振荡器：文氏桥与晶体振荡 Oscillators: Wien Bridge & Crystal
振荡器（Oscillator）是一台没有外部输入、却能自己输出周期波形的电路。它把输出的一部分送回输入，让信号"自己放大自己"地维持下去；一旦这个环路在某个频率上既满足相位、又满足幅度，噪声就会从微伏级长成稳定的正弦波或方波。
这件事听起来像永动机，其实不是：环路每绕一圈都要从电源取能量，补上电阻、电容和负载消耗掉的那一部分。振荡器是"正反馈 + 非线性限幅"的组合：正反馈决定它能不能起振、在哪个频率振；非线性限幅决定它最后停在多大振幅。缺了后者，输出不是停在噪声上，就是一路撞到电源轨。
本章围绕三个问题展开：为什么环路增益必须略大于 1 才能起振、文氏桥的频率和起振增益 3 是怎么来的、不同振荡器的频率稳定度差多少个 ppm。算完这一章，你应该能独立设计一个 1 kHz、失真可控的文氏桥，并能说清 RC、陶瓷、晶体三类振荡器分别适合什么场合。负反馈的稳定性判据见稳定性：伯德图、相位裕度与补偿；环路增益的定义见开环、闭环增益与负反馈本质；LC 回路的 Q 与谐振见RLC 电路与谐振；晶体的负载电容与 ppm 计算见晶振与谐振器。
1. 设计动机
场景一：函数发生器要一个 1 kHz、失真 0.1% 的正弦。 用 MCU 的 PWM 加滤波，1 kHz 处要获得 0.1% 的失真，滤波器的阶数和成本都不低；用文氏桥加灯泡稳幅，两三只运放、一只灯泡就能做到 0.1% 量级。但如果把负反馈电阻取成"正好 2 倍下臂"，环路增益刚好等于 1，电路只会把上电噪声原样保持——输出停在几毫伏，长不到 1 V。"增益等于 1"是维持条件，不是起振条件。
场景二：给 16 位 ADC 做采样时钟。 RC 振荡器的频率误差是百分之一到百分之几（10^4 ppm 量级），晶振是几十 ppm 量级。同样标称 1 MHz，RC 振荡器的实际频率可能偏 20 kHz，而晶振只偏 20 Hz——前者会让需要精确采样率的系统直接失效。振荡器的选型，第一步是问"频率允许偏多少 ppm"，而不是问"能不能振"。
场景三：555 或比较器做的弛张振荡器，频率随电源和温度跑。 这类振荡器的频率由 RC 和阈值共同决定，阈值又跟着电源走；要一个"只由无源元件决定"的频率，就得用线性振荡器（文氏桥、LC、晶体）。方波容易，稳定的正弦难；稳定的频率最难。
把这三个场景压成一张表，遇到"要产生一个信号"时先问自己：
| 你想确认 | 先算 | 判据（工程经验值） |
|---|---|---|
| 能不能起振 | 环路增益 T=A\beta 在目标频率的模 | 起振 $ |
| 振在哪个频率 | 环路相位为 0^{\circ} 的频率 | 与目标频率偏差在预算内 |
| 振幅多大 | 限幅元件的拐点与过增益 | 输出不撞电源轨，失真可接受 |
| 频率稳不稳 | R、C、Q、温度系数与 ppm 预算 | 总偏差小于系统容限的 1/3 |
| 运放够不够快 | GBW 与 f_0 的比值 | 至少 1000f_0（0.5%），高精度取 4500f_0（0.1%） |
| 输出干不干净 | 限幅方式与环路时间常数 | 失真、幅度漂移、起振时间都在预算内 |
不懂会在哪摔跤，四个带数字的代价：
- 把"环路增益 = 1"当成起振条件。 文氏桥的放大器增益取 A=3.00，理论上处于临界；实际电阻公差让 A 落在 2.97\sim3.03，一半的板子不起振，另一半勉强起振但幅度随温度漂。必须让 A 在起振时略大于 3，再用非线性把稳态压回 3。
- 没有限幅，增益取到 3.5。 输出会一路长到撞电源轨，正弦变成方波，失真从 0.1% 恶化到 40% 以上；同时运放长期饱和，恢复时间变长，频率也会被拖偏。
- 用 X7R 电容做选频。 X7R 的容量随温度和直流偏压可以变化 ±15% 以上，f_0 跟着变 10^4 ppm 量级；同样条件下 C0G 的温漂约 30 ppm/^{\circ}\text{C}，差两个数量级。
- 忽略运放相位滞后。 GBW=1 MHz 的运放做 1 kHz 文氏桥，闭环极点落在 323 kHz，1 kHz 处额外相移约 0.18^{\circ}，把频率拉低约 0.47%（4.7 Hz）——这已经比 1% 电阻的公差小不了多少。
2. 定义与直观
2.1 一句话定义：把输出送回输入，并且送对了相位
振荡器是一个正反馈环路：放大器 A(j\omega) 把误差放大，反馈网络 \beta(j\omega) 把输出的一部分送回输入端，两个输入在求和点同相相加。没有外部输入时，环路里只剩噪声和上电扰动；只要环路在某个频率上满足条件，这个频率的分量就会每绕一圈长大一点，最终被非线性限制在稳定振幅。
环路增益（Loop Gain）定义为
T(j\omega)=A(j\omega)\,\beta(j\omega)其中 T 无量纲；A 是放大器的开环增益（无量纲，V/V）；\beta 是反馈系数（无量纲，0<\beta\leq1）。注意 \beta 不是三极管的电流放大倍数，两者只是字母相同。这个符号体系与稳定性：伯德图、相位裕度与补偿一致：那里讨论负反馈，环路增益同样写成 T=A_{OL}\beta，只是相位条件写成 -180^{\circ}。
2.2 两个条件：幅度与相位
振荡必须同时满足两个条件，缺一不可：
| 条件 | 起振时 | 稳态时 | 物理含义 |
|---|---|---|---|
| 幅度条件 | \lvert T(j\omega_0)\rvert>1 | \lvert T(j\omega_0)\rvert=1 | 每绕一圈，回来的信号至少和出发时一样大 |
| 相位条件 | \angle T(j\omega_0)=0^{\circ}\ (\mathrm{mod}\ 360^{\circ}) | 同左 | 回来的信号与输入同相，才是"助推"而不是"纠错" |
这就是巴克豪森判据（Barkhausen Criterion）。两个条件的分工很清楚：相位条件选频率——只有那些绕一圈相位为 0^{\circ} 的频率才可能振；幅度条件决定能不能起来、最后停在哪——起振时要大于 1，稳态时被非线性压回 1。
这里要澄清一个常见混淆：负反馈的稳定性判据写成 \angle T=-180^{\circ} 时自激，正反馈的振荡条件写成 \angle T=0^{\circ}\ (\mathrm{mod}\ 360^{\circ})，两者是同一件事的两种记账方式。负反馈环路在 -180^{\circ} 处变成正反馈；如果把反馈网络本身的"反相"算进 \beta，那么正反馈环路的相位条件就是 0^{\circ}。本书运放篇统一用后一种写法：振荡器分析看正反馈环，相位目标 0^{\circ}（等价于 360^{\circ}）。
2.3 为什么"环路增益刚好等于 1"无法起振
这是本章最容易被跳过、却最影响设计成败的一点。
把环路在 f_0 附近近似成一阶谐振环节。设无反馈时谐振器的品质因数为 Q，环路增益在 f_0 处为 T_0。闭环特征方程是 1-T(j\omega)=0；在 f_0 附近展开，可以得到闭环极点
s=\sigma+j\omega_0,\qquad \sigma=\frac{\omega_0\,(T_0-1)}{2Q}其中 \sigma 是包络的增长率（单位 \text{s}^{-1}），\omega_0=2\pi f_0 是角频率（rad/s），Q 无量纲。三种情况：
- T_0<1：\sigma<0，包络按 e^{\sigma t} 衰减，噪声很快消失，不起振；
- T_0=1：\sigma=0，极点正好落在虚轴上，包络既不长大也不衰减，输出停在初始扰动的大小（通常几十微伏到几毫伏），看起来"振了"，其实没有可用幅度；
- T_0>1：\sigma>0，包络指数增长，直到非线性把有效增益压回 1，这才是可用的振荡器。
增长的时间常数是 \tau=1/\sigma=2Q/[\omega_0(T_0-1)]。从初始幅度 V_0 长到目标幅度 V_1 需要
t_{start}=\tau\ln\frac{V_1}{V_0}=\frac{2Q}{\omega_0(T_0-1)}\ln\frac{V_1}{V_0}以文氏桥为例，选频网络的 Q=1/3（下一节证明），所以
\tau=\frac{2\times(1/3)}{2\pi f_0(T_0-1)}=\frac{1}{3\pi f_0(T_0-1)}取 f_0=1007.3\ \text{Hz}、V_0=100\ \mu\text{V}、V_1=1.38\ \text{V}（本章设计示例的振幅），不同过增益下的起振时间如下：
| T_0-1 | \tau | t_{start}（100\ \mu\text{V}\to1.38\ \text{V}） | 现象 |
|---|---|---|---|
| 0.1\% | 105\ \text{ms} | 1.00\ \text{s} | 上电后要等约 1 秒才看到波形，温度一变就可能停振 |
| 1\% | 10.5\ \text{ms} | 100\ \text{ms} | 可用，但批次差异明显 |
| 3.33\% | 3.16\ \text{ms} | 30.1\ \text{ms} | 本章设计示例的选择，起振快、限幅压力小 |
| 10\% | 1.05\ \text{ms} | 10.0\ \text{ms} | 起振很快，但限幅元件要吸收更多过增益，失真变大 |
结论：T_0=1 时 \tau\to\infty，起振时间无穷大；实际电路里总有损耗和公差，所以"刚好 1"的电路不是"临界稳定"，而是"大概率不起振"。工程上让 T_0 比 1 大 1%~5%，再用一个随幅度增加而减小增益的元件把稳态锁回 T=1。
秋千是一个摆在重力场里的谐振系统，频率由绳长决定，跟你怎么推关系不大。想让秋千越荡越高，你必须在它每次到达最高点时顺着速度方向推——这就是相位条件；推的力度要略大于空气阻力和摩擦消耗的能量——这就是幅度条件里"略大于 1"的部分。推得太轻，秋千慢慢停；推得太重，秋千会撞到架子（限幅），而且你的推力节奏会被秋千的反作用打乱（非线性）。
类比的边界：秋千的"限幅"是撞架子，硬限幅会产生大量高次谐波；文氏桥的限幅元件（灯泡、二极管、AGC）是软限幅，它只在大幅度时轻微压缩增益，所以输出仍然是低失真正弦。另一个边界：秋千的频率几乎不受推力影响，而电子振荡器的频率会受放大器相移、寄生电容和负载影响——这正是后面要用 Q 比较频率稳定度的原因。
2.4 三类常见拓扑：RC、LC、晶体
按选频元件的 Q 从低到高，常见的正弦振荡器可以排成一条线：
- RC 振荡器：文氏桥（Wien Bridge）、三级移相（Phase Shift）、双 T（Twin-T）。Q 在 1/3\sim1 量级，频率由 RC 决定，适合 1 Hz~100 kHz 的低频正弦，失真可以做到 0.1% 以下，频率稳定度 10^{-4}\sim10^{-2}。
- LC 振荡器：考毕兹（Colpitts）、哈特莱（Hartley）、克拉普（Clapp）。Q 在 50\sim200 量级，频率由 LC 决定，适合 100 kHz~几百 MHz 的射频，频率稳定度 10^{-5}\sim10^{-4}。
- 晶体振荡器：皮尔斯（Pierce）、米勒（Miller）。Q 在 10^4\sim10^6 量级，频率由石英片的机械谐振决定，适合对频率精度要求高的时钟与载波，稳定度 10^{-5}\sim10^{-4}（10~100 ppm 级）。
文氏桥（Wien Bridge）是最经典的低频正弦振荡器：同相放大器 + RC 串并联选频网络（正反馈）+ 负反馈臂（决定增益与稳幅）。
________
皮尔斯晶体振荡器（Pierce）把晶体接在反相放大器的输出与输入之间，两端各接一只负载电容到地。晶体在串联谐振与并联谐振之间呈感性，和两只负载电容构成一个 π 网络，在谐振频率上提供 180^{\circ} 相移；反相放大器再提供 180^{\circ}，合计 360^{\circ}。晶体的等效模型、负载电容与 ppm 计算见晶振与谐振器。
3. 定量关系
3.1 文氏桥的选频网络：为什么是 1/3
把文氏桥的选频网络单独拿出来：串联臂 Z_s=R_s+1/(sC_s)，并联臂 Z_p=R_p\parallel 1/(sC_p)=R_p/(1+sR_pC_p)。反馈系数是并联臂上的分压：
\beta(s)=\frac{Z_p}{Z_s+Z_p}取 R_s=R_p=R、C_s=C_p=C，代入并通分：
\beta(s)=\frac{sRC}{s^2R^2C^2+3sRC+1}令 s=j\omega、u=\omega RC，分子分母同乘 (1-u^2-3ju)：
\beta(j\omega)=\frac{ju}{1-u^2+3ju}=\frac{1}{3+j\left(u-\dfrac{1}{u}\right)}这一步是本章大部分结论的起点。由此直接读出两件事：
- 幅频：|\beta|=\dfrac{1}{\sqrt{9+\left(u-1/u\right)^2}}，在 u=1 处取最大值 1/3；
- 相频：\angle\beta=-\arctan\dfrac{u-1/u}{3}，在 u=1 处正好为 0^{\circ}。
所以选频网络的谐振频率是
u=1\ \Longrightarrow\ \omega_0RC=1\ \Longrightarrow\ f_0=\frac{1}{2\pi RC}在 f_0 处，\beta=1/3、相移 0^{\circ}。1/3 不是随便取的，它是 R_s=R_p、C_s=C_p 时并联臂分压的必然结果；只要串臂和并臂的 R、C 不相等，f_0 处的 \beta 和相位都会变，增益 3 的结论也跟着失效。
把上面两个式子画成图：幅频在 f_0 处有最大值 -9.54\ \text{dB}，两侧按 \pm20\ \text{dB/十倍频} 下降；相频在 f_0 处过零，低频侧超前、高频侧滞后，0.1f_0 与 10f_0 处约为 \pm73^{\circ}。相频在 f_0 附近的斜率决定了频率稳定度：同样的相位误差，斜率越陡，频率偏得越少。
3.2 起振增益 3 的来历与稳幅
放大器接成同相放大，增益是
A=1+\frac{R_b}{R_a}其中 R_a 是反相端到地的下臂电阻（\Omega），R_b 是输出到反相端的上臂电阻（\Omega）。巴克豪森幅度条件在 f_0 处要求
|T|=A\cdot\beta=A\cdot\frac{1}{3}=1\ \Longrightarrow\ A=3\ \Longrightarrow\ R_b=2R_a这就是"起振增益 3"的全部来历：选频网络在 f_0 处衰减到 1/3，放大器必须补回 3 倍。注意 A=3 是稳态条件；起振时 A 要略大于 3，通常取 A=3.02\sim3.10，对应 R_b=(2.02\sim2.10)R_a。
为什么不能取更大的过增益？因为限幅元件要吸收全部多余的环路增益。过增益 10% 意味着限幅元件在峰值附近要把有效增益压低 10%，非线性工作区间更宽，失真更大；过增益 1% 又会被电阻公差和温度漂移吃掉。1%~5% 是失真与可靠起振的折中。
稳幅元件必须满足一个符号条件：幅度增大时，环路增益要减小。四种常见做法：
| 方法 | 接在哪里 | 为什么能稳幅 | 失真量级 | 速度 | 代价 |
|---|---|---|---|---|---|
| 钨丝灯泡（PTC） | 下臂 R_a | 幅度↑ → 灯丝电流↑ → 温度↑ → R_a↑ → A=1+R_b/R_a↓ | 0.1% 量级 | 几十 ms | 需要灯丝功率与输出幅度匹配；低温启动慢 |
| NTC 热敏电阻 | 上臂 R_b | 幅度↑ → 自热↑ → R_b↓ → A↓ | 0.1%~1% | 秒级 | 热时间常数大，可能低频"呼吸" |
| 二极管对 | 跨接在 R_b 两端 | 大信号时二极管导通，旁路一部分 R_b，等效增益下降 | 1% 量级 | 即时 | 幅度低（约 1 V 峰）、随温度漂移 |
| JFET/光敏电阻 AGC | 串在 R_b 或 R_a 中 | 整流后的直流控制栅压/光照，改变等效电阻 | 0.01%~0.1% | ms~s | 需要整流、滤波与控制环路 |
灯泡必须放在下臂 R_a，不能放在上臂 R_b。 这是本章最容易接反的一处：PTC 灯泡的电阻随温度升高而增大；放在上臂时，幅度增大 → R_b 增大 → 增益更大 → 幅度继续增大，符号反了，电路会一路削顶。放在下臂，R_a 增大才会让 1+R_b/R_a 减小。NTC 热敏电阻的方向相反，所以它放在上臂。先确认元件的温度系数，再决定放上臂还是下臂。
二极管稳幅的定量估算放在 §4.1 的设计示例里：三只 1N4148 串联、两只方向反并联跨接在 R_b 上，输出幅度约 1.38 V 峰，峰值处二极管只分流 4.8%，按硬限幅模型估算 THD 约 1.7%。它的优点是快、便宜；缺点是幅度低、温度漂移大（硅二极管约 -2\ \text{mV}/^{\circ}\text{C}，三只串联让幅度温度系数约 -0.65\%/^{\circ}\text{C}）。
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把选频网络在 f_0 附近展开。由 \beta(j\omega)=1/[3+j(u-1/u)]，令 u=1+\delta（\delta\ll1），则 u-1/u\approx2\delta，于是
\beta\approx\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{1+j(2\delta/3)}=\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{1+j2Q\delta},\qquad Q=\frac{1}{3}环路增益 T=T_0/(1+j2Q\delta)，闭环特征方程 1-T=0 给出 j2Q\delta=T_0-1，即 \delta=-j(T_0-1)/(2Q)。代回 s=j\omega_0(1+\delta)：
s=j\omega_0+\frac{\omega_0(T_0-1)}{2Q}所以增长率 \sigma=\omega_0(T_0-1)/(2Q)，时间常数 \tau=2Q/[\omega_0(T_0-1)]。Q=1/3 时 \tau=1/[3\pi f_0(T_0-1)]，与 §2.3 的式子一致。
这个推导假设 T_0 与频率无关、限幅还没起作用；它只描述起振初期。到了大信号，限幅元件把有效 T_0 压回 1，指数增长停止，进入等幅振荡。起振时间与限幅建立时间之和，才是示波器上看到的"上电到稳定"的时间。
3.3 频率稳定度：Q 决定"同样的相位误差偏多少"
振荡频率由相位条件决定：环路总相位为 0^{\circ} 的频率就是 f_0。如果放大器、寄生电容或负载额外引入了一个相位误差 \Delta\varphi，选频网络必须用一个相反的相位来补偿，频率就会偏移。偏移量由相频斜率决定：
\frac{\Delta f}{f_0}=\frac{\Delta\varphi}{2Q}其中 \Delta\varphi 用弧度（rad），Q 无量纲。这个式子是本章比较不同振荡器的核心工具：同样的相位误差，Q 越高，频率偏得越少。
取一个具体的相位误差 \Delta\varphi=0.1^{\circ}=1.745\times10^{-3}\ \text{rad}：
| 振荡器 | Q | \Delta f/f_0 | 以 ppm 计 | 1 MHz 时偏多少 |
|---|---|---|---|---|
| 文氏桥 RC | 1/3 | 2.62\times10^{-3} | 2620\ \text{ppm} | 2.62\ \text{kHz} |
| LC 考毕兹 | 100 | 8.7\times10^{-6} | 8.7\ \text{ppm} | 8.7\ \text{Hz} |
| 石英晶体 | 10^5 | 8.7\times10^{-9} | 0.0087\ \text{ppm} | 0.0087\ \text{Hz} |
三个数量级的差距，全部来自 Q。 这也解释了为什么晶振对电路寄生、运放相移、负载变化都不敏感：它的相频斜率太陡，同样的扰动只能让它偏零点几个 ppm。
再看绝对精度。绝对精度由元件容差、温度系数、老化共同决定，不只是 Q：
| 类型 | 初始容差 | 温度 | 老化 | 合计（典型量级） |
|---|---|---|---|---|
| RC 文氏桥（1% 电阻 + 1% C0G） | \pm2\%（2\times10^4\ \text{ppm}） | 约 55\ \text{ppm}/^{\circ}\text{C}，45^{\circ}\text{C} 内约 2500\ \text{ppm} | 可忽略 | 2\times10^4\sim3\times10^4\ \text{ppm} |
| 陶瓷谐振器 | \pm0.5\%（5000\ \text{ppm}） | \pm0.3\%（3000\ \text{ppm}） | \pm0.1\%（1000\ \text{ppm}） | 约 9000\ \text{ppm} |
| 石英晶体（含负载电容误差） | \pm20\ \text{ppm} | \pm20\ \text{ppm} | \pm5\ \text{ppm/年} | 约 80\ \text{ppm} |
读表要注意三件事：
- RC 的绝对误差主要不是 Q 造成的，而是电阻、电容本身的容差；Q 决定的是"外部相位扰动"折算成频率的比例。两者要分开算。
- 陶瓷谐振器比 RC 好，但远不如晶体：它的初始容差和温漂都在 10^3\ \text{ppm} 量级，适合对成本敏感、容差要求 ±1% 的场合（如某些 MCU 的时钟）。
- 晶体的 80\ \text{ppm} 里，负载电容误差占了大头：按晶振与谐振器的 19\ \text{ppm/pF}，两只负载电容各偏 2 pF，C_L 只偏 1 pF（C_L=C_1C_2/(C_1+C_2)），约 19 ppm；要偏到 38 ppm 得让 C_L 偏 2 pF（两只各偏约 4 pF）。晶体本身很好，外围配错照样超差。
3.4 运放相移对频率的影响：GBW 要多大
文氏桥里的运放不是理想器件。它的闭环极点落在 GBW/A 处，在 f_0 处产生相位滞后
\Delta\varphi_{op}=\arctan\frac{A f_0}{GBW}其中 GBW 是运放的增益带宽积（Hz），A 是闭环增益（本章 A=3.1）。这个滞后要由选频网络的相位超前补偿，频率因此偏低：
\frac{\Delta f}{f_0}\approx\frac{\Delta\varphi_{op}}{2Q}=1.5\arctan\frac{A f_0}{GBW}取 GBW=1\ \text{MHz}、f_0=1007.3\ \text{Hz}、A=3.1：
\Delta\varphi_{op}=\arctan\frac{3.1\times1007.3}{10^6}=\arctan(0.00312)=0.179^{\circ}=3.12\times10^{-3}\ \text{rad}\frac{\Delta f}{f_0}=1.5\times3.12\times10^{-3}=4.68\times10^{-3}=0.47\%\ \Longrightarrow\ \Delta f=-4.7\ \text{Hz}要控制在 0.5% 以内，需要 GBW\geq0.94\ \text{MHz}；要控制在 0.1% 以内，需要 GBW\geq4.7\ \text{MHz}。所以"GBW 至少 100 倍 f_0"只够 5% 量级的频率误差；要 0.5% 得 1000 倍，要 0.1% 得 4500 倍。 这句话和"选 GBP 远大于 f_0"的模糊说法相比，才是能直接写进设计规格的判据。
3.5 移相、三点式与晶体：另外三种选频方式
三级移相振荡器（Phase-Shift Oscillator）用三级 RC 加一个反相放大器。三级 RC 梯在 f_0 处合计提供 180^{\circ} 相移（后级会加载前级，各级并不各占 60^{\circ}），反相放大器再给 180^{\circ}，合计 360^{\circ}。图里画的是 R 串联、C 并联的三级低通梯：
三级不完全隔离，准确传递函数是 H(x)=1/(x^3+5x^2+6x+1)（x=sRC）。令分母虚部为零得 x=j\sqrt6，此时 H=-1/29，所以
f_0=\frac{\sqrt6}{2\pi RC},\qquad |A|=29注意公式与拓扑的配对：如果画的是 C 串联、R 并联的三级高通梯，公式变成 f_0=1/(2\pi RC\sqrt6)，增益仍是 29。两个版本只差一个 \sqrt6 因子，但频率差 6 倍；把高通版的公式套到低通图上，是这类电路最常见的错误之一。
三点式 LC 振荡器（Colpitts / Hartley）用 LC 回路选频，用电容或电感分压产生反馈。考毕兹（Colpitts）的谐振频率与反馈系数是
f_0=\frac{1}{2\pi\sqrt{L\,C_T}},\qquad C_T=\frac{C_1C_2}{C_1+C_2},\qquad \beta=\frac{C_1}{C_1+C_2}其中 C_1 是输出端到抽头的电容（F），C_2 是抽头到地的电容（F），L 是回路电感（H）。反相放大器给 180^{\circ}，LC 回路在谐振点附近再提供 180^{\circ}，合计 360^{\circ}；幅度条件要求 |A|\geq1/\beta。
晶体振荡器（Pierce）把晶体当作一个 Q 极高的电感使用。晶体的串联谐振 f_s 与并联谐振 f_p 之间只有几百到几千 ppm 的宽度，工作点由负载电容 C_L 决定；在这个窄窗口里，晶体的相频斜率极陡，所以频率几乎只由晶体本身决定。Q 与 ppm 的定量关系、C_L 与频率的拉动公式见晶振与谐振器。
4. 典型计算
4.1 算例一：设计一个 1 kHz 文氏桥正弦振荡器
需求：f_0=1\ \text{kHz}，输出约 1\ \text{V} 有效值（峰值约 1.4\ \text{V}），失真 \leq2\%，双电源 \pm15\ \text{V}。要求给出 E96 电阻、实际频率、起振增益、起振时间，以及二极管稳幅的幅度与失真估算。
第 1 步，选电容、算电阻。 取 C=10\ \text{nF}（C0G，1%），由 f_0=1/(2\pi RC) 反解：
R=\frac{1}{2\pi f_0C}=\frac{1}{2\pi\times1000\times10\times10^{-9}}=\frac{1}{6.2832\times10^{-5}}=1.5915\times10^{4}\ \OmegaE96 系列取 15.8\ \text{k}\Omega。实际频率：
f_0'=\frac{1}{2\pi\times15.8\times10^3\times10\times10^{-9}}=\frac{1}{9.9274\times10^{-4}}=1007.3\ \text{Hz}相对 1 kHz 偏高 0.73\%，在 1% 电阻和 1% 电容的容差范围内，不需要再调。
第 2 步，定增益与起振过增益。 稳态要求 A=3，即 R_b=2R_a。取 R_a=10.0\ \text{k}\Omega（E96），则稳态 R_b=20.0\ \text{k}\Omega。为了可靠起振，取 R_b=21.0\ \text{k}\Omega（E96）：
A=1+\frac{21.0}{10.0}=3.10,\qquad T_0=A\beta=3.10\times\frac{1}{3}=1.0333过增益 T_0-1=3.33\%。按 §2.3 的式子，f_0'=1007.3\ \text{Hz}：
\tau=\frac{1}{3\pi f_0'(T_0-1)}=\frac{1}{3\pi\times1007.3\times0.0333}=\frac{1}{316.1}=3.16\times10^{-3}\ \text{s}从 100\ \mu\text{V} 长到 1.38\ \text{V}：
t_{start}=3.16\ \text{ms}\times\ln\frac{1.38}{100\times10^{-6}}=3.16\ \text{ms}\times9.532=30.1\ \text{ms}第 3 步，二极管稳幅的幅度。 在 R_b 两端反并联两只二极管串，每串三只 1N4148（共 6 只）。设二极管模型为 I_S=2.5\ \text{nA}、n=1.75、V_T=25.85\ \text{mV}（25 ^{\circ}\text{C} 附近的小信号近似，具体以数据手册曲线为准）。稳态时，反相节点的基尔霍夫电流定律要求二极管峰值电流补上"过增益"多出来的那部分：
I_{d,pk}=V_{pk}\left(\frac{1}{3R_a}-\frac{2}{3R_b}\right)=V_{pk}\times1.587\times10^{-6}\ \text{A/V}二极管串的电压与电流满足
V_{net}=3nV_T\ln\left(1+\frac{I_{d,pk}}{I_S}\right),\qquad V_{pk}=1.5\,V_{net}联立数值求解（不动点迭代，V_{net} 从 0.5 V 起）：0.500→0.837→0.907→0.918→0.919→0.920，五步收敛到
V_{net}=0.920\ \text{V},\qquad V_{pk}=1.380\ \text{V},\qquad V_{rms}=\frac{1.380}{\sqrt2}=0.975\ \text{V}I_{d,pk}=1.380\times1.587\times10^{-6}=2.19\ \mu\text{A}在峰值处，二极管只分流 1-2R_a/R_b=1-20/21=4.76\% 的反馈电流。幅度比 1 V 有效值的目标略低（0.975 V）：每串再加一只二极管（共 4 只）可把钳位电压抬高约 1/3，输出幅度随之升到约 1.2\ \text{V} 有效值；也可以把 R_b 微调到 21.5\ \text{k}\Omega 提高过增益。具体幅度由二极管型号、温度和批次决定，以上是典型量级估算，实测为准。
第 4 步，失真估算。 用硬限幅模型做一阶估算：把峰值处 4.76% 的分流等效成限幅深度 \delta=0.048，对正弦做傅里叶展开，奇次谐波与基波之比为
\mathrm{THD}=\frac{\sqrt{\sum_{n\geq2}a_n^2}}{a_1}\approx1.7\%实际二极管是软限幅，分流随角度平滑变化，THD 通常比硬限幅估算低一些，在 1% 量级；要 0.1% 量级的失真，应改用灯泡、热敏电阻或 AGC，而不是二极管。二极管方案的幅度温度系数约 -0.65\%/^{\circ}\text{C}（三只串联，每只 -2\ \text{mV}/^{\circ}\text{C}），这是它最不适合精密场合的原因。
第 5 步，运放相移校核。 取 GBW=1\ \text{MHz}，按 §3.4：
\Delta\varphi_{op}=\arctan\frac{3.10\times1007.3}{10^6}=0.179^{\circ},\qquad \frac{\Delta f}{f_0}=1.5\times3.12\times10^{-3}=0.47\%实际频率约 1007.3\times(1-0.0047)=1002.6\ \text{Hz}。如果系统要求 0.1% 的频率精度，换 GBW\geq4.7\ \text{MHz} 的运放，或接受"频率由 RC 容差主导"的现实——1% 电阻加 1% 电容的容差已经是 ±1.4%（RSS），运放相移并不是瓶颈。
第 6 步，逐项验算：
| 项目 | 要求 | 计算值 | 判定 |
|---|---|---|---|
| 频率 | 1 kHz | 1007.3 Hz（+0.73%） | 通过（在 RC 容差内） |
| 起振过增益 | >0 | 3.33% | 通过 |
| 起振时间 | <100 ms | 30.1 ms | 通过 |
| 输出幅度 | 约 1 V rms | 0.975 V rms | 通过（可微调） |
| 失真 | ≤2% | 约 1.7%（硬限幅估算） | 临界，实测确认 |
| 运放相移 | <0.5% | 0.47% | 临界，建议换高 GBW 运放 |
结论：R=15.8\ \text{k}\Omega、C=10\ \text{nF}、R_a=10.0\ \text{k}\Omega、R_b=21.0\ \text{k}\Omega，配每串三只 1N4148、两只方向反并联稳幅，可以得到约 1 kHz、1 V rms、失真 1%~2% 的正弦。以上元件值是设计起点，不是无条件可用的标准答案；实际频率、幅度和失真都要在样机上用频率计、示波器和 FFT 复核。
4.2 算例二：三级移相振荡器的取值
需求：用上面那张图的低通梯（R 串联、C 并联）做 f_0\approx1\ \text{kHz} 的移相振荡器，取 C=10\ \text{nF}，求 R 与增益电阻。
第 1 步，算 R。 由 f_0=\sqrt6/(2\pi RC)：
R=\frac{\sqrt6}{2\pi f_0C}=\frac{2.449}{2\pi\times1000\times10\times10^{-9}}=\frac{2.449}{6.2832\times10^{-5}}=3.898\times10^{4}\ \OmegaE96 取 39.2\ \text{k}\Omega。实际频率：
f_0'=\frac{\sqrt6}{2\pi\times39.2\times10^3\times10\times10^{-9}}=\frac{2.449}{2.463\times10^{-3}}=994.5\ \text{Hz}第 2 步，算增益电阻。 三级低通梯在 f_0 处衰减到 1/29，所以 |A|=29。取输入电阻 R_1=39.2\ \text{k}\Omega，则 R_f=29\times39.2\ \text{k}\Omega=1.137\ \text{M}\Omega。E96 取 1.15\ \text{M}\Omega，实际增益 1.15/39.2=29.34，过增益 1.2\%——偏低，温度或容差一变就可能停振；取 1.18\ \text{M}\Omega 得到 30.1，过增益 3.8\%，更稳妥。
第 3 步，说明局限。 移相振荡器的输出是削顶的正弦（反相放大器在大信号下饱和），失真通常 5\%\sim10\%，适合做方波/低频音调，不适合做低失真正弦。它的优点是结构简单、只需要一只运放；缺点是频率与增益互相牵制，调频率要同时改三个电阻。
4.3 算例三：RC、陶瓷、晶体三者的 ppm 对比
题目：同一个 1 MHz 振荡器，分别用 RC 文氏桥、陶瓷谐振器、石英晶体实现。设三者的相位误差都是 0.1^{\circ}，Q 分别为 1/3、100、10^5，求频率偏移；再按各自的容差预算求绝对误差。
第 1 步，相位误差换算。 0.1^{\circ}=0.1\times\pi/180=1.745\times10^{-3}\ \text{rad}。由 \Delta f/f_0=\Delta\varphi/(2Q)：
\text{RC：}\frac{1.745\times10^{-3}}{2/3}=2.62\times10^{-3}=2620\ \text{ppm}\text{陶瓷：}\frac{1.745\times10^{-3}}{200}=8.7\times10^{-6}=8.7\ \text{ppm}\text{晶体：}\frac{1.745\times10^{-3}}{2\times10^5}=8.7\times10^{-9}=0.0087\ \text{ppm}在 1 MHz 上，三者分别偏 2.62\ \text{kHz}、8.7\ \text{Hz}、0.0087\ \text{Hz}。
第 2 步，绝对误差预算。 RC 用 1% 电阻、1% C0G：最坏 \pm2\%=2\times10^4\ \text{ppm}；陶瓷按 \pm0.5\% 初始 + \pm0.3\% 温度 + \pm0.1\% 老化，合计约 9000\ \text{ppm}；晶体按 \pm20\ \text{ppm} 初始 + \pm20\ \text{ppm} 温度 + 19\ \text{ppm/pF}\times2\ \text{pF}=38\ \text{ppm} 负载电容 + 5\ \text{ppm} 老化，合计约 83\ \text{ppm}。
第 3 步，比值。 RC 与晶体相差 2\times10^4/83\approx240 倍，陶瓷与晶体相差 9000/83\approx108 倍。这就是"ppm 级差"的定量含义：不是"晶体好一点"，而是差两到三个数量级。
5. 工程含义
5.1 数量级表
| 量 | 典型范围 | 备注 |
|---|---|---|
| 文氏桥 f_0 | 1 Hz~100 kHz | 再高要算运放相移与布线电容 |
| 选频电阻 R | 1\ \text{k}\Omega\sim1\ \text{M}\Omega | 太低耗电流，太高受偏置电流与寄生影响 |
| 选频电容 C | 100\ \text{pF}\sim10\ \mu\text{F} | 优先 C0G/NP0 或薄膜 |
| 文氏桥 Q | 1/3 | 由 R_s=R_p、C_s=C_p 决定 |
| LC 回路 Q | 50\sim200 | 空心线圈、磁芯电感 |
| 晶体 Q | 10^4\sim10^6 | 见晶振与谐振器 |
| 文氏桥失真 | 0.1%（灯泡/AGC）~2%（二极管） | 取决于稳幅方式 |
| 晶体频率稳定度 | 约 80\ \text{ppm}（含负载电容） | 典型量级，以数据手册为准 |
| 陶瓷谐振器稳定度 | 约 9000\ \text{ppm} | 典型量级，以数据手册为准 |
| 运放 GBW | \geq100f_0（5% 误差），\geq1000f_0（0.5%） | 见 §3.4 |
5.2 假设什么时候失效
- 小信号近似。 A=3、\beta=1/3 都是小信号参数；大信号时运放压摆率、输出电流限和饱和恢复会改变环路，起振时间与频率都可能变。压摆率要求 SR\geq2\pi f_0V_{pk}：f_0=1\ \text{kHz}、V_{pk}=1.38\ \text{V} 时只有 0.0087\ \text{V}/\mu\text{s}，任何运放都够；但 f_0=100\ \text{kHz}、V_{pk}=10\ \text{V} 时就要求 6.3\ \text{V}/\mu\text{s}，普通运放开始吃力。
- 选频网络不被负载。 文氏桥的 \beta=1/3 假设并联臂没有被运放输入阻抗、布线电容或后级负载旁路。10\ \text{pF} 的杂散电容在 100\ \text{kHz} 处的阻抗是 159\ \text{k}\Omega，与 15.8\ \text{k}\Omega 并联后不可忽略；f_0 越高，杂散影响越大。
- 元件是线性的。 电容的电压系数、电阻的温度系数、二极管的结电容都会让 f_0 随工作点漂。C0G 的电压系数很小，X7R 在大直流偏压下容量可以掉一半以上。
- 运放足够快。 §3.4 的 0.47\% 是 GBW=1\ \text{MHz}、f_0=1\ \text{kHz} 的结果；f_0 提高 10 倍，相移和频率误差也大约提高 10 倍，除非 GBW 同步提高。
- 温度与老化。 电阻、电容、运放偏置电流、灯泡灯丝都随温度变；晶体的老化是每年几个 ppm。频率预算必须把全温区、全寿命算进去，不能只看 25 ^{\circ}\text{C} 的实测值。
5.3 选型与布线的实际影响
- 电容选 C0G/NP0 或薄膜。 选频电容的容量稳定度直接变成频率稳定度；X7R/X5R 只适合对频率不敏感的旁路。
- 电阻用 1% 金属膜。 碳膜电阻的温度系数和长期漂移都更大；R_s 与 R_p 要用同型号、同批次，才能跟踪温度。
- 选频网络靠近运放。 串联臂、并联臂的引线越短越好；并联臂到地的节点要有独立、短的回流路径，避免地电流串入。
- 负反馈臂留微调。 R_b 用固定电阻 + 小电位器（或 E96 组合），方便把幅度和失真调到目标；量产后用激光调阻或 0.1% 电阻固定。
- 电源去耦。 运放的电源脚就近放 100\ \text{nF}，大容量储能电容放在入口；电源纹波会通过运放的电源抑制比进入环路，表现为幅度调制。
- 输出加缓冲。 文氏桥的输出直接接负载会改变环路增益；在输出后加一级缓冲（或至少串 100\ \Omega），把负载与选频网络隔开。
5.4 稳幅方式怎么选
| 场景 | 推荐 | 理由 |
|---|---|---|
| 音频测试、低失真信号源 | 灯泡（PTC，下臂）或 JFET AGC | 失真 0.1% 以下，幅度稳定 |
| 低成本、方波/音调 | 二极管对（跨 R_b） | 便宜、快，失真 1%~2% 可接受 |
| 电池供电、低功耗 | CMOS 运放 + AGC，或直接改用晶体 | 灯泡耗电，二极管幅度低 |
| 对频率精度要求高 | 晶体振荡器 | RC 的 ppm 预算做不到 |
| 射频、高频 | LC 考毕兹/克拉普 | 运放 GBW 不够时改用晶体管 |
6. 常见坑
- 现象：上电后输出只有几毫伏的噪声，示波器上看不到正弦。原因：环路增益 T_0=A/3\leq1——R_b 取了 20.0\ \text{k}\Omega（正好 2R_a），或电阻容差让 A<3，或运放 GBW 太低带来了额外相移。解决：把 R_b 调到 2.05R_a\sim2.10R_a，留 1.7%~5% 过增益；用 1% 电阻；按 §3.4 选 GBW\geq1000f_0（0.5% 量级）的运放；检查同相端是否真的接到了选频网络的中点。
- 现象：输出是削顶的正弦或方波，幅度接近电源轨，失真 30% 以上。原因：没有稳幅元件，或过增益太大（R_b\gg2R_a），输出一路长到饱和。解决：加灯泡/热敏电阻/二极管/AGC；把过增益压到 1%~5%；用示波器看峰值是否低于电源轨 1 V 以上。
- 现象：频率比设计值低/高几个百分点，换一块板又不一样。原因：电容用了 X7R/X5R（容量随电压、温度变），或 R_s\ne R_p、C_s\ne C_p，或布线杂散电容改变了 \beta 的相位。解决：选 C0G/NP0 或薄膜电容、1% 金属膜电阻；串臂并臂用同值；缩短选频网络引线；f_0>50\ \text{kHz} 时把杂散电容算进 \beta。
- 现象：输出幅度以几赫兹的慢节奏"呼吸"，或上电后要等好几秒才稳定。原因：稳幅环的时间常数与振荡频率不匹配——灯泡/热敏电阻太慢，或 AGC 的滤波时间常数太大；也可能是电源纹波被环路的幅度调制放大。解决：让稳幅时间常数大于 10 个振荡周期、小于 0.1 s（音频场合）；检查电源去耦；用二极管稳幅时接受它的温度漂移，或改用 AGC。
- 现象：把灯泡接在 R_b（上臂）后，输出一上电就削顶，灯泡发热后也不稳定。原因：PTC 灯泡的电阻随温度升高而增大；放在上臂时，幅度增大 → R_b 增大 → 增益更大，符号反了。解决：PTC 灯泡必须放在下臂 R_a；NTC 热敏电阻放在上臂 R_b；先确认温度系数的符号，再决定位置。
- 现象：晶体振荡器不起振，或频率偏几十 ppm。原因：负载电容 C_L 与晶体规格不符、ESR 太大、驱动电平不足或过大、布线寄生电容过大。解决：按晶体数据手册配 C_L，核对 g_m 裕度与驱动电平，缩短晶振走线；详见晶振与谐振器。
7. 自测题
文氏桥的选频网络在 f0 处衰减到 1/3，放大器增益应该取多少？为什么起振时要略大于这个值？
稳态要求 |T|=A\beta=1，\beta=1/3，所以 A=3，即 R_b=2R_a。
起振时要 |T|>1，因为 T=1 时闭环极点正好在虚轴上，包络增长率 \sigma=\omega_0(T-1)/(2Q)=0，输出停在初始噪声的幅度上，长不到可用幅度。实际电路还有损耗和公差，T=1 往往变成 T<1，直接不起振。工程上取 A=3.02\sim3.10，让 T_0-1=0.7\%\sim3.3\%，再用非线性限幅把稳态压回 T=1。
文氏桥 f0=1 kHz、过增益 1%，从 100 µV 长到 1.38 V 需要多久？过增益 0.1% 呢？
文氏桥的 Q=1/3，时间常数
\tau=\frac{1}{3\pi f_0(T_0-1)}过增益 1%：
\tau=\frac{1}{3\pi\times1000\times0.01}=\frac{1}{94.25}=10.6\ \text{ms}t_{start}=10.6\ \text{ms}\times\ln\frac{1.38}{10^{-4}}=10.6\ \text{ms}\times9.53=101\ \text{ms}过增益 0.1%：
\tau=\frac{1}{3\pi\times1000\times0.001}=106\ \text{ms},\qquad t_{start}=106\ \text{ms}\times9.53=1.01\ \text{s}过增益小 10 倍，起振时间也长 10 倍。 这就是"刚好大于 1"在工程上不可靠的原因：温度、容差、老化任何一项把过增益吃掉，起振时间就从几十毫秒变成几秒，甚至停振。
设计一个 1 kHz 文氏桥：C=10 nF、R 取 E96、稳态增益 3、起振过增益 3.33%。求 R、Ra、Rb 和实际频率。
R=\frac{1}{2\pi\times1000\times10\times10^{-9}}=15.915\ \text{k}\OmegaE96 取 15.8\ \text{k}\Omega：
f_0'=\frac{1}{2\pi\times15.8\times10^3\times10\times10^{-9}}=1007.3\ \text{Hz}稳态 R_b=2R_a；取 R_a=10.0\ \text{k}\Omega，则稳态 R_b=20.0\ \text{k}\Omega。起振过增益 3.33% 对应 A=3.10：
R_b=(A-1)R_a=2.10\times10.0\ \text{k}\Omega=21.0\ \text{k}\Omega验算：A=1+21.0/10.0=3.10，T_0=3.10/3=1.0333，过增益 3.33%。稳幅后有效增益回到 3，输出幅度由限幅元件决定。
同样的 0.1° 相位误差，文氏桥（Q=1/3）、LC（Q=100）、晶体（Q=10⁵）各偏多少 ppm？
0.1^{\circ}=1.745\times10^{-3}\ \text{rad}，\Delta f/f_0=\Delta\varphi/(2Q)：
\text{文氏桥：}\frac{1.745\times10^{-3}}{2/3}=2620\ \text{ppm}\text{LC：}\frac{1.745\times10^{-3}}{200}=8.7\ \text{ppm}\text{晶体：}\frac{1.745\times10^{-3}}{2\times10^5}=0.0087\ \text{ppm}1 MHz 上分别偏 2.62\ \text{kHz}、8.7\ \text{Hz}、0.0087\ \text{Hz}。这就是 Q 的工程价值：它把同样的相位扰动压缩成不同的频率误差。
三级移相振荡器（R 串联、C 并联的低通梯）的 f0 和增益是多少？如果画的是 C 串联、R 并联的高通梯，公式有什么变化？
低通梯的准确传递函数是
H(x)=\frac{1}{x^3+5x^2+6x+1},\qquad x=sRC令分母虚部为零得 x=j\sqrt6，此时 H=-1/29，所以
f_0=\frac{\sqrt6}{2\pi RC},\qquad |A|=29高通梯的公式是
f_0=\frac{1}{2\pi RC\sqrt6},\qquad |A|=29两个版本只差一个 \sqrt6 因子，频率差 6 倍。公式必须和拓扑配对：把高通版的 1/(2\pi RC\sqrt6) 套到低通图上，算出来的频率会低 6 倍。
为什么 PTC 灯泡必须放在文氏桥的下臂 Ra，而不能放在上臂 Rb？
PTC 灯泡的电阻随温度升高而增大。放在下臂时，幅度↑ → 灯丝电流↑ → 温度↑ → R_a↑ → A=1+R_b/R_a↓，增益随幅度增大而减小，是负反馈式的稳幅。
放在上臂时，幅度↑ → 温度↑ → R_b↑ → A↑，增益随幅度增大而增大，符号反了；输出会一路增长到削顶，灯泡再热也压不住。NTC 热敏电阻的符号相反，所以它放在上臂；先看温度系数，再决定位置。
文氏桥的环路相位条件写成 0°（或 360°），而稳定性分析里负反馈的自激条件写成 −180°。这两者矛盾吗？
不矛盾，是两种记账方式。
负反馈分析里，\beta 取正值、求和点取"相减"，所以环路增益 T=A_{OL}\beta 在低频是正的；当 \angle T=-180^{\circ} 时，相减变成相加，负反馈变正反馈。振荡器分析里，我们直接把反馈网络接到同相端、求和点取"相加"，把反馈网络本身的相移算进 \beta；此时正反馈的条件就是 \angle T=0^{\circ}\ (\mathrm{mod}\ 360^{\circ})。
两种写法描述的是同一个物理条件：回到输入端的信号与输入同相，且环路增益模不小于 1。本书运放篇统一用后一种写法，判据是 |T|>1（起振）、|T|=1（稳态）、\angle T=0^{\circ}\ (\mathrm{mod}\ 360^{\circ})。
8. 参考资料
- TI, Op Amps for Everyone（SLOD006B），Chapter 15 Sine Wave Oscillators：文氏桥的 \beta=1/3、起振增益 3、灯泡稳幅与二极管限幅的工程做法；本章 §3.1、§3.2 的判据与该章一致。
- TI, SLOA060 Sine Wave Oscillators（Jim Karki）：文氏桥、移相、正交振荡器的推导与幅度稳定方法；本章 §3.1 的 \beta(s) 与 §3.5 的移相公式按该文口径。https://www.ti.com/lit/an/sloa060/sloa060.pdf
- Horowitz & Hill, The Art of Electronics（3rd ed.），Chapter 7 Oscillators and Timers：文氏桥的起振、灯泡/热敏电阻稳幅、晶体振荡与 ppm 量级；本章 §3.2 的稳幅方法与 §3.3 的 ppm 对比参考该书。
- Epson, Crystal Device Technical Handbook：石英晶体的 Q 值、AT 切温度特性、频率容差与老化；本章 §3.3 的晶体 ppm 预算按该手册的术语与量级。
- Sedra & Smith, Microelectronic Circuits（8th ed.），Signal Generators and Waveform-Shaping Circuits：巴克豪森判据、RC 相移振荡器与三点式；本章 §2.2、§3.5 的分类与该书一致。
- IEC 60122-1, Quartz crystal units：标称频率、负载电容与频率容差等级；本章 §3.3 的晶体容差项按该标准的术语。