第一篇 · 电路基础 / 直流电路基础

入门#KCL#KVL#基尔霍夫#节点电流#回路电压

基尔霍夫定律 KCL / KVL Kirchhoff's Laws

分压分流是"一眼能看出串并联"的简单情况。但真实电路会有多个电源、桥形网络、互相套着的回路——这时欧姆定律单独使不动了，需要两条更根本的守恒定律：基尔霍夫电流定律 KCL（Kirchhoff's Current Law）和基尔霍夫电压定律 KVL（Kirchhoff's Voltage Law）。它们是所有电路分析的地基，也是 SPICE 内部真正在解的东西。

两条定律本身只有一行公式，难点全在符号约定和怎么把受控源塞进方程。这一章把这两件事讲到能动手算为止。

1. 设计动机

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一个电桥电路（四个电阻搭成菱形），你没法直接说出哪个串哪个并。但只要列出"节点上电流进出相等"和"绕一圈电压和为零"两组方程，任何复杂电阻网络都能解出来。万用表排查时，"这个节点进来多少电流、出去多少"也是 KCL 的直觉。

具体一点，下面这些活都绕不开 KCL/KVL：

• 两路电源并在一起供电（电池 + 适配器、双电源冗余、PoE + 本地电源）。谁出多少电流、会不会倒灌，是 KCL 一句话的事，但算错就会烧稳压器。
• 电流采样。分流器（Shunt）上 10mΩ 流过 3A 产生 30mV，本质是 KVL：沿"分流器 + 走线 + 负载"绕一圈，电压升等于电压降。
• 压降预算。5V/3A 的负载，线多长、多粗、中间有几个连接器，还能不能保证负载端 ≥4.75V——这是 KVL 的应用题，不是"经验"。
• 看运放/晶体管的小信号模型。里面的受控源（VCVS、VCCS）怎么列方程，决定了你能不能自己推出闭环增益、输出电阻。
• 看懂仿真报错。SPICE 报 "singular matrix" 或 "no DC path to ground"，本质是 KCL 方程写不出来（有节点悬空、有回路只有电压源）。

不懂会在哪摔跤：

1. 把两个稳压器输出直接并起来，以为"电流自动均分"。实际上内阻小的那个承担几乎全部电流，另一个被倒灌——后面算例一会给出精确数字。
2. 认为"同一根导线处处等电位"，于是忽略地线电阻。实测某节点比仿真低 0.3V，查了三天，其实是 10mm 长的细走线。
3. 看到方程解出负电流就以为算错了，重算三遍还是负的。其实负号只是"实际方向与假设相反"。

2. 定义与直观：节点、支路、回路与参考方向

节点与支路

• 节点（Node）：两条及以上支路的公共连接点。用理想导线连起来的一整片导体算同一个节点——这一点在真实 PCB 上是个近似，后面 §5 会算它什么时候失效。
• 支路（Branch）：两个节点之间的一段电路。同一支路内电流处处相同；一条支路可以含多个串联元件（比如"电压源 + 内阻"算一条支路）。
• 回路（Loop）：由若干支路首尾相接构成的闭合路径。
• 网孔（Mesh）：内部不再包含其他支路的回路，只对平面电路（能画在平面上不交叉）有定义。平面电路里网孔数 = 独立 KVL 方程数。

一张图里的三样东西要能立刻指出来：节点（圆点）、支路（两圆点之间的线段）、回路（沿箭头走一圈能回到起点）。

三个电阻并联在电源上：上轨节点处总电流 I 分成 I₁/I₂/I₃（KCL）；沿任一回路电压升等于电压降（KVL）

参考方向与关联参考方向

电流的真实方向往往事先不知道，所以工程上的做法是：先任意假定一个参考方向（Reference Direction），用箭头画在图上，然后按这个方向列方程。算出来是正数，说明实际方向与箭头一致；是负数，说明相反。负号是信息，不是错误。

电压同理，用 "+/−" 标出参考极性。两者组合起来有一条关键约定：

约定	电流方向	功率公式	p>0 的含义
关联参考方向（Passive Sign Convention）	从电压 "+" 端流入	p=vi	元件吸收功率
非关联参考方向	从电压 "−" 端流入	p=-vi	元件吸收功率

工程上最省事的记法是：无源元件（电阻、电容、电感）按关联参考方向标，电源按非关联标，这样电阻算出来 p=vi>0 永远是发热，电源算出来 p=vi>0 永远是输出。符号一乱，功率守恒验算就对不上——这是新手最常见的"结果看着对、验算通不过"。

两条定律

KCL（基尔霍夫电流定律，节点电流守恒）：

\sum_{k} i_k = 0 \qquad\text{（对任一节点）}\qquad\Longleftrightarrow\qquad \sum I_{in}=\sum I_{out}

含义：流入任一节点的电流之和 = 流出该节点的电流之和。电荷不会在节点凭空产生或消失。

KVL（基尔霍夫电压定律，回路电压守恒）：

\sum_{k} v_k = 0 \qquad\text{（沿任一闭合回路绕行一周）}\qquad\Longleftrightarrow\qquad \sum V_{rise}=\sum V_{drop}

含义：沿任意闭合回路走一圈，所有电压升之和 = 所有电压降之和。

符号约定写清楚才好用：绕行方向上，电压降取正、电压升取负（或者反过来，但整道题必须一致）。本书统一用"沿绕行方向电压降为正"。

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• KCL = 水管三通：进来几股水流，出去几股水流，总量守恒，不可能凭空多出来。
• KVL = 绕山一圈：你从起点出发，上坡累计多少米、下坡累计多少米，回到起点时净高度变化为 0。

两条定律的物理来源值得说一句，因为它决定了适用边界：

• KCL 来自电荷守恒：节点上不能积累净电荷（集总假设下）。
• KVL 来自能量守恒（静电场是保守场）：绕一圈做功为零。

所以它们不是"电路的公理"，而是在集总假设下成立的推论。什么时候这个假设崩，§5 会用具体数字给出边界。

3. 定量关系：两条守恒式与受控源

把定律写成可解的方程

对含电阻的电路，把元件方程 v=iR（关联参考方向）代进 KVL，就得到可以直接解的形式。以单回路为例：

V_s - iR_1 - iR_2 = 0 \quad\Longrightarrow\quad i=\frac{V_s}{R_1+R_2}

这一步看着平淡，但它是所有后续方法的种子：KVL 给出方程，元件方程把未知量统一成电流（或电压），于是 n 个方程解 n 个未知量。

方程够不够：独立方程数

这是最容易被跳过、也最容易出错的一步：

• n 个节点的电路，独立 KCL 方程只有 n−1 个（因为所有节点的 KCL 加起来恒等于 0，少一个才独立）。选一个节点做参考地，它的电压已知为 0，方程自然省略。
• b 条支路、n 个节点的电路，独立 KVL 方程数 = b−(n−1)（平面电路里就等于网孔数）。
• 两者相加 (n-1)+[b-(n-1)] = b，正好等于支路数——这就是"未知量数 = 方程数"的保证。

拿本章算例一核对：2 个节点（A 与地）、3 条支路，所以独立 KCL 1 个、独立 KVL 2 个，合计 3 个方程，对应 3 条支路电流——数目对得上，方程才解得出来。

实际做题时更常见的错误不是"少列方程"，而是多列了不独立的方程（比如对四个节点都列 KCL），解出来是矛盾的或者求解器报奇异矩阵。

受控源怎么处理

受控源（Controlled Source，也叫 Dependent Source）的电压或电流不由自己决定，而由电路别处的电压或电流决定。四种类型：

类型	英文缩写	控制量	输出量	系数单位	典型器件
电压控制电压源	VCVS	某处电压	电压	V/V（无量纲增益）	运放的开环模型
电压控制电流源	VCCS	某处电压	电流	A/V = S（跨导）	MOSFET/BJT 的小信号模型
电流控制电流源	CCCS	某支路电流	电流	A/A（无量纲增益）	BJT 电流镜
电流控制电压源	CCVS	某支路电流	电压	V/A = Ω（跨阻）	跨阻放大器（TIA）

处理受控源有三条铁律：

1. 列 KCL/KVL 时，把它当作独立源照写，先给它的电流或电压起个名字（如 i_d、v_d），写进方程；
2. 补一条控制方程，把控制量用同一批未知量（通常就是节点电压）表示出来；
3. 先数未知量再动笔：受控源不增加独立未知量，它只是把"某个源"和"某处电压/电流"绑在一起；方程总数必须等于未知量总数。

还有一条容易忽略的：叠加定理只对独立源成立。求多个独立源共同作用时，受控源必须始终保留在电路里，不能像独立源那样"置零"。

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把每条支路电流排成向量 \mathbf{i}，每个节点电压排成 \mathbf{e}，KCL 与 KVL 可以写成极简的两行：

\mathbf{A}\mathbf{i}=\mathbf{0},\qquad \mathbf{v}=\mathbf{A}^{\mathsf{T}}\mathbf{e}

其中 \mathbf{A} 是关联矩阵（行 = 节点，列 = 支路，元素取 ±1 表示该支路连到该节点及方向）。再把元件方程 \mathbf{v}=\mathbf{Z}\mathbf{i}（或 \mathbf{i}=\mathbf{Y}\mathbf{v}）代进去，就得到节点法方程：

\mathbf{A}\mathbf{Y}\mathbf{A}^{\mathsf{T}}\mathbf{e}=\mathbf{A}\mathbf{i}_s

左边那个 \mathbf{A}\mathbf{Y}\mathbf{A}^{\mathsf{T}} 就是节点导纳矩阵。SPICE 的 MNA（Modified Nodal Analysis）在此基础上为电压源和受控源多加一行一列，所以你能在网表里看到"多出来的未知量"。

理解这一点以后，仿真报错 "singular matrix" 就不再神秘：它等价于"节点导纳矩阵不可逆"，常见原因是有节点没有任何到地的直流通路（KCL 写不出来）或者两个电压源并联（KVL 矛盾）。

4. 典型计算：两个完整算例与一次压降预算

算例一：两个电源并联给同一个负载（只含独立源）

12V 电源经 1Ω 内阻、8V 电源经 2Ω 内阻并到节点 A，再经 10Ω 负载到地

电路：V_{s1}=12 V 串 R_1=1\,\Omega，V_{s2}=8 V 串 R_2=2\,\Omega，两者上端并在节点 A，节点 A 经 R_3=10\,\Omega 到地。

第 1 步 选参考点、定未知量：地 = 0V，唯一未知节点电压 V_A。

第 2 步 标参考方向：三条支路电流都取"离开节点 A 为正"：

i_1=\frac{V_A-12}{1},\qquad i_2=\frac{V_A-8}{2},\qquad i_3=\frac{V_A-0}{10}

第 3 步 列 KCL（流出 A 的电流之和为零）：

\frac{V_A-12}{1}+\frac{V_A-8}{2}+\frac{V_A}{10}=0

第 4 步 解方程：两边乘 10：

10(V_A-12)+5(V_A-8)+V_A=0\;\Longrightarrow\;16V_A=160\;\Longrightarrow\;V_A=10\ \text{V}

第 5 步 回代求电流：

i_1=\frac{10-12}{1}=-2\ \text{A},\qquad i_2=\frac{10-8}{2}=+1\ \text{A},\qquad i_3=\frac{10}{10}=1\ \text{A}

读法：i_1=-2 A 表示实际有 2A 从 12V 电源流向节点 A；i_2=+1 A 表示有 1A 从节点 A 流进 8V 电源（它在被充电）；i_3=1 A 是负载电流。

第 6 步 验算一：代回 KCL。以"流入节点 A 为正"重写：2-1-1=0 ✓。

第 7 步 验算二：功率守恒。

• 12V 电源发出：12\times2=24 W；
• 8V 电源吸收（被充电）：8\times1=8 W；
• R_1 耗散：i_1^2R_1=2^2\times1=4 W；
• R_2 耗散：i_2^2R_2=1^2\times2=2 W；
• R_3 耗散：i_3^2R_3=1^2\times10=10 W。

发出 24W，吸收 8+4+2+10=24 W ✓ 完全平账。功率守恒是比"代回方程"更强的验算，因为它同时检查了每个电流的方向和大小。

工程结论：内阻小的电源（1Ω）承担了 2A，内阻大的（2Ω）不但不供电，还被倒灌 1A。如果 8V 是可充电池，这是正常充电；如果 8V 是一颗不可反向导通的 LDO 输出，这 1A 会灌进它的输出级。所以两路电源并联必须加二极管 OR-ing、理想二极管控制器或均流电路——三条路的区别只是导通损耗（理想二极管最低），本质都是用单向性换掉这条倒灌路径。

算例二：含受控源的单节点电路

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电路：V_s=12 V 串 R_1=4\,\Omega 到节点 A；节点 A 经 R_2=4\,\Omega 到地；另有 VCCS 从 A 流向地，电流 i_d=g\,V_A，跨导 g=0.25 S（教学取值；真实器件的跨导典型在 mS 量级，功率器件可达上百 mS，具体以数据手册为准）。

第 1 步 数未知量：节点电压 V_A 一个，受控源电流 i_d 一个，共 2 个未知量。

第 2 步 列 KCL（流出 A 为正，受控源照写）：

\frac{V_A-12}{4}+\frac{V_A}{4}+i_d=0

第 3 步 补控制方程（VCCS 的电流由 V_A 决定）：

i_d=g\,V_A=0.25V_A

方程数 2 = 未知量数 2 ✓。

第 4 步 代入求解：把控制方程代入 KCL：

\frac{V_A-12}{4}+\frac{V_A}{4}+0.25V_A=0

两边乘 4：

(V_A-12)+V_A+V_A=0\;\Longrightarrow\;3V_A=12\;\Longrightarrow\;V_A=4\ \text{V}

第 5 步 回代：

i_{R1}=\frac{12-4}{4}=2\ \text{A},\qquad i_{R2}=\frac{4}{4}=1\ \text{A},\qquad i_d=0.25\times4=1\ \text{A}

第 6 步 验算一：KCL。2=1+1 ✓。

第 7 步 验算二：功率守恒。12V 源发出 12\times2=24 W；R_1 耗散 2^2\times4=16 W；R_2 耗散 1^2\times4=4 W；受控源吸收 V_A i_d=4\times1=4 W；合计 16+4+4=24 W ✓。

如果跨导翻倍到 g=0.5 S，同样代入：(V_A-12)+V_A+2V_A=0\Rightarrow4V_A=12\Rightarrow V_A=3 V，各电流变成 2.25A / 0.75A / 1.5A。受控源越"强"，节点电压被拉得越低——这正是一个负反馈结构的定性行为：受控源从节点抽走的电流越多，节点电压越低，而它抽的电流又正比于该电压，最终稳定在一个平衡点。

完整设计算例：用 KVL 做压降预算，反推线径

需求：5V 电源给 3A 负载供电，线长 1.5m（单程），中间经过 2 个连接器（每个接触电阻按 10mΩ 计）和 1 个保险丝（15mΩ）。要求负载端电压 ≥ 4.75V。

第 1 步 算允许总压降：

V_{\text{drop,max}}=5.00-4.75=0.250\ \text{V}=250\ \text{mV}

第 2 步 扣掉固定压降（连接器与保险丝，由 KVL 逐项相加）：

V_{\text{fixed}}=2\times(10\,\text{m}\Omega\times3\,\text{A})+(15\,\text{m}\Omega\times3\,\text{A})=60+45=105\ \text{mV}

第 3 步 剩下的留给导线（一去一回两根线）：

V_{\text{wire,max}}=250-105=145\ \text{mV}\;\Longrightarrow\;\text{每根线}\;72.5\ \text{mV}

第 4 步 反推单根导线允许电阻：

R_{\text{wire,max}}=\frac{72.5\ \text{mV}}{3\ \text{A}}=24.2\ \text{m}\Omega

第 5 步 反推截面积（铜在 20°C 的电阻率 \rho=0.0172\ \Omega\cdot\text{mm}^2/\text{m}）：

A=\frac{\rho L}{R}=\frac{0.0172\times1.5}{0.0242}=1.066\ \text{mm}^2

第 6 步 逐档验算（每档都按同一套公式算，不是估计）：

截面积	单线电阻 R=\rho L/A	单线压降 IR	双线压降	负载端电压	判定
0.5 mm²	0.0172×1.5/0.5 = 51.6 mΩ	154.8 mV	309.6 mV	4.585 V	✗
0.75 mm²	34.4 mΩ	103.2 mV	206.4 mV	4.689 V	✗
1.0 mm²	25.8 mΩ	77.4 mV	154.8 mV	4.740 V	✗（差 10mV）
1.5 mm²	17.2 mΩ	51.6 mV	103.2 mV	4.792 V	✓
2.5 mm²	10.3 mΩ	31.0 mV	61.9 mV	4.833 V	✓

第 7 步 温度校核：铜的电阻温度系数 \alpha=0.00393\ /{}^\circ\text{C}。若线束内部温度到 60°C，相对 20°C 的修正系数：

1+\alpha\Delta T=1+0.00393\times40=1.157

1.5 mm² 的导线压降变成 103.2\times1.157=119.4 mV，负载端 5.000-0.105-0.119=4.776 V，余量只剩 26mV。2.5 mm² 则为 61.9\times1.157=71.6 mV，负载端 4.823V，余量 73mV。

第 8 步 结论：按 25°C 算 1.5mm² 刚好合格，但高温余量只有 26mV，连接器老化后接触电阻还会上升。最终选 2.5mm²，或把电源设定值抬到 5.1V 再配合 1.5mm²。

第 9 步 验算：整条回路的电阻

R_{\text{loop}}=2\times10.3\,\text{m}\Omega+20\,\text{m}\Omega+15\,\text{m}\Omega=20.6+20+15=55.6\ \text{m}\Omega

压降 =3\times0.0556=0.167 V，负载端 5-0.167=4.833 V ✓ 与表格一致；回路损耗 P=I^2R=9\times0.0556=0.50 W，与"3A 在 167mV 上耗掉 0.5W"一致。

这个算例的意义在于："能不能供上电"不是拍脑袋，是一张可以逐项相加的 KVL 表格。工程上把它叫做压降预算（Voltage Drop Budget），和电源余量、连接器寿命一起构成供电设计的三件套。

5. 工程含义：数量级、失效边界与真实导线的阻抗

铜导线的电阻与压降

铜的电阻率取 \rho=0.0172\ \Omega\cdot\text{mm}^2/\text{m}（20°C），单根 1m 导线：

R=\frac{\rho L}{A}=\frac{0.0172\times1}{A\ [\text{mm}^2]}

截面积	1m 电阻	1A 压降	3A 压降	5A 压降	10A 压降 / 10A 损耗
0.5 mm²	34.4 mΩ	34.4 mV	103 mV	172 mV	344 mV / 3.44 W
0.75 mm²	22.9 mΩ	22.9 mV	68.8 mV	115 mV	229 mV / 2.29 W
1.0 mm²	17.2 mΩ	17.2 mV	51.6 mV	86.0 mV	172 mV / 1.72 W
2.5 mm²	6.88 mΩ	6.88 mV	20.6 mV	34.4 mV	68.8 mV / 0.688 W
6.0 mm²	2.87 mΩ	2.87 mV	8.60 mV	14.3 mV	28.7 mV / 0.287 W

读法：10A 走 0.5mm² 的线，每米就要白白烧掉 3.4W，还会明显发热。这就是"大电流必须粗线/铜排"的定量依据。注意这只是一根线；回路里有两根（去 + 回），压降要翻倍。

PCB 走线的方块电阻

1 盎司铜厚 35µm，方块电阻（Sheet Resistance）：

R_\square=\frac{\rho}{t}=\frac{17.2\times10^{-9}\ \Omega\cdot\text{m}}{35\times10^{-6}\ \text{m}}=4.91\times10^{-4}\ \Omega\approx0.49\ \text{m}\Omega/\text{方块}

一条走线的电阻 = 方块数 × R_\square，方块数 = 长度 / 宽度。例如 0.25mm 宽、10mm 长的走线：

\text{方块数}=\frac{10}{0.25}=40\;\Longrightarrow\;R=40\times0.49=19.6\ \text{m}\Omega

走 3A 时压降 3\times0.0196=58.9 mV、损耗 9\times0.0196=0.177 W。这就是为什么大电流走线要铺铜、要多打过孔、要避开细颈——每多一个"方块"，就多 0.49mΩ。走线载流能力（温升）要按 IPC-2152 的图表查，不能用电阻反推。

KCL/KVL 什么时候不成立

两条定律建立在集总参数假设上：电路尺寸远小于信号波长，导线是理想等电位体，节点不积累电荷。判据通常取 l<\lambda/10，其中

\lambda=\frac{v}{f},\qquad v=\frac{c}{\sqrt{\varepsilon_r}}

FR-4 的 \varepsilon_r\approx4.2，所以 v=3\times10^8/\sqrt{4.2}=1.46\times10^8 m/s：

频率	真空波长	FR-4 波长	集总假设上限 \lambda/10（FR-4）
10 MHz	30 m	14.6 m	1.46 m
100 MHz	3 m	1.46 m	146 mm
1 GHz	300 mm	146 mm	14.6 mm

也就是说，1GHz 下走线超过约 15mm 就不能再当"理想导线"，必须按传输线处理（分布参数、反射、阻抗匹配）。KVL 此时要补上"回路内变化磁通"的项：

\sum_k v_k = -\frac{d\Phi}{dt}

这正是变压器、电感、电流环的工作原理，也是"地弹（Ground Bounce）"的根源。

地弹的数量级：一条 50nH 的接地回路（典型 PCB 过孔 + 走线的量级），电流在 10ns 内变化 1A：

v=L\frac{di}{dt}=50\times10^{-9}\times\frac{1}{10\times10^{-9}}=5\ \text{V}

5V 的地弹。这就是为什么去耦电容要紧贴芯片、地平面要完整、大电流回路面积要小——所有"接地规矩"都能用这一个乘法解释。

共阻抗耦合：两个电路共用一段 19.6mΩ 的地线，一个 2A 的脉冲电流会在上面产生 2\times0.0196=39.2 mV 的噪声，直接叠加到另一个电路的参考地上。对 12 位、3.3V 的 ADC（1 LSB = 0.806mV）来说，这就是 48 个 LSB 的误差。

电流测量就是 KVL

分流器测电流的本质：在回路里插一个已知小电阻，量它两端电压。10mΩ 的分流器过 3A 产生 30mV——这是 KVL 的直接应用，也是万用表"电流档负担电压（Burden Voltage）"的来源。同样是 10A，用 10mΩ 会掉 100mV、自己发热 1W；把分流器做到 1mΩ，压降只剩 10mV、损耗 0.1W，但 10mV 的满量程信号对放大器的失调与噪声要求立刻上一个台阶——这就是"量程、压降、精度"三者互相拉扯的地方。

并联支路的电流分配（KCL 的工程形态）

KCL 最简单的工程应用，就是判断"两路电源/两颗管子/两条走线各分多少电流"。规律只有一条：并联时电流按电导（电阻的倒数）分配。算例一给出的就是最朴素的版本：内阻 1Ω 的支路分到 2A，内阻 2Ω 的支路不但没分到，还被倒灌。同一套公式可以解释：

• 两颗 MOSFET 并联，R_{ds(on)} 小的承担更多电流（详见串联、并联与分压分流中的均流一节）；
• 两条不同宽度/长度的走线并联，宽的承担更多；
• 电池与适配器同时供电，内阻低的先出力。

6. 常见坑

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• 电流方向随便假定后，算出负值不知道意味着什么：现象——列方程解出某支路电流是 −1A，于是推翻重算。原因——一开始的箭头方向假设反了。解决——负值只表示真实方向与你画的箭头相反，大小完全正确；在答案里写清"实际方向与参考方向相反"即可。算例一里 8V 电源支路的 −1A 就是真实的"被倒灌 1A"，不是算错。
• 参考方向与关联参考方向混用，功率符号全错：现象——代回方程都对，功率一算不守恒。原因——p=vi 只有在关联参考方向下才表示吸收功率；电流从 "−" 端流入时必须用 p=-vi。解决——固定约定：无源元件按关联标、电源按非关联标；算完用"发出 = 吸收"验算一次，对不上就是符号问题。算例一里 8V 电源是"吸收 8W"，写成"发出"就会得到 24=16 的矛盾。
• KVL 绕回路时漏算一个元件或重复算：现象——列出来的方程加起来对不上电源电压，或者解出的电流是 1.5 倍/一半。原因——绕圈时路径没闭合，或把并联支路算重了。解决——用笔尖沿着一条具体的闭合路径走一圈，逐个元件记录升/降，不跳步；含电压源的回路优先选"经过电源的网孔"。
• 受控源漏了控制方程：现象——两个未知量只列了一个方程，解不出来；或者强行当独立源求解，得到一个与电路无关的数。原因——把受控源当成了可以自由取值的独立源。解决——先数未知量（节点电压 + 受控源电流），再补控制方程；最后核对"未知量数 = 方程数"。算例二就是 2 个未知量配 2 个方程。
• 把"同一节点"当成理想等电位：现象——仿真显示某点 0V，实测有 200mV；或者 ADC 读数随负载电流变化。原因——真实导线和地平面有 mΩ 级电阻、nH 级电感，KCL/KVL 里"节点是一个点"的假设在强电流/高 di/dt 下失效。解决——大电流回路单独走线、单点接地或完整地平面、去耦电容紧贴芯片；把压降按 §5 的表格算一遍再布板。
• 用 KVL 处理含变化磁通的回路：现象——变压器副边、开关电源电感、电流互感器上"绕一圈电压不为零"，以为定律错了。原因——KVL 的 \sum v=0 形式只对回路内磁通不变化的集总回路成立，含变化磁通时要补 -d\Phi/dt 项。解决——把电感/变压器当作元件用 v=L\,di/dt 或互感模型处理，不要试图"绕回路抵消"。

7. 自测题

某节点有三条支路：流入 2A、流入 3A，第三条支路电流是多少？方向呢？

KCL：流入 = 流出。总流入 2+3=5 A，所以第三条支路必须流出 5A。若你之前在第三条支路上标的是"流入"，那么它的代数值就是 −5A——负号表示实际方向与参考方向相反，大小仍是 5A。

验算：把三条支路都按"流入为正"写，2+3+(-5)=0 ✓。

一个回路里：电源升 5V，一个电阻降 3V，另一个元件压降是多少？如果这个元件是电感，结论还成立吗？

KVL（电压降为正）：-5+3+v_2=0\Rightarrow v_2=2 V，即另一个元件上有 2V 压降。

如果它是电感，结论要小心：稳态直流下电感相当于短路（只剩绕线电阻），这 2V 就落在绕线电阻上；而"电感两端电压"由 L\,di/dt 决定，瞬态时这个 2V 会变。KVL 本身仍然成立，只是电感的电压不再由"恒定压降"描述，而由它自己的微分方程描述。

算例一的电路里，8V 电源实际是发出还是吸收功率？多少瓦？怎么验算？

吸收 8W（在被充电）。i_2 的参考方向是"离开节点 A 流入 8V 电源"，实际值 +1A，所以 1A 确实流进电源的正端，电源吸收功率 p=8\times1=8 W。

验算用功率守恒：发出 = 12V 电源的 12\times2=24 W；吸收 = 8V 电源 8W + R_1 4W + R_2 2W + R_3 10W = 24W ✓。如果误把 8V 电源当成"发出 8W"，账就变成"发出 24+8=32 W、吸收 4+2+10=16 W"，两边对不上——这个矛盾正是发现符号错误的信号。

算例二里把跨导改成 g=0.5S，节点电压变成多少？受控源吸收多少功率？

KCL 仍是 \dfrac{V_A-12}{4}+\dfrac{V_A}{4}+i_d=0，控制方程 i_d=0.5V_A，代入后乘 4：

(V_A-12)+V_A+2V_A=0\;\Longrightarrow\;4V_A=12\;\Longrightarrow\;V_A=3\ \text{V}

电流：i_{R1}=(12-3)/4=2.25 A，i_{R2}=3/4=0.75 A，i_d=0.5\times3=1.5 A。

KCL 验算：2.25=0.75+1.5 ✓。受控源吸收 3\times1.5=4.5 W；功率验算：12\times2.25=27 W 发出，2.25^2\times4=20.25 W + 0.75^2\times4=2.25 W + 4.5W = 27W ✓。

对比 g=0.25 S 时的 4V：受控源越强，节点电压越低，因为它在同样的节点电压下抽走更多电流。

你用万用表测某节点，发现比 KVL 预算低了 0.3V，负载电流是 3A。最可能是什么问题？怎么定位？

按 KVL 反推：R_{\text{extra}}=\dfrac{0.3\ \text{V}}{3\ \text{A}}=100\ \text{m}\Omega 的额外串联电阻。

对照 §5 的表格：0.5mm² 的导线 1m 才 34.4mΩ，所以 100mΩ 相当于 3 米 0.5mm² 的线，或者一个接触电阻严重劣化的连接器/端子/保险丝座（正常应在 10mΩ 量级）。

定位方法：在带载状态下，用万用表直流毫伏档逐段测量（电源输出端 → 连接器 → 线 → 负载端），哪一段的压降异常就是它。注意必须在带载时测，空载时电流为零、压降也为零，什么也查不出来。

两个 5V 电源并联给一个 2Ω 负载供电，内阻分别是 0.1Ω 和 0.05Ω。求节点电压与各支路电流，并说明电流按什么规律分配。

设节点电压 V，KCL（流出为正）：

\frac{V-5}{0.1}+\frac{V-5}{0.05}+\frac{V}{2}=0

两边乘 0.1：(V-5)+2(V-5)+0.05V=0\Rightarrow3V-15+0.05V=0\Rightarrow3.05V=15\Rightarrow V=4.918 V。

电流：i_1=\dfrac{5-4.918}{0.1}=0.82 A，i_2=\dfrac{5-4.918}{0.05}=1.64 A，负载 i_3=\dfrac{4.918}{2}=2.46 A。

KCL 验算：0.82+1.64=2.46 ✓。注意 i_2/i_1=2.0，而 R_1/R_2=0.1/0.05=2——电流按内阻反比分配，内阻小一半的电源出力多一倍。这就是"两路电源并联会自动均流"这个说法的精确版本：它只在两路内阻相等时才均流。

100MHz 的信号在 FR-4 上走 20cm，还能用 KCL/KVL 的集总模型吗？

不能。FR-4 中 v=c/\sqrt{\varepsilon_r}=3\times10^8/\sqrt{4.2}=1.46\times10^8 m/s，\lambda=v/f=1.46\times10^8/10^8=1.46 m，集总假设上限 \lambda/10=146 mm。

20cm = 200mm > 146mm，已经超出，必须按传输线处理（考虑反射、阻抗匹配、终端电阻），否则会出现"仿真对、实测振铃"的经典问题。经验上更保守的判据是看上升时间：当走线延时超过信号上升时间的 1/6 时，就该当传输线了。

8. 参考资料

• Lessons In Electric Circuits, Vol. I – DC（Tony R. Kuphaldt，ibiblio 公开版）：Ch 6 Divider Circuits and Kirchhoff's Laws（KCL/KVL 的定义与节点/回路法入门）、Ch 10 DC Network Analysis（节点法、网孔法、叠加与戴维南定理的系统推导）。https://www.ibiblio.org/kuphaldt/electricCircuits/
• 《电路》（邱关源，高等教育出版社）："电路模型和电路定律"一章——参考方向、关联参考方向、KCL/KVL、受控源四类型；"电阻电路的一般分析"一章——独立方程数与节点法/网孔法的系统化。本章"方程够不够：独立方程数"一节的计数口径与《电路》一致。
• Practical Electronics for Inventors, 4th ed.（Paul Scherz & Simon Monk）：Chapter 2 · Theory 中 Kirchhoff's Laws 与回路方程小节，对应本章"把定律写成可解的方程"的列写流程。
• Sedra & Smith, Microelectronic Circuits：Chapter 2 · Operational Amplifiers——用 VCVS 建模理想/有限增益运放，正是本章"受控源 + KCL"方法的标准应用；闭环增益 G=-\dfrac{R_f/R_1}{1+(1+R_f/R_1)/A} 就是一次受控源求解的结果。
• 《电力电子技术》（王兆安、刘进军，机械工业出版社）："电力电子器件"一章中器件的串联和并联使用一节——并联支路电流分配、均流电阻与降额，对应本章 §5 末的 KCL 工程形态。