二极管电路：整流、滤波、限幅、钳位 Diode Circuits
二极管（Diode）只让电流单向通过，是模拟电路里最基础的"单向阀门"。但真正决定一个二极管电路能不能用的，不是"单向导电"这四个字，而是四件事：电容什么时候充电、导通角有多大、峰值电流有多高、反向电压要留多少余量。这四件事分别对应整流、滤波、限幅、钳位的工程边界。
本章讲二极管的四类电路用法，而不是二极管器件本身。器件的 V_F、I_R、t_{rr}、Q_{rr}、热阻与浪涌定额见二极管：整流、快恢复、肖特基；本章只回答"把二极管接成什么拓扑、各点电压电流怎么算、什么条件下会算错"。这一篇的其余三章分别把整流后的电送进线性稳压与基准源，把功率级接到功率放大：甲类、乙类、甲乙类与推挽，把保护/限幅放进模拟信号与信号链概述的输入级。
本章的数字主线是电荷守恒：滤波电容在一个周期里放掉多少电荷，导通期间就必须补回多少电荷；导通角、峰值电流、纹波、变压器发热全部由这一条推出来。最后用一个 9V 变压器、桥式整流、1000µF 电容、7805 后级的完整算例，把"空载电压、满载纹波、导通角、峰值电流、输入够不够"一次算完。
1. 设计动机
场景一：9V/1A 变压器带 7805，0.5A 时输出出现 100Hz 纹波。 9V 有效值整流后峰值约 11.3V，1000µF 电容在 0.5A 下按精确式纹波约 2.83V，最低点 8.49V；市电跌 10% 时最低点只有 7.31V，低于 7805 的输入门限（5V 输出 + 约 2V dropout，即约 7V），稳压器在纹波谷点退出稳压。输出端的 100Hz 纹波会被 ADC 采到，读数随市电周期跳动。电容不是"越大越好"的装饰，它的取值直接决定稳压器还有没有余量。
场景二：12 位 3.3V ADC 的输入保护，钳位阈值算错 0.4V。 直接拿一只二极管把输入钳到地，导通阈值不是固定的 0.7V：100µA 时约 0.4V，10mA 时约 0.75V，温度每升 1°C 再降约 2mV。ADC 的绝对最大输入可能是 -0.3V：小电流时 0.4V 的钳位已经不够，大电流时 0.75V 更糟，温度再一变阈值继续移动——用一只"典型 0.7V"的二极管做保护，阈值误差本身就可能比要保护的余量还大。
场景三：10mV 的热电偶信号直接整流，输出为零。 二极管要 0.6V 才明显导通，10mV 信号连"膝盖"都够不到。精密整流把二极管放进运放反馈环，阈值误差被环路增益除掉：A_{OL}=10^5 时，0.7V 的 V_F 折算到输入端只有 7\,\mu\text{V}。同一只二极管，接法不同，阈值差 10 万倍。
场景四：倍压整流空载 24V，接上 1mA 负载掉到 21V。 倍压电路靠电容泵浦，输出阻抗高；纹波按 I/(fC_2) 算，1mA、10µF、50Hz 就是 2V，再加上 C1 上的跌落，带载能力比同样电容的桥式差一个量级。它适合高压小电流，不适合"顺手拿来升压"。
| 你想确认 | 先算 | 判据（工程经验值） |
|---|---|---|
| 滤波电容够不够 | 精确式求 V_{min} | V_{min}\ge V_{out}+V_{DO}+0.5\text{V} |
| 纹波多大 | 简单式给上界，精确式给实际值 | 上界合格则一定合格；要算导通角必须用精确式 |
| 二极管会不会过流 | I_p、I_{D,rms}、I_{FSM}、I^2t | 平均/有效值/浪涌三个口径都留 30% 以上 |
| 反向电压够不够 | 拓扑 PIV + 副边是否接地 | 按最坏情况留 2 倍余量 |
| 限幅阈值准不准 | V_{ref}+V_F(I,T) 或 V_{OS} | 阈值误差 < 目标精度的 1/10 |
| 限幅输出阻抗够不够 | r_d 或 (R_{out,OL}+r_d)/(1+T) | 钳位时输出跌落 < 1 LSB |
不算会摔在哪，四个带数字的代价：
- 用有效值当峰值选电容耐压。 9V 有效值对应 12.73V 峰值；市电 +10% 是 14.0V；小变压器空载电压还会再高 10%~15%，实测可到 15~16V。选 16V 电容只剩 0~1V 余量，选 10V 电容直接鼓包。耐压要按空载、最高市电、最高环境温度三者叠加后的峰值选。
- 用 I/(f_{ripple}C) 反推导通角。 这个式子是"放电占满半个周期"的上界；9V、0.3A、1000µF 时它给 3.0V，精确式只有 1.93V，高估 55%。用它算纹波是保守的，用它算导通角和峰值电流就会把导通角估大、把峰值电流估小。
- 桥式 PIV 按 2\sqrt2V_s 选，或者按 \sqrt2V_s 选却把副边一端接地。 副边浮空时两只截止管串联分担输出电压，单管 PIV 上限约 V_{pk}；副边一旦有一端接地（或示波器探头夹地），另一只管子要承受接近 2V_{pk}，余量瞬间减半。
- 限幅阈值按固定的 0.7V 算。 二极管 V_F 随电流每十倍约变 60mV，随温度约 -2mV/°C；一个"3.0V 钳位"在 100µA 和 10mA 之间能差 120mV，在 0~70°C 之间再差 140mV。对 12 位、3.3V 的 ADC（1 LSB=0.806mV），这是 300 多个码。
2. 定义与直观
2.1 四个词：各自保留什么、破坏什么
| 电路 | 一句话定义 | 输入 | 输出 | 保留 | 破坏 | 关键参数 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 整流 Rectifier | 把双向交流变成单向脉动 | 正弦交流 | 单向脉动 | 幅度包络 | 负半周（或另一半周） | PIV、I_{F(AV)}、I_{FSM} |
| 滤波 Filter | 用电容/电感把脉动抹平 | 脉动直流 | 带纹波的直流 | 平均分量 | 高频分量、导通角变窄 | C、ESR、纹波电流 |
| 限幅 Clipper | 把超出阈值的波形削掉 | 任意波形 | 被削顶的波形 | 阈值内的形状 | 超阈值部分的信息 | 阈值、r_d、输出阻抗 |
| 钳位 Clamper | 把某一个峰值钉在固定电平 | 交流+直流 | 平移后的交流 | 波形形状、峰峰值 | 直流分量 | 时间常数、二极管方向 |
四个词最容易混的是"限幅"和"钳位"：限幅切幅度，钳位移电平。限幅之后峰峰值变小，波形顶部变平；钳位之后峰峰值不变，整个波形上下平移。示波器上看到"顶部平了"是限幅，看到"波形整体抬高、负峰贴住 0V"是钳位。
2.2 整流拓扑：半波、中心抽头、桥式
三种拓扑的取舍先看一张表（V_s 为副边有效值，V_p=\sqrt2V_s 为副边峰值，V_F 为单只二极管正向压降）：
| 拓扑 | 二极管数 | 输出脉动频率 | 输出峰值（带载、有电容） | 单管 PIV | 副边利用率 | 典型场景 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 半波 Half-wave | 1 | f | V_p-V_F | 2V_p-V_F（有电容） | 低，有直流偏磁 | 小电流、低成本、高压 |
| 中心抽头全波 Center-tap | 2 | 2f | V_{p,h}-V_F（每半绕组） | 2V_{p,h}-V_F | 中，需中心抽头 | 双电源、低损耗 |
| 桥式 Bridge | 4 | 2f | V_p-2V_F | 约 V_p（副边浮空） | 高，无中心抽头 | 绝大多数工频电源 |
表中 V_p 是整个副边绕组的峰值；中心抽头一行的 V_{p,h} 是每个半绕组的峰值（V_{p,h}=V_p/2）。这样定义后，中心抽头的 PIV 写成 2V_{p,h} 才和经典公式一致。
桥式 PIV 为什么不是 2V_p？ 设副边两端为 A、B，输出正轨为 P、负轨为 N。正半周 D1（A→P）和 D4（N→B）导通，P 被钳在 A 减去一只 V_F，N 被钳在 B 加上一只 V_F；此时 D2（B→P）的阳极在 B、阴极在 P，D3（N→A）的阳极在 N、阴极在 A。两只截止管串联跨在 P、N 之间，它们的反向电压之和等于输出电压 V_{PN}，所以每只最多分到 V_{PN}\approx V_p-2V_F。副边是浮空的，这个"分压"由两只管子的漏电/结电容决定，单管不会超过输出电压。
但副边一旦有一端接地，这个保护就没了。 例如把 B 端接地，负半周 A 摆到 -V_p，而 P 仍被电容保持在 +V_p-2V_F，D1 的阳极在 -V_p、阴极在 +V_p-2V_F，反向电压接近 2V_p。这就是"桥式 PIV 约等于 V_p"这句话的适用条件：副边浮空、没有其他对地通路。示波器探头的地夹、变压器屏蔽层接地、并联的 Y 电容，都可能破坏这个条件。
中心抽头全波没有这个"分担"机制。 中心抽头通常接地，两只二极管分别接在上下两个半绕组上；V_{p,h} 是每个半绕组的峰值，截止那只的阳极在负峰值 (-V_{p,h})、阴极在正输出 (+V_{p,h}-V_F)，反向电压就是 2V_{p,h}-V_F。也就是说，要得到相同的输出直流电压，中心抽头的每只管子要承受约 2V_{p,h}，而桥式只要约 V_p；同样输出下中心抽头对耐压的要求更高。它仍然常见于低压大电流和双电源，是因为少一只导通管、效率高一点，而且中心抽头天然给出正负两路。
半波带电容的 PIV 也要按 2V_p 算。 电容把阴极钉在 +V_p-V_F，阳极在负半周摆到 -V_p，反向电压同样是 2V_p-V_F。不带电容时才是 V_p。
2.3 滤波与导通角：电容只在峰值附近充电
不加电容时，桥式输出是 100Hz 的"馒头波"，从 0 到 V_p-2V_F 来回摆。并上电容后，电容在输入峰值附近被快速充电，其余时间向负载放电，输出变成带锯齿的直流。
关键量有四个：
- 峰值 V_{pk}=V_p-2V_F：电容能充到的最高电压（忽略充电回路电阻）。
- 谷值 V_{min}：下一个充电脉冲到来前的最低电压；稳压器只看这个值。
- 纹波 V_r=V_{pk}-V_{min}：峰峰值。
- 导通半角 \theta_c：以输入峰值为 0^{\circ}，输入瞬时值高于电容电压的区间是 [-\theta_c,+\theta_c]；一个半周 180^{\circ} 里导通的电角度是 2\theta_c。
\theta_c 越小，导通越集中在峰值附近，电流脉冲越窄、峰值越高、有效值越大。变压器和电容的发热都按有效值算，所以"纹波小"不等于"电流小"：把电容加大，纹波下降，但导通角变窄，峰值电流和有效值可能反而更集中。
上图是 9V 有效值、1000µF、50Hz 桥式整流的纹波随负载电流变化：精确式解 3.1 节的方程，上界式是 I/(f_{ripple}C)。负载 1A 时上界式给出 10V，已经接近峰值 11.3V，明显失效；精确式只有 4.48V。
2.4 限幅与钳位：一个切幅度，一个移电平
限幅（Clipper）的两种基本接法：
- 并联限幅：信号经串联电阻 R_s 送到输出节点，二极管从该节点接到地或基准。输入超过阈值时二极管导通，把节点"按住"。钳位期间输出阻抗近似为 r_d\parallel R_s，其中 r_d 是二极管的动态电阻。
- 串联限幅：二极管串在信号路径里，输入超过阈值时二极管才导通；关断时输出被负载/偏置拉到另一条轨。它的"阈值"是二极管导通点，输出阻抗在关断时由负载决定（很高）。
钳位（Clamper）由一个电容和一只二极管组成：电容在二极管导通的那个峰值上充上电压，此后电容相当于一个"浮动电池"，把整个波形平移。以负峰钳位为例，稳态下
V_{out}=v_{in}+V_p-V_F其中 V_p 是输入峰值（V），V_F 是二极管压降（V）。输出负峰被钉在 0V 附近，正峰到 2V_p-V_F。钳位不改变峰峰值，只改变直流分量；这是它与限幅最本质的区别。
钳位的两个工程条件：电容时间常数 R_LC\gg T（否则每个周期都明显跌落），二极管方向与想钳的峰值对应（接反就钳了另一个峰）。带负载 R_L 时，每个周期的跌落近似
\Delta V_{d}\approx\frac{V_{out}}{R_LCf}其中 f 是信号频率（Hz）。R_L=1\text{M}\Omega、C=0.1\,\mu\text{F}、f=1\text{kHz} 时，\Delta V= V_{out}/(10^6\times10^{-7}\times10^3)=V_{out}/100，即 1% 的跌落。
2.5 类比：水箱、单向阀与溢流口
整流像一只只允许水往一个方向流的单向阀：交流是来回晃的水，阀把回程倒掉，只留下单向的脉冲。
滤波电容像屋顶上的水箱：进水只在压力最高的那一小段时间发生，出水却一直连续。水箱越大，水位越平；但进水的那段时间越短，进水管里的瞬时流量越大——这就是"纹波小、峰值电流大"的由来。
限幅像水箱的溢流口：水位超过溢流口就流走，低于它则原样保留。溢流口的"边缘"不是一条锋利的线，而是一条有坡度的堰（二极管的指数特性），所以限幅阈值会随流量和温度移动。
钳位像把整个水箱抬高一个固定高度：水位波形不变，只是整体上移。抬高的高度由那只"单向阀"充进去的水量决定。
类比的边界：水没有反向恢复、没有结电容、不会因为温度升高而"漏得更厉害"；二极管在高频下还有电荷存储和结电容，这些是水箱给不出的。
3. 定量关系
3.1 从电荷守恒推出精确纹波
设输入整流后的电压为 v_s(\theta)=V_{s,pk}\cos\theta，以峰值为 \theta=0；电容在 |\theta|\le\theta_c 时被充电，在 \theta_c<\theta<\pi-\theta_c 时向负载放电。负载电流 I_L 近似恒定，则放电期间电容丢掉的电荷是
Q_{dis}=I_L\frac{\pi-2\theta_c}{\omega},\qquad \omega=2\pi f其中 Q_{dis} 单位 C；I_L 单位 A；\theta_c 单位 rad；\omega 是角频率（rad/s）；f 是交流频率（Hz）。这部分电荷必须在导通期间补回来，所以电容电压的跌落（即纹波）为
V_r=\frac{Q_{dis}}{C}=\frac{I_L(\pi-2\theta_c)}{2\pi fC}另一方面，从峰值到导通起点，输入电压的跌落是
V_r=V_{s,pk}(1-\cos\theta_c)两式相等，得到决定导通角的方程：
V_{s,pk}\left(1-\cos\theta_c\right)=\frac{I_L\left(\pi-2\theta_c\right)}{2\pi fC}符号与单位：V_{s,pk} 是副边峰值电压（V）；I_L 是负载直流电流（A）；f 是交流频率（Hz，市电 50Hz）；C 是滤波电容（F）；\theta_c 是导通半角（rad）。这是一个超越方程，解析解要用数值迭代；工程上先猜 \theta_c，代入两边比较，两三次就能收敛。
知道 \theta_c 后：
V_{min}=V_{s,pk}\cos\theta_c-2V_F,\qquad V_{pk}=V_{s,pk}-2V_F,\qquad V_r=V_{pk}-V_{min}注意 V_r 也可以用 V_{s,pk}(1-\cos\theta_c) 算，两种算法在忽略二极管压降随电流变化时等价。
简单上界式：如果纹波远小于峰值（\theta_c 很小），放电区间近似为整个半周 \pi/\omega=1/(2f)，于是
V_r\approx\frac{I_L}{2fC}=\frac{I_L}{f_{ripple}C}其中 f_{ripple}=2f 是全波整流后的纹波频率（Hz，市电 50Hz 时 100Hz）。这个式子的适用条件是纹波小、导通角窄；它给出的是上界，纹波越大越保守。9V、0.3A、1000µF 时它给 3.0V，精确式给 1.93V；9V、0.5A 时给 5.0V，精确式给 2.83V。用它做"最低电压够不够"的初判是安全的，用它反推导通角就会错。
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把精确式的右边写成 I_L\pi/(2\pi fC)\times(1-2\theta_c/\pi)=V_{r,simple}\times(1-2\theta_c/\pi)。导通角越大，(1-2\theta_c/\pi) 越小，实际纹波越小于上界。物理上，导通角大意味着电容在半个周期里被充电的时间更长、放电的时间更短，纹波自然更小。上界式假设"放电占满半个周期"，等价于 \theta_c=0，所以永远不小于实际值。当纹波大到接近 V_{s,pk} 时，上界式会给出超过峰值的荒谬结果（9V、1A、1000µF 给 10V > 11.3V），这时必须用精确式。
3.2 导通角、峰值电流与有效值
把导通期间的电流近似为余弦段 i(\theta)=I_p\cos\theta（|\theta|\le\theta_c），由"一个周期内送到负载的平均电流等于 I_L"可得
I_p=\frac{\pi I_L}{2\sin\theta_c}其中 I_p 是重复峰值电流（A）；I_L 是负载直流电流（A）；\theta_c 单位 rad。副边电流的有效值是
I_{s,rms}=I_p\sqrt{\frac{\theta_c+\sin\theta_c\cos\theta_c}{\pi}}每只桥式二极管只在半个周期导通，所以
I_{D,avg}=\frac{I_L}{2},\qquad I_{D,rms}=\frac{I_{s,rms}}{\sqrt2}电容纹波电流由 KCL 得到：
I_{C,rms}=\sqrt{I_{s,rms}^2-I_L^2}符号与单位：I_p、I_{s,rms}、I_{D,avg}、I_{D,rms}、I_{C,rms} 均为 A。发热按有效值算，正向损耗按平均值算，浪涌按 I^2t 算——三个口径不能混。
以 9V、0.3A、1000µF 为例：\theta_c=32.0^{\circ}=0.558\text{ rad}，I_p=\pi\times0.3/(2\sin32.0^{\circ})=0.889\text{A}，I_{s,rms}=0.889\times\sqrt{(0.558+0.530\times0.848)/\pi}=0.504\text{A}，I_{D,avg}=0.15\text{A}，I_{D,rms}=0.356\text{A}，I_{C,rms}=\sqrt{0.504^2-0.3^2}=0.405\text{A}。峰值是平均值的 5.9 倍——这就是"电容滤波整流的电流波形很尖"的定量含义。
3.3 反向电压：按拓扑和接地方式分别算
| 拓扑 | 单管 PIV（有电容） | 说明 |
|---|---|---|
| 半波 | 2V_p-V_F | 电容把阴极钉在峰值，阳极摆到负峰 |
| 中心抽头全波 | 2V_{p,h}-V_F | 中心抽头接地，截止管承受整个半绕组的两倍 |
| 桥式，副边浮空 | 约 V_p-2V_F | 两只截止管串联分担输出直流电压 |
| 桥式，副边一端接地 | 约 2V_p-2V_F | 分担机制被破坏，按最坏情况选 |
工程上取"计算值 × 2"做余量：9V 副边、桥式浮空，V_p=12.73\text{V}，PIV 约 11.3V，选 50V 桥堆即可；如果副边一端接地，PIV 约 24.1V，仍可选 50V，但不能选 25V 档。若中心抽头全绕组是 9V（V_{p,h}=6.36\text{V}），PIV 约 12.0V；但要输出与桥式 9V 相同（约 11.3V）的电压，半绕组也要接近 9V 有效值（全绕组 18V），PIV 约 24.7V，要选 50V 档。比较中心抽头和桥式的耐压时，必须先统一"输出直流电压相同"这个基准，不能拿两个不同的副边电压直接比。
3.4 限幅阈值与输出阻抗
直接二极管限幅（并联到地/基准）的阈值是
V_{th}=V_{ref}+V_F(I_D)其中 V_{ref} 是基准电压（V，接地时为 0）；V_F 是二极管在当前电流下的正向压降（V）。V_F 的两个敏感方向：
- 电流：室温下每十倍电流约变 nV_T\ln10\approx60\text{mV}（n\approx1）；100µA 到 10mA 差两个十倍程，约 120mV。
- 温度：约 -2\text{mV}/^{\circ}\text{C}；0~70°C 差 140mV。
钳位期间从输出节点看进去的小信号阻抗是
Z_{out}=r_d\parallel R_s\approx r_d,\qquad r_d=\frac{nV_T}{I_D}其中 r_d 是二极管动态电阻（\Omega）；V_T=kT/q\approx25.85\text{mV}（300K）；I_D 是钳位电流（A）。I_D=1\text{mA} 时 r_d\approx26\Omega；10mA 时 2.6Ω；100µA 时 260Ω。限幅越"硬"，钳位电流越大、r_d 越小；想让输出阻抗低，就要让二极管多导通，代价是功耗和源电流。
精密限幅（二极管在运放反馈环内）把二极管放进环路，让运放的高增益去吸收 V_F 和 r_d；虚短与环路增益的前提见理想模型五假设与虚短、虚断，环路稳定性/补偿见稳定性：伯德图、相位裕度与补偿。效果是：
- 阈值误差从 V_F 降到 V_{OS}+V_{ref}/A_{OL} 量级。V_{OS}=1\text{mV}、A_{OL}=10^5、V_{ref}=3\text{V} 时，误差约 1.03\text{mV}，而不是 600mV。
- 输出阻抗从 r_d 降到 (R_{out,OL}+r_d)/(1+T)。R_{out,OL}=100\Omega、r_d=26\Omega、T=10^5 时约 1.26\text{m}\Omega。
- 代价：运放必须能吸收故障电流；一旦输出电流超过运放的灌电流能力，环路断开，钳位退回"被动二极管"的 r_d；而且环路带宽/压摆率有限，纳秒级尖峰来不及响应。
| 方案 | 阈值误差 | 温度漂移 | 钳位输出阻抗 | 响应速度 | 适用 |
|---|---|---|---|---|---|
| 二极管直接并联 | V_F（0.4~0.8V） | -2\text{mV}/^{\circ}\text{C} | r_d（2.6~260Ω） | ns 级 | ESD/浪涌/粗保护 |
| 二极管+基准 | V_{ref}+V_F | 基准漂移 + V_F 漂移 | r_d | ns 级 | ADC 输入粗保护 |
| 运放反馈精密限幅 | V_{OS}+V_{ref}/A_{OL}（mV 级） | V_{OS} 漂移（µV/°C 级） | (R_{out,OL}+r_d)/(1+T)（mΩ 级） | 受 GBW/SR 限制 | 精密测量、ADC 前级 |
3.5 倍压整流
半波倍压（Villard 级联）由两只二极管和两只电容组成。设输入峰值 V_p，稳态空载输出
V_{out,NL}\approx2V_p-2V_F带载后，C2 每个周期只被充电一次，纹波频率是 f 而不是 2f：
V_{r}\approx\frac{I_L}{fC_2}C1 在每次泵浦中也要失去一份电荷，所以带载跌落比纹波更大，近似
V_{drop}\approx\frac{I_L}{fC_1}+\frac{I_L}{2fC_2}其中 I_L 是负载电流（A）；f 是交流频率（Hz）。C_1=C_2=C 时，V_{drop}\approx1.5I_L/(fC)，是同样电容桥式纹波 I_L/(2fC) 的 3 倍。倍压电路的输出阻抗天生高，只适合 µA~mA 级高压负载。
以 9V 有效值、C_1=C_2=10\,\mu\text{F}、f=50\text{Hz} 为例：V_{out,NL}=2\times12.73-1.4=24.1\text{V}；1mA 负载时 V_r=1\times10^{-3}/(50\times10\times10^{-6})=2.0\text{V}，V_{drop}=1.5\times1\times10^{-3}/(50\times10\times10^{-6})=3.0\text{V}，输出平均约 21V；10mA 时纹波 20V、跌落 30V，输出已经塌到 1V 以下。倍压不是"免费升压"，是用带载能力换电压。
3.6 适用条件与失效边界
- 恒流负载假设：上面的纹波/导通角公式假设负载电流在一个周期内恒定。负载是继电器、电机、灯丝时，电流随电压变，要按最坏电流迭代。
- 理想电容假设：忽略 ESR。ESR 会在纹波上叠加 I_{C,rms}\times ESR 的阶梯，并在大电流下发热；电解电容的 ESR 随温度和频率变。
- 忽略源阻抗：变压器绕组电阻、二极管动态电阻会限制峰值电流，使实际 I_p 低于余弦模型；但也会让充电变慢、V_{min} 更低。小变压器（9V/1A 级）绕组电阻可达几欧，不能忽略。
- 二极管压降随电流变：V_F 不是常数；大电流下用分段线性模型 V_F=V_0+R_sI 更准，见二极管：整流、快恢复、肖特基。
- PIV 的分担依赖副边浮空：任何对地通路都会改变分压，最坏情况按 2V_p 选。
- 频率：50/60Hz 工频电路用本文公式；开关频率（几十 kHz 以上）要加二极管反向恢复、电容 ESL、布局寄生，见二极管：整流、快恢复、肖特基的高频部分。
4. 典型计算
4.1 算例一：9V/1A 变压器 + 桥式 + 1000µF 给 7805 供电
需求与假设：
| 项目 | 数值/假设 |
|---|---|
| 变压器 | 9V 有效值，50Hz，额定 1A |
| 整流 | 桥式，每只二极管 V_F=0.7\text{V}（中等电流，示例值） |
| 滤波电容 | C=1000\,\mu\text{F}，ESR 忽略 |
| 后级 | 7805，输出 5V/0.3A |
| 7805 输入门限 | 5\text{V}+2\text{V}（dropout 典型值，以数据手册为准），工程上按 7.5V 留 0.5V 余量 |
| 市电 | 220V ±10% |
第 1 步：峰值与空载电压。
V_{s,pk}=\sqrt2\times9=12.73\text{V}V_{pk}=V_{s,pk}-2V_F=12.73-1.4=11.33\text{V}空载时电容充到 V_{pk}，理想值 11.33V。实际小变压器空载电压比额定高 10%~20%，且空载时二极管压降只有 0.5V 左右，所以实测空载可能在 13~16V。这就是电容耐压要选 25V、不能选 16V 的原因。
第 2 步：简单上界式。
V_{r,simple}=\frac{I_L}{f_{ripple}C}=\frac{0.3}{100\times1000\times10^{-6}}=3.00\text{V}最低电压上界 11.33-3.00=8.33\text{V}。这个值偏保守，但先用来判断"大概够不够"。
第 3 步：精确式求导通角与纹波。 代入
12.73\left(1-\cos\theta_c\right)=\frac{0.3\left(\pi-2\theta_c\right)}{2\pi\times50\times1000\times10^{-6}}右边系数 0.3/(2\pi\times50\times10^{-3})=0.3/0.31416=0.9549\text{V/rad}，方程变为
12.73(1-\cos\theta_c)=0.9549(\pi-2\theta_c)数值解得 \theta_c=0.558\text{ rad}=32.0^{\circ}。于是
V_r=12.73(1-\cos32.0^{\circ})=12.73(1-0.8480)=1.93\text{V}V_{min}=12.73\cos32.0^{\circ}-1.4=10.80-1.4=9.40\text{V}精确纹波 1.93V，比上界 3.00V 低 36%；最低点 9.40V，不是 8.33V。上界式安全，但会多买电容、少算余量。
第 4 步：导通角、峰值电流、有效值。
\theta_c=32.0^{\circ},\qquad \sin\theta_c=0.530,\qquad \cos\theta_c=0.848I_p=\frac{\pi\times0.3}{2\times0.530}=0.889\text{A}I_{s,rms}=0.889\times\sqrt{\frac{0.558+0.530\times0.848}{\pi}}=0.889\times\sqrt{0.3207}=0.504\text{A}I_{D,avg}=0.15\text{A},\qquad I_{D,rms}=0.356\text{A},\qquad I_{C,rms}=\sqrt{0.504^2-0.3^2}=0.405\text{A}峰值 0.889A 是平均每管 0.15A 的 5.9 倍；选 1N4007（1A 平均、30A 浪涌）足够，但变压器副边有效值 0.504A 要按 VA 选：9\times0.504=4.54\text{VA}，不是 1.5W 直流功率。
第 5 步：7805 的输入够不够。 把市电和电容容差一起扫：
| 工况 | V_{s,pk}（V） | \theta_c | 纹波（V） | V_{min}（V） | 判定（≥7.5V） |
|---|---|---|---|---|---|
| 标称，0.3A，1000µF | 12.73 | 32.0° | 1.93 | 9.40 | 通过，余量 1.90V |
| 市电 -10%，0.3A | 11.46 | 33.4° | 1.89 | 8.17 | 通过，余量 0.67V |
| 市电 -10%，C -20%（800µF） | 11.46 | 36.4° | 2.23 | 7.82 | 勉强通过，余量 0.32V |
| 市电 -10%，0.5A | 11.46 | 40.5° | 2.75 | 7.31 | 不通过，谷点掉出稳压 |
| 标称，1.0A | 12.73 | 49.6° | 4.48 | 6.84 | 不通过，连标称市电都不够 |
结论：9V/1A 变压器 + 1000µF 只能稳定带 0.3A 左右的 7805 负载；0.5A 在市电 -10% 时谷点 7.31V，低于 7.5V 门限，输出会出现 100Hz 纹波；1A 更不够。 要把 0.5A 做稳，至少把电容加到 2200µF（精确纹波约 1.55V，最低点 9.78V），或换 12V 变压器（代价是 7805 发热更大）。
第 6 步：7805 的功耗与散热。 输入平均电压 V_{in,avg}=V_{pk}-V_r/2。最坏功耗出现在市电 +10%、负载仍 0.3A 时：
V_{in,avg}=12.73\times1.1-1.4-\frac{1.97}{2}=12.60-0.985=11.62\text{V}P_d=(11.62-5)\times0.3=1.99\text{W}TO-220 不加散热片时 R_{\theta ja}\approx65^{\circ}\text{C/W}（典型量级，以数据手册为准），环境 40°C：
T_j=40+1.99\times65=169^{\circ}\text{C}>125^{\circ}\text{C}必须加散热片。按 T_{j,max}=125^{\circ}\text{C}、R_{\theta jc}=5^{\circ}\text{C/W}、R_{\theta cs}=1^{\circ}\text{C/W}：
R_{\theta sa}\le\frac{125-40}{1.99}-5-1=36.7^{\circ}\text{C/W}选 20°C/W 的铝片，T_j=40+1.99\times(5+1+20)=91.7^{\circ}\text{C}，可用。
第 7 步：结论与改进。 0.3A 工况下输入够用（最坏余量 0.32V），但余量偏薄：电容 -20%、市电 -10% 同时出现时只剩 0.32V。建议 1000µF 改 2200µF/25V，或把负载限制在 0.3A 并保证市电不低于 -10%。7805 的 1.99W 必须配 ≥20°C/W 的散热片。若负载要到 0.5A，换 12V/1A 变压器 + 2200µF：此时输入平均约 14.75V，7805 功耗 (14.75-5)\times0.5=4.88\text{W}，散热片要按这个值重选，不能沿用 0.3A 的设计。
4.2 算例二：12 位 ADC 输入保护——直接限幅 vs 精密限幅
需求：3.3V、12 位 ADC，输入绝对最大范围 -0.3~3.6V；传感器信号经 1kΩ 串联电阻进来，可能叠 ±24V、1ms 的浪涌；正常信号 0~3.0V。要求保护后 ADC 引脚不超过 3.6V，且正常信号不被明显削顶。
方案 A：两只二极管分别钳到 0V 和 3.3V 轨。 上管在输入超过 3.3+V_F 时导通，下管在低于 -V_F 时导通。V_F 在 10mA 时约 0.75V，所以上限到 4.05V，已经超过 3.6V 绝对最大值；下限 -0.75V，也超过 -0.3V。直接钳到电源轨不够，必须钳到更低的基准（如 3.0V）并选低 V_F 的肖特基（0.3~0.4V），或者用精密限幅。
方案 B：二极管 + 3.0V 基准。 阈值 3.0+V_F：100µA 时约 3.4V，10mA 时约 3.7V；温度 0~70°C 再漂 140mV。输出阻抗在 1mA 时约 26Ω，浪涌 10mA 时约 2.6Ω。阈值在 3.4~3.7V 之间，对 3.6V 上限只剩 0.2V 余量，10mA 时已经超过绝对最大值，且随温度/电流变。
方案 C：运放反馈精密限幅。 运放把钳位节点稳在 V_{ref}=3.0\text{V}，二极管在反馈环内。阈值误差
V_{err}=V_{OS}+\frac{V_{ref}}{A_{OL}}=1\text{mV}+\frac{3.0}{10^5}=1.03\text{mV}温度漂移由 V_{OS} 决定，典型 5\,\mu\text{V}/^{\circ}\text{C}，比二极管的 -2\text{mV}/^{\circ}\text{C} 小 400 倍。输出阻抗
Z_{out}=\frac{R_{out,OL}+r_d}{1+T}=\frac{100+26}{10^5}=1.26\text{m}\Omega但运放要吸收浪涌电流：24V 经 1kΩ 限流是 21mA，超过很多通用运放的灌电流能力（20mA 级）。把串联电阻改成 2kΩ，浪涌 10.5mA，运放能吸收；代价是正常信号的建立时间变长（2kΩ 与 ADC 采样电容 10pF 的 \tau=20\text{ns}，仍远小于 1µs 采样时间）。
方案 C 的边界：运放环路带宽有限，纳秒级 ESD 尖峰还没等运放反应就过去了；所以精密限幅前面仍要保留 TVS/肖特基做"粗保护"，精密环只负责把稳态/毫秒级过压钳准。两级保护：TVS 吸收能量，精密限幅定阈值。
4.3 算例三：倍压整流的带载能力
需求：9V 有效值、50Hz，用二倍压产生约 20V 高压，负载 1mA。取 C_1=C_2=10\,\mu\text{F}，V_F=0.7\text{V}。
第 1 步：空载输出。
V_{out,NL}=2\times12.73-2\times0.7=24.06\text{V}第 2 步：纹波与跌落。
V_r=\frac{1\times10^{-3}}{50\times10\times10^{-6}}=2.0\text{V}V_{drop}=\frac{1\times10^{-3}}{50\times10\times10^{-6}}+\frac{1\times10^{-3}}{2\times50\times10\times10^{-6}}=2.0+1.0=3.0\text{V}输出平均约 24.06-3.0=21.1\text{V}，纹波 2V。第 3 步：如果负载加到 5mA，纹波 10V、跌落 15V，输出平均只剩约 9V，而且 10V 的纹波已经大于平均值——电路基本失去稳压能力。结论：10µF 级倍压只适合 1mA 以下；要带 5mA，电容要按比例加到 50~100µF，体积和耐压成本迅速上升。
5. 工程含义
5.1 数量级表
| 量 | 9V/1A 变压器 + 1000µF 的例子 | 工程含义 |
|---|---|---|
| 副边峰值 | 12.73V | 选电容耐压的起点 |
| 空载直流 | 11.3V（理想）/13~16V（实际） | 耐压按实际空载选 |
| 0.3A 纹波 | 1.93V（精确）/3.0V（上界） | 上界比精确值高 55% |
| 0.3A 导通角 | 半角 32°（导通区间 64°，占半周 36%） | 电流脉冲很窄 |
| 0.3A 峰值电流 | 0.889A | 平均每管 0.15A 的 5.9 倍 |
| 副边有效值 | 0.504A | 变压器按 VA 选，不是按 W |
| 桥式 PIV | 约 11.3V（浮空）/24.1V（一端接地） | 副边接地方式决定耐压 |
| 7805 最坏功耗 | 1.99W | 必须配 ≥20°C/W 散热片 |
| 直接限幅 r_d | 26Ω@1mA、2.6Ω@10mA | 钳位"硬度"随电流变 |
| 精密限幅输出阻抗 | 1.26mΩ（T=10^5） | 但受运放灌电流/带宽限制 |
这些是示例量级，具体数值随变压器、二极管、电容型号变化；选型时必须回到具体数据手册。
5.2 选型顺序
- 定负载：最大/最小电流、允许纹波、后级最低输入电压（含 dropout 和余量）。
- 定拓扑：按 PIV、副边是否允许中心抽头、是否需要共地选择半波/中心抽头/桥式。
- 算电容：先用上界式 C\ge I_L/(f_{ripple}V_{r,max}) 初选，再用精确式核 V_{min}；同时核纹波电流 I_{C,rms} 和耐压（空载峰值 × 1.3~1.5）。
- 算二极管：I_{D,avg}、I_{D,rms}、I_p、PIV、I_{FSM}/ I^2t；四个口径都留 30% 以上。
- 算热：二极管和稳压器的 P\times R_{\theta}，按最高环境温度。
- 算保护/限幅：阈值、r_d、温度漂移、运放灌电流、TVS 能量。
- 验算：市电 ±10%、电容 -20%、温度上限三种最坏情况组合。
5.3 布局、测量与保护
- 整流回路面积小：输入、桥、电容、负载围成的环路越大，寄生电感越大，二极管关断振铃和 EMI 越严重。工频电路问题不大，但浪涌路径要短。
- 星形接地：滤波电容的负端、负载地、稳压器地分开走，最后在电容负端单点汇合；否则纹波电流会在地线上产生压降，串进模拟部分。
- 测纹波要短地线：示波器探头的地夹要拔掉，用弹簧地环就近接地；否则环路拾取的开关噪声比纹波本身还大。用 AC 耦合、20MHz 带宽限制。
- 万用表测纹波不可靠：普通 DMM 是平均响应，测的是平均值而不是峰峰值；要测 V_{min} 用示波器的 min 值或峰值检测。
- 上电浪涌：大电容上电瞬间相当于短路，整流管和保险丝要按 I^2t 核对；必要时串 NTC 或继电器限流。
- 电容耐压与温度：电解电容的实际耐压和寿命随温度下降，按最高环境温度降额；纹波电流按数据手册的频率/温度修正。
5.4 同一只二极管的另外两种用法：防反接与电源 ORing
防反接：二极管串在电源正极，正确接法时 V_{out}=V_{in}-V_F；接反时截止。5V/2A 负载串肖特基（V_F=0.4\text{V}）损耗 0.4\times2=0.8\text{W}，输出只剩 4.6V；串硅管 0.7V 损耗 1.4W。低压大电流场合，这个压降往往比器件成本更贵，应改用 P-MOS 理想二极管（R_{DS(on)} 上的压降毫伏级）。
电源 ORing：两路电源各串一只二极管，阴极共接，输出自动取较高者：
V_{out}=\max(V_1,V_2)-V_F电压低的那路二极管反偏，不向它倒灌。肖特基的 V_F 低，但高温漏电大；大电流/电池无缝切换用理想二极管 ORing 控制器。注意两路必须各串一只独立二极管，方向核对；否则低压路会被反充。
6. 常见坑
- 现象：滤波电容用 16V 档，9V 变压器空载时鼓包/漏液。原因：按 9V 有效值选耐压，忽略了峰值 12.73V、市电 +10% 的 14.0V、小变压器空载再高 10%~20%，实际可到 15~16V。解决：耐压按"空载峰值 × 1.3~1.5"选，9V 副边选 25V；上电用示波器实测空载电压再定。
- 现象：空载测到 15V，以为稳压器坏了；带载后跌回 10V 又以为正常。原因：电容滤波整流的空载电压就是峰值，带载后按纹波下降；这不是故障，是拓扑特性。解决：按"空载峰值、满载谷值"两个工况分别验收；稳压器的输入门限只看满载谷值。
- 现象：桥式整流用 25V 管，批量炸管；换 50V 就好了。原因：副边一端接地（或探头地夹、屏蔽层接地），PIV 从约 V_p 升到约 2V_p，25V 档余量不够。解决：查清副边对地通路；按 2V_p 选 PIV，或保证副边浮空并留 2 倍余量。
- 现象：ADC 输入保护二极管"有时保护、有时不保护"，小信号时输出被削掉一截。原因：二极管阈值随电流/温度变，100µA 时只有 0.4V，10mA 时 0.75V；小信号时它已经在"软导通"，大电流时又钳不住。解决：按实际钳位电流和温度算 V_{th}=V_{ref}+V_F(I,T)；精密场合用运放反馈限幅，TVS 只做能量吸收。
- 现象：大电容上电，保险丝/整流管偶尔烧。原因：上电瞬间电容相当于短路，浪涌电流受变压器绕组电阻和二极管动态电阻限制，I^2t 可能超过管子定额。解决：按 I^2t 核对浪涌（不是只看 I_{FSM}）；串 NTC、继电器或电子限流。
- 现象：示波器测纹波，读数比实际大很多，或随探头位置变。原因：探头地线环路拾取开关噪声/工频，普通 DMM 又是平均响应。解决：用弹簧地环就近接地、AC 耦合、20MHz 带宽限制；测 V_{min} 用示波器 min 值。
7. 自测题
9V 有效值、桥式整流、每只二极管 0.7V，空载电容电压约多少？如果市电 +10%、变压器空载再高 15%，实际可能到多少？电容耐压选多少？
理想空载：
V_{pk}=9\sqrt2-2\times0.7=12.73-1.4=11.33\text{V}市电 +10% 且变压器空载 +15%：
V_{pk}=9\times1.10\times1.15\times\sqrt2-2\times0.7=16.10-1.4=14.70\text{V}空载时二极管电流很小，V_F 只有 0.5V 左右，实际可到约 15.1V。所以耐压至少选 25V；16V 档在 15V 上只剩 1V 余量，温度一高就危险。
9V、0.3A、1000µF、50Hz 桥式整流：用 I/(f_{ripple}C) 算纹波是多少？精确式是多少？为什么差这么多？
上界式：
V_r=\frac{0.3}{100\times1000\times10^{-6}}=3.00\text{V}精确式解方程 12.73(1-\cos\theta_c)=0.9549(\pi-2\theta_c)，得 \theta_c=32.0^{\circ}：
V_r=12.73(1-\cos32.0^{\circ})=1.93\text{V}差 36%，因为上界式假设电容放电占满半个周期（\theta_c=0），实际导通角 32°，放电只占 (180-64)/180=64\% 的半周。上界式用于初选是安全的，用于算导通角/峰值电流会错。
同上的 0.3A 工况，峰值电流、副边有效值、每只二极管平均/有效值、电容纹波电流各是多少？
\theta_c=0.558\text{ rad},\quad I_p=\frac{\pi\times0.3}{2\sin32.0^{\circ}}=0.889\text{A}I_{s,rms}=0.889\sqrt{\frac{0.558+0.530\times0.848}{\pi}}=0.504\text{A}I_{D,avg}=0.15\text{A},\quad I_{D,rms}=\frac{0.504}{\sqrt2}=0.356\text{A}I_{C,rms}=\sqrt{0.504^2-0.3^2}=0.405\text{A}峰值是每管平均值的 5.9 倍；变压器按 9\times0.504=4.54\text{VA} 选，不是按 1.5W 直流选。
桥式整流、副边浮空时单管 PIV 约多少？为什么把副边一端接地后 PIV 会翻倍？中心抽头为什么是 2V_p？
副边浮空时，两只截止管串联跨在输出正负轨之间，反向电压之和等于输出直流电压 V_{PN}\approx V_p-2V_F，所以单管不超过约 V_p（9V 时 12.7V）。
副边一端接地后，该端电位被钉在 0V；另一端的负峰值是 -V_p，而输出正轨被电容保持在 +V_p-2V_F，截止管两端接近 2V_p-2V_F（9V 时约 24V）。
中心抽头通常接地，两只二极管分别接上下半绕组；截止管的阳极在负峰值、阴极在正输出，承受整个绕组的 2V_p，没有"两管分担"的机制。
直接二极管限幅到 3.0V 基准，1mA 和 10mA 时阈值各多少？0~70°C 再漂多少？钳位输出阻抗各多少？
V_{th}=3.0+V_F(I)，V_F 取 1mA 时 0.65V、10mA 时 0.75V（示例量级，以数据手册为准）：
V_{th}(1\text{mA})=3.65\text{V},\qquad V_{th}(10\text{mA})=3.75\text{V}温度漂移 -2\text{mV}/^{\circ}\text{C}，0~70°C：
\Delta V=-2\times70=-140\text{mV}所以阈值在 3.51~3.75V 之间移动。输出阻抗：
r_d=\frac{nV_T}{I_D}:\quad 1\text{mA}\to26\Omega,\quad 10\text{mA}\to2.6\Omega对 12 位、3.3V ADC（1 LSB=0.806mV），140mV 是 174 个 LSB——直接限幅只能做粗保护。
精密限幅的阈值误差和输出阻抗为什么比直接限幅小？代价是什么？
二极管在运放反馈环内，运放输出会自动多走一个 V_F 来补偿二极管压降，所以阈值误差变成 V_{OS}+V_{ref}/A_{OL}（mV 级），而不是 V_F（几百 mV）。二极管的动态电阻也被环路增益除掉：
Z_{out}=\frac{R_{out,OL}+r_d}{1+T}100\Omega、26Ω、10^5 时约 1.26mΩ。代价：运放必须能吸收故障电流（超过灌电流能力环路就断）；环路带宽/压摆率有限，纳秒级 ESD 尖峰仍要靠 TVS/肖特基粗保护；运放本身有失调和噪声。
二倍压 9V 有效值、C_1=C_2=10\mu F、1mA 负载，空载输出、纹波、带载跌落各多少？为什么不适合 10mA？
空载：
V_{out,NL}=2\times12.73-1.4=24.06\text{V}纹波（C2 每周期充一次，频率 f）：
V_r=\frac{1\times10^{-3}}{50\times10\times10^{-6}}=2.0\text{V}带载跌落：
V_{drop}=\frac{1\times10^{-3}}{50\times10\times10^{-6}}+\frac{1\times10^{-3}}{2\times50\times10\times10^{-6}}=3.0\text{V}输出平均约 21V。10mA 时纹波 20V、跌落 30V，输出塌到 1V 以下；倍压的输出阻抗高，只适合 µA~mA 级高压负载。
8. 参考资料
- Sedra & Smith, Microelectronic Circuits（8th ed.）Diodes 一章：Rectifier Circuits 讲半波/全波/桥式整流、电容滤波与导通角；Limiting and Clamping Circuits 讲限幅、钳位与精密整流。本章 2.2、3.1、3.2 节的波形与电荷守恒推导按该章口径重写。
- Boylestad, Electronic Devices and Circuit Theory（11th ed.）Chapter 2 Diode Applications：整流拓扑、电容滤波、限幅与钳位的工程讲法；本章的 PIV 表与 2.4 节的钳位/限幅区分参考该章。
- Horowitz & Hill, The Art of Electronics（3rd ed.）§1.6 Some Typical Diode Circuits：整流、钳位、限幅、倍压与电源保护的成套电路；本章 3.4、3.5 节的工程边界与该书一致。
- Vishay, 1N4001–1N4007 数据手册：Maximum Ratings and Electrical Characteristics 表给出 V_F、I_{FSM}、t_{rr} 的测试条件；本章 4.1 节的二极管电流/浪涌核对按该表。https://www.vishay.com/docs/88503/1n4001.pdf
- Vishay, 1N4148 数据手册：小信号二极管的 V_F 与 C_d；本章 3.4 节限幅管动态电阻与结电容的量级参考该手册。https://www.vishay.com/docs/81857/1n4148.pdf
- TI, LM340/LM78xx 系列三端稳压器数据手册：Electrical Characteristics 表给出 Dropout Voltage、Output Voltage 与 Line/Load Regulation；本章 4.1 节的 7805 输入门限按该表（具体型号以数据手册为准）。
- TI, Op Amps for Everyone（SLOD006B）Chapter 11 Understanding Op Amp Parameters：V_{OS}、A_{OL} 的定义与测试条件；本章 3.4、4.2 节精密限幅的误差预算按该章。