第三篇 · 模拟电路与运放 / 运放基础

进阶#运放#增益带宽积#GBP#压摆率#SR#建立时间

带宽 GBP、压摆率与建立时间 Gain-Bandwidth Product, Slew Rate & Settling Time

运放的数据手册第一页通常写着两个数：GBW=10 MHz、SR=10 V/µs。很多人只记住第一个，然后按"闭环增益 10，带宽就是 1 MHz"设计；等到输出摆到 2 Vpp、频率刚过 1 MHz，波形却变成了三角波。问题不在 GBW，在 SR——GBW 描述小信号能跟多快，SR 描述大信号能跑多快，两者是两条独立的天花板。

本章把这两条天花板画在同一张图上：先讲清 GBW 的定义与"增益×带宽恒定"的适用边界（单极点、线性反馈、小信号、电压反馈型）；再讲 SR 的物理来源与全功率带宽 f_{FPBW}=SR/(2\pi V_{pk})；然后用同一只 GBW=10 MHz、SR=10 V/µs 的运放，在 G=10、输出 2 Vpp 的条件下算出两条限制各自的可用频率，给出具体分界；最后把建立时间拆成压摆、线性建立、振铃三段，算出一个 1% 建立时间。

本章约定：GBW 是增益带宽积（Hz），f_T 是单位增益频率（|A_{OL}|=1 的频率，Hz）；A_{OL0} 是直流开环增益，f_p 是主极点（Hz）；\beta 是反馈系数（不是三极管的电流放大倍数），1/\beta 是噪声增益，T=A_{OL}\beta 是环路增益；SR 是压摆率（V/s，常用 V/µs）；f_c 是闭环 -3\ \text{dB} 带宽（Hz）；V_{pk} 是输出正弦峰值（V），V_{pp} 是峰峰值（V）；t_s 是建立时间（s），\varepsilon 是相对误差带。符号口径与开环、闭环增益与负反馈本质、稳定性：伯德图、相位裕度与补偿一致。以下推导默认负反馈闭合、输出在线性区（虚短与虚断成立）；开环、正反馈、输出饱和三种状态都不适用（前提见理想模型五假设与虚短、虚断）。

1. 设计动机

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场景一：GBW=10 MHz、G=100，想放 200 kHz 的信号。 按 f_c=GBW/(1/\beta)=10\ \text{MHz}/100=100\ \text{kHz}，200 kHz 已经在 -3\ \text{dB} 点之外一倍频。实际增益不是 100，而是 100/\sqrt{1+(200/100)^2}=100/2.236=44.7，掉了 7.0 dB，而且相移 -63.4^{\circ}。"GBW 够不够"要拿最高信号频率乘噪声增益去比，不是拿信号增益。

场景二：同一只运放接成跟随器，输出 3 Vpp、2 MHz。 GBW 说 f_c=10\ \text{MHz}，2 MHz 看起来绰绰有余；但 3 Vpp 对应 V_{pk}=1.5\ \text{V}，所需压摆率 2\pi\times2\ \text{MHz}\times1.5\ \text{V}=18.85\ \text{V}/\mu\text{s}，而 SR 只有 10 V/µs。输出被压成三角波，幅度也掉到 SR/(2\pi f)=0.796\ \text{V} 峰值（1.59 Vpp）。低增益、大摆幅的电路，SR 往往先撞墙。

场景三：16 位、1 MSPS 的 ADC 驱动，采样窗口 500 ns。 要求建立到 0.001%（16 位约 1.5\times10^{-5}）。用 G=10、f_c=1\ \text{MHz} 的运放，线性建立时间 t=\tau\ln(1/\varepsilon) 就要 159\ \text{ns}\times11.5=1.83\ \mu\text{s}，还没算压摆和振铃。只看 GBW 选 ADC 缓冲，是最常见的"能跑但精度不够"来源。

你想确认	先算	判据（工程经验值）
小信号带宽够不够	f_c=GBW/(1/\beta)	最高信号频率 ≤ 0.1\sim0.2f_c（幅度误差 ≤0.1~0.2 dB）
大信号会不会失真	2\pi fV_{pk} 与 SR 比	所需斜率 ≤ 0.5SR，留 2 倍余量
全功率带宽多少	f_{FPBW}=SR/(2\pi V_{pk})	工作频率 < f_{FPBW}
建立时间够不够	t_{slew}+\tau\ln(1/\varepsilon)	小于采样窗口的 1/2~1/3
会不会振铃	相位裕度 PM	PM ≥ 45°，推荐 60°
换器件后还稳不稳	f_c、f_{p2}、PM	换料必须重算，不能只看 GBW
全功率带宽能否外推	数据手册 SR 的测试条件	电源、负载、温度变了要重测

不算会摔在哪，四个带数字的代价：

1. 用信号增益算带宽。 反相 G=-10（R_1=10\ \text{k}\Omega、R_f=100\ \text{k}\Omega）的噪声增益是 11，f_c=10\ \text{MHz}/11=909\ \text{kHz}，不是 1 MHz；差 9.1%，在 900 kHz 附近就是 0.4 dB 的额外误差。
2. 忽略 SR。 10 MHz 的运放、SR 只有 10 V/µs，在 G=1、3 Vpp、2 MHz 时输出已经是三角波；此时 GBW 还有 5 倍余量，余量全在错误的那条轴上。
3. 把 f_c 当"平坦带宽"。 f_c 是 -3\ \text{dB} 点，幅度已经掉到 70.7%；要 1% 幅度误差，只能用 0.143f_c；要 0.1 dB，只能用 0.153f_c。
4. 建立时间只算线性段。 2 V 阶跃、SR=10 V/µs 的压摆段就有 200 ns，和 \tau=159\ \text{ns} 同量级；只算 4.6\tau=733\ \text{ns} 会把总时间低估 27%。

2. 定义与直观

2.1 GBW：开环幅频曲线上的"增益×频率"

通用电压反馈运放的开环响应可以用单极点近似：

A_{OL}(f)=\frac{A_{OL0}}{1+jf/f_p}

在 f\gg f_p 的频段，幅值近似为

|A_{OL}(f)|\approx\frac{A_{OL0}f_p}{f}=\frac{GBW}{f}

其中 GBW=A_{OL0}f_p（Hz）。GBW 的定义是这条 -20\ \text{dB/}十倍频渐近线上的"增益×频率"常数，不是"某个增益下的带宽"。当 |A_{OL}|=1 时对应的频率叫单位增益频率 f_T；单极点模型下 GBW=f_T，真实运放因为第二极点，两者并不完全相等，数据手册通常只给其中一个。

数量级：A_{OL0}=10^5（100 dB）、f_p=10\ \text{Hz} 时 GBW=10^5\times10=1\ \text{MHz}；若 A_{OL0}=10^6（120 dB）、GBW=10\ \text{MHz}，则 f_p=GBW/A_{OL0}=10\ \text{Hz}。同样的 GBW，A_{OL0} 越高，主极点越低，低频增益越大——这就是"高增益、低带宽"与"低增益、高带宽"是同一只运放的两面。

2.2 闭环带宽：噪声增益决定，不是信号增益

把 A_{OL}(f) 代入闭环增益 G=A_{OL}/(1+A_{OL}\beta)，闭环也是单极点，极点从 f_p 移到

f_c=f_p(1+T_0)=f_p(1+A_{OL0}\beta)\approx A_{OL0}f_p\beta=GBW\cdot\beta=\frac{GBW}{1/\beta}

其中 T_0=A_{OL0}\beta 是直流环路增益。"增益×带宽恒定"的准确说法是：噪声增益 1/\beta 与闭环 -3\ \text{dB} 带宽 f_c 的乘积等于 GBW。 信号增益不参与这个乘积。

这条差别在反相组态上最明显：信号增益 -R_f/R_1，噪声增益 1+R_f/R_1，两者差 1。同样标称"增益 10"：

组态	R_1	R_f	信号增益	噪声增益 1/\beta	f_c（GBW=10 MHz）
同相	10\ \text{k}\Omega	90\ \text{k}\Omega	+10	10	1.000 MHz
反相	10\ \text{k}\Omega	100\ \text{k}\Omega	-10	11	0.909 MHz
反相衰减	10\ \text{k}\Omega	5\ \text{k}\Omega	-0.5	1.5	6.667 MHz

最后一行值得注意：信号增益只有 -0.5（衰减），带宽却按 1.5 算，不是按 0.5 算。衰减器不会因为"信号变小"而获得更宽的带宽。

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2.3 "增益×带宽恒定"的适用边界

这句话不是定理，是一组条件下的近似。五条边界，缺一条就要重算：

1. 单极点开环：-20\ \text{dB/}十倍频的直线只有一段；接近第二极点后，|A_{OL}| 掉得比 1/f 快，f_c 小于 GBW\cdot\beta。GBW=10 MHz、第二极点 1 MHz 时，G=1 的 f_c 被推到约 3.08 MHz（不是 10 MHz），PM 只剩约 18°（推导见稳定性：伯德图、相位裕度与补偿）。
2. 反馈网络是线性的、实数 \beta：电阻网络在低频是实数；反馈里带电容（积分器、滤波器）时 \beta 本身随频率变，f_c 要按 \beta(s) 重算。
3. 小信号、输出在线性区：压摆、饱和、输出限流都会让等效环路增益塌陷；大信号下"带宽"这个词本身要换成"全功率带宽"。
4. 电压反馈型（VFB）器件：电流反馈型（CFA）的带宽由反馈电阻决定，与增益几乎无关，"增益×带宽恒定"不成立。
5. 噪声增益不低于器件的最小稳定增益：去补偿（decompensated）运放标称"增益 ≥5 稳定"，接成 G=1 会振荡；此时谈带宽没有意义。

2.4 SR：输出能跑多快，由内部电流上限决定

压摆率（Slew Rate，SR） 是输出电压的最大变化速率：

SR=\left.\frac{dV_{out}}{dt}\right|_{max}\quad\left[\text{V}/\mu\text{s}\ \text{或}\ \text{V/s}\right]

物理来源：运放内部有一只补偿电容 C_c（为保证单位增益稳定而加），输入端一有大差模电压，输入级的所有尾电流都去给 C_c 充电，充电电流有上限 I_{max}：

SR=\frac{I_{max}}{C_c}

这个式子和 GBW 是同一个 C_c 的两个侧面。对经典两级运放，GBW=g_{m1}/(2\pi C_c)，所以

SR=2\pi\cdot GBW\cdot\frac{I_{max}}{g_{m1}}

SR 与 GBW 不是独立的两个参数：它们的比值由输入级的"电流/跨导"比决定。双极差分对的 I_{max}/g_{m1}\approx2V_T\approx51.7\ \text{mV}（300 K），对应约 0.325\ \text{V}/\mu\text{s} 每 MHz GBW；CMOS 输入级的 I_{max}/g_{m1}\approx V_{ov}（过驱动电压，0.1~0.5 V），可以做出更高的 SR/GBW 比。本章用的 10 MHz/10 V/µs 对应 1\ \text{V}/\mu\text{s} 每 MHz，是双极极限的 3.1 倍，说明它用了发射极退化、CMOS 输入或更大的尾电流——看到"高 GBW 低 SR"的器件，多半是低功耗设计；看到"低 GBW 高 SR"，多半是牺牲了增益或噪声。

2.5 全功率带宽：正弦不畸变的上限

正弦输出 V_{out}(t)=V_{pk}\sin(2\pi ft) 的斜率是

\frac{dV_{out}}{dt}=2\pi fV_{pk}\cos(2\pi ft)

最大值出现在过零点：

\left|\frac{dV_{out}}{dt}\right|_{max}=2\pi fV_{pk}

要求这个最大值不超过 SR，得到全功率带宽（Full-Power Bandwidth）：

f_{FPBW}=\frac{SR}{2\pi V_{pk}}

符号与单位：SR 单位 V/s（代入时把 V/µs 换成 10^6 V/s）；V_{pk} 单位 V；f_{FPBW} 单位 Hz。注意 V_{pk} 是峰值，不是峰峰值：3 Vpp 对应 V_{pk}=1.5\ \text{V}。数据手册里有的写"V_{pp}"，有的写"V_{pk}"，差 2 倍，是常见错误来源。

2.6 大信号看 SR、小信号看 GBW：两条天花板取低的

一个正弦输出要同时满足两个条件：

f\le\frac{GBW}{1/\beta}\quad\text{（小信号，幅度不掉太多）}\qquad f\le\frac{SR}{2\pi V_{pk}}\quad\text{（大信号，不被压摆压成三角波）}

所以可用频率是

f_{max}=\min\left(\frac{GBW}{1/\beta},\ \frac{SR}{2\pi V_{pk}}\right)

两条曲线的交点给出了"什么时候谁主导"。令两者相等：

V_{pk}^{*}=\frac{SR\cdot(1/\beta)}{2\pi\cdot GBW}

• V_{pk}<V_{pk}^{*}：GBW 限制更紧（小信号主导）。
• V_{pk}>V_{pk}^{*}：SR 限制更紧（大信号主导）。

这个分界点不是一个固定频率，而是"输出幅度—频率"平面上的一条双曲线与一条水平线的交点。§4.1 用同一只运放算出具体数值，§4.2 说明它怎么随增益移动。

2.7 建立时间的三个成分

建立时间 t_s 是输出从阶跃开始、到进入并保持在误差带 \pm\varepsilon V_{step} 内的时间。它由三段组成：

1. 压摆段：输出以 SR 匀速爬升，t_{slew}=\Delta V/SR。这一段运放处于大信号非线性状态，反馈"来不及"控制。
2. 线性建立段：压摆结束后，环路重新闭合，输出按一阶（或二阶）指数逼近终值，t_{lin}=\tau\ln(1/\varepsilon)，\tau=1/(2\pi f_c)。
3. 振铃段：相位裕度不足时，输出在终值附近振荡，要等多个周期才进入误差带；PM=60° 时过冲约 9.5%，1% 误差带的建立时间约 4.6/(\zeta\omega_n)，比一阶估计长。

工程预算：

t_s\approx t_{slew}+t_{lin}+t_{ring}

其中 t_{ring} 只在 PM<65° 时显著；PM≥65° 时可以近似并入 t_{lin}。三段都要算，哪一段主导取决于阶跃幅度、SR、f_c 和 PM，不能只看 GBW。

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把信号想成一辆车，GBW 是"最高车速"（小信号能跑多快），SR 是"油门到底的加速度"（从静止提速有多快），建立时间是"从出发到稳稳停进车位"的总时间。短距离、小幅度：加速度（SR）决定；长距离、小幅度：最高车速（GBW）决定；车位很窄（误差带小）：还要看悬挂（PM）会不会来回晃。

类比的边界：车速和加速度在车里是独立的，在运放里都由同一个补偿电容 C_c 决定（GBW=g_{m1}/2\pi C_c、SR=I_{max}/C_c），所以换一只运放时两个参数会同向或反向变化，不能单独"调高一个"。

3. 定量关系

3.1 幅频、相频与"可用带宽"的三种口径

单极点开环：

|A_{OL}(f)|=\frac{A_{OL0}}{\sqrt{1+(f/f_p)^2}},\qquad \angle A_{OL}(f)=-\arctan\frac{f}{f_p}

闭环 -3\ \text{dB} 带宽 f_c\approx GBW\cdot\beta。但"可用带宽"有四种口径，数值差很多：

口径	幅度相对低频	f/f_c	说明
-3\ \text{dB}	0.707（−3.01 dB）	1.000	数据手册的"带宽"
−1 dB	0.891	0.509	一般信号链
−0.1 dB	0.989	0.153	精密测量、ADC 驱动
1% 幅度误差	0.990	0.143	常写的"1% 平坦度"

复算 1% 一行：1/\sqrt{1+(f/f_c)^2}=0.99 → 1+(f/f_c)^2=1.0203 → f/f_c=\sqrt{0.0203}=0.1425。0.1 dB 一行：10^{-0.1/20}=0.9886 → f/f_c=\sqrt{1/0.9886^2-1}=0.1526。

所以"f_c=1\ \text{MHz}"不等于"1 MHz 内增益平坦"：1% 平坦度只能用 143 kHz，0.1 dB 只能用 153 kHz。规格书要写清口径。

3.2 反相组态与噪声增益

反相组态：

G_{inv}=-\frac{R_f}{R_1}\cdot\frac{T}{1+T},\qquad \beta=\frac{R_1}{R_1+R_f},\qquad \frac{1}{\beta}=1+\frac{R_f}{R_1}

闭环带宽仍按 f_c=GBW/(1/\beta)，不是 GBW/(R_f/R_1)。同相组态两者相等；反相组态差 1，低增益时相对误差最大：R_f/R_1=1（信号增益 −1）时噪声增益 2，按信号增益算会高估 1 倍（实际带宽只有一半）。

失调、噪声、CMRR、PSRR 也都按噪声增益放大（见失调电压、偏置电流与漂移与共模范围、CMRR 与 PSRR），所以一张预算表里统一用噪声增益，能同时避免四类错误。

3.3 SR 的测试条件与温度影响

数据手册的 SR 通常标注测试条件：单位增益、指定负载（如 2\ \text{k}\Omega）、指定电源（如 \pm15\ \text{V}）、输入大阶跃（如 10 V）。换条件必须重算：

• 负载变重：输出级电流被负载分走，给 C_c 充电的电流减少，SR 下降；重载时 SR 可能只有标称值的 50%~70%（典型量级，以数据手册曲线为准）。
• 电源降低：输入级的尾电流随电源下降，SR 同比下降；3.3 V 单电源的 SR 往往明显低于 \pm15\ \text{V} 时的值。
• 温度升高：双极输入的 g_m 下降、尾电流变化，SR 可能下降；具体趋势看手册曲线。
• 输入过驱动量：SR 是"大差模"下的极限；过驱动只有几十 mV 时，输出还没进入完全压摆状态，实际斜率小于 SR。用 SR 算建立时间时，要确认阶跃足够大、运放真的进入了压摆。

3.4 建立时间的定量拆解

压摆段：

t_{slew}=\frac{\Delta V}{SR}

其中 \Delta V 是输出阶跃幅度（V），SR 单位 V/s。\Delta V=2\ \text{V}、SR=10\ \text{V}/\mu\text{s} 时 t_{slew}=0.2\ \mu\text{s}。

线性段：一阶闭环的时间常数

\tau=\frac{1}{2\pi f_c}=\frac{1}{2\pi\cdot GBW\cdot\beta}

建立到相对误差 \varepsilon：

t_{lin}=\tau\ln\frac{1}{\varepsilon}

\varepsilon=1\% → 4.605\tau；0.1% → 6.908\tau；0.01% → 9.210\tau；0.001% → 11.513\tau。这些系数要背下来。

振铃段：二阶系统的 1% 建立时间近似

t_{ring}\approx\frac{4.6}{\zeta\omega_n},\qquad \zeta\approx\frac{PM}{100},\qquad \omega_n\approx\frac{2\pi f_c}{x},\qquad x=\sqrt{\sqrt{1+4\zeta^4}-2\zeta^2}

PM=60° 时 \zeta=0.6、x=0.7157、f_n=1.397f_c，t_{ring}\approx0.873\ \mu\text{s}（f_c=1\ \text{MHz}）。PM=45° 时 \zeta=0.45、x=0.8209、f_n=1.218f_c，t_{ring}\approx1.34\ \mu\text{s}，比一阶估计长约 83%。PM 不只是"稳不稳"的指标，它直接进建立时间预算。

3.5 适用条件与失效边界

1. 小信号参数：GBW、f_c、\tau 都是小信号量；大信号要叠加 SR 与饱和恢复。
2. 单极点：第二极点让 f_c<GBW\cdot\beta，相位裕度下降；容性负载、长走线都会引入第二极点（见稳定性：伯德图、相位裕度与补偿）。
3. 线性反馈：\beta 必须是实数、与幅度无关；二极管、非线性电阻、光耦反馈都不满足。
4. 输出未饱和：撞轨后 T 的定义失效，建立时间要加上饱和恢复时间（可能几 µs）。
5. 数据手册条件：SR、GBW、建立时间都有测试条件（增益、负载、电源、温度），换条件要重算或重测。
6. 器件类型：CFA 的带宽由反馈电阻决定；去补偿运放有最小稳定增益；这两类不能直接套 GBW/(1/\beta)。

4. 典型计算

4.1 完整算例：GBW=10 MHz、SR=10 V/µs、G=10、输出 2 Vpp

已知：GBW=10\ \text{MHz}、A_{OL0}=10^6（120 dB，所以 f_p=10\ \text{Hz}）、SR=10\ \text{V}/\mu\text{s}=10^7\ \text{V/s}；同相 G=10（R_1=10\ \text{k}\Omega、R_f=90\ \text{k}\Omega，\beta=0.1、1/\beta=10）；输出正弦 2 Vpp，即 V_{pk}=1\ \text{V}。求可用最大频率，以及 2 V 阶跃的 1% 建立时间。

第 1 步：小信号带宽。

\frac{1}{\beta}=1+\frac{90}{10}=10,\qquad f_c=\frac{GBW}{1/\beta}=\frac{10\ \text{MHz}}{10}=1.0\ \text{MHz}\tau=\frac{1}{2\pi f_c}=\frac{1}{2\pi\times10^6}=1.5915\times10^{-7}\ \text{s}=159.15\ \text{ns}

第 2 步：SR 允许的频率（V_{pk}=1\ \text{V}）。

f_{FPBW}=\frac{SR}{2\pi V_{pk}}=\frac{10^7}{2\pi\times1}=1.5915\times10^6\ \text{Hz}=1.5915\ \text{MHz}

第 3 步：取低的。

f_{max}=\min(1.0\ \text{MHz},\ 1.5915\ \text{MHz})=1.0\ \text{MHz}

结论：这只运放在 G=10、2 Vpp 下，可用频率由 GBW 决定，是 1 MHz；SR 在 1 MHz 只需要 2\pi\times10^6\times1=6.283\ \text{V}/\mu\text{s}，还有 10/6.283=1.59 倍（4.04 dB）余量。 如果只看到"10 MHz、10 V/µs"就以为能跑 10 MHz，会差 10 倍。注意 1 MHz 是 -3\ \text{dB} 点：同样的输入在 1 MHz 处输出会掉到 2/\sqrt{2}=1.414\ \text{Vpp}。 如果要求 1 MHz 处幅度误差 ≤1%，按 §3.1 的 0.1425f_c 口径需要 f_c\ge1/0.1425=7.02\ \text{MHz}，即 GBW\ge70.2\ \text{MHz}——"能跑到 1 MHz"和"1 MHz 内平坦"是两个规格。

第 4 步：分界幅度。 在 f=f_c=1\ \text{MHz} 处，SR 允许的最大峰值幅度是

V_{pk}^{*}=\frac{SR}{2\pi f_c}=\frac{10^7}{2\pi\times10^6}=1.5915\ \text{V}

即 3.183 Vpp。输出幅度低于 3.18 Vpp 时 GBW 先限制；高于 3.18 Vpp 时 SR 先限制。 本题的 2 Vpp 在分界点以下，所以是"小信号"工况。

第 5 步：压摆段。

t_{slew}=\frac{\Delta V}{SR}=\frac{2\ \text{V}}{10\ \text{V}/\mu\text{s}}=0.200\ \mu\text{s}

第 6 步：线性建立段（1%）。

t_{lin}=4.605\tau=4.605\times159.15\ \text{ns}=733.0\ \text{ns}

第 7 步：一阶预算合计。

t_s\approx t_{slew}+t_{lin}=200+733=933\ \text{ns}\approx0.93\ \mu\text{s}

第 8 步：加上振铃（PM=60°）。

\zeta=0.6,\qquad x=\sqrt{\sqrt{1+4\times0.6^4}-2\times0.6^2}=\sqrt{1.2322-0.72}=0.7157f_n=\frac{f_c}{x}=\frac{1.0\ \text{MHz}}{0.7157}=1.397\ \text{MHz}t_{ring}\approx\frac{4.6}{\zeta\cdot2\pi f_n}=\frac{4.6}{0.6\times2\pi\times1.397\times10^6}=8.73\times10^{-7}\ \text{s}=0.873\ \mu\text{s}t_s\approx0.200+0.873=1.073\ \mu\text{s}\approx1.07\ \mu\text{s}

结论：1% 建立时间按一阶估是 0.93 µs，按 PM=60° 的二阶估是 1.07 µs，工程上取 1.1 µs 并留 30% 余量。 两段的量级说明一件事：在这个电路里，压摆段（200 ns）和线性段（733 ns）都不能忽略；只算其中一段，误差都在 20%~80%。

第 9 步：如果阶跃只有 0.2 V 呢？ t_{slew}=0.2/10=20\ \text{ns}，t_s\approx20+733=753\ \text{ns}——压摆段只占 2.7%，此时"小信号看 GBW"成立。同一个电路，阶跃幅度决定哪一段主导，这也是为什么数据手册的建立时间要注明阶跃幅度。

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4.2 算例二：同一只运放，增益从 1 变到 100

已知：同 §4.1 的运放（GBW=10 MHz、SR=10 V/µs），输出仍为 2 Vpp（V_{pk}=1\ \text{V}）。分别求 G=1、10、100 时的可用频率。

第 1 步：G=1（跟随器）。

f_{GBW}=\frac{10\ \text{MHz}}{1}=10\ \text{MHz},\qquad f_{SR}=1.5915\ \text{MHz}f_{max}=\min(10\ \text{MHz},\ 1.5915\ \text{MHz})=1.5915\ \text{MHz}

SR 主导。 10 MHz 的 GBW 在 1.59 MHz 的大信号下派不上用场。

第 2 步：G=10。 f_{GBW}=1.0\ \text{MHz}，f_{SR}=1.5915\ \text{MHz}，f_{max}=1.0\ \text{MHz}，GBW 主导（§4.1）。

第 3 步：G=100。

f_{GBW}=\frac{10\ \text{MHz}}{100}=100\ \text{kHz},\qquad f_{max}=\min(100\ \text{kHz},\ 1.5915\ \text{MHz})=100\ \text{kHz}

GBW 主导，SR 余量 15.9 倍。

第 4 步：分界增益。 令 f_{GBW}=f_{SR}：

\frac{GBW}{1/\beta}=\frac{SR}{2\pi V_{pk}}\quad\Rightarrow\quad \frac{1}{\beta}=\frac{2\pi V_{pk}\cdot GBW}{SR}=\frac{2\pi\times1\times10^7}{10^7}=6.283

噪声增益小于 6.28 时 SR 主导；大于 6.28 时 GBW 主导。 这和"低增益容易压摆受限、高增益容易带宽受限"的直觉一致，但给出了具体数字：

噪声增益 1/\beta	f_{GBW}	f_{SR}（V_{pk}=1\ \text{V}）	f_{max}	谁主导
1	10 MHz	1.5915 MHz	1.5915 MHz	SR
6.28	1.5915 MHz	1.5915 MHz	1.5915 MHz	临界
10	1.0 MHz	1.5915 MHz	1.0 MHz	GBW
100	100 kHz	1.5915 MHz	100 kHz	GBW

这张表要背下来的部分：分界增益只由 2\pi V_{pk}GBW/SR 决定；本章的运放在 1 V 峰值下是 6.28。输出电压越大，分界增益越高（V_{pk}=2\ \text{V} 时 12.57），SR 主导的范围越宽。

4.3 算例三：跟随器 3 Vpp、2 MHz 的压摆失真

已知：G=1、V_{pp}=3\ \text{V}（V_{pk}=1.5\ \text{V}）、f=2\ \text{MHz}、SR=10 V/µs。判断是否压摆受限，并求该幅度下的全功率带宽与受限后的输出幅度。

第 1 步：所需斜率。

\left|\frac{dV}{dt}\right|_{max}=2\pi fV_{pk}=2\pi\times2\times10^6\times1.5=1.885\times10^7\ \text{V/s}=18.85\ \text{V}/\mu\text{s}

第 2 步：与 SR 比。

\frac{18.85}{10}=1.885>1

压摆受限，输出不能保持正弦，波形被"削"成三角波，且幅度下降。

第 3 步：该幅度下的全功率带宽。

f_{FPBW}=\frac{10^7}{2\pi\times1.5}=1.061\times10^6\ \text{Hz}=1.061\ \text{MHz}

第 4 步：2 MHz 下 SR 允许的最大幅度。

V_{pk,max}=\frac{SR}{2\pi f}=\frac{10^7}{2\pi\times2\times10^6}=0.7958\ \text{V}

即 1.592 Vpp，只有想要的 3 Vpp 的 53%。这就是"GBW 明明够、波形却不对"的定量解释：GBW 的余量（10 MHz / 2 MHz = 5 倍）救不了 SR 的缺口（1.885 倍）。

第 5 步：要保住 3 Vpp、2 MHz，需要多大 SR？

SR_{req}=2\pi\times2\times10^6\times1.5=1.885\times10^7\ \text{V/s}=18.85\ \text{V}/\mu\text{s}

选 SR≥30 V/µs 的器件（留 1.6 倍余量），同时核对 GBW 是否仍 ≥ 2 MHz（跟随器下 GBW 需求就是 2 MHz，很容易满足）。这就是"低增益大摆幅"电路选型时 SR 优先的原因。

5. 工程含义

5.1 数量级表：先建立直觉

参数	通用运放	精密/低功耗	高速运放	备注
GBW	1~10 MHz	0.1~2 MHz	100 MHz~数 GHz	与功耗强相关
SR	0.5~20 V/µs	0.05~1 V/µs	100~数千 V/µs	与 GBW 同向但非正比
SR/GBW	0.3~1 V/µs 每 MHz	0.1~0.5	1~10	双极约 0.325 起
建立到 0.1%	1~10 µs	10~100 µs	10~500 ns	测试条件特定
全功率带宽（2 Vpp）	0.1~3 MHz	0.01~0.2 MHz	10~500 MHz	SR/(2\pi V_{pk})

这些是典型量级，具体型号以数据手册为准。表的作用是选型前知道"大概在哪个数量级"，不是替代计算。

5.2 选型顺序：先算两条天花板，再选器件

1. 定信号幅度与频率：V_{pk}、f_{max}、允许的幅度误差（−3 dB 还是 0.1 dB）。
2. 算 GBW 需求：GBW\ge f_{max}\times(1/\beta)/k，k 是平坦度系数（1% 误差取 0.143，−3 dB 取 1）。
3. 算 SR 需求：SR\ge2\pi f_{max}V_{pk}\times2（留 2 倍余量）。
4. 算建立时间：t_{slew}+4.6\tau（1%）或 t_{slew}+6.9\tau（0.1%），加 PM 振铃修正。
5. 算稳定性：f_c、第二极点、容性负载、PM（见稳定性：伯德图、相位裕度与补偿）。
6. 算噪声：带宽越宽噪声越大，GBW 不是越大越好（见噪声：电压噪声、电流噪声与计算）。
7. 最后看功耗、封装、价格。

5.3 布局、测量与数据手册的坑

• 测量 SR：输入大阶跃（如 1 V→4 V），示波器看输出边沿的线性段斜率；探头电容、负载电容会改变结果，要在实际负载下测。
• 测量建立时间：用差分探头或"减法电路"把终值减掉，放大误差带；普通探头 + 8 位示波器看不到 0.01% 的建立。
• 测量带宽：小信号（10~100 mV）扫频，避免压摆；大信号扫描得到的是"全功率带宽"，两者不是一回事。
• 数据手册的 SR 条件：单位增益、指定负载、指定电源；换条件必须重测，不能外推。
• 容性负载：探头、电缆、ADC 采样电容都是容性负载，会把第二极点拉低、PM 拉低，实测带宽和建立时间都可能比手册差。
• 电源与去耦：大信号翻转时的电源电流尖峰会在去耦不当时变成振铃，看起来像"运放不稳定"。

5.4 与其他参数的关系

• 带宽与噪声：噪声带宽随 f_c 上升，V_n\propto\sqrt{f_c}；把 GBW 提高 4 倍，噪声涨 2 倍（+6 dB）。低噪声与高带宽是一对矛盾。
• 带宽与功耗：GBW 大致正比于输入级尾电流，速度快通常更费电。
• SR 与噪声：提高 SR 通常要加大尾电流，输入级的 g_m 与噪声都会变；不是"SR 越高越好"。
• 建立时间与 PM：PM 从 60° 降到 45°，1% 建立时间从 4.6/(\zeta\omega_n) 增加约 53%；稳定性余量直接换成时间。
• 全功率带宽与输出摆幅：f_{FPBW}\propto1/V_{pk}；输出摆幅减半，全功率带宽翻倍。

6. 常见坑

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• 现象：反相放大标称增益 −10，实测带宽只有 909 kHz，按 GBW/10 算应该是 1 MHz。原因：反相的噪声增益是 1+R_f/R_1=11，不是信号增益 10；带宽、噪声、失调、CMRR 全部按噪声增益算。解决：预算表统一用 1/\beta；反相衰减器尤其要注意，信号增益 0.5 时噪声增益仍可能是 1.5。
• 现象：GBW=10 MHz 的运放，跟随器输出 3 Vpp、2 MHz，波形变成三角波。原因：所需压摆率 2\pi fV_{pk}=18.85\ \text{V}/\mu\text{s} 超过 SR=10 V/µs；GBW 的 5 倍余量救不了 SR。解决：先算 2\pi fV_{pk} 与 SR 的比；大摆幅低增益场合按 SR 选型，或降低输出幅度/频率。
• 现象：f_c=1\ \text{MHz}，以为 1 MHz 内增益平坦，实测 200 kHz 就掉了 1%。原因：f_c 是 -3\ \text{dB} 点，1% 幅度误差只能用 0.143f_c，0.1 dB 只能用 0.153f_c。解决：规格书写清平坦度口径；按 f/f_c=\sqrt{10^{\delta/10}-1} 反算可用频率（\delta 为允许的 dB 误差）。
• 现象：按 4.6\tau 算建立时间，实测比预算长一倍。原因：只算线性段，漏了压摆段（2 V 阶跃、10 V/µs 就是 200 ns）和振铃段（PM=45° 时 t_{ring}\approx1.34\ \mu\text{s}）。解决：三段分别算再相加；用实际阶跃幅度和实测 PM。
• 现象：换了一颗 GBW 更高的运放，建立时间反而变长。原因：新器件 SR 更低、PM 更差、或容性负载下的第二极点更低；GBW 只是三段里的一段。解决：换料时把 SR、PM、R_{out,OL} 一起核对，按完整建立时间预算选型。
• 现象：数据手册写 SR=20 V/µs，实测只有 12 V/µs。原因：手册条件是 \pm15\ \text{V}、2\ \text{k}\Omega 负载、单位增益；实际用 3.3 V 单电源、重载、高温，SR 下降。解决：按实际电源/负载/温度重测或查曲线；不要把手册的 SR 当保证值直接外推。
• 现象：以为 GBW 是运放的固定常数，任何增益下都成立。原因：单极点、线性反馈、小信号、VFB、最小稳定增益这些条件缺一不可；CFA 的带宽由反馈电阻决定，去补偿运放有最小稳定增益。解决：先确认器件类型与反馈网络；多极点时按实际环路增益曲线算 f_c（见稳定性：伯德图、相位裕度与补偿）。

7. 自测题

GBW=10 MHz、同相增益 10、输出 2 Vpp。小信号带宽与 SR（10 V/µs）允许的频率各是多少？哪个先限制？

小信号：

f_c=\frac{GBW}{1/\beta}=\frac{10\ \text{MHz}}{10}=1.0\ \text{MHz}

SR（V_{pk}=1\ \text{V}）：

f_{FPBW}=\frac{10^7}{2\pi\times1}=1.5915\ \text{MHz}

取低：f_{max}=1.0\ \text{MHz}，GBW 先限制。在 1 MHz 处所需 SR 是 2\pi\times10^6\times1=6.283\ \text{V}/\mu\text{s}，SR 余量 10/6.283=1.59 倍。

同一只运放接成跟随器，输出 2 Vpp。可用频率是多少？如果输出改成 4 Vpp 呢？

G=1：f_{GBW}=10\ \text{MHz}，f_{SR}=1.5915\ \text{MHz}（V_{pk}=1\ \text{V}），所以 f_{max}=1.5915\ \text{MHz}，SR 主导。

4 Vpp（V_{pk}=2\ \text{V}）：

f_{SR}=\frac{10^7}{2\pi\times2}=795.8\ \text{kHz}

f_{max}=795.8\ \text{kHz}。输出幅度翻倍，全功率带宽减半，这就是 f_{FPBW}\propto1/V_{pk}。

f_c=1\ \text{MHz} 的闭环，要求幅度误差不超过 1%，最高能用多少频率？0.1 dB 呢？

1%：

\frac{1}{\sqrt{1+(f/f_c)^2}}=0.99\ \Rightarrow\ f/f_c=\sqrt{1/0.99^2-1}=0.1425f=0.1425\times1\ \text{MHz}=142.5\ \text{kHz}

0.1 dB：

10^{-0.1/20}=0.9886\ \Rightarrow\ f/f_c=\sqrt{1/0.9886^2-1}=0.1526f=152.6\ \text{kHz}

f_c 是 -3\ \text{dB} 点，不是平坦带宽；1% 平坦度只能用约 1/7 的带宽。

2 V 阶跃、f_c=1\ \text{MHz}、SR=10 V/µs、PM=60°。1% 建立时间按一阶和二阶分别估多少？

一阶：

\tau=\frac{1}{2\pi\times10^6}=159.15\ \text{ns},\qquad t_{lin}=4.605\tau=733\ \text{ns}t_{slew}=\frac{2}{10\ \text{V}/\mu\text{s}}=200\ \text{ns}t_s\approx200+733=933\ \text{ns}

二阶（PM=60°、\zeta=0.6）：

x=\sqrt{\sqrt{1+4\times0.6^4}-2\times0.6^2}=0.7157,\qquad f_n=\frac{1\ \text{MHz}}{0.7157}=1.397\ \text{MHz}t_{ring}\approx\frac{4.6}{0.6\times2\pi\times1.397\times10^6}=873\ \text{ns}t_s\approx200+873=1073\ \text{ns}\approx1.07\ \mu\text{s}

两段都不能忽略：压摆 200 ns 占 19%，线性/振铃占 81%。

3 Vpp、2 MHz 的正弦，需要多大压摆率？SR=10 V/µs 的运放能输出多大幅度？

SR_{req}=2\pi\times2\times10^6\times1.5=1.885\times10^7\ \text{V/s}=18.85\ \text{V}/\mu\text{s}

SR=10 V/µs 时：

V_{pk,max}=\frac{10^7}{2\pi\times2\times10^6}=0.7958\ \text{V}

即 1.592 Vpp，只有 3 Vpp 的 53%。波形被压成三角波，不是"幅度小一点"那么简单，谐波失真会急剧上升。

为什么"增益×带宽恒定"对电流反馈型（CFA）运放不成立？对反相衰减器又该怎么算？

CFA 的反馈是电流模式，闭环带宽主要由反馈电阻 R_f 与内部补偿电容决定，与噪声增益几乎无关；改变增益（改 R_1）时带宽基本不变，所以"增益×带宽=常数"不成立。选型要查数据手册的"带宽 vs 增益"曲线与推荐的 R_f。

反相衰减器（信号增益 -R_f/R_1）仍按噪声增益 1+R_f/R_1 算带宽。例：R_1=10\ \text{k}\Omega、R_f=5\ \text{k}\Omega，信号增益 -0.5，噪声增益 1.5，GBW=10 MHz 时 f_c=6.667\ \text{MHz}，不是 10\ \text{MHz}/0.5=20\ \text{MHz}。衰减不会让带宽变宽。

8. 参考资料

• Analog Devices, MT-033 Voltage Feedback Op Amp Gain and Bandwidth：开环增益、噪声增益、闭环带宽与 GBW 的关系，以及"增益×带宽"的适用条件。本章 §2.1、§2.2、§3.2 的口径按该文。https://www.analog.com/media/en/training-seminars/tutorials/MT-033.pdf
• Analog Devices, MT-046 Op Amp Settling Time：建立时间的定义、误差带、压摆与线性段的区分、测试条件。本章 §2.7、§3.4、§4.1 的三段拆解参考该文。https://www.analog.com/media/en/training-seminars/tutorials/MT-046.pdf
• TI, Op Amps for Everyone（SLOD006B）：Chapter 5 Feedback and Stability Theory 给环路增益与闭环带宽；Chapter 6 Development of the Non-Ideal Op Amp Equations 给有限带宽、压摆率与非线性修正。本章 §2.3、§3.5 的边界条件与该书一致。
• Sergio Franco, Design with Operational Amplifiers and Analog Integrated Systems（4th ed.）：Chapter 1 Operational Amplifier Fundamentals 与 Chapter 8 Stability 给带宽、压摆率、建立时间与相位裕度的完整推导；本章 §3.4 的振铃估计与该书一致。
• Sedra & Smith, Microelectronic Circuits（8th ed.）：Frequency Response 一章讲主极点、单位增益频率、压摆率与全功率带宽；本章 §2.4、§2.5 的物理来源与该章一致。