 | 9.091\times10^3 | 9.99890 mA | 10.999 V |
负载变化 100 倍，电流只变 0.00099\ \text{mA}（相对 1.0\times10^{-4}），这就是 10\ \text{M}\Omega 输出电阻的表现：等效电流源内阻越高，负载变化引起的电流误差越小。代价是负载电压不能超过运放摆幅——1 kΩ 时负载电压已到 11 V，接近 ±15 V 供电的边界。
4.3 算例三：同一只运放、同样"10 倍"，四种接法的账本
把上面两个算例与同相/反相放大放在一起，同一只运放（A_{OL0}=10^5、GBW=1 MHz、R_{out,OL}=50\ \Omega、R_{icm}=1\ \text{G}\Omega）：
| 接法 | 拓扑 | R_{in} | R_{out} | 噪声增益 1/\beta | f_{cl}=GBW/(1/\beta) |
|---|---|---|---|---|---|
| 同相放大 10× | 电压串联 | 10.0\ \text{T}\Omega | 5.0\ \text{m}\Omega | 10.0 | 100.0 kHz |
| 反相放大 −10× | 电压并联 | \approx R_1=10\ \text{k}\Omega | 5.5\ \text{m}\Omega | 11.0 | 90.9 kHz |
| 跨阻放大 | 电压并联 | \approx0（虚地） | 0.505\ \text{m}\Omega | 1.01 | 990.1 kHz |
| 压控电流源 | 电流串联 | 50.0\ \text{T}\Omega | 10.0\ \text{M}\Omega | 2.0 | 500.0 kHz |
复算：10^6/10=100.0\ \text{kHz}；10^6/11=90.9\ \text{kHz}；10^6/1.01=990.1\ \text{kHz}；10^6/2=500.0\ \text{kHz}。
同一只运放（A_{OL0}=10^5、主极点 10 Hz、GBW=1 MHz）在两种反馈深度下的环路增益，把"带宽由噪声增益决定"画出来就是穿过 0 dB 的那个点：
两条曲线在 100 kHz 与 1 MHz 分别穿过 0 dB，正好是表中 \beta=0.1（1/\beta=10）与 \beta=1 的 f_{cl}；曲线斜率都是 -20\ \text{dB/} 十倍频，说明它们只差一个常数 1/\beta——负反馈扩展带宽的全部机制就是这个交点往外移。图中数值按 |T(f)|=10^5\beta/\sqrt{1+(f/10)^2} 逐点计算：例如 f=100\ \text{kHz}、\beta=0.1 时 |T|=10^4/\sqrt{1+10^8}\approx10^4/10^4=1，即 0 dB。
回到上面那张账本表，要读出三条结论：
- 输入电阻由输入比较方式决定，与增益无关。同相/电流串联可以到 TΩ，并联型只有 R_1 或虚地。
- 输出电阻由取样方式决定，与增益无关。电压取样都在 mΩ 级，电流取样在 MΩ 级。
- 带宽由噪声增益决定，既不是信号增益也不是拓扑名。跨阻放大的噪声增益接近 1，所以带宽最大、也最危险。
4.4 为什么"电流反馈型"运放的带宽不随增益变化
这里要拆开一个高频混淆："电流取样"是拓扑属性，用电压反馈（VFB）运放也能实现；"电流反馈型运放"（current-feedback amplifier，CFB）是器件类别，内部结构完全不同。 带宽不随增益变化说的是后者，不是前者。
CFB 的反相输入端是一个单位增益缓冲器的输出，阻抗极低；误差以电流形式注入，再由内部跨阻级 Z_T(s) 转成电压。反馈网络 R_f、R_g 对这个节点构成电流分压，环路增益只有
T(s)=\frac{Z_T(s)}{R_f},\qquad Z_T(s)=\frac{R_T}{1+sR_TC_T}其中 R_T 是开环跨阻（\Omega）、C_T 是内部补偿电容（F）。穿越条件 |T|=1 即 |Z_T|=R_f，在 f\gg1/(2\pi R_TC_T) 时 |Z_T|\approx1/(2\pi fC_T)，于是
f_c\approx\frac{1}{2\pi R_fC_T}分母里只有 R_f，没有增益。 取 R_T=1\ \text{M}\Omega、C_T=2\ \text{pF}（设定值，仅用于演示；真实器件以数据手册为准）、R_f=1\ \text{k}\Omega：
f_c=\frac{1}{2\pi\times10^3\ \Omega\times2\times10^{-12}\ \text{F}}=7.958\times10^7\ \text{Hz}=79.6\ \text{MHz}| 闭环增益 | R_g=R_f/(G-1) | f_c（CFB） | 同 GBW 的 VFB |
|---|---|---|---|
| 2 | 1.00 kΩ | 79.6 MHz | 39.8 MHz |
| 10 | 111 Ω | 79.6 MHz | 7.96 MHz |
| 100 | 10.1 Ω | 79.6 MHz | 0.796 MHz |
增益从 2 变到 100（50 倍），CFB 的带宽几乎不动，而 VFB 按 GBW/G 掉 50 倍。代价写在数据手册里：R_f 必须在厂商规定的范围内（太小 → f_c 太高 → 相位裕度不够；太大 → 带宽浪费），反相端不能直接并电容（那会破坏电流求和节点的稳定性），直流精度也通常不如精密 VFB。记住一句话：CFB 用 R_f 定带宽、用 R_f/R_g 定增益，两个旋钮分开；VFB 只有一个旋钮 GBW，增益和带宽必须互相让。
5. 工程含义
5.1 选拓扑的三问
- 信号源是什么？ 电压源（传感器、DAC 输出）→ 优先电压串联（高输入阻抗）；电流源（光电二极管、CT 互感器）→ 电压并联（虚地，电流全部进反馈网络）。
- 负载要什么？ 要稳定电压 → 电压取样；要稳定电流（LED、线圈、电化学）→ 电流取样。
- 精度和带宽谁优先？ 高精度 → 提高 T（降增益、分级、选高 A_{OL} 器件）；高带宽 → 降噪声增益，同时准备补偿（见 §4.1 的 C_f）。
三问的答案冲突时，先保"信号完整性"（不被分压、不削顶），再保"稳定性"（PM ≥ 45°），最后才优化精度与带宽。
5.2 数量级表
| 量 | 电压串联 | 电压并联 | 电流串联 | 电流并联 |
|---|---|---|---|---|
| R_{in} | R_{icm}(1+T)，TΩ 级 | R_1，kΩ 级 | R_{icm}(1+T)，TΩ 级 | 低，\Omega\sim\text{k}\Omega |
| R_{out} | R_{out,OL}/(1+T)，mΩ 级 | 同左，mΩ 级 | R_s(1+T)，MΩ 级 | 同左，MΩ 级 |
| 噪声增益 1/\beta | 1+R_f/R_1 | 1+R_f/R_1 或 \approx1（TIA） | (R_s+R_L)/R_s | 由分流比决定 |
| 典型 T_0 | 10^3\sim10^5 | 10^3\sim10^5 | 10^2\sim10^5 | 10^2\sim10^4 |
这些都是典型量级，具体数值由器件 A_{OL}、GBW、R_{out,OL} 与外部电阻决定，以数据手册为准。
5.3 布线：虚地节点是"最脏"的节点
- 跨阻放大的反相端是全场阻抗最高、最容易拾噪的节点：C_d、运放输入电容、PCB 焊盘电容全部并在这一点上，直接改变 \beta 的极点位置。走线要短、焊盘要小，必要时加保护环（guard ring）并把它驱动到同电位。
- C_f 用低漂移、低吸附的电容（C0G/NP0 或聚丙烯），不要用 X7R：容值随电压/温度变化会让 PM 漂，批次之间振荡与否不一致。
- 反馈电阻的取值：R_f 越大，跨阻增益越大，但 C_d 造成的极点越低、噪声越大；R_f 越小，带宽越好但 C_f 要相应加大。先在 R_f、带宽、噪声之间定一个折中，再算 C_f。
- 电流取样的取样电阻要 Kelvin 接法：R_s 上的电压就是反馈量，引线电阻和焊点电阻直接进环路，几 mΩ 的引线在 100 Ω 取样电阻上就是百分之几的增益误差。
5.4 模型什么时候不够用
- 源阻抗与反馈元件可比：C_d 与 R_f 分压改变 \beta，必须按 \beta(s) 重算（§4.1）。
- 负载在环内：VCCS 的 \beta 含 R_L，T 与精度随负载变，不能用一个 T 值概算。
- 频率接近 f_c：单极点近似失效，第二极点、输出电阻、输入电容都要进模型。
- 大信号：输出电流限、压摆率、摆幅都会先于小信号模型失效。
- 多路求和/差分：多路输入的节点阻抗互相加载，\beta 不再是单路的分压比。
6. 常见坑
- 现象：反相放大接 1 MΩ 高阻传感器，增益只有设计值的 1%，换低阻源立刻正常。原因：反相放大是电压并联，输入电阻 \approx R_1=10\ \text{k}\Omega，源内阻与 R_1 串联分压，增益从 −10 掉到 -100/1010=-0.099。解决：高阻源改用同相放大（电压串联）或先加一级跟随器；也可以加大 R_1，但要同时核算噪声、偏置电流误差与带宽。
- 现象：判拓扑时把反相放大判成"电流串联"，理由是"把输入短路后反馈还在"。原因：短路的是信号源接点而不是运放的输入端子，反馈电流经 R_1 仍能流到反相端。解决：按 §2.2 的操作定义，短路接收输入信号的运放端子；再用节点法写一次 KCL 交叉验证。
- 现象：反相放大算带宽用 GBW/10，实测只有 90.9 kHz。原因：把信号增益当成了噪声增益。反相的 \beta=R_1/(R_1+R_f)=10/110=0.0909，1/\beta=11。解决：带宽、噪声、稳定性一律按 1/\beta 算；信号增益与噪声增益差 1 这件事只在同相组态才消失。
- 现象：压控电流源算输出电阻得 2.5 MΩ，实测负载调整率对应 10 MΩ。原因：套了 R_{out,OL}(1+T) 且把 \beta=0.5 代进去；实际取样电阻 R_s 串在环内，输出电阻主体是 R_s(1+A_{OL})。解决：把负载换成测试源重新列 KCL（§3.3 进阶），或直接用 R_s(1+A_{OL})+R_{out,OL}。
- 现象：跨阻放大输出在几百 kHz 上持续振铃，示波器上看像"运放坏了"。原因：C_d 与 R_f 造出 \beta 极点（本例 160.7 kHz），PM 只剩 22.8°；噪声增益又接近 1，f_c 顶到 GBW 附近。解决：按 C_f=\sqrt{C_d/(2\pi R_f\cdot GBW)} 加反馈电容（本例 3.99 pF → 取 4 pF），PM 回到 60.9°；同时确认 C_f 用 C0G/NP0。
- 现象：把 CFB 运放"带宽不随增益变"的结论套到普通 VFB 运放上，设计增益 100 时以为还能有 79 MHz。原因：混淆了"电流取样拓扑"与"电流反馈型器件"。VFB 的 f_{cl}=GBW/(1/\beta)，增益 100 时只剩 1/100。解决：先确认器件是 VFB 还是 CFB，再选带宽公式；CFB 的 R_f 必须按数据手册推荐值取，不能随手改。
7. 自测题
同相放大 R_1=10\ \text{k}\Omega、R_f=90\ \text{k}\Omega，运放 A_{OL0}=10^5、R_{icm}=1\ \text{G}\Omega、R_{out,OL}=50\ \Omega。求拓扑、T_0、R_{in}、R_{out}。如果把信号源内阻加到 10 kΩ，增益误差多少？
拓扑：输入接同相端、反馈接反相端，两者不在同一端子 → 串联求和；输出开路时反馈仍存在 → 电压取样。电压串联。
\beta=\frac{R_1}{R_1+R_f}=\frac{10}{100}=0.1,\qquad T_0=A_{OL0}\beta=10^5\times0.1=10^4R_{in}=R_{icm}(1+T_0)=10^9\times(1+10^4)=1.0001\times10^{13}\ \Omega=10.0\ \text{T}\OmegaR_{out}=\frac{R_{out,OL}}{1+T_0}=\frac{50}{1+10^4}=4.9995\times10^{-3}\ \Omega=5.0\ \text{m}\Omega源内阻 10 kΩ 与 R_{in}=10\ \text{T}\Omega 分压：10^{13}/(10^{13}+10^4)=1-1.0\times10^{-9}，增益误差约 10^{-7}\%，可以忽略。同样 10 kΩ 源内阻，反相放大会掉 6 dB（源内阻与 R_1 分压），同相放大几乎无影响——差别全部来自输入电阻。
反相放大 R_1=10\ \text{k}\Omega、R_f=100\ \text{k}\Omega，A_{OL0}=10^5。求 T_0、噪声增益、闭环带宽、直流增益误差。为什么带宽不是 GBW/10？
\beta=\frac{R_1}{R_1+R_f}=\frac{10}{110}=0.090909,\qquad T_0=10^5\times0.090909=9091\frac{1}{\beta}=1+\frac{R_f}{R_1}=11.0,\qquad f_{cl}=\frac{GBW}{1/\beta}=\frac{1\ \text{MHz}}{11}=90.9\ \text{kHz}直流增益误差 1/(1+T_0)=1/9092=1.1\times10^{-4}=0.011\%。
带宽不是 GBW/10=100\ \text{kHz}：10 是信号增益 R_f/R_1，而决定环路的是噪声增益 1/\beta=11。反相组态的输入网络让噪声增益比信号增益大 1，这 1 在增益 100 以上时可以忽略，在增益 10 时就是 10% 的带宽。
压控电流源 R_s=100\ \Omega、R_L=100\ \Omega、A_{OL}=10^5。求 T、闭环跨导、输出电流（V_{IN}=1\ \text{V}）与输出电阻。若 R_L 换成 1 kΩ，电流变多少？
\beta=\frac{R_s}{R_s+R_L}=\frac{100}{200}=0.5,\qquad T=10^5\times0.5=5\times10^4A_{CL}=\frac{1}{R_s}\cdot\frac{T}{1+T}=\frac{1}{100}\times\frac{5\times10^4}{5\times10^4+1}=9.9998\times10^{-3}\ \text{S}=9.9998\ \text{mA/V}I_{OUT}=9.9998\ \text{mA/V}\times1\ \text{V}=9.9998\ \text{mA}R_{out}=R_s(1+A_{OL})+R_{out,OL}=100\times(1+10^5)+50=1.000015\times10^7\ \Omega=10.0\ \text{M}\OmegaR_L=1\ \text{k}\Omega 时 \beta=100/1100=0.0909，T=9091，I_{OUT}=1/[100+1100/10^5]=9.99890\ \text{mA}。负载变 10 倍、电流只变 0.0009\ \text{mA}（9\times10^{-5} 相对变化），这就是 10 MΩ 输出电阻的含义；但负载电压升到 11 V，要先核对运放摆幅。
为什么"电流取样"和"电流反馈型运放"不是一回事？分别用什么公式描述它们的带宽？
电流取样是反馈拓扑：反馈网络串在输出回路里，取输出电流。用普通 VFB 运放就能实现，环路增益仍是 T=A_{OL}\beta、带宽仍是 f_{cl}=GBW/(1/\beta)，其中 \beta 由取样电阻与负载分压决定（例：R_s/(R_s+R_L)）。
电流反馈型运放（CFB） 是器件：反相端是低阻缓冲器输出，误差以电流注入，环路增益 T=Z_T/R_f，穿越频率 f_c\approx1/(2\pi R_fC_T)，与闭环增益无关。
所以两者很容易被混为一谈：真正带宽不变的是 CFB 器件；电流取样拓扑的带宽照样按 GBW/(1/\beta) 走，而且 \beta 还随负载变，负载一变带宽也变。
跨阻放大 R_f=100\ \text{k}\Omega、C_d=10\ \text{pF}、R_{sh}=10\ \text{M}\Omega、GBW=1 MHz。求噪声增益、\beta 极点、无补偿时的穿越频率与 PM，并说明为什么这个电路的输入电阻近似为 0。
\beta_{DC}=\frac{10\ \text{M}\Omega}{10\ \text{M}\Omega+100\ \text{k}\Omega}=0.9901,\qquad \frac{1}{\beta}=1.010f_{p\beta}=\frac{1}{2\pi\times(10\ \text{M}\Omega\parallel100\ \text{k}\Omega)\times10\ \text{pF}}=\frac{1}{2\pi\times9.901\times10^4\times10^{-11}}=160.7\ \text{kHz}解 |T(f_c)|=1 得 f_c=383.1\ \text{kHz}，\angle T=-90^{\circ}-\arctan(383.1/160.7)=-157.2^{\circ}，PM=22.8^{\circ}。
输入电阻近似为 0 的原因：反相端是虚地（电压取样 + 并联求和的必然结果），信号源是电流源，它看到的是一个"电流全部被 R_f 吸走、端电压几乎不动"的节点。所以跨阻放大能把光电二极管的电流几乎全部收进反馈网络，这也是它比"先接电阻再放大"优越的原因——后者会让 C_d 与电阻形成低频极点。
用"输出端开路"和"输入端短路"两道闸门，判定反相放大器属于哪种拓扑。如果把信号源短路（而不是短路反相端），会得到什么错误结论？
输出端开路（i_o=0）：R_f 仍接在输出与反相端之间，反馈电压照旧存在 → 电压取样。
输入端短路（把反相端对地短路）：R_f 的反馈电流经短路线入地，反相端被钉在 0 V，运放输入端拿不到误差 → 并联求和。
结论：电压并联。
若把 R_1 左端（信号源接点）短路：反馈电流仍经 R_f\to 反相端 \to R_1\to 地流动，反相端出现 I_fR_1 的电压，反馈没有消失，于是会误判成"串联"。判别法的关键是短路运放的输入端子，而不是短路信号源。
8. 参考资料
- TI, Op Amps for Everyone（SLOD006B）：Feedback and Stability Theory 一节给四种反馈组态、环路增益与闭环增益公式；Development of the Non-Ideal Op Amp Equations 一节给有限增益、有限输入/输出阻抗的修正。本章 §3.1~§3.4 的符号与推导顺序按该书整理。
- Analog Devices, MT-032 Ideal Voltage Feedback (VFB) Op Amp Model：反馈框图、开环增益与闭环传递函数；本章 §3.1 的 A_{CL}=A/(1+A\beta) 与 §3.2 的两套 \beta 口径参考该文。https://www.analog.com/media/en/training-seminars/tutorials/MT-032.pdf
- Analog Devices, MT-033 Voltage Feedback Op Amp Gain and Bandwidth：噪声增益 1/\beta、闭环带宽与增益带宽积的关系；本章 §4.3 的带宽账本与 §4.4 的 VFB 对照按该文。https://www.analog.com/media/en/training-seminars/tutorials/MT-033.pdf
- Sergio Franco, Design with Operational Amplifiers and Analog Integrated Systems（4th ed.）：Circuits with Resistive Feedback 一章给输入电阻、输出电阻的完整推导与 (1+T) 规则的适用前提；本章 §3.3 的四个复算与该章一致。
- Sedra & Smith, Microelectronic Circuits（8th ed.）：Feedback 一章系统讲四种反馈组态的量纲、A_{CL}=1/\beta 与输入/输出电阻的放大/缩小规则；本章 §2.1、§3.1 的术语与该章对齐。
- 童诗白、华成英《模拟电子技术基础》：「放大电路中的反馈」一章讲四种组态的判别方法、深度负反馈与自激振荡条件；本章 §2.2 的"输出端开路/输入端短路"判别法与教材口径一致，操作定义按运放电路做了细化。