V/I、I/V 转换与传感器接口 V/I & I/V Converters
传感器世界输出的常常是电流：光电二极管给出 µA 级光电流，4~20mA 变送器用环路电流传数据，RTD 用恒流激励换电压。而 ADC 只认电压。于是每个信号链都要做一次转换，方向只有两种：I→V（跨阻放大）或 V→I（压控电流源）。
这两种转换看似对偶，工程上的难点却完全不同。I→V 的难点是稳定性：光电二极管的结电容和反馈电阻在环路里造出零极点，稍不留神就振荡。V→I 的难点是输出阻抗：一个"电流源"到底是不是电流源，只取决于它的输出阻抗比负载大多少；而这个阻抗随频率下降，所以"直流是电流源、高频变成电压源"是常态。
本章把这两件事都落到可复算的数字上：先算输出阻抗如何随频率塌陷（§3.1），再算 Howland 桥的 1% 失配把无穷大输出阻抗打到多少（§3.2），然后算 100kΩ 跨阻 + 10pF 二极管电容的相位裕度（§3.4）。相关章节：稳定性：伯德图、相位裕度与补偿给 PM 的判据，单电源电路与电平偏置搬移给单电源光电前置的偏置，模拟开关与多路复用给多路光电二极管的切换，精密整流、峰值检测与采样保持给同属"环内非线性"的检波电路。
本章约定：A_{OL} 是开环增益，\beta 是反馈系数（不是三极管的电流放大倍数），T=A_{OL}\beta 是环路增益，噪声增益 1/\beta，GBW 是增益带宽积，R_f 是跨阻，C_{in} 是反相端总电容（二极管结电容 + 运放输入电容 + 布线电容），C_f 是反馈电容，I_L 是负载电流，R_s 是采样/检测电阻，R_{out} 是电流源的输出电阻。虚短、虚断只在负反馈闭合、输出未饱和、|T|\gg1 时成立（前提的完整推导见理想模型五假设与虚短、虚断）；本章的电流源在负载电压超出运放摆幅时会失效，跨阻级在光电二极管反激击穿或运放饱和时也不能再用虚地。
1. 设计动机
场景一：4~20mA 变送器接上 500Ω 接收电阻，电流掉了 20%。 设计时按"理想电流源"算，I_L=V_{in}/R_s；实际接收端 500Ω 上的压降把运放输出顶到轨附近，环路增益塌陷，电流从 20mA 掉到 16mA。复算：20mA×500Ω=10V，加上采样电阻 3.1V，运放要输出 13.1V；5V 供电根本做不到。电流源的第一个约束不是精度，是 Compliance（合规电压）。
场景二：100kΩ 跨阻的光电前置，上电就振荡。 光电二极管结电容 10pF、运放输入电容 5pF、GBW=10MHz，反馈电阻 100kΩ。不接反馈电容时，噪声增益在 106kHz 就抬高，环路在 1.05MHz 穿越时相位已经到 −174°，PM≈5.8°，输出在 1MHz 附近持续振荡。并一只 1.5pF 反馈电容后 PM 回到 54°，振荡消失。跨阻放大器的稳定性由"二极管电容 + 反馈电阻 + 运放 GBW"三者共同决定，缺一不可。
场景三：Howland 电流泵用 1% 电阻，负载从 100Ω 变到 1kΩ，电流变了 0.5%。 四只 10kΩ、1% 电阻，桥臂失配 1%，输出电阻从"无穷大"掉到约 2MΩ；1kΩ 的负载变化对应 0.05% 的电流误差。看起来不大，但如果是 16 位系统（0.0015%），这 0.05% 就是 33 个 LSB。"匹配电阻"不是玄学，是直接乘在输出电阻上的系数。
| 你想确认 | 先算/先查 | 判据（工程经验值） |
|---|---|---|
| 它到底是电流源还是电压源 | \lvert R_{out}\rvert 与 R_L 比 | \lvert R_{out}\rvert\ge100R_L 才算电流源 |
| 负载电压够不够 | I_L(R_s+R_L) 与运放摆幅 | 留 1~2V 余量 |
| 跨阻级稳不稳 | C_f、f_z、f_p、PM | PM≥45°，推荐 60° |
| 跨阻带宽够不够 | f_{-3dB}=1/(2\pi R_fC_f) | ≥10 倍信号带宽 |
| 小电流测不测得准 | I_B R_f 与 I_{ph} 比 | I_B\ll I_{ph,min}/100 |
| 满量程准不准 | R_f 容差与 V_{OS} | 误差 < 目标精度的 1/3 |
| 长线会不会振 | 容性负载与 PM | 加隔离电阻或缓冲 |
不算这四笔账会摔在哪，四个带数字的代价：
- 把"电流源"当成理想元件。 浮地负载拓扑的输出电阻约 A_{OL}R_s：直流 10^5\times156\Omega=15.6\text{M}\Omega，10kHz 时 A_{OL} 只剩 100，输出电阻掉到 15.6kΩ。负载 10kΩ 时，10kHz 的电流误差就是 10\text{k}/15.6\text{k}=64\%——同一个电路，直流是电流源，10kHz 是电压源。
- 跨阻级不接 C_f。 100kΩ、15pF、GBW=10MHz 时 PM 只有 5.8°，阶跃响应过冲接近 73%，实际上就是振荡。接 1.5pF 后 PM=54°，过冲约 13%。
- 忽略光电二极管的结电容。 结电容从 10pF 变到 100pF（大功率管），C_f 的推荐值要增大 \sqrt{10}=3.16 倍，带宽下降同样的倍数；按 10pF 设计的板子换管子就振。
- 4~20mA 用 5V 供电。 20mA×250Ω=5V，再加采样电阻 3.1V，需要 8.1V 以上；5V 供电时电流根本到不了 20mA，变送器"满度上不去"。
2. 定义与直观
2.1 电流源还是电压源：只看输出阻抗
一个二端网络对负载呈现什么性质，由它的输出阻抗 R_{out} 与负载 R_L 的比值决定：
- R_{out}\gg R_L：负载变化时电流基本不变 → 电流源；
- R_{out}\ll R_L：负载变化时电压基本不变 → 电压源；
- R_{out}\sim R_L：两者都不是，电流和电压都随负载变。
理想电流源的 R_{out}\to\infty。运放构成的电流源靠负反馈"稳住"采样电阻上的电压，所以 R_{out} 正比于环路增益：
R_{out}\approx A_{OL}\,R_s\quad(\text{浮地负载拓扑，量值})符号与单位：R_{out} 是输出电阻（\Omega）；A_{OL} 是工作频率处的开环增益（无量纲）；R_s 是采样电阻（\Omega）。这个式子是本章最重要的一条：它说明电流源的质量随频率线性下降，因为 A_{OL}(f)\approx GBW/f。代入 GBW=1MHz、R_s=156\Omega：
| 频率 | A_{OL}=GBW/f | \lvert R_{out}\rvert | 对 250Ω 负载的电流误差 |
|---|---|---|---|
| DC | 10^5 | 15.6MΩ | 0.0016% |
| 1kHz | 1000 | 156kΩ | 0.16% |
| 10kHz | 100 | 15.6kΩ | 1.6% |
| 100kHz | 10 | 1.56kΩ | 16% |
"电流源"是一个带频率限定的形容词。 4~20mA 环路是直流或几 Hz 的慢信号，所以 15.6MΩ 够用；如果要传 10kHz 的模拟量，这个拓扑在 10kHz 只有 1.6% 的精度，必须换更大 GBW 的运放或降低 R_s（但 R_s 降低会增大功耗与噪声）。
2.2 V→I 之一：浮地负载
浮地负载（floating load）是最简单的压控电流源：负载串在反馈环里，两端都不接地。电路：V_{in} 接同相端；采样电阻 R_s 从反相端到地；负载 R_L 从运放输出到反相端。
在负反馈成立、输出未饱和的前提下用虚短：V_-=V_+=V_{in}。R_s 上的电压就是 V_{in}，所以流过 R_s 的电流是 V_{in}/R_s；虚断保证这个电流全部流过负载：
I_L=\frac{V_{in}}{R_s}符号与单位：I_L 是负载电流（A，方向从输出经负载流入反相端）；V_{in} 是输入电压（V）；R_s 是采样电阻（\Omega）。这个式子里没有 R_L——只要环路增益足够大、运放输出没有饱和，负载电阻怎么变，电流都不变。
代价是负载不能接地。光电二极管、LED、热电制冷器如果需要一端接地，就得用下面的接地负载方案。另一个代价是合规电压：运放输出必须能提供 I_L(R_s+R_L)，超过摆幅就饱和，电流塌陷。
2.3 V→I 之二：接地负载与 Howland 桥
负载一端接地时，采样电阻不能串在负载与地之间再把信号送回反相端——那样负载电流会随负载电压变。解决办法是桥式反馈：用四个电阻构成桥，让负载电压同时影响两个输入端，在平衡时互相抵消；负载电流只由输入电压和电阻比决定。
桥式电流泵（Howland current pump）的核心是正反馈与负反馈的平衡：输出端的负反馈（经 R_3、R_4）稳定电压，负载端的正反馈（经 R_1、R_2）把负载电压的影响"抬"回来。两者在
\frac{R_1}{R_2}=\frac{R_3}{R_4}时完全抵消，输出电阻趋于无穷；失配时输出电阻变成有限值。经典结果（不同资料的电阻编号不同，按本节编号）：
R_{out}=\frac{R_1R_4(R_2+R_3)}{R_2R_3-R_1R_4}符号与单位：R_1~R_4 是桥臂电阻（\Omega）；R_{out} 是输出电阻（\Omega）。分母为零时 R_{out}\to\infty，对应上面的平衡条件。这个式子的用途不是"精确计算"，而是看清失配的代价：分母是两只电阻乘积之差，1% 的失配就让分母从 0 变成 0.01R^2 量级，输出电阻从无穷大掉到 100R 量级。
为什么负载接地反而更难？ 因为接地负载的电流不能直接流过采样电阻再回到虚地；桥式方案把"负载电流"转换成"桥臂电流差"，用四个电阻的比值来定义，代价是对电阻匹配极度敏感。工程上要么用 0.1% 薄膜电阻配对，要么用下面 §2.5 的"检测电阻 + 差分放大"方案，把匹配要求转移到差分放大器的 CMRR 上。
2.4 I→V：跨阻放大器
跨阻放大器（TIA，Transimpedance Amplifier）把电流变成电压：光电二极管（或电流型 DAC）接到反相端，反馈电阻 R_f 把电流"翻译"成电压，同相端接地或接偏置。
理想情况下，反相端是虚地（V_-\approx0），光电二极管两端电压≈0，工作在零偏（光伏模式）：线性好、暗电流小，但速度受结电容限制。光电流从虚地节点经二极管流向地，运放只能通过 R_f 从输出"补"这个电流，于是
V_{out}=+I_{ph}R_f符号与单位：V_{out} 是输出电压（V）；I_{ph} 是光电流（A，方向从反相端经二极管流向地）；R_f 是跨阻（\Omega）。正号对应"阴极接虚地、阳极接地、输出为正"的接法，适合单电源；把二极管反接（阳极接虚地）则输出为负，需要负电源或电平搬移——接法决定符号，符号决定电源方案。
跨阻级的噪声增益不是 1。 直流时 C_f 开路、C_{in} 也开路，\beta=1，噪声增益为 1；高频时 C_f 和 C_{in} 构成电容分压，噪声增益升高到 1+C_{in}/C_f。这个升高是稳定性的根源，也是噪声在高频被放大的原因。
2.5 第三种：检测电阻 + 差分放大
如果既要求负载接地、又不想被桥臂匹配绑死，可以用"检测电阻 + 差分放大"：输出经采样电阻 R_s 驱动负载，差分放大器测量 R_s 两端电压，与 V_{in} 比较，误差经运放驱动输出。
这个方案的优点是采样电阻直接串在负载电流路径上，I_L=V_{in}/R_s 只取决于差分放大器的增益和 R_s，不要求四只电阻严格配对；缺点是差分放大器本身的 CMRR、失调和带宽会限制精度，而且 R_s 上的共模电压（接近负载电压）要求差分放大器有足够的共模范围。
电流源像一条水渠：水渠的流量由上游的闸门（V_{in}）和渠道的宽度（R_s）决定，下游水位（负载电压）高低不影响流量——前提是水渠没有漫堤（运放没有饱和）。输出阻抗就是"下游水位变化时流量变化的程度"：输出阻抗无穷大，水位怎么变流量都不变；输出阻抗有限，水位升高时流量会跟着变。
类比的边界：水渠的"恒流"是物理的（重力 + 堰板），电流源的"恒流"是反馈维持的；反馈有延迟（相位），高频时下游的水位变化会"绕过"闸门影响流量，输出阻抗随频率下降。所以电流源的指标必须带频率。
3. 定量关系
3.1 浮地负载：电流、输出阻抗与合规电压
由 §2.2 的虚短分析，理想电流是 I_L=V_{in}/R_s。考虑有限 A_{OL}，输出电阻约 (A_{OL}+1)R_s\approx A_{OL}R_s（负载电压升高时电流略微下降）。电流误差可以写成
\frac{\Delta I_L}{I_L}\approx\frac{R_L}{\lvert R_{out}\rvert}=\frac{R_L}{A_{OL}R_s}符号与单位：\Delta I_L/I_L 是相对电流误差（无量纲）；R_L 是负载电阻（\Omega）；其余同上。代入 R_s=156\Omega、R_L=250\Omega、A_{OL}=10^5：误差 =250/(10^5\times156)=1.6\times10^{-5}=0.0016\%。10kHz 时 A_{OL}=100，误差 =250/(100\times156)=1.6\%。
合规电压是第二个约束：
V_{out}=I_L(R_s+R_L)+V_{drop}符号与单位：V_{out} 是运放输出电压（V）；V_{drop} 是运放输出级离轨的最小压差（V，轻载 0.1~0.5V，重载更大）；其余同上。20mA、R_s=156\Omega、R_L=250\Omega 时 V_{out}=20\text{mA}\times406\Omega=8.12\text{V}，加 0.5V 余量需要至少 8.7V 的电源——5V 供电做不了 250Ω 的 4~20mA 环路。
3.2 桥式电流泵的失配代价
由 §2.3 的经典结果，令四只电阻标称相等为 R，只有 R_4 偏了 \delta（相对值），则
R_4=R(1+\delta),\qquad R_{out}=\frac{R\cdot R(1+\delta)\cdot2R}{R^2-R^2(1+\delta)}=\frac{2R(1+\delta)}{-\delta}\approx-\frac{2R}{\delta}符号与单位：\delta 是相对失配（无量纲，1% 即 0.01）；R 是标称阻值（\Omega）；R_{out} 是输出电阻（\Omega，负号表示负阻）。取 R=10\text{k}\Omega、\delta=0.01：
\lvert R_{out}\rvert\approx\frac{2\times10^4}{0.01}=2\times10^6\Omega=2\text{M}\Omega负载从 100Ω 变到 1kΩ（\Delta R_L=900\Omega）时，电流相对变化
\frac{\Delta I_L}{I_L}=\frac{\Delta R_L}{\lvert R_{out}\rvert}=\frac{900}{2\times10^6}=0.045\%结论：1% 失配把"无穷大输出电阻"变成 2MΩ；对 1kΩ 量级的负载，0.05% 的电流误差还可以接受；对 16 位系统（0.0015%）就完全不够，必须用 0.01% 配对电阻或换检测电阻方案。注意这个误差是负载变化引起的，不是固定增益误差——校准满度也消不掉。
3.3 跨阻级的传递函数与噪声增益
跨阻级的反馈网络是 R_f\parallel C_f，反相端对地有 C_{in}（二极管结电容 + 运放输入电容 + 布线）。反馈系数
\beta(s)=\frac{Z_{in}}{Z_{in}+Z_f}=\frac{1+sR_fC_f}{1+sR_f(C_f+C_{in})}符号与单位：s=j2\pi f 是复频率；R_f 是跨阻（\Omega）；C_f 是反馈电容（F）；C_{in} 是反相端总电容（F）；\beta 无量纲。噪声增益 1/\beta 从直流的 1 上升到高频的
\frac{1}{\beta_{HF}}=\frac{C_f+C_{in}}{C_f}=1+\frac{C_{in}}{C_f}这个式子是跨阻级一切稳定性问题的源头：C_{in}/C_f 越大，高频噪声增益越高，环路越容易在 A_{OL} 下降的频段穿越。
闭环跨阻的 -3\text{dB} 带宽由反馈极点决定：
f_{-3\text{dB}}\approx\frac{1}{2\pi R_fC_f}代入 R_f=100\text{k}\Omega、C_f=1.5\text{pF}：f_{-3\text{dB}}=1/(2\pi\times10^5\times1.5\times10^{-12})=1.06\text{MHz}。
3.4 跨阻级的稳定性：两个频率与一个电容
环路增益 T(s)=A_{OL}(s)\beta(s)。单极点运放 A_{OL}(s)=GBW/s，于是
T(s)=\frac{GBW}{s}\cdot\frac{1+sR_fC_f}{1+sR_f(C_f+C_{in})}它有两个特征频率：
f_z=\frac{1}{2\pi R_fC_f},\qquad f_p=\frac{1}{2\pi R_f(C_f+C_{in})}f_z 是 \beta 的零点（噪声增益开始上升），f_p 是 \beta 的极点（噪声增益停止上升）。因为 C_f<C_f+C_{in}，恒有 f_p<f_z。相位裕度
PM=180^{\circ}-90^{\circ}+\arctan\frac{f_c}{f_z}-\arctan\frac{f_c}{f_p}=90^{\circ}+\arctan\frac{f_c}{f_z}-\arctan\frac{f_c}{f_p}符号与单位：f_c 是 \lvert T\rvert=1 的穿越频率（Hz）；PM 是相位裕度（度）；其余同上。C_f 越小，f_z 越高、f_p 越接近 1/(2\pi R_fC_{in})，相位裕度越差；C_f\to0 时 f_z\to\infty，PM 只剩 90^{\circ}-\arctan(f_c/f_p)。
工程上有一个广为使用的补偿公式（与稳定性：伯德图、相位裕度与补偿的口径一致）：
C_f=\sqrt{\frac{C_{in}}{2\pi R_f\,GBW}}它把反馈极点放在 f_p\approx\sqrt{GBW\cdot f_z} 附近，给出约 45°~55° 的 PM。这个式子是起点不是终点：实际 PM 要在 C_f 取整到 E 系列值后，用完整的 T(s) 复算（§4.3 会算一遍）。
3.5 直流误差：V_{OS}、I_B 与 R_f 容差
跨阻级的输出直流误差有三项：
V_{err}=V_{OS}\left(1+\frac{R_f}{R_{diode}}\right)+I_B R_f+\Delta R_f\,I_{ph}符号与单位：V_{OS} 是输入失调电压（V）；R_{diode} 是光电二极管的等效并联电阻（\Omega，零偏时很大，通常可忽略）；I_B 是输入偏置电流（A）；\Delta R_f/R_f 是跨阻容差（无量纲）。第一项在 R_{diode}\gg R_f 时就是 V_{OS} 本身；第二项是 I_B 在 R_f 上的压降；第三项是增益误差。
数值感：V_{OS}=50\mu\text{V}、I_B=1\text{pA}、R_f=100\text{k}\Omega 时，V_{OS} 项 50µV、I_B 项 0.1µV；若换成双极输入运放（I_B=100\text{nA}），I_B 项变成 10mV——比 V_{OS} 大 200 倍，直接淹没 µA 级光电流。所以跨阻级必须选 CMOS/FET 输入运放。
4. 典型计算
4.1 完整算例：0~2.5V 输入、4~20mA 输出的 V→I
需求：输入 0~2.5V，输出 4~20mA，负载为 4~20mA 环路的接收电阻 250Ω（一端接地，但整个变送器串在环路里，属于浮地负载场景），环路电源 24V。
第 1 步：定传输关系。 4~20mA 对应 0~2.5V，斜率
k=\frac{20-4}{2.5-0}=\frac{16\text{mA}}{2.5\text{V}}=6.4\text{mA/V}截距 4mA，所以 I_L=4\text{mA}+6.4\text{mA/V}\times V_{in}。
第 2 步：拆成"偏置 + 斜率"。 用两级：第一级把输入搬移到 V_x=V_{in}+0.625\text{V}（0.625V 对应 4mA），第二级用浮地负载 V→I 把 V_x 变成电流。
第 3 步：算采样电阻。 斜率要求 1/R_s=6.4\text{mA/V}：
R_s=\frac{1}{6.4\times10^{-3}}=156.25\Omega取 E96 的 156Ω（0.1%），实际斜率 1/156=6.410\text{mA/V}，满度 20.03\text{mA}，误差 +0.16%。
第 4 步：算偏置电压。 4mA 对应 V_{offset}=4\text{mA}\times156\Omega=0.624\text{V}，设计取 0.625V（2.5V 基准四分压，便于用等值电阻实现）。第一级用同相求和：V_{in} 经 R_1、0.625V 基准经 R_2 接到同相端，R_3 到地，取 R_1=R_2=R_3=10\text{k}\Omega，则同相端电压 (V_{in}+0.625)/3；再取反馈 R_f=20\text{k}\Omega、R_g=10\text{k}\Omega，增益 1+20/10=3，输出
V_x=3\times\frac{V_{in}+0.625}{3}=V_{in}+0.625\text{V}第 5 步：验算满度。 V_{in}=0：I_L=0.625/156=4.006\text{mA}；V_{in}=2.5\text{V}：I_L=(2.5+0.625)/156=20.03\text{mA}。两端误差都在 0.2% 以内（主要是 156Ω 取整）。
第 6 步：合规电压。 20mA 时采样电阻压降 20\text{mA}\times156\Omega=3.12\text{V}，负载压降 20\text{mA}\times250\Omega=5.00\text{V}，运放输出至少 8.12V，加 0.5V 余量需 8.62V。24V 环路电源有充足余量；如果误用 5V 电源，最大电流只有 (5-0.5)/406=11.1\text{mA}，满度只有 55%。
第 7 步：功耗。 采样电阻 P=I^2R=(20\text{mA})^2\times156=62.4\text{mW}，选 0.25W 电阻；运放输出级（或外接调整管）承受 (24-8.12)\times20\text{mA}=318\text{mW}，普通运放封装要核对热阻，通常加一只外部晶体管扩流。
第 8 步：输出阻抗核对。 直流 R_{out}\approx10^5\times156=15.6\text{M}\Omega，对 250Ω 负载误差 0.0016%；1kHz 时 R_{out}=156\text{k}\Omega，误差 0.16%。4~20mA 是慢信号，够用；若要叠加 HART 之类的高频通信，必须按 §2.1 的表核算。
4.2 完整算例：Howland 桥 1% 失配的输出误差
需求：四只 10kΩ、1% 电阻构成桥式电流泵，驱动 100Ω~1kΩ 的接地负载，评估失配带来的电流误差。
第 1 步：算输出电阻。 只有 R_4 偏 +1% 时，由 §3.2：
\lvert R_{out}\rvert\approx\frac{2R}{\delta}=\frac{2\times10^4}{0.01}=2.0\text{M}\Omega第 2 步：算负载变化引起的电流误差。 \Delta R_L=1000-100=900\Omega：
\frac{\Delta I_L}{I_L}=\frac{900}{2.0\times10^6}=0.045\%第 3 步：换算成位数。 对 16 位系统（满量程 65536 码），0.045% 对应 0.00045\times65536=29.5 个 LSB。
第 4 步：如果四只电阻各自随机、各 1% 容差呢？ 最坏情况是让 R_2R_3 与 R_1R_4 朝相反方向偏：R_2、R_3 各 +1%，R_1、R_4 各 −1%，则 R_2R_3=1.0201R^2、R_1R_4=0.9801R^2，分母 =0.04R^2，是单只偏 1% 时的 4 倍。输出电阻降到
\lvert R_{out}\rvert=\frac{R_1R_4(R_2+R_3)}{0.04R^2}\approx\frac{0.9801R^2\times2.01R}{0.04R^2}=49.3R=493\text{k}\Omega同样 900Ω 的负载变化对应 900/4.93\times10^5=0.183\%，即 0.00183\times65536=120 个 16 位 LSB。要保住 0.01% 的电流精度，四只电阻要么用 0.01% 配对，要么做温度补偿，要么换检测电阻方案。
第 5 步：结论。 1% 电阻的 Howland 桥只适合"电流精度 0.1% 量级、负载变化不大"的场合；精密 4~20mA 变送器普遍用"检测电阻 + 差分放大"或专用变送器芯片。
4.3 完整算例：100kΩ 跨阻 + 10pF 二极管电容的相位裕度
需求：光电二极管结电容 C_d=10\text{pF}，运放输入电容 3pF，布线电容 2pF，合计 C_{in}=15\text{pF}；R_f=100\text{k}\Omega；运放 GBW=10MHz（单极点近似）；要求 PM≥45°，并给出闭环带宽。
第 1 步：不接 C_f 时。 f_p=1/(2\pi R_fC_{in})=1/(2\pi\times10^5\times15\times10^{-12})=106.1\text{kHz}。穿越频率由 \lvert T\rvert=1 解出，约 f_c=1.05\text{MHz}（在 f_c 处 A_{OL}=GBW/f_c=9.5，\lvert\beta\rvert=1/\sqrt{1+(f_c/f_p)^2}=1/9.9，乘积 0.96）。相位
PM=90^{\circ}-\arctan\frac{1.05\times10^6}{1.061\times10^5}=90^{\circ}-84.2^{\circ}=5.8^{\circ}PM=5.8°，电路振荡。
第 2 步：按补偿公式取 C_f。
C_f=\sqrt{\frac{15\times10^{-12}}{2\pi\times10^5\times10^7}}=\sqrt{2.39\times10^{-24}}=1.55\times10^{-12}\text{F}\approx1.5\text{pF}第 3 步：复算 C_f=1.5\text{pF} 的零极点。
f_z=\frac{1}{2\pi\times10^5\times1.5\times10^{-12}}=1.06\text{MHz},\qquad f_p=\frac{1}{2\pi\times10^5\times16.5\times10^{-12}}=96.5\text{kHz}第 4 步：解穿越频率。 解 \lvert T(f_c)\rvert=1：
\frac{10^7}{f_c}\cdot\frac{\sqrt{1+(f_c/1.06\times10^6)^2}}{\sqrt{1+(f_c/9.65\times10^4)^2}}=1数值解得 f_c=1.22\text{MHz}。相位
PM=90^{\circ}+\arctan\frac{1.22}{1.06}-\arctan\frac{1.22}{0.0965}=90^{\circ}+49.0^{\circ}-85.5^{\circ}=53.5^{\circ}PM=53.5°，满足 ≥45°。 按 \zeta\approx PM/100=0.535 估算阶跃过冲：
M_p=\exp\left(\frac{-\pi\times0.535}{\sqrt{1-0.535^2}}\right)=13.1\%第 5 步：闭环带宽与噪声增益。 f_{-3\text{dB}}=1/(2\pi R_fC_f)=1.06\text{MHz}；高频噪声增益 1+C_{in}/C_f=1+15/1.5=11（20.8dB）。
第 6 步：加大 C_f 换 PM。 取 C_f=2.2\text{pF}：f_z=723\text{kHz}、f_p=92.5\text{kHz}，解得 f_c=1.43\text{MHz}，PM=66.9^{\circ}，按 \zeta\approx PM/100=0.669 算过冲
M_p=\exp\left(\frac{-\pi\times0.669}{\sqrt{1-0.669^2}}\right)=5.9\%代价是闭环带宽降到 1/(2\pi\times10^5\times2.2\times10^{-12})=723\text{kHz}。PM 和带宽是同一只电容的两端，按系统要求选，不要盲目追高 PM。
第 7 步：验算噪声。 R_f=100\text{k}\Omega 的热噪声密度 \sqrt{4kTR_f}=\sqrt{4\times1.38\times10^{-23}\times300\times10^5}=40.7\text{nV}/\sqrt{\text{Hz}}；在 1MHz 带宽内积分（按噪声增益 1~11 加权）约 40.7\text{nV}\times\sqrt{10^6}\approx40.7\mu\text{V}_{\text{RMS}}（一阶估算，实际按噪声增益曲线积分）。对 50µA 满量程、100kΩ 跨阻（5V 满度），40.7µV 约 0.0008% 满度，不是瓶颈。
4.4 误差预算汇总
| 误差项 | 4~20mA V→I | Howland（1%） | 100kΩ TIA |
|---|---|---|---|
| 增益/失配 | 0.16%（156Ω 取整） | 0.045%~0.18% | 0.1%（R_f 0.1%） |
| 失调 | 0.1%（第一级 3×V_{OS}） | 取决于运放 | 50µV（0.001%） |
| 偏置电流 | 可忽略（双极输入） | 可忽略 | 0.1µV（1pA） |
| 频率/稳定性 | 10kHz 时 1.6% | 直流应用可忽略 | PM 53.5°，过冲 13% |
| 合计 | 0.3%（直流） | 0.2%（负载 100Ω~1kΩ） | 0.1% + 50µV |
5. 工程含义
5.1 拓扑选择表
| 需求 | 首选拓扑 | 关键约束 | 不适用 |
|---|---|---|---|
| 负载浮地、精度优先 | 浮地负载 V→I | 合规电压、R_s 精度 | 负载必须接地 |
| 负载接地、成本优先 | Howland 桥 | 四电阻匹配 ≤0.1% | 负载变化大、精度 <0.1% |
| 负载接地、精度优先 | 检测电阻 + 差分放大 | 差分放大器 CMRR、共模范围 | 高共模电压场合 |
| µA/nA 电流测量 | 跨阻放大 | C_f 补偿、I_B | 需要极低噪声时选大 R_f |
| 高速光通信 | 跨阻 + 反偏二极管 | 结电容、运放 GBW | 零偏模式带宽不够 |
5.2 元件取值的量级
- R_s（V→I 采样电阻）：按 R_s=V_{in,max}/I_{out,max} 取，压降一般 0.5~3V。太小则信噪比差、失调影响大；太大则合规电压不够、功耗大。
- R_f（跨阻）：按 R_f=V_{out,max}/I_{ph,max} 取。100kΩ 是 µA 级光电检测的常用值；1MΩ 以上要特别小心 C_f 补偿和噪声。
- C_f：按 §3.4 的公式取，再用完整 T(s) 复算 PM；典型 0.5~10pF，C0G/NP0。
- 运放（TIA）：CMOS/FET 输入（I_B<1\text{pA}）、GBW 按 f_c 选、输入电容要小（<5pF）。
- 运放（V→I）：GBW 按 §2.1 的频率表选；输出电流能力要大于 I_{L,max} 的 3 倍。
5.3 布局与保护
- 跨阻级的反相端是高性能节点：走线要短、远离数字线、必要时加保护环；二极管的屏蔽壳接到合适电位。
- 反馈电阻与电容就近放：R_f、C_f 到反相端的走线每增加 1cm，就多约 0.5~1pF 的寄生电容，直接改变 PM。
- 光电二极管的偏置：零偏模式线性好但速度慢；反偏模式速度快但暗电流大、噪声高。反偏时要用低噪声偏置电源，并在偏置线上加 RC 滤波。
- V→I 的散热：4~20mA 环路在高压差时功耗大，运放或外部调整管要按最坏情况算结温。
- ESD 与浪涌：传感器接口是外部世界的第一道门，光电二极管和长线要加 TVS/限流。
5.4 什么时候模型不够用
- 运放不是单极点：GBW 近似只在 f\gg f_{p1} 时成立；第二极点会让 PM 比计算值低，必须用数据手册的 A_OL 曲线复核。
- 光电二极管不是理想电流源：结电容随反偏电压变，暗电流随温度指数上升，大信号时串联电阻也起作用。
- 负载是容性/感性：V→I 驱动长线或电感时，输出阻抗与负载电抗形成谐振，可能自激；需要隔离电阻或缓冲。
- 多路切换：多个光电二极管经 MUX 接入同一个 TIA 时，MUX 的 R_{on} 和电容会改变 C_{in}，PM 随之变差，见模拟开关与多路复用。
6. 常见坑
- 现象：4~20mA 输出到 20mA 附近上不去，或者接上接收电阻后电流明显下降。原因：合规电压不够——I_L(R_s+R_L) 超过运放摆幅，环路饱和。解决：按 §3.1 算 V_{out}=I_L(R_s+R_L)+V_{drop}，提高环路电源或降低 R_s/R_L；5V 供电做不了 250Ω 的 20mA。
- 现象：跨阻放大器输出高频振荡，示波器上是几 MHz 的等幅波。原因：没有 C_f，C_{in} 与 R_f 形成的极点把 PM 压到 10° 以下。解决：按 C_f=\sqrt{C_{in}/(2\pi R_fGBW)} 取电容，再用完整 T(s) 复算 PM；C_f 用 C0G，就近放。
- 现象：小光电流（nA 级）测不准，输出有随温度漂的直流。原因：用了双极输入运放，I_B=100\text{nA} 在 100kΩ 上产生 10mV；或 V_{OS} 温漂。解决：换 CMOS/FET 输入运放（I_B<1\text{pA}）；选低 V_{OS} 低温漂型号；必要时做暗电流校准。
- 现象：Howland 电流泵的电流随负载变化，校准满度也救不回来。原因：桥臂电阻失配，输出电阻从无穷大降到 2R/\delta 量级。解决：用 0.1% 或 0.01% 配对电阻；或改用检测电阻 + 差分放大；按 §3.2 算失配误差，确认是否在预算内。
- 现象：换了一只光电二极管，跨阻级就振。原因：新管子的结电容更大，C_{in} 变大，f_p 降低，PM 变差。解决：按最坏 C_{in} 设计 C_f；或把 C_f 做成可调（并联焊盘），量产时按管子批次微调。
- 现象：V→I 驱动长线时输出波形振铃/自激。原因：长线电容与运放输出电阻形成附加极点，PM 下降。解决：输出串 10~100Ω 隔离电阻；或加一级缓冲；长线两端加端接。
7. 自测题
浮地负载 V→I 的 R_s=156\Omega、R_L=250\Omega、运放 GBW=1MHz、A_{OL}(DC)=10^5。直流和 10kHz 的电流误差各是多少？
直流：\lvert R_{out}\rvert=A_{OL}R_s=10^5\times156=15.6\text{M}\Omega，误差 =R_L/\lvert R_{out}\rvert=250/15.6\times10^6=0.0016\%。
10kHz：A_{OL}=GBW/f=10^6/10^4=100，\lvert R_{out}\rvert=100\times156=15.6\text{k}\Omega，误差 =250/15.6\times10^3=1.6\%。
同一个电路，频率升高 100 倍，误差升高 100 倍——电流源的精度是频率的函数。
4~20mA 变送器用 5V 供电、R_s=156\Omega、负载 250Ω，最大能输出多少电流？
运放输出摆幅按离轨 0.5V 算，可用 4.5V：
I_{max}=\frac{4.5}{R_s+R_L}=\frac{4.5}{156+250}=11.1\text{mA}只有满度 20mA 的 55%。要输出 20mA，电源至少 20\text{mA}\times406\Omega+0.5\text{V}=8.62\text{V}，实际取 12V 或 24V。
Howland 桥四只 10kΩ 电阻，R_4 偏 +1%，输出电阻大约多少？负载从 100Ω 变到 1kΩ，电流误差多少？
\lvert R_{out}\rvert\approx\frac{2R}{\delta}=\frac{2\times10^4}{0.01}=2\text{M}\Omega\frac{\Delta I}{I}=\frac{900}{2\times10^6}=0.045\%对 16 位系统约 29 个 LSB。若四只电阻各自随机 1%，最坏情况分母大 4 倍，输出电阻约 490kΩ，误差 0.18%（60 LSB）。
100kΩ 跨阻、C_{in}=15\text{pF}、GBW=10MHz，不接 C_f 时 PM 是多少？按公式取 C_f 后 PM 是多少？
不接 C_f：f_p=1/(2\pi\times10^5\times15\times10^{-12})=106\text{kHz}，f_c\approx1.05\text{MHz}，PM=90^{\circ}-\arctan(1.05\text{M}/106\text{k})=90^{\circ}-84.2^{\circ}=5.8^{\circ}，振荡。
按公式：
C_f=\sqrt{\frac{15\text{pF}}{2\pi\times10^5\times10^7}}=1.55\text{pF}\approx1.5\text{pF}复算：f_z=1.06\text{MHz}、f_p=96.5\text{kHz}、f_c=1.22\text{MHz}，PM=90^{\circ}+49.0^{\circ}-85.5^{\circ}=53.5^{\circ}，过冲约 13%。
为什么跨阻级要选 CMOS/FET 输入运放？用双极输入会怎样？
跨阻级的 I_B 直接流过 R_f，在输出上产生 I_BR_f 的误差。R_f=100\text{k}\Omega 时，1pA 只有 0.1µV，100nA 就是 10mV——比 µA 级光电流信号还大，而且随温度漂。
所以跨阻级要选 I_B<1\text{pA} 的 CMOS/FET 输入运放；同时注意它的输入电容通常更小，对稳定性也有利。
V→I 的输出电阻为什么随频率下降？如果负载是 10kΩ，10kHz 时还能当电流源用吗？
因为输出电阻正比于环路增益 A_{OL}(f)，而 A_{OL} 随频率按 -20\text{dB/dec} 下降（单极点）。R_{out}\approx A_{OL}(f)R_s。
GBW=1MHz、R_s=156\Omega、10kHz 时 A_{OL}=100，R_{out}=15.6\text{k}\Omega。负载 10kΩ 时 R_{out}/R_L=1.56，电流误差约 10\text{k}/15.6\text{k}=64\%——已经不是电流源了。要驱动 10kΩ 负载到 10kHz，需要 GBW 大 100 倍的运放，或改用其他拓扑。
8. 参考资料
- TI, Op Amps for Everyone（SLOD006B）：Chapter 6 Development of the Non-Ideal Op Amp Equations 给有限 A_{OL} 下闭环增益、输出阻抗与误差的推导；本章 §3.1 的 R_{out}\approx A_{OL}R_s 与 §3.5 的误差分解按该章口径整理。
- Analog Devices, MT-033 Voltage Feedback Op Amp Gain and Bandwidth：噪声增益、环路增益与穿越频率的关系；本章 §3.3、§3.4 的 1/\beta 与 f_c 计算与该文一致。https://www.analog.com/media/en/training-seminars/tutorials/MT-033.pdf
- Analog Devices, MT-058 Effects of Feedback Capacitance on VFB and CFB Op Amps：反馈电容对跨阻级稳定性、带宽与噪声增益的影响，本章 §3.4 的零极点模型与补偿公式按该文整理。https://www.analog.com/media/en/training-seminars/tutorials/MT-058.pdf
- Jerald Graeme, Photodiode Amplifiers: Op Amp Solutions（McGraw-Hill）：光电二极管跨阻放大器的噪声、带宽、稳定性与布局，本章 §2.4、§5.3 的零偏/反偏权衡与保护环做法参照该书。
- Horowitz & Hill, The Art of Electronics（3rd ed.）：电流源、电流泵与跨阻放大器相关小节；本章 §2.2、§2.3 的浮地负载与桥式电流泵拓扑与该书一致。