小信号模型与增益、输入输出阻抗 Small-Signal Model
BJT 的集电极电流与基射电压是指数关系，直接拿 I_C=I_S e^{V_{BE}/V_T} 去算交流增益，既难解也算不准"工作点附近"的行为。工程上的做法是：先在直流下求出静态工作点 Q，再把指数曲线在 Q 点处切一条切线，用切线代替曲线。这条切线的斜率就是跨导 g_m，由它和另外两个电阻 r_\pi、r_o 组成的等效电路，就是小信号模型（small-signal model）。
这一章要回答四个问题：切线在多大的信号范围内才算合法；g_m、r_\pi、r_e、r_o 各自从哪里来、量级多大；混合 \pi 模型与 T 模型为什么是同一个东西；以及这个模型在什么条件下会失效。最后用一个 I_{CQ}=1mA、\beta_{ac}=200、V_A=100V 的完整算例，把全套参数算出来，并对比 1kHz 与 1MHz 下的增益，说明高频为什么必须把 C_\pi、C_\mu 加回来。
1. 设计动机
场景一：输入 100mV，输出削顶。 用共射级放大一个 100mV 的正弦波，示波器上输出顶部和底部都被压扁。100mV 是 V_T（约 25.85mV）的 3.9 倍，指数曲线在这一段已经明显弯曲；按二次谐波估算，失真度约 100\text{mV}/(4V_T)=96.7\%。把输入降到 5mV，失真度约 4.8%，波形立刻干净，但增益也随输入幅度变化——这就是"小信号"三个字的实际含义。
场景二：手算 −83，带载 −68。 空载算共射增益，只把 R_C 和 r_o 并联，得到约 −83；接上 10kΩ 负载后实测 −68，差了 22%。原因不是管子坏了，而是交流负载变成了 R_C\parallel R_L\parallel r_o。小信号模型的第一条纪律，是把所有并联到输出节点的电阻都写进去。
场景三：1kHz 正常，1MHz 掉 2dB。 同一个电路，低频增益 55 倍，到 1MHz 只剩 43 倍，相位也滞后了 38°。原因不是"运放带宽不够"，而是基极-集电极之间的 C_\mu 被增益放大了 (1+|A_v|) 倍，从输入端看进去变成一个大电容，把输入极点拉到了 1.26MHz。高频计算必须把结电容加回来，否则会高估带宽。
把常见任务压成一张表：
| 你遇到的问题 | 先算什么 | 判据 |
|---|---|---|
| 增益与手算差一倍 | g_m=I_{CQ}/V_T | Q 点电流是否算对，负载是否全部并联 |
| 输入阻抗比预期低很多 | r_\pi=\beta_{ac}/g_m | 偏置网络是否与 r_\pi 并联 |
| 高频增益掉得快 | C_{in}=C_\pi+(1+\vert A_v\vert)C_\mu | 输入极点是否覆盖工作频率 |
| 温度一高工作点就跑 | g_m 与 V_{BE} 的温度系数 | 偏置是恒压还是恒流 |
| 大信号波形失真 | \vert v_{be}\vert 与 V_T 的比值 | 二次谐波是否在可接受范围 |
不懂会在哪摔跤，四个带数字的代价：
- 把 100mV 当小信号。 二次谐波约 96.7%，三次及更高次也不可忽略；此时"增益"本身随幅度变化，测出来的数没有意义。要线性放大，先把 |v_{be}| 压到 5mV 以下，或者用发射极负反馈把线性范围扩大。
- 漏掉负载电阻。 R_C=2.2kΩ、R_L=2.2kΩ 时，并联后只有 1.1kΩ；忽略 R_L 会把增益 −42 算成 −83，差近一倍。输出端并了什么，交流负载就是什么。
- 忽略米勒电容。 增益 200 的共射级，C_\mu=2pF 会被放大到约 400pF；输入极点从几 MHz 掉到 121kHz，1MHz 处增益只剩 24 倍，比低频低 18.4dB。
- 用恒压源偏置。 固定 V_{BE} 时，温度每升 1°C，I_C 约涨 8%；从 25°C 到 55°C，I_C 涨约 10 倍，Q 点早已不在放大区。恒流偏置或射极电阻把这种漂移压到 0.1%/°C 量级。
2. 定义与直观
2.1 一句话定义
小信号模型是在静态工作点 Q 附近，把非线性器件的电流-电压关系做一阶泰勒展开，得到的只含线性电阻、受控源和电容的等效电路。 它描述的是叠加在 Q 点上的增量 i_c、v_{be}，不是总电流 I_C 和总电压 V_{BE}。
这句话有三个关键词：
- 工作点：模型参数全部由 Q 点决定。I_{CQ} 变了，g_m、r_\pi、r_e、r_o 全变；所以顺序永远是"先直流、后交流"。
- 一阶：只保留泰勒展开的一次项。二次项被丢掉，这是"小信号"这个前提的全部来源。
- 增量：v_{be} 是叠加在 V_{BEQ} 上的小变化，可正可负；i_c 同理。直流分量由偏置电路负责，交流分量由小信号模型负责，两者用叠加原理分开算。
2.2 切线图像：为什么是"局部直线"
把 I_C=I_S e^{V_{BE}/V_T} 画在 V_{BE}-I_C 平面上，它是一条过原点的指数曲线。在 Q 点 (V_{BEQ},I_{CQ}) 处作切线：
i_C=\left.\frac{dI_C}{dV_{BE}}\right|_{Q}\cdot v_{be}=g_m v_{be}其中 i_C 是集电极电流的增量（A），v_{be} 是基射电压的增量（V），g_m 是切线斜率，叫跨导（transconductance），单位 S（西门子，1S=1A/V）。切线在 Q 点附近与曲线重合，离 Q 点越远偏差越大；偏差小到什么程度可以接受，就是 §3.1 要量化的"合法性边界"。
站在一条弯曲的山坡上，只看脚下一步之内，地面近似是平的；这一步的坡度就是 g_m。步子迈得小，用"平地"算高度差很准；步子迈大，坡度沿路变化，线性近似就失效。小信号模型不是"把管子当成线性器件"，而是"在 Q 点这一小段里，把它当成线性器件"。
这个图像还解释了叠加原理为什么能用：总电流 = 直流工作点 + 交流增量，总电压 = 直流偏置 + 交流增量。分析直流时，电容开路、电感短路，求出 Q 点；分析交流时，直流源置零（V_{CC} 变成交流地），电容在 midband 近似短路，只留下小信号等效电路。注意"交流地"是分析用的参考点，不是机壳地；V_{CC} 在交流等效电路里与地同电位，但实际仍然带直流电压。
2.3 符号、单位与全篇约定
| 符号 | 含义 | 单位 | 备注 |
|---|---|---|---|
| I_{CQ}、V_{CEQ} | 静态集电极电流、静态集射电压 | A、V | 大写 + 下标 Q，直流量 |
| i_c、v_{be}、v_{ce} | 集电极电流、基射电压、集射电压的增量 | A、V | 小写，交流量 |
| g_m | 跨导 | S | g_m=I_{CQ}/V_T |
| r_\pi | 基极-发射极小信号输入电阻 | \Omega | r_\pi=\beta_{ac}/g_m |
| r_e | 发射极小信号电阻 | \Omega | r_e=V_T/I_E |
| r_o | 小信号输出电阻 | \Omega | r_o=V_A/I_{CQ} |
| \beta_{ac} | BJT 交流电流放大倍数 | 无量纲 | 与直流 h_{FE} 区分 |
| V_T | 热电压 | V | 室温约 25.85mV |
| V_A | 厄利电压（Early voltage） | V | 典型几十到一百多伏 |
| C_\pi、C_\mu | 基射、基集结电容 | F | 高频模型才需要 |
| A_{OL}、A_{CL}、\beta | 开环增益、闭环增益、反馈系数 | 无量纲 | 反馈系数与 BJT 的 \beta_{ac} 不是同一个量 |
全篇统一约定：BJT 的交流电流放大倍数一律写 \beta_{ac}，直流电流放大倍数写 h_{FE}；反馈系数写 \beta，环路增益写 T=A_{OL}\beta，噪声增益写 1/\beta。这三个 \beta 含义完全不同，读公式时先看上下文。反馈部分的术语见开环、闭环增益与负反馈本质。
3. 定量关系
3.1 线性化的合法性边界：给一个具体上限
把指数关系在 Q 点展开到二阶：
i_C=I_{CQ}\left[\frac{v_{be}}{V_T}+\frac{1}{2}\left(\frac{v_{be}}{V_T}\right)^2+\frac{1}{6}\left(\frac{v_{be}}{V_T}\right)^3+\cdots\right]一次项给出 g_m v_{be}，二次项给出失真。设 v_{be}=V_p\cos\omega t，二次项产生直流偏移和二次谐波：
i_{2\omega}\approx\frac{I_{CQ}}{4}\left(\frac{V_p}{V_T}\right)^2\cos 2\omega t,\qquad i_{\omega}\approx I_{CQ}\frac{V_p}{V_T}二次谐波与基波的幅度比，即二次谐波失真（HD2）：
\text{HD2}\approx\frac{V_p}{4V_T}这个式子把"小信号"从形容词变成了数：V_T=25.85mV 时，V_p=1mV 对应 HD2≈0.97%，2.6mV 对应 2.5%，5mV 对应 4.8%，10mV 对应 9.7%。
| 输入峰值 V_p | V_p/V_T | HD2 | 工程判断 |
|---|---|---|---|
| 1mV | 0.039 | 0.97% | 高保真音频、精密测量可用 |
| 2.6mV | 0.10 | 2.5% | 一般模拟信号可用 |
| 5mV | 0.19 | 4.8% | 多数放大器的实用上限 |
| 10mV | 0.39 | 9.7% | 已明显失真，只适合粗略估算 |
| 100mV | 3.87 | 96.7% | 小信号模型不适用，必须按大信号处理 |
实用判据：要求失真低于 5% 时，取 |v_{be}|\leq5mV；要求低于 1% 时，取 |v_{be}|\leq1mV。10mV 是"还能用一阶模型估算增益"的上限，不是"线性放大"的上限。温度也会改变这个边界，因为 V_T=kT/q 正比于绝对温度：
| 温度 | V_T | 5% HD2 对应的 V_p | 1% HD2 对应的 V_p |
|---|---|---|---|
| −40°C | 20.09mV | 4.02mV | 0.80mV |
| 25°C | 25.69mV | 5.14mV | 1.03mV |
| 85°C | 30.86mV | 6.17mV | 1.23mV |
低温时 V_T 更小，同样的输入电压占 V_T 的比例更大，失真更重。冬天调试好的电路，夏天失真可能变小，但增益和偏置又会往反方向漂，两个效应要分开算。主算例取 T=300K（V_T=25.85mV），温度表按 25°C（25.69mV）和 85°C（30.86mV）计算；25°C 与 300K 只差 0.6%，不影响结论。
如果输入信号确实大于 5mV，又不想换大信号模型，可以在发射极串一个未旁路电阻 R_E' 做发射极负反馈（emitter degeneration）。输入电压先被 r_e 与 R_E' 分压，真正加在基射结上的只有 v_{in}\cdot r_e/(r_e+R_E')；同样的结电压摆幅，允许的输入摆幅扩大为
\frac{v_{in,\max}}{v_{be,\max}}=1+\frac{R_E'}{r_e}\approx1+g_mR_E'以 I_{CQ}=1mA、g_m=38.68mS、R_E'=150\,\Omega 为例，1+g_mR_E'=1+5.80=6.80，原来 5mV 的结电压上限对应的输入上限变成 5\text{mV}\times6.80=34mV。代价是增益从 -g_mR_C 降到 -R_C/(r_e+R_E')，大约下降 6.8 倍。线性度与增益是同一枚硬币的两面，不能同时要。
3.2 跨导 g_m 的来历与温度依赖
对 I_C=I_S e^{V_{BE}/V_T} 在 Q 点求导：
g_m=\left.\frac{\partial I_C}{\partial V_{BE}}\right|_{Q}=\frac{I_S e^{V_{BEQ}/V_T}}{V_T}=\frac{I_{CQ}}{V_T}其中 I_{CQ} 是静态集电极电流（A），V_T=kT/q 是热电压（V），k 是玻尔兹曼常数，T 是绝对温度（K），q 是电子电荷。这个式子说明：g_m 只由静态电流和温度决定，与 \beta_{ac} 无关。 这是共射增益对 \beta_{ac} 不敏感的根本原因——只要 I_{CQ} 稳，g_m 就稳。
室温 T=300K 时 V_T=25.85mV；I_{CQ}=1mA 时：
g_m=\frac{1\times10^{-3}}{25.85\times10^{-3}}=38.68\ \text{mS}I_{CQ}=0.1mA 时 g_m=3.87mS，I_{CQ}=10mA 时 g_m=386.8mS。跨导与电流成正比，这就是"加大电流能提高增益"的定量依据。
温度对 g_m 的影响要分两种偏置条件看，结论完全不同：
| 偏置条件 | 温度升高时 I_{CQ} | g_m 的变化 | 物理原因 |
|---|---|---|---|
| 恒流偏置（电流源） | 基本不变 | 约 −0.33%/K | g_m=I_{CQ}/V_T，V_T\propto T |
| 恒压偏置（固定 V_{BE}） | 约 +8%/°C | 约 +8%/°C | V_{BE} 温度系数约 −2mV/°C，指数放大 |
| 射极电阻偏置 | 约 +0.1%/°C | 约 +0.1%/°C | R_E 的直流负反馈抑制漂移 |
恒压偏置那一行的数可以复算：在恒定 I_C 下，硅管的 V_{BE} 温度系数约为 −2mV/°C；反过来，固定 V_{BE} 时，温度每升 1°C，指数上的电压就"多出" 2mV，即 2/25.85=0.0774 个 V_T，电流变化 e^{0.0774}-1=8.05\%。翻倍所需温升为 \ln2/0.0774=8.95°C。所以"每 10°C 电流翻倍"是工程口诀，不是精确常数。
恒流偏置下 g_m 的温度系数是 -1/T：从 25°C（298K）升到 85°C（358K），g_m 变为原来的 298/358=0.832，即下降 16.8%。这个数在宽温放大器和传感器前端里必须核算；补偿办法是让偏置电流随温度略增，或者用差分结构抵消。
3.3 r_\pi、r_e、r_o 与量级
输入电阻 r_\pi 定义为基射电压增量与基极电流增量之比：
r_\pi=\frac{v_{be}}{i_b}=\frac{\beta_{ac}}{g_m}=\beta_{ac}\frac{V_T}{I_{CQ}}I_{CQ}=1mA、\beta_{ac}=200 时，r_\pi=200/38.68\text{mS}=5.17kΩ；也可以写成 200\times25.85\text{mV}/1\text{mA}=5.17kΩ。r_\pi 正比于 \beta_{ac}、反比于 I_{CQ}，所以同一型号不同个体的 r_\pi 可以差 2~3 倍，输入阻抗的设计不能只按典型 \beta_{ac} 算。
发射极电阻 r_e 定义为基射电压增量与发射极电流增量之比：
r_e=\frac{V_T}{I_E}=\frac{\alpha}{g_m}=\frac{r_\pi}{\beta_{ac}+1}其中 \alpha=\beta_{ac}/(\beta_{ac}+1) 是共基电流增益，I_E 是静态发射极电流（A）。I_{CQ}=1mA、\beta_{ac}=200 时，I_E=1.005mA，r_e=25.85\text{mV}/1.005\text{mA}=25.72\,\Omega；用 r_\pi/(\beta_{ac}+1)=5170/201=25.72\,\Omega 验算，一致。
输出电阻 r_o 来自厄利效应（Early effect）：集电结耗尽层宽度随 V_{CE} 变化，使 I_C 随 V_{CE} 缓慢上升。把输出特性曲线向左外推，它们近似交于横轴上的 V_A（厄利电压），于是
r_o=\frac{V_A}{I_{CQ}}V_A=100V、I_{CQ}=1mA 时 r_o=100kΩ。小信号管的 V_A 典型在几十伏到一百多伏，功率管和高压管另算；具体数值以数据手册的输出特性曲线为准，不要拿 100V 当常数。
| 参数 | I_{CQ}=0.1mA | I_{CQ}=1mA | I_{CQ}=10mA | 缩放关系 |
|---|---|---|---|---|
| g_m=I_{CQ}/V_T | 3.87mS | 38.68mS | 386.8mS | \propto I_{CQ} |
| r_\pi=\beta_{ac}/g_m | 51.7kΩ | 5.17kΩ | 517Ω | \propto 1/I_{CQ} |
| r_e=V_T/I_E | 257Ω | 25.72Ω | 2.57Ω | \propto 1/I_{CQ} |
| r_o=V_A/I_{CQ} | 1MΩ | 100kΩ | 10kΩ | \propto 1/I_{CQ} |
这张表是后面所有计算的"数量级地图"：电流每变 10 倍，g_m 变 10 倍，三个电阻都变 1/10。 想让输入阻抗高，就降低 I_{CQ}；想让增益高、输出阻抗低，就提高 I_{CQ}。没有免费的午餐。
3.4 混合 \pi 模型与 T 模型的等价性
混合 \pi 模型（hybrid-\pi model）把 BJT 画成：基极-发射极之间一个 r_\pi，集电极-发射极之间一个受控电流源 g_mv_{be} 和一个 r_o，高频再并上 C_\pi、C_\mu。它的参数直接对应 §3.2、§3.3 的三个公式，适合算输入阻抗、输出阻抗和频响。
T 模型（T model）换一种画法：发射极串一个 r_e，集电极-基极之间一个受控电流源 \alpha i_e，基极电流 i_b=(1-\alpha)i_e=i_e/(\beta_{ac}+1)。它把"发射极电流"放在中心，适合分析发射极负反馈、共基电路和 cascode。
两个模型描述的是同一个二端口，等价性可以逐条推出来：
- 输入电阻。T 模型中 v_{be}=i_e r_e，i_b=i_e/(\beta_{ac}+1)，所以 r_\pi=v_{be}/i_b=(\beta_{ac}+1)r_e。
- 输出电流。T 模型中 i_c=\alpha i_e=\alpha(v_{be}/r_e)=(\alpha/r_e)v_{be}，与混合 \pi 的 i_c=g_mv_{be} 对比，得 g_m=\alpha/r_e，即 g_mr_e=\alpha。
- 一致性验算。把 r_e=\alpha/g_m 代入 r_\pi=(\beta_{ac}+1)r_e，得 r_\pi=(\beta_{ac}+1)\alpha/g_m=\beta_{ac}/g_m，与混合 \pi 的定义一致。
| 项目 | 混合 \pi 模型 | T 模型 |
|---|---|---|
| 输入侧电阻 | r_\pi=\beta_{ac}/g_m | r_e=\alpha/g_m |
| 输入电阻关系 | r_\pi | r_\pi=(\beta_{ac}+1)r_e |
| 受控源 | g_mv_{be} | \alpha i_e |
| 输出电流 | g_mv_{be} | \alpha i_e |
| 最适合 | 输入/输出阻抗、频响 | 发射极负反馈、共基、cascode |
| 参数个数 | g_m、r_\pi、r_o | g_m、r_e、r_o |
结论：两个模型可以互换，选哪个只看哪个参数在题里更顺手。 看到"发射极串了电阻"就用 T 模型，r_e 与 R_E' 直接串联分压；看到"基极输入、集电极输出"就用混合 \pi，r_\pi 直接并在输入端。把两个模型同时画在纸上对照，是检查有没有把 r_e 和 r_\pi 搞混的最快办法。
3.5 小信号模型的失效边界
小信号模型不是"永远正确的线性模型"，它是一组假设的产物。假设不成立时，先检查边界，再决定换什么模型：
| 失效边界 | 现象 | 原因 | 替代做法 |
|---|---|---|---|
| 大信号，v_{be} 的绝对值超过 10mV | 波形削顶、失真、增益随幅度变 | 泰勒二次及以上项不可忽略 | 用 Ebers-Moll 大信号模型或 SPICE 瞬态 |
| 高频 f 接近 f_T | 增益比预测低、相位滞后、C_\mu 米勒倍增 | 结电容、渡越时间、引线电感 | 完整混合 \pi（含 C_\pi、C_\mu）或 Gummel-Poon |
| 强非线性区 | 饱和/截止附近增益突变、存储时间 | I_C=\beta I_B 与指数关系都不成立 | 用数据手册曲线和饱和模型 |
| 低电流 | r_\pi、r_o 算得极大，实测输入阻抗上不去 | 漏电流、表面复合、I_S 离散 | 查漏电流规格，加保护环（guard ring） |
| 高电流 | \beta_{ac} 下降、r_e 与 g_m 公式偏离 | 大注入、Kirk 效应、发射极镇流 | 用高电流模型，必要时降额 |
| 宽温度 | Q 点漂移、增益漂移 | V_T、I_S、\beta_{ac} 都随温度变 | 温度补偿偏置，逐温度点核算 |
一条实用原则：模型的误差要小于你关心的指标误差。 算增益只要 10% 精度，小信号模型足够；算失真、算建立时间、算高温偏置，就必须把二阶项、电容和温度项加回来。
4. 典型计算
4.1 完整算例：I_{CQ}=1mA、\beta_{ac}=200、V_A=100V
已知与假设：
| 项目 | 数值 | 说明 |
|---|---|---|
| I_{CQ} | 1mA | 静态集电极电流 |
| \beta_{ac} | 200 | 交流电流放大倍数 |
| V_A | 100V | 厄利电压，示例假设 |
| V_T | 25.85mV | T=300K |
| R_C | 2.2kΩ | 集电极电阻 |
| R_L | 10kΩ | 负载 |
| R_B | 20kΩ | 偏置网络交流等效电阻 |
| R_s | 1kΩ | 信号源内阻 |
第 1 步：热电压与跨导。
V_T=\frac{kT}{q}=25.85\ \text{mV},\qquad g_m=\frac{I_{CQ}}{V_T}=\frac{1\times10^{-3}}{25.85\times10^{-3}}=38.68\ \text{mS}第 2 步：输入电阻 r_\pi。
r_\pi=\frac{\beta_{ac}}{g_m}=\frac{200}{38.68\times10^{-3}}=5.17\ \text{k}\Omega验算：r_\pi=\beta_{ac}V_T/I_{CQ}=200\times25.85\text{mV}/1\text{mA}=5.17kΩ，一致。
第 3 步：发射极电流与 r_e。
I_E=I_{CQ}\left(1+\frac{1}{\beta_{ac}}\right)=1\text{mA}\times1.005=1.005\ \text{mA}r_e=\frac{V_T}{I_E}=\frac{25.85\text{mV}}{1.005\text{mA}}=25.72\ \Omega验算：r_\pi/(\beta_{ac}+1)=5170/201=25.72\,\Omega，两种算法一致。
第 4 步：输出电阻 r_o。
r_o=\frac{V_A}{I_{CQ}}=\frac{100}{1\times10^{-3}}=100\ \text{k}\Omega第 5 步：交流负载与电压增益。
R_L'=R_C\parallel R_L\parallel r_o=2.2\text{k}\parallel10\text{k}\parallel100\text{k}=1.771\ \text{k}\OmegaA_v=-g_mR_L'=-38.68\text{mS}\times1.771\text{k}\Omega=-68.52负号表示输出与输入反相 180°。注意 R_L' 里必须同时有 R_C、R_L、r_o 三个电阻；只写 R_C\parallel R_L 会得到 -69.74，误差 1.8%，负载越重误差越大。
第 6 步：输入、输出阻抗。
R_{in}=r_\pi\parallel R_B=5.17\text{k}\parallel20\text{k}=4.108\ \text{k}\OmegaR_{out}=R_C\parallel r_o=2.2\text{k}\parallel100\text{k}=2.153\ \text{k}\Omega输入阻抗被 20kΩ 的偏置网络从 5.17kΩ 拉到 4.11kΩ；如果偏置网络是 10kΩ，R_{in} 只剩 3.40kΩ。偏置网络是输入阻抗的隐形上限。
第 7 步：线性度验算。 输入峰值 2mV 时，V_p/V_T=0.0774，HD2≈1.9%；输出峰值 2\text{mV}\times68.52=137mV。输入 10mV 时，HD2≈9.7%，输出 685mV，已经接近"只能估算"的边缘。输入 20mV 时，V_p/V_T=0.774，二次谐波约 19.3%，三次项也开始明显，一阶模型不再可信。
第 8 步：参数汇总。
| 参数 | 公式 | 结果 | 单位 |
|---|---|---|---|
| g_m | I_{CQ}/V_T | 38.68 | mS |
| r_\pi | \beta_{ac}/g_m | 5.17 | kΩ |
| r_e | V_T/I_E | 25.72 | Ω |
| r_o | V_A/I_{CQ} | 100 | kΩ |
| R_L' | R_C\parallel R_L\parallel r_o | 1.771 | kΩ |
| A_v | -g_mR_L' | −68.52 | 无量纲 |
| R_{in} | r_\pi\parallel R_B | 4.108 | kΩ |
| R_{out} | R_C\parallel r_o | 2.153 | kΩ |
| 2mV 输入的 HD2 | V_p/(4V_T) | 1.9 | % |
4.2 1kHz 与 1MHz 的对比：为什么高频要加 C_\pi、C_\mu
低频时结电容的容抗远大于并联电阻，可以忽略；频率升高到容抗与电阻可比时，就必须把电容加回模型。为了做定量对比，给示例管补两个典型量级的高频参数（示例假设，不是特定型号）：
| 参数 | 数值 | 说明 |
|---|---|---|
| C_\mu | 2pF | 基集结电容，典型小信号管几 pF |
| f_T | 300MHz | 特征频率，典型小信号管数百 MHz |
| C_\pi | 待算 | 由 f_T 反推 |
由 f_T 的定义（共射短路电流增益降到 1 的频率）：
f_T=\frac{g_m}{2\pi(C_\pi+C_\mu)}\quad\Rightarrow\quad C_\pi+C_\mu=\frac{38.68\times10^{-3}}{2\pi\times300\times10^6}=20.52\ \text{pF}C_\pi=20.52\text{pF}-2\text{pF}=18.52\ \text{pF}米勒电容：C_\mu 跨在基极与集电极之间，输出反相放大 A_v 倍，从输入端看进去等效为 (1+|A_v|)C_\mu。总输入电容：
C_{in}=C_\pi+(1+|A_v|)C_\mu=18.52\text{pF}+(1+68.52)\times2\text{pF}=157.57\ \text{pF}输入回路的时间常数由信号源看进去的等效电阻决定：
R_{eq}=R_s\parallel R_B\parallel r_\pi=1\text{k}\parallel20\text{k}\parallel5.17\text{k}=804.2\ \Omegaf_H=\frac{1}{2\pi R_{eq}C_{in}}=\frac{1}{2\pi\times804.2\times157.57\times10^{-12}}=1.256\ \text{MHz}1kHz 时：C_\pi 的容抗 1/(2\pi\times1\text{k}\times18.52\text{p})=8.59MΩ，是 r_\pi=5.17kΩ 的 1660 倍；C_{in} 的容抗 1.01MΩ，是 R_{eq}=804\,\Omega 的 1256 倍。电容几乎不起作用，增益就是低频值：输入分压 0.8042，总增益 68.52\times0.8042=55.11（34.82dB），相位 180°。
1MHz 时：C_\pi 的容抗降到 8.59kΩ，只有 r_\pi 的 1.66 倍；C_{in} 的容抗降到 1.01kΩ，与 R_{eq} 同量级。输入分压从 0.8042 降到 0.6292，总增益 68.52\times0.6292=43.11（32.69dB），相对低频下降 2.13dB，相位变成 180°−38.5°=141.5°。
| 频率 | X_{C\pi} | X_{C_{in}} | 输入分压 | 总增益 | dB | 相位 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 1kHz | 8.59MΩ | 1.01MΩ | 0.8042 | 55.11 | 34.82 | 180.0° |
| 1MHz | 8.59kΩ | 1.01kΩ | 0.6292 | 43.11 | 32.69 | 141.5° |
为什么高频必须加这两个电容：1MHz 时，流过 C_{in} 的电流已经和流过 R_{eq} 的电流可比；忽略电容会把 43.11 倍算成 55.11 倍，高估 28%。C_\pi 决定高频输入阻抗的下限，C_\mu 决定米勒倍增的大小；只加 C_\pi 不加 C_\mu，输入极点会算到 10.7MHz，与实测差一个数量级。输出节点还有 R_L'\times(C_\mu+C_L) 的极点，本例 C_L=5pF 时为 12.8MHz，是第二个极点，1MHz 处只贡献约 0.03dB，所以主极点仍是输入端的米勒极点。
模型适用范围检查：1MHz 只有 f_T 的 0.33%，混合 \pi 的单极点近似仍然成立；如果工作频率接近 f_T/3，渡越时间和第二个极点就不能再忽略，需要完整模型或 SPICE。
4.3 第二个算例：偏置电流改变时参数怎么缩放
同一只管子，\beta_{ac}=200、V_A=100V、R_C=2.2kΩ、R_L=10kΩ，只把 I_{CQ} 从 1mA 改成 0.1mA 和 10mA，验证 §3.3 的缩放关系：
0.1mA：
g_m=\frac{0.1\text{mA}}{25.85\text{mV}}=3.87\ \text{mS},\qquad r_\pi=\frac{200}{3.87\text{mS}}=51.7\ \text{k}\Omegar_e=\frac{25.85\text{mV}}{0.1005\text{mA}}=257\ \Omega,\qquad r_o=\frac{100\text{V}}{0.1\text{mA}}=1\ \text{M}\OmegaR_L'=2.2\text{k}\parallel10\text{k}\parallel1\text{M}=1.800\ \text{k}\Omega,\qquad A_v=-3.87\text{mS}\times1.800\text{k}\Omega=-6.9710mA：
g_m=\frac{10\text{mA}}{25.85\text{mV}}=386.8\ \text{mS},\qquad r_\pi=\frac{200}{386.8\text{mS}}=517\ \Omegar_e=\frac{25.85\text{mV}}{10.05\text{mA}}=2.57\ \Omega,\qquad r_o=\frac{100\text{V}}{10\text{mA}}=10\ \text{k}\OmegaR_L'=2.2\text{k}\parallel10\text{k}\parallel10\text{k}=1.528\ \text{k}\Omega,\qquad A_v=-386.8\text{mS}\times1.528\text{k}\Omega=-591| I_{CQ} | g_m | r_\pi | r_e | r_o | A_v | R_{in}=r_\pi\parallel20k | R_{out}=2.2\text{k}\parallel r_o |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 0.1mA | 3.87mS | 51.7kΩ | 257Ω | 1MΩ | −6.97 | 14.5kΩ | 2.195kΩ |
| 1mA | 38.68mS | 5.17kΩ | 25.72Ω | 100kΩ | −68.52 | 4.11kΩ | 2.153kΩ |
| 10mA | 386.8mS | 517Ω | 2.57Ω | 10kΩ | −591 | 504Ω | 1.803kΩ |
增益从 −6.97 到 −591，变化约 85 倍，而不是精确的 100 倍：因为 10mA 时 r_o=10kΩ 与 R_C=2.2kΩ 并联后把 R_L' 拉低到 1.528kΩ，抵消了一部分 g_m 的增长。这就是"高电流提高增益"的边界：当 r_o 接近 R_C 时，再加大电流，增益增长会变慢。 同时输入阻抗从 14.5kΩ 掉到 504Ω，高阻信号源会被严重分压。偏置电流的选择永远是增益、输入阻抗、功耗三者的折中。
5. 工程含义
5.1 数量级与设计杠杆
| 你想改变 | 调什么 | 一阶结果 | 代价 |
|---|---|---|---|
| 提高电压增益 | 加大 I_{CQ} 或 R_C | A_v\approx-g_mR_L' 上升 | 输入阻抗下降、功耗上升、输出摆幅受限 |
| 提高输入阻抗 | 降低 I_{CQ}，或加射极负反馈 | r_\pi 上升 | 增益下降、带宽可能变窄 |
| 降低输出阻抗 | 降低 R_C，或加射随缓冲 | R_{out}\approx R_C\parallel r_o 下降 | 增益下降、多一级功耗 |
| 扩展线性范围 | 加未旁路 R_E' | 输入上限乘 (1+g_mR_E') | 增益下降 (1+g_mR_E') 倍 |
| 提高带宽 | 降低增益、降低源阻抗、cascode | 米勒电容变小 | 增益或复杂度换带宽 |
| 稳定 Q 点 | 恒流偏置或射极电阻 | 温漂从 8%/°C 降到 0.1%/°C | 电压余量、功耗 |
5.2 输入阻抗：r_\pi 只是起点
r_\pi 是管子本身的输入电阻，实际电路的输入阻抗还要并联偏置网络、保护电路和寄生电容。以 1mA、\beta_{ac}=200 为例，r_\pi=5.17kΩ；如果分压偏置的等效电阻是 20kΩ，输入阻抗只有 4.11kΩ，比 r_\pi 还低 20%。要提高输入阻抗，有三个层次：
- 降低偏置电流：r_\pi\propto1/I_{CQ}，但增益也按同比例下降。
- 发射极负反馈：管子本身的输入电阻 R_{in}\approx r_\pi+(\beta_{ac}+1)R_E'（不含偏置网络），以 R_E'=150\,\Omega 为例，从 5.17kΩ 升到 35.3kΩ；代价是增益下降 6.8 倍。
- 达林顿连接：两只管子复合，等效 \beta_{ac,D}\approx\beta_{ac,1}\beta_{ac,2}，输入电阻再乘一个 \beta_{ac} 量级；代价是两个 V_{BE} 压降、饱和压降增大、带宽下降。
5.3 输出阻抗与负载效应
R_{out}=R_C\parallel r_o 是共射级的输出阻抗。R_C 通常远小于 r_o，所以输出阻抗主要由 R_C 决定；但当 R_C 取得很大（例如 100kΩ）时，r_o 就开始起作用，实际输出阻抗低于 R_C。高增益级不能只看 R_C，要把 r_o 一起并联。
如果下一级输入阻抗只有几 kΩ，它会与 R_{out} 分压，把前级增益拉低。解决方法是加一级射极跟随器（共集）做缓冲，或者用 cascode 提高输出阻抗。缓冲级的设计见BJT 三种放大组态与静态工作点。
5.4 温度与偏置
§3.2 已经给出恒压偏置和射极电阻偏置两种情况的温度系数：恒压偏置约 +8%/°C，射极电阻偏置约 +0.1%/°C。工程上还有第三种：恒流偏置（用电流镜或电流源给集电极供电），此时 I_{CQ} 基本不随温度变，g_m 按 -0.33\%/K 缓慢下降。三种偏置的取舍：
- 恒压偏置最简单，但温漂最大，只适合温度变化小、对 Q 点不敏感的电路。
- 射极电阻偏置用一颗电阻换 80 倍的温度稳定性，是最常用的分立方案；代价是电压余量和增益。
- 恒流偏置最稳，但需要额外的电流源电路，适合集成电路和精密模拟前端。
5.5 噪声与模型选择
把 g_m 做大可以降低输入折算电压噪声（忽略基区电阻时，散粒噪声折算到输入约为 2kT/g_m 量级），但电流噪声和功耗会上升；低噪声设计要在源阻抗、g_m 和偏置电流之间折中，具体计算见噪声：电压噪声、电流噪声与计算。小信号模型给的是"一阶工作点模型"，SPICE 里的 Gummel-Poon 模型还包含 I_S、\beta_{ac} 随电流和温度的变化、结电容、渡越时间、基区电阻等参数；手算用小信号模型，验证用 SPICE，两者不能互相替代。
6. 常见坑
没算 Q 点就套公式：现象——增益与实测差一倍，换个 I_{CQ} 又对不上。原因——g_m、r_\pi、r_e、r_o 全部由 I_{CQ} 决定，Q 点错了模型参数全错。解决——先做直流分析，确认 I_{CQ}、V_{CEQ} 在放大区，再代小信号公式；用 g_mr_\pi=\beta_{ac} 做一次自检。
把 r_e 当 r_\pi 用：现象——输入阻抗算成几十欧，与实测几 kΩ 差上百倍。原因——r_\pi=(\beta_{ac}+1)r_e，两者差一个 \beta_{ac} 量级。解决——记住 r_\pi 是基极看进去的电阻，r_e 是发射极看进去的电阻；用 T 模型时先写 r_\pi=(\beta_{ac}+1)r_e 再代。
忽略 r_o 与负载：现象——空载算 −83，带 10kΩ 负载实测 −68。原因——交流负载是 R_C\parallel R_L\parallel r_o，不是 R_C。解决——画小信号等效电路时，把所有接在输出节点与地之间的电阻都并进去；高增益、大 R_C 时尤其不能漏 r_o。
忽略米勒电容：现象——低频增益正常，高频掉得比预期快，相位滞后对不上。原因——C_\mu 被放大 (1+|A_v|) 倍，输入极点被拉低。解决——高频计算加上 C_{in}=C_\pi+(1+|A_v|)C_\mu，用 f_H=1/(2\pi R_{eq}C_{in}) 估主极点；要更高带宽就降低增益或用 cascode。
用大信号验证小信号模型：现象——输入 20mV 时波形失真，增益随幅度变。原因——V_p/V_T=0.77，二次谐波约 19%，一阶泰勒展开已不成立。解决——把输入压到 5mV 以下，或加发射极负反馈；测增益时用足够小的信号，并说明测试幅度。
固定 V_{BE} 偏置还指望 Q 点稳定：现象——冷机正常，热机饱和或截止。原因——固定 V_{BE} 时 I_C 约 +8%/°C，30°C 温升就是 10 倍。解决——改用射极电阻或恒流偏置，按最坏温度核算 I_{CQ} 和 V_{CEQ}。
7. 自测题
I_{CQ}=0.5mA、\beta_{ac}=150、V_A=80V，求 g_m、r_\pi、r_e、r_o。
先算 g_m：
g_m=\frac{0.5\times10^{-3}}{25.85\times10^{-3}}=19.34\ \text{mS}r_\pi=\frac{150}{19.34\times10^{-3}}=7.76\ \text{k}\OmegaI_E=0.5\text{mA}\times\left(1+\frac{1}{150}\right)=0.5033\ \text{mA},\qquad r_e=\frac{25.85\text{mV}}{0.5033\text{mA}}=51.36\ \Omegar_o=\frac{80}{0.5\times10^{-3}}=160\ \text{k}\Omega验算：r_\pi/(\beta_{ac}+1)=7760/151=51.39\,\Omega，与 r_e 一致（舍入误差 0.06%）。
要求二次谐波失真不超过 2%，输入峰值最大多少？要求 1% 呢？
由 \text{HD2}\approx V_p/(4V_T) 反解：
V_p=4V_T\cdot\text{HD2}=4\times25.85\text{mV}\times0.02=2.07\ \text{mV}1% 时：
V_p=4\times25.85\text{mV}\times0.01=1.03\ \text{mV}注意这是"峰值"，不是峰峰值；示波器读峰峰值时要除以 2。温度升高时 V_T 变大，同样的 HD2 允许更大的 V_p；低温时反过来。
用 T 模型证明 r_\pi=(\beta_{ac}+1)r_e，并说明 g_mr_e 等于什么。
T 模型中发射极电流 i_e 流过 r_e，所以 v_{be}=i_e r_e。基极电流是发射极电流中被复合掉的那一小部分：
i_b=(1-\alpha)i_e=\frac{i_e}{\beta_{ac}+1}于是
r_\pi=\frac{v_{be}}{i_b}=\frac{i_er_e}{i_e/(\beta_{ac}+1)}=(\beta_{ac}+1)r_e集电极电流 i_c=\alpha i_e=\alpha(v_{be}/r_e)=(\alpha/r_e)v_{be}，与 i_c=g_mv_{be} 对比得
g_m=\frac{\alpha}{r_e}\quad\Rightarrow\quad g_mr_e=\alpha=\frac{\beta_{ac}}{\beta_{ac}+1}\beta_{ac}=200 时 \alpha=0.995，g_mr_e=0.995，与 §4.1 的验算一致。
共射级 |A_v|=50、C_\pi=15pF、C_\mu=2pF、R_{eq}=2kΩ，求 C_{in}、f_H，并判断 1MHz 时增益还剩多少。
C_{in}=C_\pi+(1+|A_v|)C_\mu=15\text{pF}+51\times2\text{pF}=117\ \text{pF}f_H=\frac{1}{2\pi R_{eq}C_{in}}=\frac{1}{2\pi\times2000\times117\times10^{-12}}=680\ \text{kHz}1MHz 时 f/f_H=1.47，单极点幅度因子：
\frac{1}{\sqrt{1+1.47^2}}=0.563增益从 50 降到 50\times0.563=28.1，下降 5.0dB。相位滞后 \arctan(1.47)=55.8^\circ。这说明"增益 50、带宽 680kHz"的级，在 1MHz 已经明显衰减；要覆盖 1MHz，要么降低增益，要么降低 R_{eq}，要么用 cascode 抑制米勒效应。
固定 V_{BE} 偏置，温度从 25°C 升到 55°C，I_{CQ} 大约变几倍？如果用 R_E 把温漂压到 0.1%/°C，又是几倍？
固定 V_{BE} 时，温度每升 1°C，I_C 约涨 8.05%（由 V_{BE} 的 −2mV/°C 温度系数推得）。30°C 温升：
\frac{I_C(55^\circ\text{C})}{I_C(25^\circ\text{C})}=(1.0805)^{30}=10.2约 10 倍，Q 点基本被破坏。若用射极电阻把温漂压到 0.1%/°C：
(1.001)^{30}=1.030约 3%，Q 点基本不动。这就是分压偏置加射极电阻的价值：用一颗电阻换约 10 倍的温度稳定性。
为什么 g_m 与 \beta_{ac} 无关？这是否意味着共射增益对 \beta_{ac} 完全不敏感？
g_m=I_{CQ}/V_T 来自指数关系对 V_{BE} 的导数，只含 I_{CQ} 和 V_T，不含 \beta_{ac}。所以只要 I_{CQ} 固定，g_m 就固定，共射增益 A_v\approx-g_mR_L' 对 \beta_{ac} 不敏感。
但"不敏感"有条件：I_{CQ} 本身是由偏置电路决定的，如果偏置是固定 V_{BE} 或简单的基极电阻，\beta_{ac} 变化会改变 I_{CQ}，增益仍然会变。只有在恒流偏置或强射极负反馈下，I_{CQ} 才基本与 \beta_{ac} 无关。另外，输入阻抗 r_\pi=\beta_{ac}/g_m 正比于 \beta_{ac}，所以"增益稳定、输入阻抗不稳定"是常见组合，设计时要把两件事分开核算。
8. 参考资料
- Horowitz and Hill, The Art of Electronics, 3rd ed.：Chapter 2 Bipolar Transistors 讲 g_m、r_\pi、r_o 的工程口径、共射增益与射极负反馈；本章 §3.2、§3.3、§4.1 的量级与写法参考该书。
- Sedra and Smith, Microelectronic Circuits, 8th ed.：Bipolar Junction Transistors 一章的 Small-Signal Operation and Models 一节给出混合 \pi 模型、T 模型与跨导的完整推导；本章 §3.4 的等价性推导按该书口径整理。
- Razavi, Fundamentals of Microelectronics, 2nd ed.：Chapter 5 Bipolar Amplifiers 讲小信号参数、三种组态与频率响应；本章 §4.2 的米勒电容与输入极点分析参考该书。
- Gray, Hurst, Lewis and Meyer, Analysis and Design of Analog Integrated Circuits, 5th ed.：Chapter 1 Models for Integrated-Circuit Active Devices 给出厄利电压、r_o 与小信号模型的集成电路视角；本章 §3.3 的 V_A 定义按该书。
- onsemi, 2N3904 数据手册：Electrical Characteristics 表给出 hFE、C_{obo}、f_T 的测试条件与量级；本章 §4.2 的 C_\mu=2pF、f_T=300MHz 是示例假设，具体型号以数据手册为准。https://www.onsemi.com/pdf/datasheet/2n3904-d.pdf